Este documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de estadística, incluyendo definiciones de población, muestra, variable estadística y diferentes tipos de variables. También explica cómo construir tablas de frecuencias para organizar y resumir datos estadísticos, incluyendo tablas de frecuencias simples y agrupadas.
Carletti, Graciela María - Dires y diretes... directores de escuelas. -
1a ed. - San Luis : Nueva Editorial Universitaria - U.N.S.L., 2012.
..."Partiendo del supuesto de que la calidad educativa depende de la calidad del trabajo docente, para que las escuelas sean lugares en los cuales los alumnos estén bien, también deben ser lugares en los que los maestros estén bien. De tal modo, si los maestros no aceptan o no entienden, o no les gusta un cambio, o no están de acuerdo con él, el cambio se implantará de forma incompetente o, tal vez nunca llegue a implementarse. (Hardgreaves, A, 2000)"...
PARA LA INTERVENCIÓN EDUCATIVA EN SITUACIONES COMPLEJAS RELACIONADAS CON LA VIDA ESCOLAR
Coordinación de Materiales Educativos
Coordinador: Gustavo Bombini
Responsable de Publicaciones: Gonzalo Blanco
Corrección: Cecilia Pino
Diseño y diagramación: Paula Salvatierra
Aprobada por Resolución N° 217 del Consejo Federal de Educación el 15 de abril de 2014.
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1a ed. - San Luis : Nueva Editorial Universitaria - U.N.S.L., 2012.
..."Partiendo del supuesto de que la calidad educativa depende de la calidad del trabajo docente, para que las escuelas sean lugares en los cuales los alumnos estén bien, también deben ser lugares en los que los maestros estén bien. De tal modo, si los maestros no aceptan o no entienden, o no les gusta un cambio, o no están de acuerdo con él, el cambio se implantará de forma incompetente o, tal vez nunca llegue a implementarse. (Hardgreaves, A, 2000)"...
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Coordinación de Materiales Educativos
Coordinador: Gustavo Bombini
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Corrección: Cecilia Pino
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Die Goldfischstrategie: 1% Wareneinsatz – 100% Begeisterung - Marcus Smola, B...Vorname Nachname
Vortrag von Marcus Smola, Geschäftsführer, Best Western Hotels Deutschland GmbH in Eschborn
Veranstaltung: Loyalty Kongress 2014
Datum: 05/06 Februar 2014
Ort: Barceló City Center Köln
http://www.managementforum.com/
Seit 1973 stellt Lizarte wiederaufbereitete Ersatzteile her und bietet einen großen Katalog an Lenkungen, Lenkpumpen, Klimaanlagen, Citroën-Federkugeln, Diesel-Injektion und Steuergeräten.
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Schnittstellen zu bestehenden PMS und Buchhaltungssystemen
Automatisierte Planungsfunktionen
Detaillierte Personal- und Lohnkostenplanung
Flexible Kostenstellen-Struktur nach Uniform System of Accounts
Excel-Berichtswesen und flexibler Kontenrahmen
Durch den Einsatz unserer Software ist 100 % Datenparität durch vordefinierte Abläufe und Schnittstellen zu Ihrer Buchhaltungssoftware gewährleistet. Fehlerquellen in komplexen Excel Sheets gehören der Vergangenheit an und wichtige Zeitressourcen werden geschont.
Manual de apoyo psicológico para padres de niños y adolescentes con diabetes tipo 1
Autora: Olga Sanz Font. Con la colaboración de la Unidad de Diabetes Pediátrica. Hospital Universitario Ramón y Cajal
..."La manera de recibir y asumir la diabetes al diagnóstico puede influir en cómo vuestro hijo evolucionará respecto a su diabetes y es por ello que escribo este pequeño manual, para poder echaros un cable en esta tarea en la que ahora os encontráis."...
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1. Estadística
Def i ni ción de Est adí st i ca
La Est ad í st i ca trat a del r ecuent o, or denación y cla sif icació n de los
dat os obt enidos p or las ob ser vacio nes, par a poder h acer com par acion es y
sacar conclusi on es.
