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Estadística
  Def i ni ción de Est adí st i ca

     La Est ad í st i ca trat a del r ecuent o, or denación y cla sif icació n de los
dat os obt enidos p or las ob ser vacio nes, par a poder h acer com par acion es y
sacar conclusi on es.


     Un est ud i o est adíst i co const a de las siguie nt es f ases:


     Recog ida de dat os.


     O r ganización y r epr esent ación de d at os.

     Anál isis de dat os.


     O bt ención de conclusio nes .



                                 Concept os de Es t adí st i ca


            Pobl aci ón

     Una po b l aci ón es el co nj unt o de t odos los elem ent os a l os que se
som et e a un est udio est adí st ico.


     Ej em plo:    Conj un t o    de   t odos   lo s   alum n os   de   s ecundar i a   de   la
Com unid ad de M adr id.


            I ndi vi duo

     Un i ndi viduo o uni dad est adí st i ca es cada uno de lo s elem ent os que
com pone n la pobl ación.


     Ej em plo: Cada un o de los alum nos de secun dar ia de la C om un idad de
M adr id.




                                                                                                  1
M uest ra

     Una mu est ra es un con j unt o r epr esent at ivo de l a pob lac ión d e
r ef er encia, el núm er o de in divid uos de una m uest r a es m enor que el de la
poblac ió n.


     Ej em plo: De ent r e t odos l os alum n os de se cundar ia de la Co m unidad
de M adr id escoge m os los de Hum anes.


           M uest reo

     El m uest reo es la r eunión de dat os que se desea est udiar , obt enido s
de una pr opor ción r educida y r epr esent at iva de la pob lació n.


           Val or

     Un val or es cad a uno d e los po sibles r e sult ados que se puede n
obt ener en un e st udio e st adí st ico. Si l a nzam os una m on eda a l a ir e 5
vec es podem os obt ener dos valor es: car a y cr uz.


           Dat o

     Un d at o es cada uno d e lo s valor es que se ha obt en i do a l r ea lizar u n
est udio est adí st ico. Si lanzam os una m oneda al ai r e 5 veces un posib l e
valor ser á : car a, car a, cr uz, car a, cruz.


                                Var i abl e est adí st ica



     Def i ni ción de vari abl e

     Una vari abl e est adí st i ca es cada una d e las c aract erí st i cas o
cual i dades que podem os est udiar en los in di vi duos de una pobl aci ón .




                                                                                        2
Ti pos de vari abl e est adí sti cas

Var i abl e cual i t at iva

         Las     var i abl es    cual i t at ivas     se   r ef ier en   a   c aract erí st i cas    o
   cual i dades que n o pueden ser m edidas con números . Podem os dist in guir
   dos t ipos:


           Var i abl e cual i t at iva nomi nal

         Una     va ri abl e    cual i t at iva     nomi nal    present a     modal i dades         no
   num ér i cas que no adm it en un cri teri o de orden . Por ej em plo:


         El est ad o civ il, con l a s sigui ent e s m odal i dades: s olt er o, casado,
   separ ado , divor ciado y viudo.


           Var i abl e cual i t at iva ordi nal o variabl e cuasi cuant i tat i va

         Una     v a ri abl e   cual i t at iva     ordi nal    pr esent a    modal i dades         no
   núm er i cas , en las que exi st e un orden . Por ej em plo:


         La not a en un e xa m en: suspenso, apr obado, not able, sobr esali ent e.


         Puest o consegu id o en una pr ueba d epor t iva: 1º, 2º, 3º, .. .


         M edallas de una pr ueba de por t iva: or o, plat a, br once.


Var i abl e cuant i t ati va

         Una vari abl e cua nt i t ati va es la qu e se e xpr esa m edi ant e un núm er o ,
   por t ant o se p ued en r eal iz ar o pera ci ones a ri t méti cas con el l a. Pode m os
   dist ingu ir dos t ipos:


           Var i abl e di scret a

         Una v ari abl e di scret a es aque lla que t o m a val ores ai sl ados , es
   decir no adm it e val ores i nt ermedi os ent r e dos val or es esp ecí f icos. Por
   ej em plo:



                                                                                                         3
El nú m er o de her m anos de 5 am igos: 2, 1, 0, 1, 3.


       Var i abl e cont i nua

     Una v ari abl e con t i nua es aquel la q ue , al m e nos t eór i cam ent e, puede
adm it ir inf init os val ores ent re dos números dados. Por ej em plo:


     La alt ur a de los 5 am igos: 1. 73, 1. 82, 1. 77, 1. 69, 1. 75.


     En la pr á ct ica m edim os la alt ur a con dos de cim ales, per o t am bién s e
podr í a dar con t res decim ales, cuat r o, et c.


                                  Tabl as de est adí st i ca

     Fr ecuen ci a absol ut a

     La f r ecuenci a a bsol ut a es el nú mero de veces que apar ece un
det er m inado val or en un est udio est adí st ico.


     Se r epr esent a por f i .


     La suma de l as f recuenc i as absol ut as es igual al núm er o t ot al de
dat os, que se r epresent a por N.




     Par a in di car r esum idam en t e est as sum as se ut il iza la l et r a gr iega Σ
( sigm a mayúscula ) que se lee sum a o sum at or ia.




