1) El documento describe conceptos básicos de álgebra lineal como vectores, suma y diferencia de vectores, producto escalar, longitud de vectores.
2) Un vector representa un desplazamiento en una dirección y magnitud. La suma de vectores representa desplazamientos consecutivos.
3) Se define el producto escalar como una medida de la componente paralela entre dos vectores, y la longitud de un vector como su producto escalar consigo mismo.
El documento habla sobre funciones racionales, que son funciones cuya fórmula es una expresión racional. Explica que el dominio de una función racional es el conjunto de valores de la variable que no anulan al denominador. También cubre cómo simplificar expresiones racionales cuando existen factores comunes en el numerador y denominador, y cómo encontrar ceros, asíntotas y cortes con los ejes de una función racional.
En esta presentación se deduce la regla del binomio al cuadrado en forma geométrica y algebraica. Además cuenta con hipervínculos y podrás verificar tu aprendizaje de manera interactiva con un ejercicio sencillo.
Plano y recta en el espacio geometria analiticaelvyss
Este documento trata sobre geometría en el espacio y define conceptos básicos como punto, recta, plano y sus propiedades. Explica que la geometría en el espacio estudia las medidas y propiedades de figuras tridimensionales. Además, describe las características de rectas y planos, y cómo se relacionan entre sí, como que dos rectas son paralelas si están contenidas en un mismo plano.
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The document discusses finding the midpoint between two points on a coordinate grid. It provides examples of using the midpoint formula, which is (x1 + x2)/2 for the x-coordinate and (y1 + y2)/2 for the y-coordinate, where (x1, y1) are the coordinates of the first point and (x2, y2) are the coordinates of the second point. It also presents an alternative method of adding the x- and y-coordinates of the two points separately and dividing each sum by two.
Este documento explica cómo calcular los máximos y mínimos de una función. Indica que los máximos y mínimos ocurren cuando la derivada de la función es cero. Esto da los valores críticos, los cuales pueden ser máximos o mínimos dependiendo de si la derivada cambia de positiva a negativa o viceversa. Proporciona un ejemplo para ilustrar el proceso de encontrar el máximo y mínimo de la función y=x2 −4x+7.
Bloque 2 propiedades de segmento rectilíneo y polígonosanalaura_fdz
El documento describe diferentes propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos. Explica cómo calcular la longitud de un segmento, el perímetro y área de un triángulo usando las fórmulas de Herón y determinantes. También cubre cómo calcular la razón de un punto en un segmento y encontrar un punto dado una razón.
Este documento introduce los conceptos fundamentales de espacio vectorial, subespacio vectorial y base y dimensión de un espacio vectorial. Explica que un espacio vectorial es un conjunto donde se pueden definir operaciones de suma vectorial y multiplicación por escalares que cumplen ciertas propiedades algebraicas. Presenta ejemplos como los números reales, vectores en el plano y espacio, polinomios y funciones.
1) El documento explica el concepto geométrico de la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. 2) Se define la derivada de una función f(x) como el límite de la pendiente de la secante a medida que el punto Q se acerca a P. 3) La derivada numéricamente es igual a la tasa de cambio promedio de la función en un intervalo e indica cómo varía la función cerca de ese punto.
Este documento explica las características de las parábolas y cómo representarlas gráficamente. Introduce las parábolas de la forma y=ax2+bx+c, y explica cómo calcular los puntos de corte, el vértice y representar la parábola. Luego cubre parábolas de otras formas como y=ax2+bx y cómo encontrar el vértice cuando no hay puntos de corte con el eje x. Finalmente, da ejemplos para practicar representando diferentes parábolas.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos:
El documento es una guía para resolver ecuaciones irracionales escrita por José Luis Albornoz Salazar, un ingeniero civil y profesor universitario venezolano. Incluye 9 ejemplos detallados que muestran los pasos para resolver ecuaciones irracionales, como aislar radicales, elevar ambos lados a un índice, y comprobar las soluciones. El autor solicita comentarios y problemas adicionales para mejorar la guía.
Este documento define los conceptos básicos de espacio vectorial, incluyendo las propiedades que deben cumplir para ser considerado un espacio vectorial, como la cerradura bajo suma y multiplicación por escalares, y provee ejemplos. También introduce los conceptos de subespacio vectorial, combinación lineal, espacio generado por vectores, e independencia lineal. Finalmente, proporciona ejercicios para practicar estos conceptos.
The document discusses finding the midpoint between two points on a coordinate grid. It provides examples of using the midpoint formula, which is (x1 + x2)/2 for the x-coordinate and (y1 + y2)/2 for the y-coordinate, where (x1, y1) are the coordinates of the first point and (x2, y2) are the coordinates of the second point. It also presents an alternative method of adding the x- and y-coordinates of the two points separately and dividing each sum by two.
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1) El documento explica el concepto geométrico de la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. 2) Se define la derivada de una función f(x) como el límite de la pendiente de la secante a medida que el punto Q se acerca a P. 3) La derivada numéricamente es igual a la tasa de cambio promedio de la función en un intervalo e indica cómo varía la función cerca de ese punto.
Este documento explica las características de las parábolas y cómo representarlas gráficamente. Introduce las parábolas de la forma y=ax2+bx+c, y explica cómo calcular los puntos de corte, el vértice y representar la parábola. Luego cubre parábolas de otras formas como y=ax2+bx y cómo encontrar el vértice cuando no hay puntos de corte con el eje x. Finalmente, da ejemplos para practicar representando diferentes parábolas.
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Este documento define los conceptos básicos de espacio vectorial, incluyendo las propiedades que deben cumplir para ser considerado un espacio vectorial, como la cerradura bajo suma y multiplicación por escalares, y provee ejemplos. También introduce los conceptos de subespacio vectorial, combinación lineal, espacio generado por vectores, e independencia lineal. Finalmente, proporciona ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento define matrices y describe sus propiedades fundamentales. Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Se describen operaciones básicas como suma y multiplicación de matrices, y se explican propiedades como conmutatividad, asociatividad y distributividad. También se definen matrices especiales como cuadradas, triangulares y diagonales.