Un est ud i o est adíst i co const a de las siguie nt es f ases:
Recog ida de dat os.
O r ganización y r epr esent ación de d at os.
Anál isis de dat os.
O bt ención de conclusio nes .
Concept os de Es t adí st i ca
Pobl aci ón
Una po b l aci ón es el co nj unt o de t odos los elem ent os a l os que se
som et e a un est udio est adí st ico.
Ej em plo: Conj un t o de t odos lo s alum n os de s ecundar i a de la
Com unid ad de M adr id.
I ndi vi duo
Un i ndi viduo o uni dad est adí st i ca es cada uno de lo s elem ent os que
com pone n la pobl ación.
Ej em plo: Cada un o de los alum nos de secun dar ia de la C om un idad de
M adr id.
1
2. M uest ra
Una mu est ra es un con j unt o r epr esent at ivo de l a pob lac ión d e
r ef er encia, el núm er o de in divid uos de una m uest r a es m enor que el de la
poblac ió n.
Ej em plo: De ent r e t odos l os alum n os de se cundar ia de la Co m unidad
de M adr id escoge m os los de Hum anes.
M uest reo
El m uest reo es la r eunión de dat os que se desea est udiar , obt enido s
de una pr opor ción r educida y r epr esent at iva de la pob lació n.
Val or
Un val or es cad a uno d e los po sibles r e sult ados que se puede n
obt ener en un e st udio e st adí st ico. Si l a nzam os una m on eda a l a ir e 5
vec es podem os obt ener dos valor es: car a y cr uz.
Dat o
Un d at o es cada uno d e lo s valor es que se ha obt en i do a l r ea lizar u n
est udio est adí st ico. Si lanzam os una m oneda al ai r e 5 veces un posib l e
valor ser á : car a, car a, cr uz, car a, cruz.
Var i abl e est adí st ica
Def i ni ción de vari abl e
Una vari abl e est adí st i ca es cada una d e las c aract erí st i cas o
cual i dades que podem os est udiar en los in di vi duos de una pobl aci ón .
2
3. Ti pos de vari abl e est adí sti cas
Var i abl e cual i t at iva
Las var i abl es cual i t at ivas se r ef ier en a c aract erí st i cas o
cual i dades que n o pueden ser m edidas con números . Podem os dist in guir
dos t ipos:
Var i abl e cual i t at iva nomi nal
Una va ri abl e cual i t at iva nomi nal present a modal i dades no
num ér i cas que no adm it en un cri teri o de orden . Por ej em plo:
El est ad o civ il, con l a s sigui ent e s m odal i dades: s olt er o, casado,
separ ado , divor ciado y viudo.
Var i abl e cual i t at iva ordi nal o variabl e cuasi cuant i tat i va
Una v a ri abl e cual i t at iva ordi nal pr esent a modal i dades no
núm er i cas , en las que exi st e un orden . Por ej em plo:
La not a en un e xa m en: suspenso, apr obado, not able, sobr esali ent e.
Puest o consegu id o en una pr ueba d epor t iva: 1º, 2º, 3º, .. .
M edallas de una pr ueba de por t iva: or o, plat a, br once.
Var i abl e cuant i t ati va
Una vari abl e cua nt i t ati va es la qu e se e xpr esa m edi ant e un núm er o ,
por t ant o se p ued en r eal iz ar o pera ci ones a ri t méti cas con el l a. Pode m os
dist ingu ir dos t ipos:
Var i abl e di scret a
Una v ari abl e di scret a es aque lla que t o m a val ores ai sl ados , es
decir no adm it e val ores i nt ermedi os ent r e dos val or es esp ecí f icos. Por
ej em plo:
3
4. El nú m er o de her m anos de 5 am igos: 2, 1, 0, 1, 3.
Var i abl e cont i nua
Una v ari abl e con t i nua es aquel la q ue , al m e nos t eór i cam ent e, puede
adm it ir inf init os val ores ent re dos números dados. Por ej em plo:
La alt ur a de los 5 am igos: 1. 73, 1. 82, 1. 77, 1. 69, 1. 75.