     Fr ecuen ci a rel at iva

     La f r ecu enci a rel at i va es el c oci e nt e ent r e la f recu enci a ab sol ut a
de un det er m inado valor y el número t ot al de dat os .


     Se puede expr esar en t ant os por cient o y se repr esent a por h i .




                                                                                             4
𝑓𝑖
          ℎ𝑖 =
                     𝑁

       La sum a de las f r ecuencias r elat ivas es igual a 1.


        Fr ecuen ci a acumul ada

       La f r ecu enci a ac umul ada es la su ma de l a s f recue nci as ab sol ut as
  de t odos los val ores i nf eriores o i gual es al val or consider ad o.


       Se r epr esent a por F i .


        Fr ecuen ci a rel at iva acumul ada

       La f r ecu enci a rel at i va ac umul ada es el co ci ent e e nt r e la f recuenci a
  acum ul ada de u n det er m inado v a l or y el número t ot al de dat os . Se
  puede e xpr esar en t ant os por cient o. Se r epr esent a por H i .



Di st r i buci ón de frecuenci as

       La di st ri buci ón d e f recu enci as o t abl a de f recu enci as es una
  or denaci ón en f or m a de tabl a de los dat os est adí st i cos , asigna nd o a
  cada dat o su f recuenci a correspo ndi ent e .



        Ej em pl o

       Dur ant e el m es de j ul i o, en u na ciu da d se h a n r egist r ado l as
  sigui ent e s t em perat ur as máxim as:


       32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30,
  30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.


       En la pr i m er a colum na de la t abla colocam o s la var i able or d enada de
  m enor a m ayor , en l a segunda hacem os el r ecuent o, en la t er cer a
  anot am os la f r ecuencia a bsolut a, en la s ig uient e l a absolut a acum ula da, y
  a cont inu ación la f r ecuenci a r elat iva y la acum ulada.




                                                                                              5
xi              Recuent o             fi   Fi           hi                   Hi


                 27                       I            1     1      0. 032               0. 032


                 28                      II            2     3      0. 065               0. 097


                 29                                    6     9      0. 194               0. 290


                 30                                    7    16      0. 226               0. 0516


                 31                                    8    24      0. 258               0. 774


                 32                      III           3    27      0. 097               0. 871


                 33                      III           3    30      0. 097               0. 968


                 34                       I            1    31      0. 032                    1


                                                       31                1



      Est e      t ipo   de   t abl as         de   f recuenci as   se       ut iliza   con       vari abl es
di scr et as .




                         Di st ri buci ón de frecuenci as agrup adas

      La di st ri buci ón de f recuenci as agrupa das                          o t abl a co n dat os
agr upad os se e m plea s i las var i abl es t om an un número grande de
val or es o la vari abl e es cont i nua .




                                                                                                                6
Se agrup an los va l ores en i nt erval os que t en gan la mi sma ampl i t ud
denom in ados        cl ases .     A   cada     cl ase    se   le    a signa    su   f recu enci a
cor r espo ndi ent e .


      Lí m i t e s de l a cl ase

      Cada cl a se est á del i mit ada por e l l í mi t e inf eri or de l a cl ase y el
l í m it e superi or de l a cl ase .


      Am pl i t ud de l a cl ase

      La ampl i t ud de l a cl ase es la di f erenci a ent r e el l í mit e superi or e
i nf er i or de la cl ase .


      Ma r ca d e cl ase

      La m arca de cl ase es el punt o medi o de cada i nt erval o y es el val or
que    r epr esent a     a    t odo    el   i nterval o   par a     el   cál cul o   de   algunos
par ám et r os .



                   Const ru cci ón de una t abla de dat os agrupados


      3, 15, 24 , 28, 33, 35, 38, 4 2, 43, 38 , 36, 34, 29, 25, 1 7, 7, 34, 36, 39,
44, 31, 2 6, 20, 11 , 13, 22, 27, 47, 39, 37, 3 4, 32, 35 , 28, 38, 41, 48, 15,
32, 13.


      1º se l oc aliza n lo s valor es m enor y m ayor de la dist r ibuci ón. En est e
caso son 3 y 48.

      2º Se r e st an y se busca un núm e r o ent er o un po co m ayor que la
dif er enci a y que sea divis ible p or el núm er o de int er valos de quer a m os
poner .


      Es conve nient e qu e el núm er o de int er valos oscile en t r e 6 y 15.


      En est e c aso, 48 - 3 = 45, i ncr em ent am os el núm er o h ast a 50 : 5 = 10
int er valo s.



                                                                                                     7
Se f or m an los int er valos t enien do pr esent e que el l í m it e infer ior de
una clas e per t enece al i nt er valo, per o el lí m it e super ior no per t enec e
int er valo, se cuent a en el siguient e i nt er valo.


                            ci       fi      Fi            hi         Hi


             [ 0, 5)       2. 5      1        1          0. 025     0. 025


            [ 5, 10)       7. 5      1        2          0. 025     0. 050


           [ 10, 15)      12. 5      3        5          0. 075     0. 125


           [ 15, 20)      17. 5      3        8          0. 075     0. 200


           [ 20, 25)      22. 5      3       11          0. 075    0. 2775


           [ 25, 30)      27. 5      6       17          0. 150     0. 425


           [ 30, 35)      32. 5      7       24          0. 175     0. 600


           [ 35, 40)      37. 5     10       34          0. 250     0. 850


           [ 40, 45)      42. 5      4       38          0. 100     0. 950


           [ 45, 50)      47. 5      2       40          0. 050        1


                                    40                     1




                                                                                          8
Di agrama de barras y pol í gonos de f recuenci as

                                        Di ag rama de barras

     Un    di ag rama             de   barras   se    ut iliza    pa r a   de   pr esent ar    dat os
cual i t at ivos o dat os cuant i t ati vos de t i po di scret o .