Suma de vectores (propiedades) vectores opuestosKEMNAYMZC
El documento describe los conceptos básicos de los vectores, incluyendo su dirección, sentido, módulo y componentes. Explica cómo representar vectores gráficamente en un plano cartesiano y cómo calcular su módulo. También cubre la suma y resta de vectores, incluyendo las propiedades asociativas y conmutativas. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para practicar el cálculo de vectores.
Este documento presenta una guía sobre números reales con cuatro temas principales: 1) identifica la relación entre los conjuntos numéricos y define los números reales, 2) explica cómo representar números reales e intervalos en la recta numérica, 3) define intervalos cerrados y abiertos en la recta numérica, y 4) introduce el concepto de valor absoluto y sus propiedades. El objetivo es que los estudiantes comprendan mejor los números reales y cómo trabajar con ellos.
El documento introduce los conceptos de escalares y vectores. Explica que los vectores, a diferencia de los escalares, requieren una magnitud, dirección y sentido para ser completamente especificados. Utiliza el ejemplo de un desplazamiento de una tortuga para ilustrar esto. Luego define las operaciones básicas entre vectores como la suma, resta, multiplicación por un escalar y división por un escalar. Introduce también los conceptos de componentes de un vector y vectores unitarios.
Este documento presenta información sobre progresiones aritméticas y geométricas. Define una progresión aritmética como una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. Define una progresión geométrica como una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por un factor constante. Presenta propiedades como fórmulas para calcular la suma de los primeros términos y ejercicios resueltos como ejemplos.
Este documento proporciona una guía básica de los comandos de MATLAB para definir y manipular vectores, matrices y realizar operaciones de álgebra lineal. Explica cómo definir vectores y matrices, crear matrices especiales como identidades y ceros, y realizar operaciones como multiplicación, inversión y factorización de matrices. También cubre la creación y uso de archivos .m para funciones y scripts en MATLAB.
El documento explica los conceptos básicos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como la unión, intersección, diferencia y producto cartesiano. También introduce los números reales como el conjunto formado por los números racionales e irracionales, y cómo pueden representarse en una recta numérica. Finalmente, define las desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
Números reales , Definición de conjuntos , Operaciones con conjunto, Números reales, Desigualdades, Definición de valor absoluto, Desiguales con valor absoluto, Revisión bibliográfica, La recta real, Propiedades de los números reales, Propiedades de las igualdades
Este documento resume los principales temas de matemática del 3o curso de bachillerato común (CBC), incluyendo números reales, expresiones algebraicas, teorema de Thales, proporcionalidad, funciones, sistemas de ecuaciones, volumen y capacidad. Cubre conceptos como números racionales e irracionales, fracciones, porcentajes, radicación, adición y sustracción de radicales, notación científica, álgebra, teorema de Thales, proporcionalidad directa e inversa, funciones, sistemas de e
1) El documento presenta los números complejos, definidos como pares ordenados de números reales, y establece las operaciones de suma, multiplicación e igualdad para ellos.
2) Se representan gráficamente los complejos en el plano cartesiano y se definen conceptos como parte real, parte imaginaria y módulo.
3) Se introduce la forma trigonométrica de un complejo, relacionando su magnitud, argumento y representación como vector geométrico.
Este documento presenta conceptos básicos sobre los números reales y la recta numérica. Introduce la recta numérica, los números reales, propiedades de los números reales, desigualdades, y el valor absoluto. Explica que la recta numérica representa todos los números reales de forma continua e ilimitada, y describe cómo se representan fracciones y números irracionales en ella. También resume propiedades clave como la tricotomía y la transitividad de la relación de orden en los números reales.
El documento habla sobre los números reales. Resume lo siguiente:
1) Los números reales incluyen números racionales e irracionales y representan todos los números en la recta numérica.
2) Las operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia permiten manipular conjuntos matemáticos.
3) Las desigualdades matemáticas comparan expresiones algebraicas usando símbolos como <, >, ≤, ≥ y denotan valores desiguales.
El documento describe los conjuntos y las operaciones básicas con ellos. Un conjunto es una colección de objetos bien definida. Las operaciones con conjuntos incluyen la unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica. También describe los números reales, que incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales, y conceptos como el valor absoluto y las desigualdades.
Este documento define y explica los conceptos básicos de los grafos, incluyendo los tipos de grafos (dirigidos y no dirigidos), sus representaciones (matriz de adyacencia y lista de adyacencia), y las ventajas y desventajas de cada representación. Explica que un grafo consta de un conjunto de vértices y aristas, y que puede representarse algebraicamente como G=(V,E). También describe las características específicas de los grafos dirigidos y no dirigidos, así como las formas de representar los costos asociados
El documento define los conceptos básicos de conjuntos, incluyendo tipos de conjuntos como finitos, infinitos, unitarios, vacíos, homogéneos y heterogéneos. También describe operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia, complemento y diferencia simétrica. Finalmente, introduce conceptos sobre números reales, incluyendo racionales e irracionales, y propiedades de desigualdades y valor absoluto.
VECTORES LIBRES Y BIYECCION ENTRE EL CONJUNTO V3 DE LOS VECTORES LIBRES Y R3Moiiss1404
Este trabajo consiste en explicar algo sobre VECTORES LIBRES Y BIYECCION ENTRE EL CONJUNTO V3 DE LOS
VECTORES LIBRES Y R3.