En la pr á ct ica m edim os la alt ur a con dos de cim ales, per o t am bién s e
podr í a dar con t res decim ales, cuat r o, et c.
Tabl as de est adí st i ca
Fr ecuen ci a absol ut a
La f r ecuenci a a bsol ut a es el nú mero de veces que apar ece un
det er m inado val or en un est udio est adí st ico.
Se r epr esent a por f i .
La suma de l as f recuenc i as absol ut as es igual al núm er o t ot al de
dat os, que se r epresent a por N.
Par a in di car r esum idam en t e est as sum as se ut il iza la l et r a gr iega Σ
( sigm a mayúscula ) que se lee sum a o sum at or ia.
Fr ecuen ci a rel at iva
La f r ecu enci a rel at i va es el c oci e nt e ent r e la f recu enci a ab sol ut a
de un det er m inado valor y el número t ot al de dat os .
Se puede expr esar en t ant os por cient o y se repr esent a por h i .
4
5. 𝑓𝑖
ℎ𝑖 =
𝑁
La sum a de las f r ecuencias r elat ivas es igual a 1.
Fr ecuen ci a acumul ada
La f r ecu enci a ac umul ada es la su ma de l a s f recue nci as ab sol ut as
de t odos los val ores i nf eriores o i gual es al val or consider ad o.
Se r epr esent a por F i .
Fr ecuen ci a rel at iva acumul ada
La f r ecu enci a rel at i va ac umul ada es el co ci ent e e nt r e la f recuenci a
acum ul ada de u n det er m inado v a l or y el número t ot al de dat os . Se
puede e xpr esar en t ant os por cient o. Se r epr esent a por H i .
Di st r i buci ón de frecuenci as
La di st ri buci ón d e f recu enci as o t abl a de f recu enci as es una
or denaci ón en f or m a de tabl a de los dat os est adí st i cos , asigna nd o a
cada dat o su f recuenci a correspo ndi ent e .
Ej em pl o
Dur ant e el m es de j ul i o, en u na ciu da d se h a n r egist r ado l as
sigui ent e s t em perat ur as máxim as:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30,
30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la pr i m er a colum na de la t abla colocam o s la var i able or d enada de
m enor a m ayor , en l a segunda hacem os el r ecuent o, en la t er cer a
anot am os la f r ecuencia a bsolut a, en la s ig uient e l a absolut a acum ula da, y
a cont inu ación la f r ecuenci a r elat iva y la acum ulada.
5
6. xi Recuent o fi Fi hi Hi
27 I 1 1 0. 032 0. 032
28 II 2 3 0. 065 0. 097
29 6 9 0. 194 0. 290
30 7 16 0. 226 0. 0516
31 8 24 0. 258 0. 774
32 III 3 27 0. 097 0. 871
33 III 3 30 0. 097 0. 968
34 I 1 31 0. 032 1
31 1
Est e t ipo de t abl as de f recuenci as se ut iliza con vari abl es
di scr et as .
Di st ri buci ón de frecuenci as agrup adas
La di st ri buci ón de f recuenci as agrupa das o t abl a co n dat os
agr upad os se e m plea s i las var i abl es t om an un número grande de
val or es o la vari abl e es cont i nua .
6
7. Se agrup an los va l ores en i nt erval os que t en gan la mi sma ampl i t ud
denom in ados cl ases . A cada cl ase se le a signa su f recu enci a
cor r espo ndi ent e .
Lí m i t e s de l a cl ase
Cada cl a se est á del i mit ada por e l l í mi t e inf eri or de l a cl ase y el
l í m it e superi or de l a cl ase .
Am pl i t ud de l a cl ase
La ampl i t ud de l a cl ase es la di f erenci a ent r e el l í mit e superi or e
i nf er i or de la cl ase .