     Se r epr esent an sobr e unos ej es de coor denadas , en el                              ej e de
absci sas se colo can los val ores de l a vari abl e , y sobr e el ej e de
or den ad as las f recuenci a s absol ut as o relat i vas o acumul adas .


     Los       dat os        se    r epr esent an    m ediant e      barras     de    u na     al t ur a
pr opor ci onal a la f recuenci a .


     Ej em pl o

     Un est ud io hec ho al conj u nt o de lo s 20 al u m nos de una cl a se par a
det er m inar su gr upo sangu í neo ha dado el si guient e r esult ado:




       G r upo
                        fi
    sanguí n eo


           A            6


           B            4


          AB            1


           0            9


                    20




                                                                                                           9
Pol í gonos de f recuenci as

     Un pol í gono de f recuenci as se f or m a unien do los e xt remos de las
bar r as m ediant e s egment os .


     Tam bién se puede r ealizar t r azando los pu nt os que r epr esen t an las
f r ecuenc i as y uniéndol os m ediant e segment os .


     Ej em pl o

     Las t em per at ur as en un dí a de ot oño de un a ciudad han suf r ido la s
sigui ent e s var iaciones:




          Hora Tempera t ura


            6           7º


            9          12°


           12          14°


           15          11°


           18          12°


           21          10°


           24           8°




                                                                                    10
Di agrama de sect ores


      Un di ag rama de sect or es se p uede ut i lizar par a t odo t ipo de
 var i ables , per o se usa f r ecuent em ent e par a las vari abl es cual i t ati vas .


      Los dat o s se r epr esent an en un cí rcul o , de m odo que e l á ngul o de
 cada sec t or es proporci onal a la f recuenci a absol ut a cor r espondie nt e.




     El d iagr a m a cir cul ar se con st r uye con la ay ud a de un t r anspor t ador de
 ángul os.


      Ej em pl o


      En una clase de 30 alum n os, 12 j uegan a baloncest o, 3 pr act ican la
 nat ación, 4 j uegan al f út bol y el r esto no pr act ica ning ún depor t e.




                Alumnos      Ángulo



Baloncesto          12         124°



 Natación           3           36°



  Fútbol            9          108°



Sin deporte         6           72°



   Total            30         360°




                                                                                            11
Hi st ogr ama


      Un hi st ograma es una represent a ci ón gráf i ca de una vari abl e en
f or m a de barras .


      Se ut il iza n par a v ari abl es cont i nuas o par a vari abl es di scret as , con
un gr an núm er o de dat os, y que se han agr u pado en cl ases .


      En el ej e absci sas se const r uyen unos rect ángul os que t ienen por
base l a ampl i t ud del i nt erval o , y por al t ura , la f recuenci a absol ut a d e
cada i nt er val o .


      La super f i ci e de cada bar ra es proporci onal a la f recuenci a de los
val or es r epr esent ados.


                              Pol í gono de f recuenci a


      Par a con st r uir el pol í gono de f recuenci a se t om a la marca de cl ase
que coin cide con el punt o medi o de cada rect ángul o .



      Ej em pl o

      El peso d e 65 per sonas adu lt as vien e dado por la siguient e t abl a:




                                                                                            12
ci     fi   Fi


  [ 50, 60)      55      8     8


  [ 60, 70)      65     10    18


  [ 70 , 80)     75     16    34


  [ 80, 90)      85     14    48


  [ 90, 100)     95     10    58


 [ 100, 110)     110     5    63


 [ 110, 120)     115     2    65


                        65




Hi st ogr am a y pol í gono de f recuenci as acumul adas

       Si se r e pr esent an las f recuenci a s acum ul adas de una t abl a de
  dat os agr upados se obt iene el hi st o grama de f recuenci as acumul ada s
  o su cor respond ie nt e pol í gono .




                                                                                 13
Parámet ros est adí st i cos


     Un p ará met ro es t adí st i co es u n n úmero q ue se ob t iene a p ar t ir de
los dat os de una di st ri buci ón est adí st i ca .


     Los par ámet ros est adí st i cos sir ven par a sint et izar la inf or m ación
dada por una t abla o por una gr áf ica.


                        Ti pos de parámet ros est adí st i cos

     Hay t r es t i pos parámet ros est adí sti cos :


     De cent r alizac ión .


     De posic i ón


     De dispe r sión.




                              M edi das de cent ral i zaci ón

     Nos ind ic an en t orno a qué valor ( cent r o) se dist r ibuy en l os da t os.


     La m edi das de cent ral i zaci ón son:


     Me di a ari t méti ca

     La m edi a es el valor promedi o de la dist r ibución.


     Me di ana

     La m edi ana es la punt a ci ón de la esca la que separa l a m i t ad
super i or de la di st r ibució n y l a i nf eri or , es decir divide la s er ie de d at os
en dos part es i gual es .