Integrantes del equipo:
Alexis Moreira
Moises salazar
Jose Quintero
Ronaldo Guevara
1) El documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, elementos, notación, conjuntos finitos e infinitos, igualdad, subconjuntos, conjunto universal, conjuntos disjuntos y diagramas de Venn. 2) También define operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento y presenta ejemplos ilustrativos de cada una. 3) El objetivo es introducir estos conceptos fundamentales de teoría de conjuntos que son una base para el estudio de la estadística y la probabilidad.
Similar a Apunte de Vectores, rectas y Planos - Algebra Lineal (20)
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Apunte de Vectores, rectas y Planos - Algebra Lineal
1. ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL PARA LA COMPUTACIÓN INFO 1144
APUNTE DE VECTORES, RECTAS Y PLANOS
Un vector es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento de un
Ò
punto E hacia otro punto FÞ Se denota EFÞ
E es el punto inicial o cola, a F se le denomina punto terminal o cabeza.
t
Por lo general a un vector se le denota como @Þ
El conjunto de todos los puntos del plano corresponde al conjunto de todos los vectores
cuyas colas se encuentran en el origen S. Para cada punto Eß corresponde el vector
t t
+ œ SEß estos son llamados vectores de posición.
Es común representar esos vectores usando coordenadas. Por ejemplo E œ Ð$ß #Ñ se
t
escribe como + œ Ò$ß #ÓÞ
Las coordenadas individuales son llamadas componentes.
El vector Ò!ß !Ó se denota !Þ Es llamado vector cero.
El vector Ò$ß #Ó puede ser interpretado como sigue: comienza en el origen S , viaja 3
unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba, finalizando en T . El mismo
desplazamiento se puede aplicar a otros puntos iniciales.
Igualdad de Vectores
Dos vectores son iguales si y sólo si sus respectivas componentes son iguales. Es decir,
si ÒBß CÓ œ Ò"ß %Ó, entonces B œ " y C œ %Þ
Por lo general se usa vectores columna para representar a un vector. Es decir ÒBß CÓ es
” C •Þ Usaremos ambas representaciones.
B
También se dirá que dos vectores son iguales si tienen la misma longitud y la misma
dirección, aún cuando tengan distintos puntos inicial y final.
Geométricamente, dos vectores son iguales si uno puede obtenerse mediante el
corrimiento (o traslación) del otro de forma paralela a sí mismo hasta que los dos
vectores coincidan. En términos de componentes, tenemos que si E œ Ð$ß "Ñ y
Ò
F œ Ð'ß $Ñß el vector EF œ Ò$ß #Ó œ Ò' $ß $ "Ó. De manera similar si
Ò
G œ Ð %ß "Ñ y H œ Ð "ß "Ñ, entonces GH œ Ò " Ð %Ñß " Ð "ÑÓ œ Ò$ß #Ó y
Ò Ò
entonces EF œ GHÞ
Ò
Se dice que un vector ST se encuentra en posición estándar.
Ò
Ejemplo: Sea E œ Ð "ß #Ñ y F œ Ð$ß %Ñß encuentre EF y vuelva a trazarlo (a) en
posición estándar y (b) con su cola en el punto G œ Ð#ß "ÑÞ
1
2. Suma de Vectores
Al igual que sucede en el juego de las pistas de carreras, con frecuencia deseamos
"continuar" un vector tras otro. Esto nos conduce a la noción de suma de vectores.
Si hacemos que @ siga al vector ?, podemos considerar el desplazamiento total como un
tercer vector, denotado ? @Þ
Ejemplo: Si ? œ Ò"ß #Ó y @ œ Ò#ß #Óß el efecto neto de hacer seguir a @ después de ? es
Ò" #ß # #Ó œ Ò$ß %Óß lo que nos da ? @Þ
En general si ? œ Ò?" ß ?# Ó y @ œ Ò@" ß @# Ó entonces la suma ? @ œ Ò?" @" ß ?# @# ÓÞ
Aprecie ? @ geométricamente:
Dados los vectores ? y @ en ‘# traslade @ de manera que su cola coincida con la cabeza
de ?Þ La suma ? @ de ? y @ es el vector desde la cola de ? hasta la cabeza de @.
Paralelógramo determinado por ? y @. Al trasladar ? y @ de manera pàralela a sí mismos,
obtenemos un paralelógramo. La diagonal de dicho paralelógramo nos proporciona el
vector suma. Es decir su suma es el vector en posición estándar a lo largo de la diagonal
del paralelógramo determinado por ? y @Þ
Ejemplo: Si ? œ Ò$ß "Ó y @ œ Ò"ß %Óß calcule y dibuje ? @Þ
Ponderación de Vectores
Dado un vector @ y un número real -ß el múltiplo escalar -@ es el vector originado al
multiplicar cada componente de @ por -Þ Por ejemplo %Ò#ß "Ó œ Ò)ß %ÓÞ
En general -@ œ -Ò@" ß @# Ó œ Ò-@" ß -@# ÓÞ
Ejemplo: Si @ œ Ò 'ß $Ó, calcule y trace los vectores $@ß " @ y $@Þ
3
Observe que -@ tiene la misma dirección que @ si - !Þ y la dirección opuesta si - !Þ
También, note que -@ es l-l veces el largo de @Þ Por esta razón las constanes son llamadas
escalares.
Un caso especial de un múltiplo escalar es Ð "Ñ@, que se escribe como @ y se conoce
como el opuesto de @Þ Se usa para definr la diferencia de vectores.