Ma r ca d e cl ase
La m arca de cl ase es el punt o medi o de cada i nt erval o y es el val or
que r epr esent a a t odo el i nterval o par a el cál cul o de algunos
par ám et r os .
Const ru cci ón de una t abla de dat os agrupados
3, 15, 24 , 28, 33, 35, 38, 4 2, 43, 38 , 36, 34, 29, 25, 1 7, 7, 34, 36, 39,
44, 31, 2 6, 20, 11 , 13, 22, 27, 47, 39, 37, 3 4, 32, 35 , 28, 38, 41, 48, 15,
32, 13.
1º se l oc aliza n lo s valor es m enor y m ayor de la dist r ibuci ón. En est e
caso son 3 y 48.
2º Se r e st an y se busca un núm e r o ent er o un po co m ayor que la
dif er enci a y que sea divis ible p or el núm er o de int er valos de quer a m os
poner .
Es conve nient e qu e el núm er o de int er valos oscile en t r e 6 y 15.
En est e c aso, 48 - 3 = 45, i ncr em ent am os el núm er o h ast a 50 : 5 = 10
int er valo s.
7
8. Se f or m an los int er valos t enien do pr esent e que el l í m it e infer ior de
una clas e per t enece al i nt er valo, per o el lí m it e super ior no per t enec e
int er valo, se cuent a en el siguient e i nt er valo.
ci fi Fi hi Hi
[ 0, 5) 2. 5 1 1 0. 025 0. 025
[ 5, 10) 7. 5 1 2 0. 025 0. 050
[ 10, 15) 12. 5 3 5 0. 075 0. 125
[ 15, 20) 17. 5 3 8 0. 075 0. 200
[ 20, 25) 22. 5 3 11 0. 075 0. 2775
[ 25, 30) 27. 5 6 17 0. 150 0. 425
[ 30, 35) 32. 5 7 24 0. 175 0. 600
[ 35, 40) 37. 5 10 34 0. 250 0. 850
[ 40, 45) 42. 5 4 38 0. 100 0. 950
[ 45, 50) 47. 5 2 40 0. 050 1
40 1
8
9. Di agrama de barras y pol í gonos de f recuenci as
Di ag rama de barras
Un di ag rama de barras se ut iliza pa r a de pr esent ar dat os
cual i t at ivos o dat os cuant i t ati vos de t i po di scret o .
Se r epr esent an sobr e unos ej es de coor denadas , en el ej e de
absci sas se colo can los val ores de l a vari abl e , y sobr e el ej e de
or den ad as las f recuenci a s absol ut as o relat i vas o acumul adas .
Los dat os se r epr esent an m ediant e barras de u na al t ur a
pr opor ci onal a la f recuenci a .
Ej em pl o
Un est ud io hec ho al conj u nt o de lo s 20 al u m nos de una cl a se par a
det er m inar su gr upo sangu í neo ha dado el si guient e r esult ado:
G r upo
fi
sanguí n eo
A 6
B 4
AB 1
0 9
20
9
10. Pol í gonos de f recuenci as
Un pol í gono de f recuenci as se f or m a unien do los e xt remos de las
bar r as m ediant e s egment os .
Tam bién se puede r ealizar t r azando los pu nt os que r epr esen t an las
f r ecuenc i as y uniéndol os m ediant e segment os .
Ej em pl o
Las t em per at ur as en un dí a de ot oño de un a ciudad han suf r ido la s
sigui ent e s var iaciones:
Hora Tempera t ura
6 7º
9 12°
12 14°
15 11°
18 12°
21 10°
24 8°
10
11. Di agrama de sect ores
Un di ag rama de sect or es se p uede ut i lizar par a t odo t ipo de
var i ables , per o se usa f r ecuent em ent e par a las vari abl es cual i t ati vas .
Los dat o s se r epr esent an en un cí rcul o , de m odo que e l á ngul o de
cada sec t or es proporci onal a la f recuenci a absol ut a cor r espondie nt e.