                                                                                              14
Mo da

       La m od a es el val or que má s se re pi t e             en una di st r ibució n.




M edi das de posi ci ón


       Las m edi das de posi ci ón divid en u n conj unt o de dat os en gr upos con
  el m ism o núm er o de indiv i duos.


       Par a cal cular las medi das de posi ci ón es necesa r io que l os dat os
  est én or denados d e menor a ma yor .


       La m edi das de posi ci ón son:


       Cuar t i l es

       Los cuart i l es di viden la se r ie de dat os en cuat ro partes i gual es .


       Deci l es

       Los deci l es divid e n la ser ie de dat os en di ez part es i gual es .


       Per cent i l es

       Los percent i l es divide n la ser ie de dat os en ci en part es i gual es .


                                  M edi das de di spersi ón

       Las m edi das de d i spersi ón nos i nf or m an sobr e cuán t o se ale j an de l
  cent r o los valor es de la dist r ibución.


       Las m edi das de di spersi ón son:


       Rango o recorri do

       El r ango es la di f erenci a ent r e el ma yor y el menor de los d at os de
  una dist r ibución e st adí st ica.



                                                                                           15
Desvi aci ón medi a

        La   desv i aci ón     medi a      es   la   medi a    arit mét i ca    de   los      val or es
  absol u t os de las desvi aci ones r espect o a la medi a .


        Var i anza

        La   vari anza        es     la   m edi a    ari tmét i ca    del     cua drado       de   l as
  desvi aci ones r espect o a la medi a .


        Desvi aci ón t í pi ca

        La desvi aci ón t í pi ca es la raí z cuadrada de la vari anza .


M oda


        La m oda es el val or que t iene ma yor f recuenci a absol ut a .


        Se r epr esent a por M o .


        Se puede hallar la moda par a vari abl es cual i t ati vas y cuant i tat i vas .


        Hal l ar la moda de la dist r ibución:


        2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5                  Mo= 4


        Si en u n gr upo hay dos o vari as punt uaci one s con la mi sma
  f r ecuenc i a y esa f r ecuencia es la m áxim a, la di st ribuci ón es bi modal o
  m ul t i m odal , es decir , t iene vari as modas .


        1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9                        M o = 1, 5, 9


        Cuand o      t odas   la s   punt uaci ones       de   un    gr upo    t ienen   la    mi sma
  f r ecuenc i a , no hay moda .


        2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9




                                                                                                          16
Si d os p unt uaci ones ad yacent es t ienen la f recu en ci a máxi m a , la
m oda es el promedi o de las dos punt uacion es adyacent es.


     0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8                            Mo = 4


M edi ana


     Es el v a l or que ocupa e l l ugar cent ral de t odos l os dat os cuando
ést os están orden ados de menor a ma yor .


     La m edi ana se r epr esent a por M e .


     La m edi ana se puede hal l ar sólo par a vari abl es cuant i t ati vas .


                                 Cál cul o de l a medi ana


     1 O r denamos los dat os de menor a ma yor .


     2 Si la s er ie t ien e un nú mero i mpar de medi das la medi ana es l a
punt uaci ón cent ral de la m ism a.


     2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6              M e= 5


     3 Si la s er ie t ien e un nú mero pa r de punt uacion es la medi ana es l a
m edi a ent r e las dos punt uaci ones cent ral es .


     7, 8, 9, 10, 11, 12                   M e= 9. 5


M edi a ar i t mét ica

     La m edi a ari t mét i ca es el val or o bt enido a l sum ar t odos los dat os y
di vi di r el r esult ado ent r e el número t ot al de dat os .


      𝑥   es   el   sí m bolo   de   la   medi a                ari t méti ca .




                                                                                        17
Ej em pl o

        Los peso s de seis am igos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el
  peso m edio.




                         M edi a ari t méti ca para dat os agrupados


        Si l os d at os vie nen agr upados en una t abla de f r ecuencias, la
  expr es ió n de la medi a es:




        Ej er ci ci o de media ari t méti ca

        En un t est r ealizado a un gr upo de 42 per sonas se han obt enido las
  punt uaci ones que m uest r a la t abla. Cal cul a l a punt uaci ón medi a .


                    xi        fi     xi · fi


   [ 10, 20)       15         1        15


   [ 20, 30)       25         8       200


    [ 30, 40)      35        10       350


   [ 40, 50)       45         9       405


    [ 50, 60       55         8       440




                                                                                  18
[ 60, 70)        65         4        260


 [ 70, 80)        75         2        150


                            42        1 820




                       O bservaci ones sobre l a medi a ari t méti ca


     1 La medi a se puede hal l ar sólo par a vari abl es cuant i t at i vas .


     2 La medi a es i ndependi e nt e de las ampl itudes de los i nt erval os .


     3 La medi a es m uy sensibl e a las pu nt uaci ones ext re mas . Si
t enem os una dist r ibución c on los si guient es pesos:


     65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.


     La m edi a es i gu al a 74 kg, que es una medi da de cent r al i zaci ón
poco r epr esent at iva de la dist r ibuci ón.


     4 La medi a no se puede ca lcular si hay un in t er valo con una a mpl i t ud
i ndet er m i nada .


                       xi        fi


[ 60, 63)         61. 5          5


[ 63, 66)         64. 5          18


[ 66, 69)         67. 5          42




                                                                                     19
[ 69, 72)        70. 5        27



   [ 72, ∞ )                      8



                                 100



         En est e caso n o es po sible hal lar la m edi a por que no podem os
   calcul ar la marca de cl ase de l últ im o int er valo .