Diferencia de Vectores
La diferencia de ? y @ es el vector ? @ definido por ? @ œ ? Ð @ÑÞ
2
3. Geométricamente corresponde a la otra diagonal del paralelógramo determinado por ? y
@Þ
t t t t
Ejemplo: Si ? œ Ò#ß %Ó y @ œ Ò"ß "Óß entonces ? @ œ Ò# "ß % Ð "ÑÓ œ Ò"ß &Ó
Si los puntos E y F corresponde a los vectores + y , en posición estándar, entonces
Ò
EF œ t +Þ
, t
Vectores en ‘$
El conjunto de todas las tripletas ordenadas de números reales se denota con ‘$ . Los
puntos y vectores son localizados mediante tres ejes coordenados mutuamente
perpendiculares que confluyen en el origen S. Un punto como E œ Ð"ß #ß $Ñ puede
localizarse del siguiente modo:
Ò
t
el vector correspondiente + œ Ò"ß #ß $Ó es SEÞ
Otra forma de visualizar al vector + en ‘$ es construir una caja cuyos seis lados estén
t
determinados por los tres planos do coordenadas ( los planos xy, xz,yz) y por tres planos
a través del punto Ð"ß #ß $Ñ paralelos a los planos coordenados. El vector Ò"ß #ß $Ó
corresponde entonces a la diagonal desde el origen hasta la esquina opuesta de la caja.
Vectores en ‘8
Definimos ‘8 como el conjunto de todas las 8 tuplas ordenadas de números reales
escritas como vectores fila o columna. así, un vector @ en ‘8 se representa como
Ô @" ×
Ö@ Ù
Ò@" ß @# ß ÞÞß @8 Ó o Ö # ÙÞ Las entradas individuales de @ son sus coordenadas o
Õ @8 Ø
À
componentes.
En ‘8 la suma y la ponderación por escalar se definen por: si ? œ Ò?" ß ?# ß ÞÞÞß ?8 Ó y
@ œ Ò@" ß @# ß ÞÞÞß @8 Ó entonces
? @ œ Òu" @" ß ?# @# ß ÞÞÞß ?8 @8 Ó
-? œ Ò-?" ß -?# ß ÞÞÞß -?8 ÓÞ
Los siguientes teoremas rsumen las propiedades algebraicas de la suma vectorial y la
multiplicación por escalar en ‘8 Þ
3
4. Teorema: Propiedades algebraicas de los vectores en ‘8
t t t
Sean ? œ Ò?" ß ?# ß ?$ ,....,?8 Óß @ œ Ò@" ß @# ß @$ ß ÞÞÞÞß @8 Ó y A œ ÒA"ß A#ß A$ß ÞÞÞÞß A8Ó vectores en
8 8
‘ , y sean - y . escalares. Entonces ‘ es grupo abeliano con esta suma. Es decir se verifica
1) t t t t
? @ œ @ ? ( Propiedad conmutativa)
#Ñ t t t t t t
(? @ ) A œ ? Ð@ AÑ ( Propiedad Asociativa)
$Ñ t
?! t œ ! ? œ ? ( Existencia de Neutro)
t t t
%Ñ t t t
? Ð ?Ñ œ ! (Existencia de elemento inverso)
Además
5) t t t
-Ð? @Ñ œ -? -@ t
'Ñ t t
Ð- .Ñ? œ -? .? t
(Ñ t
-Ð.?Ñ œ Ð-.Ñ? t
)Ñ t t
"? œ ?
Ejemplo: Sean +ß t y B representaciones de vectores en ‘8 Þ
t , t
a) Simplifique $+ Ð&t #+Ñ #Ðt +ÑÞ
t , t , t
t t t t
b) Si &B + œ #Ð+ #BÑß resuelva para B en términos de +Þ
Combinaciones Lineales y Coordenadas
Un vector, que es una suma de múltiplos escalares de otros vectores, se define como una
combinación lineal de estos vectores. A continuación, se presenta la definición formal.
Definición Un vector @ es una combinación lineal de vectores @" ß @# ß ÞÞÞÞ@5 si existen
escalares -" ß -# ß ÞÞÞ-5 tales que @ œ -" @" -# @# ÞÞÞÞÞ -5 @5 Þ Los escalares -" ß -# ß ÞÞÞ-5
se conocen como coficientes de la combinación lineal.
Ô # × Ô " × Ô # × Ô & ×
Õ "Ø Õ "Ø Õ " Ø Õ ! Ø
Ejemplo: El vector # es una combinación lineal de ! ß $ y % ß
Ô " × Ô # × Ô & × Ô # ×
Õ "Ø Õ " Ø Õ ! Ø Õ "Ø
puesto que $ ! # $ % œ #
Observación: Determinar si un vector dado es una combinación lineal de otros vectores
es un problema que se abordará posteriormente.
Ejemplo: Sea ? œ ” • y @ œ ” •Þ Se puede emplear ? y @ para localizar un nuevo
$ "
t t
" #
conjunto de ejes (de la misma forma que /" œ ” • œ 3 y /# œ ” • œ 4ß localizan los
" !
! "
ejes coordenados estándar). Se puede hacer uso de estos nuevos ejes para establecer una
cuadrícula coordenada que permitirá localizar con facilidad las combinaciones lineales de
? y @Þ
Como muestra la figura
4
5. t t t
A puede ser localizado desde el origen y desplazarse ? seguido de #@, es decir,
t t
A œ ? #@Þ t
t t t
Se dice que las coordenadas de A con respecto a ? y @ son " y #Þ Luego
A œ ” • #” • Þ
$ "
t
" #
El Producto Punto o Producto Escalar
Ô ?" × Ô @" ×
Ö? Ù Ö@ Ù
Definición: Si ? œ Ö # Ù y @ œ Ö # Ùentonces el producto punto ? † @ de ? y @ está
t t t t t t
Õ ?8 Ø Õ @8 Ø
À À
t t
definido por ? † @ œ ?" @" ?# @# ÞÞÞÞÞÞ ?8 @8 Þ
t t
En otras palabras ? † @ es la suma de los productos de las componentes correspondientes
t t
de ? y @Þ
Ô " × Ô $×
Õ $Ø Õ # Ø
t t
Ejemplo: Calcule ? † @ cuando ? œt # t
y@œ & Þ
Propiedades del Producto Escalar
t t t
Teorema: Sean ?ß @ y A , vectores no nulos, - un escalar.
