EJERCICIOS RESUELTOS

1. INTEGRANTE: LEIDY J. BUITRAGO.
C.I.24.722.309
SECCION:SAIA-A
PROF: ADRIANA BARRETO

2. Ejercicios Propuestos
a) Matriz de adyancencia.
b) Matriz de incidencia.
c) Es conexo?. Justifique su respuesta.
d) Es simple?. Justifique su respuesta.
e) Es regular?. Justifique su respuesta.
f) Es completo? Justifique su respuesta.
g) Una cadena simple no elemental de grado 6.
h) Un ciclo no simple de grado 5.
i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor.
j) Subgrafo parcial.
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.
l) Demostrar si es hamiltonianos.
Dado el siguiente grafo, encontrar:
Ejercicio 1; DETERMINAR:

3. Soluciones:
a) Matriz Adyacencia: Se determinará si los vértices son adyacentes, mediante las aristas.
Pasos:
1) Realizar una Tabla con los N cantidad de vértices que posee el Grafo, tanto en las filas
como las columnas.
2) Se buscan las relaciones adyacentes o incidencias que lleguen a un mismo vértices.
2.1) Lazos o aristas paralelas tienen valor de 2.
2.2) Incidencias o relaciones en los vértices tienen valor de 1.
2.3) Si no hay incidencias ni relación alguna, se coloca el valor de 0.
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 0 0 1 1 1
V2 1 0 1 1 1 0 1 0
V3 1 1 0 1 1 0 1 1
V4 1 0 1 0 1 0 0 1
V5 1 0 1 1 0 1 0 1
V6 1 1 0 0 1 0 1 1
V7 0 1 1 0 0 1 0 1
V8 0 1 1 1 1 1 1 0

4. b) Matriz Incidencia: Se determinará si los vértices son adyacentes, mediante las aristas.
Pasos:
1) Realizar una Tabla con los N cantidad de vértices y N cantidad de aristas que posee el
Grafo. En las filas se colocan los vértices y el columnas se colocan las aristas.
2) Se buscan las relaciones o incidencias entre vértices y aristas.
2.1) Lazos o aristas paralelas con respecto al vértices tienen valor de 1
2.2) Incidencias o relaciones en los vértices y aristas tienen valor de 1.
2.3) Si no hay incidencias ni relación alguna, se coloca el valor de 0.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20
V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
V6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
V7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
V8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0

5. c) ¿Es Conexo?: Es cuando existe un camino entre cualquier par de nodos.
. SI es conexo, porque en el grafo siguiente podemos ubicar varios
caminos.
Camino 1 : V2,V8,V6,V7 Camino 2 : V1,V4,V3
Camino 3 : V1,V3,V2

6. d) ¿Simple?: Es cuando un
grafo no contiene lazos, ni
aristas paralelas, ni aristas
dirigidas.
NO es simple,
porque en el grafo
contiene aristas paralelas,
falla una condición, por
ende ya es no simple.
Ejemplos de aristas
paralelas, lazos y aristas
dirigidas.
Aristas paralelas y lazos.
Por Ender
El Grafo “NO ES SIMPLE”
Grafo con sus
vértices y aristas
Se Obtiene
Aristas paralelas y dirigidas.

7. e) ¿Regular?: Es un grafo donde cada vértice tiene el mismo grado o valencia.
Grado de un vértice es: El número de aristas que inciden en el vértice.
Los grados o valencia del grafo se calculan así:
1) Ubicamos la tabla de incidencia del grafo, que nos indicará la cantidad de aristas que
inciden en cada vértice para ubicar su grado y se suman todas las aristas correspondiente
a cada vértice
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20
V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
V6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
V7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
V8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
=5
=5
=5
=5
=4
=4
=6
=6
GRADOS
Son
difere
ntes
los
grado
s, de
acuer
do a
la
suma
de las
arista
s.
No es regular, porque los vértices tienen distintos grados o valencias.

8. f) ¿Completo?: Es aquel grafo con N vértices, en las que existe únicamente una arista por cada
par de vértices. No hay aristas paralelas o sub. grafos.
No posee aristas paralelas ni
sub. grafos.
Posee aristas paralelas y sub.
Grafos, como lo hemos
demostrado anteriormente.
De esta manera, podemos decir que NO es Completo,
porque posee aristas paralelas y más de una arista por cada par de
vértices, dando origen a los sub. Grafos.
N
O
E
S
G
R
A
F
O
C
O
M
P
L
E
T
O
G
R
A
F
O
C
O
M
P
L
E
T
O

9. g) Una cadena simple no elemental de grado 6: Es una cadena con todas sus
aristas distintas.
1) Ubicamos la Matriz de Incidencia para ubicar una cadena no elemental de
grado 6: Tenemos dos de grado 4 con el vértice V4 y V7.
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
1
0
a
1
1
a
1
2
a1
3
a
1
4
a
1
5
a
1
6
a1
7
a
1
8
a19 a2
0
V
1
1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V
2
1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V
3
0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
V
4
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
V
5
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
V
6
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
V
7
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
V
8
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
=4
=4
GRADOS
De esta manera
describimos una
cadena simple
que no sea de
grado 6