El d iagr a m a cir cul ar se con st r uye con la ay ud a de un t r anspor t ador de
ángul os.
Ej em pl o
En una clase de 30 alum n os, 12 j uegan a baloncest o, 3 pr act ican la
nat ación, 4 j uegan al f út bol y el r esto no pr act ica ning ún depor t e.
Alumnos Ángulo
Baloncesto 12 124°
Natación 3 36°
Fútbol 9 108°
Sin deporte 6 72°
Total 30 360°
11
12. Hi st ogr ama
Un hi st ograma es una represent a ci ón gráf i ca de una vari abl e en
f or m a de barras .
Se ut il iza n par a v ari abl es cont i nuas o par a vari abl es di scret as , con
un gr an núm er o de dat os, y que se han agr u pado en cl ases .
En el ej e absci sas se const r uyen unos rect ángul os que t ienen por
base l a ampl i t ud del i nt erval o , y por al t ura , la f recuenci a absol ut a d e
cada i nt er val o .
La super f i ci e de cada bar ra es proporci onal a la f recuenci a de los
val or es r epr esent ados.
Pol í gono de f recuenci a
Par a con st r uir el pol í gono de f recuenci a se t om a la marca de cl ase
que coin cide con el punt o medi o de cada rect ángul o .
Ej em pl o
El peso d e 65 per sonas adu lt as vien e dado por la siguient e t abl a:
12
13. ci fi Fi
[ 50, 60) 55 8 8
[ 60, 70) 65 10 18
[ 70 , 80) 75 16 34
[ 80, 90) 85 14 48
[ 90, 100) 95 10 58
[ 100, 110) 110 5 63
[ 110, 120) 115 2 65
65
Hi st ogr am a y pol í gono de f recuenci as acumul adas
Si se r e pr esent an las f recuenci a s acum ul adas de una t abl a de
dat os agr upados se obt iene el hi st o grama de f recuenci as acumul ada s
o su cor respond ie nt e pol í gono .
13
14. Parámet ros est adí st i cos
Un p ará met ro es t adí st i co es u n n úmero q ue se ob t iene a p ar t ir de
los dat os de una di st ri buci ón est adí st i ca .
Los par ámet ros est adí st i cos sir ven par a sint et izar la inf or m ación
dada por una t abla o por una gr áf ica.
Ti pos de parámet ros est adí st i cos
Hay t r es t i pos parámet ros est adí sti cos :
De cent r alizac ión .
De posic i ón
De dispe r sión.
M edi das de cent ral i zaci ón
Nos ind ic an en t orno a qué valor ( cent r o) se dist r ibuy en l os da t os.
La m edi das de cent ral i zaci ón son:
Me di a ari t méti ca
La m edi a es el valor promedi o de la dist r ibución.
Me di ana
La m edi ana es la punt a ci ón de la esca la que separa l a m i t ad
super i or de la di st r ibució n y l a i nf eri or , es decir divide la s er ie de d at os
en dos part es i gual es .
14
15. Mo da
La m od a es el val or que má s se re pi t e en una di st r ibució n.
M edi das de posi ci ón
Las m edi das de posi ci ón divid en u n conj unt o de dat os en gr upos con
el m ism o núm er o de indiv i duos.
Par a cal cular las medi das de posi ci ón es necesa r io que l os dat os
est én or denados d e menor a ma yor .
La m edi das de posi ci ón son:
Cuar t i l es
Los cuart i l es di viden la se r ie de dat os en cuat ro partes i gual es .
Deci l es
Los deci l es divid e n la ser ie de dat os en di ez part es i gual es .
Per cent i l es
Los percent i l es divide n la ser ie de dat os en ci en part es i gual es .
M edi das de di spersi ón
Las m edi das de d i spersi ón nos i nf or m an sobr e cuán t o se ale j an de l
cent r o los valor es de la dist r ibución.
Las m edi das de di spersi ón son:
Rango o recorri do
El r ango es la di f erenci a ent r e el ma yor y el menor de los d at os de
una dist r ibución e st adí st ica.