1) t t t t
?†@ œ@†?
2) t t t t t t t
? † Ð@ AÑ œ ? † @ ? † A
3) t t
Ð-?Ñ † @ œ -Ð? † @Ñ
4) t t t t t t
-Ð? † @Ñ œ Ð-?Ñ † @ œ ? † Ð-@Ñ
5) t t t t t
? † ? ! y ? † ? œ ! si y sólo si ? œ !
Demostración:
t t t t t t t t t t
Ejemplo: Haga la demostración de Ð? @Ñ † Ð? @Ñ œ ? † ? #Ð? † @Ñ @ † @ para todos los
8Þ
t t
vectores ? y @ en ‘ Þ
5
6. En ‘# la longitud del vector @ œ ” • es la distancia desde el origen hasta el punto Ð+ß ,Ñ, la
+
cual, por el teorema de Pitágoras, está dada por È+# ,# Þ Observe que +# ,# œ @ † @ß lo
,
que nos lleva a la siguiente definición.
Longitud o Norma de un Vector
Ô @" ×
Ö@ Ù
Definición: La longitud (o norma) de un vector @ œ Ö # Ùen ‘8 es el escalar no negativo
t
Õ @8 Ø
À
ll@ll œ È@ † @ œ È@" # @# @$ ÞÞÞÞÞ @ #
t
ll@ll definido por
t t t # #
8
#
t t t
es decir ll@ll œ @ † @Þ
Ejemplo: La norma o magnitud del vector @ œ Ò #ß $Ó es ll@ll œ ÈÐ #Ñ# $# œ È"$.
t t
@ œ Ò"ß "ß #ß !Ó es ll@ll œ È"# Ð "Ñ# ## !# œ È'
Ejemplo: La norma o magnitud del vector.
t t
Teorema: Sea @ un vector en ‘8 y sea - un escalar. Entonces
a) ll@ll œ ! si y sólo si @ œ !
b) ll-@ll œ l-l ll@llÞ
Ejemplo: Si ll@ll œ $, entonces ll " @ll œ " ll@ll œ
t 't ' t
$
' œ "
#
t
@ "
t
Vector unitario en la dirección de @ À ll@ll œ Ð ll@ll Ñ @" ß @# ß @$ ß ÞÞÞß @8 Þ
t t
t
Ejemplo: Si @ œ Ò %ß "Ó, entonces un vector unitario en la dirección de @ es t
ll@ll œ È"( Ò %ß "Ó œ Ò È"( ß È"( ÓÞ
t
@ " % "
t
t t
Ejemplo: Si @ œ Ò"ß "ß #ß !Ó, entonces un vector unitario en la dirección de @
es ll@ll œ È' Ò"ß "ß #ß !ÓÞ
t
@
t
"
t
Dado cualquier vector @ distinto de cero, siempre podemos hallar un vector unitario en la
t t
dirección de @, esto se logra al dividir @ entre su propia longitud. La acción de encontrar un
vector unitario con la dirección de otro vector dado se conoce como normalización de un
vector.
Teorema: Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Para todos los vectores ? y @ en ‘8 ß |u † v| Ÿ ||u|| ||v||
Teorema: La desigualdad del triángulo
6
7. Para todos los vectores ? y @ en ‘8 , ll? @ll Ÿ ll?ll ll@ll
Distancia en tre dos Vectores
La distancia entre dos vectores es el análogo directo de la distancia entre dos puntos.
Definición: La distancia .Ð?ß @Ñ entre vectores ? y @ en ‘8 se define como
t t t t
Ô È# ×
t t t t
.Ð?ß @Ñ œ ll? @llÞ
Ô ! ×
Õ "Ø Õ #Ø
t
Ejemplo: Encuentre la distancia entre ? œ " t
y@œ #
Solución:
Ángulo entre Vectores
t t t t t t
Consideremos los vectores, no paralelos ? y @ y el triángulo de lados ?ß @ y ? @ß donde ) es
el ángulo entre ? y @ß siendo ? y @ vectores en ‘8 . Aplicando la ley de los cosenos a este
t t t t
triángulo, vemos que
ll? @ll# œ ll?ll# ll@ll# # ll?ll ll@ll -9=)
t t t t t t
t t t
expandiendo el miembro izquierdo y utilizando ll@ll œ @ † @ varias veces, obtenemos que
ll?ll# #Ð? † @Ñ ll@ll# œ ll?ll# ll@ll# # ll?ll ll@ll -9=)
t t t t t t t t
t t t t
lo cual da ? † @ œ ll?ll ll@ll -9=)ß de lo que se deriva la siguiente definición.
Definición: Para vectores diferentes a cero ? y @ en ‘8 ß
t t
tt
?†@
-9=) œ t t
ll?ll ll@ll
Ejemplo: Calcule el ángulo entre los vectores ? œ Ò#ß "ß #Ó y @ œ Ò"ß "ß "Ó
Solución:
Ejemplo: Calcule el ángulo entre las diagonales de dos caras adyacentes de un cubo.
Solucion.
Vectores Ortogonales
En ‘# y ‘$ dos vectores distintos de cero ? y @ son perpendiculares si el ángulo ) entre ellos
t t
1 tt
?†@
es un ángulo recto; es decir, si ) œ # radianes, o *!º. Así ll?ll ll@ll œ -9=Ð*!ºÑ œ !Þ
t t
Definición: Dos vectores ? y @ en ‘8 son ortogonales entre sí, si ? † @ œ !
t t t t
t t œ !ß para todo vector ? en ‘8 , el vector cero es ortogonal a todo vector.