10. h) Demostrar un ciclo no simple de grado 5:
Ciclo simple es: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple.
Ciclo no simple: Es un ciclo que no es una cadena simple.
No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del
grafo. No hay cadenas no simples de ningún grado.
i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor
Paso 1: Elegir S1=V1, y coloca H1= {V1}
Paso 2: Se elige a a4 que conecta a V1 con V4 y se coloca H2= {V1,V4]
V4
V1
a4

11. V4
V1
V7
a15
Paso 3: Se elige la arista a15 que conecta V4 con V7 y se coloca H3={V1,V4}.
a4
Paso 4: Se elige la arista a 17 que conecta V7 con V5 y se coloca H4={V1,V4,V7,V5}
a4
V1
a15
V7
V4
a17
V5

12. Paso 5: Se elige la arista 19 que conecta V5 con V8 y se coloca H5={V1, V4, V7, V5,V8}
V1
a4
V4
a15
V7
a17
V5
a5
V8
Paso 6: Se elige la arista a20 que conecta V8 con V6 y se coloca H6={V1,V4,V7,V5,V8,V6}.
V1
a4
V4
a15
V7
a17
V5
a5
V8
a19
V6

13. Paso 7: Se elige la arista a10 que conecta V6 con V2 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6, V2}
V1
a4
V4
a15
V7
a17
V8
V5
a19
V6
a19
a10
V2
a4
Paso 8: Se elige la arista a3 que conecta V2 con V3 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6,
V2,V3}. Obteniendo de esta manera el siguiente árbol generador.
V1
V4
V7
V5
V8
V6
V2
a15
a17 a19 a19
a10
V3
a3

14. j) Subgrafo parcial
Camino 1 : V2,V8,V6,V7 Camino 2 : V1,V4,V3.
Camino 3 : V1,V3,V2.

15. k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury: el grafo no es auleriano
debido a que no es posible la construcción de un siclo euleriano, ya que no todos los
vertices tienen grado par.
l) Demostrar si es hamiltonianos: el numero de vértices que posee el grafo es 8, el grado
de V1 es Gr(V1) ≥ 4, el de V2 es Gr (V2) ≥ 4, el de V8 es Gr(V8) ) ≥ 4, además ser un grafo
simple, por lo tanto es grafo halmitoniano. En la siguiente figura podremos ver un ciclo
hamiltoniano.

16. Ejercicio 2; DETERMINAR:
Dado el siguiente dígrafo encontrar:
a) Encontrar matriz de conexión
b) ¿Es simple?. Justifique la respuesta.
c) Encontrar una cadena no simple no
elemental de grado 5.
d) Encontrar un ciclo simple.
e) Demostrar si es fuertemente conexo
utilizando la matriz de accesibilidad.
f) Encontrar la distancia de V2 a los
demás vértices utilizando el
algoritmo de dijkstra.
Ejercicios Propuestos

17. a) Encontrar matriz de conexión: En la matriz se enumeran vértices y aristas.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
b) ¿Es simple?. Se puede decir que el dígrafo es simple ya que no posee ni arcos ni lazos
paralelos , falla una condición, por ende ya es no simple.
Aristas paralelas y lazos. Aristas paralelas y dirigidas.

18. POR ENDE El Grafo No Es Simple
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5.
Cadena simple: Es aquella que no repite aristas.
Cadena Elemental: Es aquella que no repite vértices.
ACLARATORIA:
Para llegar una conclusión. Cadena no simple no elemental: Es aquella que repite
vértices y artistas. No se puede ubicar ninguna, ya que no es doblemente
dirigidos para realizar en camino para repetir ambas.

19. a1
a2
a8
d) Encontrar un ciclo simple: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple.
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.

20. f) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de dijkstra.
Pasos:
1) Ubicar el vértice de inicio.
2) Luego ubicar los vértices mas cercanos al V2 para estudiarlo, lo que este
directamente a él.
3) Agregar etiquetas a cada vértice estudiado, la misma se realiza así:

21. Símbolo de la Iteración
o estudio de distancia.
Ponderación de la arista + lo que precede.
Vértice Estudiado
(1,1 ) # de la iteración
4) Luego colocar la ponderación de la arista + la ponderación de la etiqueta anterior
que esta directamente al vértice estudiado.
5)Colocara al lado de la etiqueta el numero de iteración que se esta realizando.
6) Luego se estudian las distancias y se escoge la menor, si hay 2 igual se escoge
cualquiera de la dos.

22. dv2 a v1: 2
dv2 a V3: 3
dv2 a V5: 3
dv2 a v4: 4
dv2 a v6: 3