15
16. Desvi aci ón medi a
La desv i aci ón medi a es la medi a arit mét i ca de los val or es
absol u t os de las desvi aci ones r espect o a la medi a .
Var i anza
La vari anza es la m edi a ari tmét i ca del cua drado de l as
desvi aci ones r espect o a la medi a .
Desvi aci ón t í pi ca
La desvi aci ón t í pi ca es la raí z cuadrada de la vari anza .
M oda
La m oda es el val or que t iene ma yor f recuenci a absol ut a .
Se r epr esent a por M o .
Se puede hallar la moda par a vari abl es cual i t ati vas y cuant i tat i vas .
Hal l ar la moda de la dist r ibución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en u n gr upo hay dos o vari as punt uaci one s con la mi sma
f r ecuenc i a y esa f r ecuencia es la m áxim a, la di st ribuci ón es bi modal o
m ul t i m odal , es decir , t iene vari as modas .
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M o = 1, 5, 9
Cuand o t odas la s punt uaci ones de un gr upo t ienen la mi sma
f r ecuenc i a , no hay moda .
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
16
17. Si d os p unt uaci ones ad yacent es t ienen la f recu en ci a máxi m a , la
m oda es el promedi o de las dos punt uacion es adyacent es.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4
M edi ana
Es el v a l or que ocupa e l l ugar cent ral de t odos l os dat os cuando
ést os están orden ados de menor a ma yor .
La m edi ana se r epr esent a por M e .
La m edi ana se puede hal l ar sólo par a vari abl es cuant i t ati vas .
Cál cul o de l a medi ana
1 O r denamos los dat os de menor a ma yor .
2 Si la s er ie t ien e un nú mero i mpar de medi das la medi ana es l a
punt uaci ón cent ral de la m ism a.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 M e= 5
3 Si la s er ie t ien e un nú mero pa r de punt uacion es la medi ana es l a
m edi a ent r e las dos punt uaci ones cent ral es .
7, 8, 9, 10, 11, 12 M e= 9. 5
M edi a ar i t mét ica
La m edi a ari t mét i ca es el val or o bt enido a l sum ar t odos los dat os y
di vi di r el r esult ado ent r e el número t ot al de dat os .
𝑥 es el sí m bolo de la medi a ari t méti ca .
17
18. Ej em pl o
Los peso s de seis am igos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el
peso m edio.
M edi a ari t méti ca para dat os agrupados
Si l os d at os vie nen agr upados en una t abla de f r ecuencias, la
expr es ió n de la medi a es:
Ej er ci ci o de media ari t méti ca
En un t est r ealizado a un gr upo de 42 per sonas se han obt enido las
punt uaci ones que m uest r a la t abla. Cal cul a l a punt uaci ón medi a .
xi fi xi · fi
[ 10, 20) 15 1 15
[ 20, 30) 25 8 200
[ 30, 40) 35 10 350
[ 40, 50) 45 9 405
[ 50, 60 55 8 440
18
19. [ 60, 70) 65 4 260
[ 70, 80) 75 2 150
42 1 820
O bservaci ones sobre l a medi a ari t méti ca
1 La medi a se puede hal l ar sólo par a vari abl es cuant i t at i vas .
2 La medi a es i ndependi e nt e de las ampl itudes de los i nt erval os .
3 La medi a es m uy sensibl e a las pu nt uaci ones ext re mas . Si
t enem os una dist r ibución c on los si guient es pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La m edi a es i gu al a 74 kg, que es una medi da de cent r al i zaci ón
poco r epr esent at iva de la dist r ibuci ón.
4 La medi a no se puede ca lcular si hay un in t er valo con una a mpl i t ud
i ndet er m i nada .
xi fi
[ 60, 63) 61. 5 5
[ 63, 66) 64. 5 18
[ 66, 69) 67. 5 42
19
20. [ 69, 72) 70. 5 27
[ 72, ∞ ) 8
100
En est e caso n o es po sible hal lar la m edi a por que no podem os
calcul ar la marca de cl ase de l últ im o int er valo .