Puesto que ? † ! t t
Ejemplo: En ‘$ ? œ Ò"ß "ß #Ó y @ œ Ò$ß "ß #Ó son ortogonales, ya que ? † @ œ !.
t t t t
7
8. Proyecciones
t t
Consideremos dos vectores distintos de cero ? y @. Sea : el vector obtenido al trazar la
t t t t
perpendicular desde la cabeza de @ sobre ? y sea ) el ángulo entre ? y @.
Es evidente que t œ ll:llûß donde û œ Ð"Îll?llÑ? es el vector unitario en la direción de ?Þ
: t t t t
tt
?†@
t
Además ||:ll œ ll@ll-9=)ß y sabemos que -9=) œ ll?ll ll@ll Þ Después de la sustitución, tenemos
: œ ll@llŠ ll?ll ll@ll ‹Š ll?ll ‹? œ Š ll?ll# ‹? œ Š ?†? ‹?
t t
tt
?†@ " tt
?†@ tt
?†@
t t t t t t t t t t t
Definición: Si ? y @ son vectores en ‘8 y ? Á !ß entonces la proyección de @ sobre ? es el
vector proy? Ð@Ñ œ Š ll?ll# ‹?.
?†@
Ejemplo: Si + œ Ò"ß #ß $Óß t œ Ò#ß %ß !Ó y - œ Ò$ß 'ß "ÓÞ Si ? œ " - + y
t , t t $t t
t t t %Ð " t " + " -Ñ:
@ œ #+ $, #, %t )t
t t
i) Obtenga T <9C? Ð@Ñ. t t
ii) Obtenga T <9C3? Ð@Ñ. t t
iii) Obtenga T <9C&? Ð$@Ñ.
Solución:
3 t t t 3 4 t
Definición: Sean ? œ ?"t ?#4 ?$ 5 y @ œ @"t @#t @$ 5 vectores en el espacio. Se llama
t
â t t 5 â
â 3 t â
producto vectorial de ambos al vector
t œ â? ? ? â
â
$â
4
â " â
t t
â @" @# @$ â
t t
? ‚ @ œ Ð?# @$ ?$ @# Ñ3 Ð?" @$ ?$ @" Ñ4 Ð?" @# ?# @" Ñ5 #
t 3 t t t t 4 t
Ejemplo: Dados ? œ t #4 5 y @ œ $3 t #5ß hallar
t t
a) ? ‚ @ t t
b) @ ‚ ? t t
c) @ ‚ @
Propiedades Algebraicas del Producto Vectorial
t t t
Sean ?ß @ y A vectores en el espacio y - un escalar, las siguientes propiedades son válidas.
1) t t t t
? ‚ @ œ Ð@ ‚ ?Ñ
#Ñ t t t t t t t
? ‚ Ð@ AÑ œ ? ‚ @ ? ‚ A
3) t t t t t
-Ð? ‚ @Ñ œ -? ‚ @ œ ? ‚ -@t
4) t
?‚! tœ!‚?œ!
t t t
5) t t t
?‚?œ!
6) t t t t t t
? † Ð@ ‚ AÑ œ Ð? ‚ @Ñ † A
8
9. Demostración: Todas ellas se pueden demostrar escribiendo los vectores en forma de
componentes y aplicando entonces la definición del producto vectorial.
Teorema: Propiedades Geométricas del producto vectorial
t t t t
Si ? y @ son vectores no nulos del espacio y ) es el ángulo entre ? y @, entonces se verifican
las propiedades siguientes.
1) t t t
? ‚ @ es ortogonal a ambos, a ? y a @.t
2) t t t t
ll? ‚ @ll œ ll?ll ll@ll =/8)Þ
3) t t t t t
? ‚ @ œ ! si y sólo si ? y @ son múltiplos escalares el uno del otro.
4) t t t t
ll? ‚ @ll es igual al área del paralelógramo que tiene a ? y a @ como lados adyacentes.
ll?ll ll@ll =/8) œ ll?ll ll@ll È" -9=#Ð)Ñ
Demostración:
tt
Ð?†@Ñ
#Ñ Como -9=) œ t t
Ðll?ll ll@llÑ se sigue que t t t t
œ ll?ll ll@ll É"
t t Ð?†@Ñ#
tt
Ðll?ll ll@llÑ#
t t œ Èll?ll# ll@ll# Ð? † @Ñ#
t t t t
œ ÈÐ?# ?# ?# ÑÐ@" @# @$ Ñ Ð?" @" ?# @# ?$ @$ Ñ#
" # $
# # #
œ ÈÐÐ?# @$ ?$ @# Ñ# Ð?" @$ ?$ @" Ñ# Ð?" @# ?# @" Ñ#
t t
œ ll? ‚ @llÞ
Demostración:
4) Para demostrar esta propiedad dibuje un paralelógramo de lados los vectores ? y @ yt t
t t t
proyecte el vector @ sobre ?. Dibuje la altura ( esta mide ll@ll =/8 )Ñ el área es ( base por
altura)
t t t t
ll?ll ll@ll =/8) œ ll? ‚ @llÞ
t t t t t
Observación: Los vectores ? ‚ @ y @ ‚ ?, son perpendiculares al plano determinado por ? y
t t t t t
@. Los tres vectores ?ß @ y ? ‚ @, forman un sistema positivo.
t
Ejemplo: Hallar un vector unitario que sea ortogonal a ? œ "ß #ß $ y
t
@ œ "ß #ß " Þ
Ejemplo: Determine los vectores unitarios perpendiculares al plano determinado por los tres
puntos Ð "ß $ß !Ñß Ð&ß "ß #Ñ y Ð%ß $ß "ÑÞ
Ejercicio: Demostrar que el cuadrilátero de vértices en los puntos siguientes es un
paralelógramo, y hallar su área:
E œ Ð&ß #ß !Ñ F œ Ð#ß 'ß "Ñ G œ Ð#ß %ß (Ñ H œ Ð&ß !ß 'Ñ.