Cuar t i l es


         Los cuar t i l es son los t res val ores de la v ar iable q ue di vi den a un
   conj unt o de dat os ordena dos en cuat ro part es i gual es .


         Q 1 , Q 2 y Q 3 det erm inan lo s valor es cor r espondient es al 25 %, a l 50 % y
   al 75 % d e los dat os .


         Q 2 coinci de con la medi ana .


Cál cul o de l os cuart i l es


         1 O r denamos los dat os de menor a ma yor .


         2 Busca m os el lugar que ocupa ca da cuart i l m ediant e la expr esión .

                                        𝑖.(𝑁+1)
                       𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄 𝑖 =             𝑖 = 1,2,3   N= nº de dat os
                                          4



         Núm ero i mpar de dat os

         2, 5, 3, 6, 7, 4, 9




                                                                                              20
Núm ero par de dat os

        2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9




Deci l es

        Los deci l es son l os nuev e val ores que di vi den l a s er ie de d at os en
  di ez par tes i gual es .


        Los deci l es dan l os valor e s cor r espondi ent es al 10 %, al 20%. . . y al
  90% de los dat os.

        D 5 coinci de con la medi ana .


        Se calcul an de f orm a sim ilar a los cuar t iles

                               𝑖.(𝑁+1)
              𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑫 𝑖 =             𝑖 = 1, 𝟐, … 𝟏𝟎    N= nº de dat os
                                 𝟏𝟎


                                          Percent i l es


        Los perc ent i l es son los 99 val ores que di vi den la s er ie de d at os en
  100 par t es i gual es .


        Los perc ent i l es dan los v a lor es cor r espondi ent es al 1%, al 2 %. . . y al
  99% de los dat os.


        P 5 0 coinc ide con l a medi ana .


        Se calcul an:

                               𝑖.(𝑁+1)
              𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑷 𝑖 =             𝑖 = 1, 𝟐, … 𝟏𝟎𝟎    N= nº de dat os
                                 𝟏𝟎𝟎




                                                                                              21
Desvi aci ón medi a


       La   desv i aci ón   medi a   es   la   medi a   arit mét i ca   de   los   val or es
  absol ut os de l as desvi aci ones res pect o a la medi a .


       La desvi aci ón medi a se repr esent a por 𝐷 𝑥




       Ej em pl o

       Calc u lar la desvi a ci ón medi a de la dist r ibución:


       9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18




                      Desvi aci ón medi a para dat os agrupados

       Si los d at os vienen agr upados en una t abl a de f recuenci as , la
  expr es ió n de la desvi aci ón medi a es:




                                                                                               22
Ej em plo


        Calcu lar la desvi a ci ón medi a de la dist r ibución:


                                xi     fi       xi · fi     |x - x|         |x - x| · f i


               [ 10, 15)    12. 5      3        37. 5       9. 286           27. 858


               [ 15, 20)    17. 5      5        87. 5       4. 286            21. 43


               [ 20, 25)    22. 5      7     157. 5         0. 714            4. 998


               [ 25, 30)    27. 5      4         110        5. 714           22. 856


               [ 30, 35)    32. 5      2         65        10. 174           21. 428


                                      21     457. 5                           98. 57




                                            Vari anza

        La   vari anza     es    la   me di a      ari t mét i ca     del    cua drado      de   l as
  desvi aci ones res pect o a la m edi a de una di st r ibució n est adí st ica.

        La var ian za se r epr esent a por        𝜎2.




        Var i anza para dat os agrupados




                                                                                                        23
Par a si m plif icar el c ál cul o de l a vari anza vam os o ut i li zar l as
 sigui ent e s expr esi ones que son equi valent es a las ant er ior es.




       Var i anza para dat os agrupados




       Ej er ci ci os de vari anza

       Cal cul ar l a vari anza de la dist r ibución:


       9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18




       Cal cul ar l a vari anza de la dist r ibución de la t abla:


             xi    fi    xi · fi     xi2 · fi


[ 10, 20)    15    1      15          225


[ 20, 30)    25    8      200        5000


[ 30, 40)    35   10      350        12 250


[ 40, 50)    45    9      405        18 225




                                                                                       24
[ 50, 60     55    8      440       24 200


[ 60, 70)    65    4      260       16 900


[ 70, 80)    75    2      150       11 250


                   42     1 820     88 050




                             Propi eda des de l a vari anza

       1 La v ari anza ser á siem pr e un v al or posi t i vo o c ero , en el caso de
 que las p unt uacio nes sean iguales.


       2 Si a t odos los val ores de la v ar iable s e les s u ma un n úmer o la
 var i anza no varí a .


       3 Si t odo s los val ores de l a var iabl e se mult i pli can por un númer o la
 var i anz a queda mul t i pli cada por el cuadrad o de dich o número .


                          O bservaci ones sobre l a vari anza

       1 La vari anza , al igua l que la m edi a , es un í ndice m u y sensib l e a las
 punt uaci ones ext r em as.


       2 En los casos que no se pued a hal l ar l a medi a t am poco ser á
 posib le h allar la v ari anza .


       3 La var i anza no viene e xpr esad a en l as m ism as unida des que los
 dat os, ya que las desviac io nes est án elevad as al cuadr ado.