Cuar t i l es
Los cuar t i l es son los t res val ores de la v ar iable q ue di vi den a un
conj unt o de dat os ordena dos en cuat ro part es i gual es .
Q 1 , Q 2 y Q 3 det erm inan lo s valor es cor r espondient es al 25 %, a l 50 % y
al 75 % d e los dat os .
Q 2 coinci de con la medi ana .
Cál cul o de l os cuart i l es
1 O r denamos los dat os de menor a ma yor .
2 Busca m os el lugar que ocupa ca da cuart i l m ediant e la expr esión .
𝑖.(𝑁+1)
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄 𝑖 = 𝑖 = 1,2,3 N= nº de dat os
4
Núm ero i mpar de dat os
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
20
21. Núm ero par de dat os
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Deci l es
Los deci l es son l os nuev e val ores que di vi den l a s er ie de d at os en
di ez par tes i gual es .
Los deci l es dan l os valor e s cor r espondi ent es al 10 %, al 20%. . . y al
90% de los dat os.
D 5 coinci de con la medi ana .
Se calcul an de f orm a sim ilar a los cuar t iles
𝑖.(𝑁+1)
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑫 𝑖 = 𝑖 = 1, 𝟐, … 𝟏𝟎 N= nº de dat os
𝟏𝟎
Percent i l es
Los perc ent i l es son los 99 val ores que di vi den la s er ie de d at os en
100 par t es i gual es .
Los perc ent i l es dan los v a lor es cor r espondi ent es al 1%, al 2 %. . . y al
99% de los dat os.
P 5 0 coinc ide con l a medi ana .
Se calcul an:
𝑖.(𝑁+1)
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑷 𝑖 = 𝑖 = 1, 𝟐, … 𝟏𝟎𝟎 N= nº de dat os
𝟏𝟎𝟎
21
22. Desvi aci ón medi a
La desv i aci ón medi a es la medi a arit mét i ca de los val or es
absol ut os de l as desvi aci ones res pect o a la medi a .
La desvi aci ón medi a se repr esent a por 𝐷 𝑥
Ej em pl o
Calc u lar la desvi a ci ón medi a de la dist r ibución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Desvi aci ón medi a para dat os agrupados
Si los d at os vienen agr upados en una t abl a de f recuenci as , la
expr es ió n de la desvi aci ón medi a es:
22
23. Ej em plo
Calcu lar la desvi a ci ón medi a de la dist r ibución:
xi fi xi · fi |x - x| |x - x| · f i
[ 10, 15) 12. 5 3 37. 5 9. 286 27. 858
[ 15, 20) 17. 5 5 87. 5 4. 286 21. 43
[ 20, 25) 22. 5 7 157. 5 0. 714 4. 998
[ 25, 30) 27. 5 4 110 5. 714 22. 856
[ 30, 35) 32. 5 2 65 10. 174 21. 428
21 457. 5 98. 57
Vari anza
La vari anza es la me di a ari t mét i ca del cua drado de l as
desvi aci ones res pect o a la m edi a de una di st r ibució n est adí st ica.
La var ian za se r epr esent a por 𝜎2.
Var i anza para dat os agrupados
23
24. Par a si m plif icar el c ál cul o de l a vari anza vam os o ut i li zar l as
sigui ent e s expr esi ones que son equi valent es a las ant er ior es.
Var i anza para dat os agrupados
Ej er ci ci os de vari anza
Cal cul ar l a vari anza de la dist r ibución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Cal cul ar l a vari anza de la dist r ibución de la t abla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[ 10, 20) 15 1 15 225
[ 20, 30) 25 8 200 5000
[ 30, 40) 35 10 350 12 250
[ 40, 50) 45 9 405 18 225
24
25. [ 50, 60 55 8 440 24 200
[ 60, 70) 65 4 260 16 900
[ 70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Propi eda des de l a vari anza
1 La v ari anza ser á siem pr e un v al or posi t i vo o c ero , en el caso de
que las p unt uacio nes sean iguales.