9
10. Rectas y Planos
Consideremos una partícula que se ubica inicialmente en el origen SÐ!ß !Ñ al tiempo > œ !, y
que se mueve a lo largo de la recta de manera que su coordenada B cambia en " unidad por
segundo. Entonces, para > œ " la partícula se localiza en Ð"ß #Ñ, para > œ "Þ& se encuentra
en Ð"Þ&ß $Ñ y, si permitimos que haya valores negativos de > ( es decir, consideremos dónde
estuvo la partícula en el pasado), para > œ # se halla Ðo se hallaba) en Ð #ß %ÑÞ
En general, si B œ >ß entonces C œ #>ß y podemos expresar esta relación en forma
vectorial ” • œ ” • œ >” # •Þ ¿ Cuál es el significado del vector . œ ” # •? Es un
B > " t "
C #>
vector particular paralelo a _, conocido como vector de dirección para la recta.
t t
Podemos escribir la ecuación de la recta como B œ >.ß esta es la forma vectorial de la
ecuación de _
Ejemplo: Consideremos la recta _ con ecuación #B C œ &Þ Es evidente que el vector
.œ”
#•
y 8 œ ” • son el vector de dirección y un vector normal a la recta..
t " #
t
"
t t t t
De este modo, la forma normal 8 † B œ 8 † : es apenas una representación diferente de la
forma general de la ecuación de la recta.
Definición: La forma normal de la ecuación de una recta _ en ‘# /=
t t t t t t t
8 † ÐB :Ñ œ ! o 8 † B œ 8 † :
t t
donde : es un punto específico sobre _ y 8 Á ! es un vector normal para _.
La forma general de la ecuación de _ es +B ,C œ - , donde 8 œ ” • es un vector normal
+
t
,
para _.
t t t t
Observe que para cada elección de Bß B : debe ser paralelo al vector de dirección . . Es
t o B œ : >. para algún escalar >. En términos de componentes tenemos que
decir B : œ >. t t
t t t
” C • œ ” $ • >” # •
B " "
Ð"Ñ
10
11. Bœ">
C œ $ #> Ð#Ñ
La ecuación Ð"Ñ es la forma vectorial de la ecuación de _, y las ecuaciones en Ð#Ñ son
llamadas ecuaciones paramétricas de la recta, la variable > se denomina parámetro.
t
Definición: La forma vectorial de la ecuación de una recta _ en ‘# o ‘$ es B œ : >. ,
t t
t
donde T es un punto específico sobre _ y . Á ! es un vector de dirección para _.
Las ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación se
denominan ecuaciones paramétricas de _.
Ejemplo: Encuentre las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta en ‘$ que pasa a través
Ô & ×
Õ $ Ø
t œ " Þ
del punto T œ Ð"ß #ß "Ñ, paralela al vector .
ÔB× Ô " × Ô & ×
ÕD Ø Õ "Ø Õ $ Ø
t t
Solución: La ecuación vectorial B œ : >. t es C œ # > " Þ La forma
paramétrica es
B œ " &>
C œ#>
D œ " $>
Ejemplo: Encuentre una ecuación vectorial de la recta _ en ‘$ , determinada por los puntos
T œ Ð "ß &ß !Ñ y U œ Ð#ß "ß "ÑÞ
Ô $ ×
Õ " Ø
Solución: B : œ > % Þ
t t
Planos en ‘$
Definición: La forma normal de la ecuación de un plano c en ‘$ es
t t t
8 † ÐB :Ñ œ ! t t t t
o 8†Bœ8†:
t t
donde : es un punto específico sobre c y 8 Á ! es un vector normalpara c .
Ô+×
Õ-Ø
La forma general de la ecuación de c es +B ,C -D œ . donde ? œ , es un vector
t
normal para c .
Ejemplo: Determine las formas normal y general de la ecuación del plano que contienen el
Ô"×
Õ$Ø
punto T Ð'ß !ß "Ñ y tiene como vector normal 8 œ # Þ
t
11
12. Ô'× ÔB×
Õ"Ø ÕDØ
Solución: Con : œ ! y B œ C , tenemos que 8 † : œ *, de manera que la ecuación
t t t t
t t t t
normal 8 † B œ 8 † : se convierte en la ecuación general B #C $D œ *Þ
Definición: La forma vectorial de la ecuación de un plano c en ‘$ es
t t t t
B œ : =? >@
t t t t
donde T es un punto en c y ? y @ son vectores de dirección para c Ð? y @ son distintos de
cero y paralelos a c , pero no paralelos entre sí).
Las ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación son
conocidas como ecuaciones paramétricas de c .
Ejemplo: Encuentre una ecuación vectorial y paramétrica para el plano del ejemplo anterior.
Solución: Necesitamos encontrar dos vectores de dirección. Tenemos T œ Ð'ß !ß "Ñ en el
t
plano; si podemos encontrar otros dos puntos en U y V en c , entonces los vectores T U y T V t
pueden servir como vectores de dirección. Por ensayo y error, observamos que UÐ*ß !ß !Ñ y
V œ Ð$ß $ß !Ñ satisfacen la ecuación general B #C $D œ *ß por lo cual se encuentran en el
Ô $ × Ô $×
Õ "Ø Õ "Ø
tœ;: œ
plano. Así, calculamos ? œ T U t t
t ! t œ<: œ
y @ œ TV t t
t $ ß los que
servirán como vectores de dirección. Por lo tanto, tenemos la ecuación vectorial de cÞ
ÔB× Ô'× Ô $ × Ô $×
ÕD Ø Õ"Ø Õ "Ø Õ "Ø
C œ ! > ! = $ y las correspondientes ecuaciones paramétricas,
B œ ' $> $=
C œ $=
D œ">=
Ejemplo: Obtenga la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos T Ð"ß #ß &Ñ,
UÐ$ß #ß "Ñ y VÐ "ß #ß #ÑÞ
Solución:
Observación:
Un plano es un objeto bidimensional, y su ecuación, en forma vectorial o paramétrica,
requiere de dos parámetros.