                                                                                          25
Desvi aci ón t í pi ca


     La desvi aci ón t í pi ca es la raí z cuadrada de l a vari anza .


     Es decir , la r aí z cuadr ad a de la m edia de los c uadr ados de las
punt uaci ones de desviac ió n.


     La desvi aci ón t í pi ca se r epr esent a por σ .




     Desvi aci ón t í pi ca para dat os agrupados




     Par a sim plif icar el cálculo vam os o ut ilizar la s siguie n t es expr e siones
que son equiva le nt es a las ant er ior es.




     Desv i aci ón t í pi ca para dat os agrupados




     Ej er ci ci os de desvi aci ón tí pi ca

     Calcu lar la desvi a ci ón t í pica de la dist r ibuci ón:


     9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18




                                                                                          26
Cal cul ar l a desviaci ón t í pi ca de la dist r ibuci ón de la t abla:


             xi    fi    xi · fi    xi2 · fi


[ 10, 20)    15    1       15         225


[ 20, 30)    25    8      200        5000


[ 30, 40)    35    10     350       12 250


[ 40, 50)    45    9      405       18 225


[ 50, 60)    55    8      440       24 200


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                                                                                  27
Propi eda des de l a desvi aci ón t í pica


        1 La des vi aci ón tí pi ca será siem pr e un val or posi t ivo o cero , en el
  caso de que las p unt uacio nes sean iguales.


        2 Si a t odos los val ores de la v ar iable s e les s u ma un n úmer o la
  desvi aci ón t í pi ca no varí a .


        3 Si t odo s los val ores de l a var iabl e se mult i pli can por un númer o la
  desvi aci ón t í pi ca queda mul t i pli cada por dicho número .


                      O bservaci ones sobre l a desvi aci ón t í pi ca


        1 La de svi aci ón t í pi ca , al igu al que la m edia y la var ianza, es un
  í ndice m uy sensi ble a las punt uaci ones ext r em as.


        2 En los casos que no se pued a hal l ar l a medi a t am poco ser á
  posib le h allar la d esvi aci ón t í pi ca .


        3 Cuant a m ás pequeña sea la desvi aci ón t í pi ca m ayor ser á l a
  concent r aci ón de dat os alr ededor de la medi a .


Coef i ci ent e de vari aci ón y punt ua ci ones t ípi cas


        El c oef i ci ent e de vari aci ón es la r elaci ón e nt r e la d esvi aci ón t í pi ca
  de   una    m uest ra   y   su                  medi a .




        El coef i ci ent e de vari aci ón se suele expr es ar en porcent aj es :




        El co ef i ci ent e de vari aci ón per m i t e com par ar las di spersi ones de
  dos dist r ibucion es dist int as, siem pr e que sus medi as sean posi t i vas .


        Se calcul a par a cada una de las di st r ibucio nes y los valor es que se
  obt ienen se com par an ent re sí .




                                                                                                  28
La m a yor di spersi ón cor r esponder á al valor de l coef i ci ent e d e
var i aci ón ma yor .



     Ej er ci ci o

     Una dist r ibuci ón t i ene x = 140 y σ = 28. 28 y ot r a x = 150 y σ = 2 5.
¿Cuál de las dos pr esent a m ayor disper sión ?




     La pr im er a dist r ibución pr e sent a m ayor d isper sión.