2 Si a t odos los val ores de la v ar iable s e les s u ma un n úmer o la
var i anza no varí a .
3 Si t odo s los val ores de l a var iabl e se mult i pli can por un númer o la
var i anz a queda mul t i pli cada por el cuadrad o de dich o número .
O bservaci ones sobre l a vari anza
1 La vari anza , al igua l que la m edi a , es un í ndice m u y sensib l e a las
punt uaci ones ext r em as.
2 En los casos que no se pued a hal l ar l a medi a t am poco ser á
posib le h allar la v ari anza .
3 La var i anza no viene e xpr esad a en l as m ism as unida des que los
dat os, ya que las desviac io nes est án elevad as al cuadr ado.
25
26. Desvi aci ón t í pi ca
La desvi aci ón t í pi ca es la raí z cuadrada de l a vari anza .
Es decir , la r aí z cuadr ad a de la m edia de los c uadr ados de las
punt uaci ones de desviac ió n.
La desvi aci ón t í pi ca se r epr esent a por σ .
Desvi aci ón t í pi ca para dat os agrupados
Par a sim plif icar el cálculo vam os o ut ilizar la s siguie n t es expr e siones
que son equiva le nt es a las ant er ior es.
Desv i aci ón t í pi ca para dat os agrupados
Ej er ci ci os de desvi aci ón tí pi ca
Calcu lar la desvi a ci ón t í pica de la dist r ibuci ón:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
26
27. Cal cul ar l a desviaci ón t í pi ca de la dist r ibuci ón de la t abla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[ 10, 20) 15 1 15 225
[ 20, 30) 25 8 200 5000
[ 30, 40) 35 10 350 12 250
[ 40, 50) 45 9 405 18 225
[ 50, 60) 55 8 440 24 200
[ 60, 70) 65 4 260 16 900
[ 70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
27
28. Propi eda des de l a desvi aci ón t í pica
1 La des vi aci ón tí pi ca será siem pr e un val or posi t ivo o cero , en el
caso de que las p unt uacio nes sean iguales.
2 Si a t odos los val ores de la v ar iable s e les s u ma un n úmer o la
desvi aci ón t í pi ca no varí a .
3 Si t odo s los val ores de l a var iabl e se mult i pli can por un númer o la
desvi aci ón t í pi ca queda mul t i pli cada por dicho número .
O bservaci ones sobre l a desvi aci ón t í pi ca
1 La de svi aci ón t í pi ca , al igu al que la m edia y la var ianza, es un
í ndice m uy sensi ble a las punt uaci ones ext r em as.
2 En los casos que no se pued a hal l ar l a medi a t am poco ser á
posib le h allar la d esvi aci ón t í pi ca .
3 Cuant a m ás pequeña sea la desvi aci ón t í pi ca m ayor ser á l a
concent r aci ón de dat os alr ededor de la medi a .
Coef i ci ent e de vari aci ón y punt ua ci ones t ípi cas
El c oef i ci ent e de vari aci ón es la r elaci ón e nt r e la d esvi aci ón t í pi ca
de una m uest ra y su medi a .
El coef i ci ent e de vari aci ón se suele expr es ar en porcent aj es :
El co ef i ci ent e de vari aci ón per m i t e com par ar las di spersi ones de
dos dist r ibucion es dist int as, siem pr e que sus medi as sean posi t i vas .
Se calcul a par a cada una de las di st r ibucio nes y los valor es que se
obt ienen se com par an ent re sí .
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29. La m a yor di spersi ón cor r esponder á al valor de l coef i ci ent e d e
var i aci ón ma yor .
Ej er ci ci o
Una dist r ibuci ón t i ene x = 140 y σ = 28. 28 y ot r a x = 150 y σ = 2 5.
¿Cuál de las dos pr esent a m ayor disper sión ?
La pr im er a dist r ibución pr e sent a m ayor d isper sión.
29