12
13. Ecuación Normal de una Recta en ‘$
t t
Un punto T sobre la recta _ y dos vectores normales no paralelos 8" y 8# sirven para
$
localizar de manera única una recta _ en ‘ , puesto que _ debe ser entonces la recta a través
t t t t
de T que es perpendicular al plano con ecuación B œ : =8" >8# Þ De esta forma, una recta
$
en ‘ también puede estar especificada por un par de ecuaciones
+ " B ," C - " D œ . "
+# B ,# C -#" D œ .#
Cada una correspondiendo a cada vector normal. Pero ya que estas ecuaciones corresponden a
un par de planos no paralelos, esta es precisamente la descripción de una línea recta como la
intersección de dos planos no paralelos.
Ecuaciones de rectas en ‘#
Forma Normal Forma General Forma Vectorial Forma Paramétrica
œ C œ : >.
t B œ :" >."
t t t t
8†Bœ8†: +B ,C œ - t t
B œ : >.
# #
Ecuaciones de Rectas y Planos en ‘$
Ú B œ : >.
Forma Normal Forma General Forma Vectorial Forma Paramétrica
œ8 † B œ 8 † : œ+ B , C - D œ . Û C œ :# >.#
" "
t t t t
8" † B œ 8" † :" +" B ," C -" D œ ." t
Ü D œ :$ >.$
Rectas t t
B œ : >.
t t t t
Ú B œ : =? >@
# # # # # # #
Û C œ :# =?# >@#
" " "
Ü D œ :$ =?$ >@$
Planos t t t t
8†Bœ8†: +B ,C -D œ . t t t t
B œ : =? >@
Distancia desde un Punto a una Recta
Encuentre la distancia desde el punto F œ Ð"ß !ß #Ñ hasta la línea _ pasando por el punto
Ô "×
Õ ! Ø
E œ Ð$ß "ß "Ñ con vector de dirección .tœ " Þ
t
Solución: Se debe calcular la longitud de T F , donde T es el punto sobre _ que se ubica al
t t t
pie de la perpendicular desde F . Si denotamos @ œ EF , entonces ET œ :<9C. Ð@Ñ yt
t
T F œ @ @ :<9C. Ð@ÑÞ Haremos los cáculos necesarios en varios pasos.
Ô"× Ô$× Ô #×
Õ#Ø Õ"Ø Õ " Ø
Paso 1: @ œ EF œ t + œ ! " œ "
t t , t
13
14. Ô "×
Paso 2: La proyección de @ sobre . es proy. Ð@Ñ œ Š .†. ‹. œ
Õ ! Ø
t t t
.†@ t "
t t t t " Þ #
Ô #× Ô # × Ô # ×
Paso 3: El vector que queremos es t :<9C. Ð@Ñ œ " Ö " Ù œ Ö $ Ù
" $
Õ " Ø Õ ! Ø Õ "# Ø
@ t #
Ô #×
Paso 4: La distancia .ÐFß _Ñ desde F hasta _ es ll@ proy. Ð@Ñll œ ººÖ $ Ùºº œ " È##Þ
$
Õ " Ø
t t # #
t t
En términos de la notación anterior, .ÐFß _Ñ œ .Ð@ß :<9C. Ð@ÑÑÞ
En el caso donde la línea _ está en ‘# y su ecuación tiene la forma general +B ,C œ -ß la
È+# ,#
distancia .ÐFß _Ñ desde FÐB! ß C! Ñ está dada por la fórmula .ÐFß _Ñ œ l+B! ,C! -l Þ
Distancia desde un Punto a un Plano
Ejemplo: Determine la distancia desde el punto F œ Ð"ß !ß #Ñ hasta el plano c cuya ecuación
general es B C D œ "Þ
Ò
Solución: En este caso se debe calcular la longitud de T F , donde T es el punto sobre c que
se encuentra al pie de la perpendicular desde FÞ Como lo muestra la figura.
14
15. Ô " ×
Õ "Ø
Si E es cualquier punto sobre c y situamos el vector normal 8 œ t " de c de modo que
Ò
su cola se localice en Eß entonces, se requiere hallar la longitud de la proyección de AB sobre
t.
8 De nuevo, se harán los cálculos necesarios por pasos.
Paso1: Por ensayo y error encontramos cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan la
ecuación B C D œ "Þ E œ Ð"ß !ß !Ñ lo hace.
Ô"× Ô"× Ô!×
Õ#Ø Õ!Ø Õ#Ø
Paso 2: Establezca @ œ EF œ t + œ
t t , t ! ! œ ! Þ
t t
Paso 3: La proyección de @ sobre 8 es
Ô " × Ô
#×
Ô " ×
T <9C8 Ð@Ñ œ Š 8†8 ‹8 œ "†!"†!"†# ‹ † œÖ $Ù
$
Õ "Ø Õ "Ø Õ # Ø
t t
@†8 #
t t t t t ""Ð"Ñ#
" œ #
$
"
Ô " ×
$
Paso 4: La distancia .ÐFß c Ñ desde F hasta c es llproy8 Ð@Ñ œ l # l ¿ " ¿ œ # È$
Õ "Ø
t t $ $
En general, la distancia .ÐFß c Ñ desde el punto F œ ÐB! ß C! ß D! Ñ hasta el plano cuya ecuación
general es +B ,C -D œ . está dad por la fórmula
È+# ,# - # Þ
l+B! ,C! -D! .l
.ÐFß c Ñ œ
15