                                                                                    29

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Estadistica apuntes

  • 1. Estadística Def i ni ción de Est adí st i ca La Est ad í st i ca trat a del r ecuent o, or denación y cla sif icació n de los dat os obt enidos p or las ob ser vacio nes, par a poder h acer com par acion es y sacar conclusi on es. Un est ud i o est adíst i co const a de las siguie nt es f ases: Recog ida de dat os. O r ganización y r epr esent ación de d at os. Anál isis de dat os. O bt ención de conclusio nes . Concept os de Es t adí st i ca Pobl aci ón Una po b l aci ón es el co nj unt o de t odos los elem ent os a l os que se som et e a un est udio est adí st ico. Ej em plo: Conj un t o de t odos lo s alum n os de s ecundar i a de la Com unid ad de M adr id. I ndi vi duo Un i ndi viduo o uni dad est adí st i ca es cada uno de lo s elem ent os que com pone n la pobl ación. Ej em plo: Cada un o de los alum nos de secun dar ia de la C om un idad de M adr id. 1
  • 2. M uest ra Una mu est ra es un con j unt o r epr esent at ivo de l a pob lac ión d e r ef er encia, el núm er o de in divid uos de una m uest r a es m enor que el de la poblac ió n. Ej em plo: De ent r e t odos l os alum n os de se cundar ia de la Co m unidad de M adr id escoge m os los de Hum anes. M uest reo El m uest reo es la r eunión de dat os que se desea est udiar , obt enido s de una pr opor ción r educida y r epr esent at iva de la pob lació n. Val or Un val or es cad a uno d e los po sibles r e sult ados que se puede n obt ener en un e st udio e st adí st ico. Si l a nzam os una m on eda a l a ir e 5 vec es podem os obt ener dos valor es: car a y cr uz. Dat o Un d at o es cada uno d e lo s valor es que se ha obt en i do a l r ea lizar u n est udio est adí st ico. Si lanzam os una m oneda al ai r e 5 veces un posib l e valor ser á : car a, car a, cr uz, car a, cruz. Var i abl e est adí st ica Def i ni ción de vari abl e Una vari abl e est adí st i ca es cada una d e las c aract erí st i cas o cual i dades que podem os est udiar en los in di vi duos de una pobl aci ón . 2
  • 3. Ti pos de vari abl e est adí sti cas Var i abl e cual i t at iva Las var i abl es cual i t at ivas se r ef ier en a c aract erí st i cas o cual i dades que n o pueden ser m edidas con números . Podem os dist in guir dos t ipos: Var i abl e cual i t at iva nomi nal Una va ri abl e cual i t at iva nomi nal present a modal i dades no num ér i cas que no adm it en un cri teri o de orden . Por ej em plo: El est ad o civ il, con l a s sigui ent e s m odal i dades: s olt er o, casado, separ ado , divor ciado y viudo. Var i abl e cual i t at iva ordi nal o variabl e cuasi cuant i tat i va Una v a ri abl e cual i t at iva ordi nal pr esent a modal i dades no núm er i cas , en las que exi st e un orden . Por ej em plo: La not a en un e xa m en: suspenso, apr obado, not able, sobr esali ent e. Puest o consegu id o en una pr ueba d epor t iva: 1º, 2º, 3º, .. . M edallas de una pr ueba de por t iva: or o, plat a, br once. Var i abl e cuant i t ati va Una vari abl e cua nt i t ati va es la qu e se e xpr esa m edi ant e un núm er o , por t ant o se p ued en r eal iz ar o pera ci ones a ri t méti cas con el l a. Pode m os dist ingu ir dos t ipos: Var i abl e di scret a Una v ari abl e di scret a es aque lla que t o m a val ores ai sl ados , es decir no adm it e val ores i nt ermedi os ent r e dos val or es esp ecí f icos. Por ej em plo: 3
  • 4. El nú m er o de her m anos de 5 am igos: 2, 1, 0, 1, 3. Var i abl e cont i nua Una v ari abl e con t i nua es aquel la q ue , al m e nos t eór i cam ent e, puede adm it ir inf init os val ores ent re dos números dados. Por ej em plo: La alt ur a de los 5 am igos: 1. 73, 1. 82, 1. 77, 1. 69, 1. 75. En la pr á ct ica m edim os la alt ur a con dos de cim ales, per o t am bién s e podr í a dar con t res decim ales, cuat r o, et c. Tabl as de est adí st i ca Fr ecuen ci a absol ut a La f r ecuenci a a bsol ut a es el nú mero de veces que apar ece un det er m inado val or en un est udio est adí st ico. Se r epr esent a por f i . La suma de l as f recuenc i as absol ut as es igual al núm er o t ot al de dat os, que se r epresent a por N. Par a in di car r esum idam en t e est as sum as se ut il iza la l et r a gr iega Σ ( sigm a mayúscula ) que se lee sum a o sum at or ia. Fr ecuen ci a rel at iva La f r ecu enci a rel at i va es el c oci e nt e ent r e la f recu enci a ab sol ut a de un det er m inado valor y el número t ot al de dat os . Se puede expr esar en t ant os por cient o y se repr esent a por h i . 4
  • 5. 𝑓𝑖 ℎ𝑖 = 𝑁 La sum a de las f r ecuencias r elat ivas es igual a 1. Fr ecuen ci a acumul ada La f r ecu enci a ac umul ada es la su ma de l a s f recue nci as ab sol ut as de t odos los val ores i nf eriores o i gual es al val or consider ad o. Se r epr esent a por F i . Fr ecuen ci a rel at iva acumul ada La f r ecu enci a rel at i va ac umul ada es el co ci ent e e nt r e la f recuenci a acum ul ada de u n det er m inado v a l or y el número t ot al de dat os . Se puede e xpr esar en t ant os por cient o. Se r epr esent a por H i . Di st r i buci ón de frecuenci as La di st ri buci ón d e f recu enci as o t abl a de f recu enci as es una or denaci ón en f or m a de tabl a de los dat os est adí st i cos , asigna nd o a cada dat o su f recuenci a correspo ndi ent e . Ej em pl o Dur ant e el m es de j ul i o, en u na ciu da d se h a n r egist r ado l as sigui ent e s t em perat ur as máxim as: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29. En la pr i m er a colum na de la t abla colocam o s la var i able or d enada de m enor a m ayor , en l a segunda hacem os el r ecuent o, en la t er cer a anot am os la f r ecuencia a bsolut a, en la s ig uient e l a absolut a acum ula da, y a cont inu ación la f r ecuenci a r elat iva y la acum ulada. 5
  • 6. xi Recuent o fi Fi hi Hi 27 I 1 1 0. 032 0. 032 28 II 2 3 0. 065 0. 097 29 6 9 0. 194 0. 290 30 7 16 0. 226 0. 0516 31 8 24 0. 258 0. 774 32 III 3 27 0. 097 0. 871 33 III 3 30 0. 097 0. 968 34 I 1 31 0. 032 1 31 1 Est e t ipo de t abl as de f recuenci as se ut iliza con vari abl es di scr et as . Di st ri buci ón de frecuenci as agrup adas La di st ri buci ón de f recuenci as agrupa das o t abl a co n dat os agr upad os se e m plea s i las var i abl es t om an un número grande de val or es o la vari abl e es cont i nua . 6
  • 7. Se agrup an los va l ores en i nt erval os que t en gan la mi sma ampl i t ud denom in ados cl ases . A cada cl ase se le a signa su f recu enci a cor r espo ndi ent e . Lí m i t e s de l a cl ase Cada cl a se est á del i mit ada por e l l í mi t e inf eri or de l a cl ase y el l í m it e superi or de l a cl ase . Am pl i t ud de l a cl ase La ampl i t ud de l a cl ase es la di f erenci a ent r e el l í mit e superi or e i nf er i or de la cl ase . Ma r ca d e cl ase La m arca de cl ase es el punt o medi o de cada i nt erval o y es el val or que r epr esent a a t odo el i nterval o par a el cál cul o de algunos par ám et r os . Const ru cci ón de una t abla de dat os agrupados 3, 15, 24 , 28, 33, 35, 38, 4 2, 43, 38 , 36, 34, 29, 25, 1 7, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 2 6, 20, 11 , 13, 22, 27, 47, 39, 37, 3 4, 32, 35 , 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13. 1º se l oc aliza n lo s valor es m enor y m ayor de la dist r ibuci ón. En est e caso son 3 y 48. 2º Se r e st an y se busca un núm e r o ent er o un po co m ayor que la dif er enci a y que sea divis ible p or el núm er o de int er valos de quer a m os poner . Es conve nient e qu e el núm er o de int er valos oscile en t r e 6 y 15. En est e c aso, 48 - 3 = 45, i ncr em ent am os el núm er o h ast a 50 : 5 = 10 int er valo s. 7
  • 8. Se f or m an los int er valos t enien do pr esent e que el l í m it e infer ior de una clas e per t enece al i nt er valo, per o el lí m it e super ior no per t enec e int er valo, se cuent a en el siguient e i nt er valo. ci fi Fi hi Hi [ 0, 5) 2. 5 1 1 0. 025 0. 025 [ 5, 10) 7. 5 1 2 0. 025 0. 050 [ 10, 15) 12. 5 3 5 0. 075 0. 125 [ 15, 20) 17. 5 3 8 0. 075 0. 200 [ 20, 25) 22. 5 3 11 0. 075 0. 2775 [ 25, 30) 27. 5 6 17 0. 150 0. 425 [ 30, 35) 32. 5 7 24 0. 175 0. 600 [ 35, 40) 37. 5 10 34 0. 250 0. 850 [ 40, 45) 42. 5 4 38 0. 100 0. 950 [ 45, 50) 47. 5 2 40 0. 050 1 40 1 8
  • 9. Di agrama de barras y pol í gonos de f recuenci as Di ag rama de barras Un di ag rama de barras se ut iliza pa r a de pr esent ar dat os cual i t at ivos o dat os cuant i t ati vos de t i po di scret o . Se r epr esent an sobr e unos ej es de coor denadas , en el ej e de absci sas se colo can los val ores de l a vari abl e , y sobr e el ej e de or den ad as las f recuenci a s absol ut as o relat i vas o acumul adas . Los dat os se r epr esent an m ediant e barras de u na al t ur a pr opor ci onal a la f recuenci a . Ej em pl o Un est ud io hec ho al conj u nt o de lo s 20 al u m nos de una cl a se par a det er m inar su gr upo sangu í neo ha dado el si guient e r esult ado: G r upo fi sanguí n eo A 6 B 4 AB 1 0 9 20 9
  • 10. Pol í gonos de f recuenci as Un pol í gono de f recuenci as se f or m a unien do los e xt remos de las bar r as m ediant e s egment os . Tam bién se puede r ealizar t r azando los pu nt os que r epr esen t an las f r ecuenc i as y uniéndol os m ediant e segment os . Ej em pl o Las t em per at ur as en un dí a de ot oño de un a ciudad han suf r ido la s sigui ent e s var iaciones: Hora Tempera t ura 6 7º 9 12° 12 14° 15 11° 18 12° 21 10° 24 8° 10
  • 11. Di agrama de sect ores Un di ag rama de sect or es se p uede ut i lizar par a t odo t ipo de var i ables , per o se usa f r ecuent em ent e par a las vari abl es cual i t ati vas . Los dat o s se r epr esent an en un cí rcul o , de m odo que e l á ngul o de cada sec t or es proporci onal a la f recuenci a absol ut a cor r espondie nt e. El d iagr a m a cir cul ar se con st r uye con la ay ud a de un t r anspor t ador de ángul os. Ej em pl o En una clase de 30 alum n os, 12 j uegan a baloncest o, 3 pr act ican la nat ación, 4 j uegan al f út bol y el r esto no pr act ica ning ún depor t e. Alumnos Ángulo Baloncesto 12 124° Natación 3 36° Fútbol 9 108° Sin deporte 6 72° Total 30 360° 11
  • 12. Hi st ogr ama Un hi st ograma es una represent a ci ón gráf i ca de una vari abl e en f or m a de barras . Se ut il iza n par a v ari abl es cont i nuas o par a vari abl es di scret as , con un gr an núm er o de dat os, y que se han agr u pado en cl ases . En el ej e absci sas se const r uyen unos rect ángul os que t ienen por base l a ampl i t ud del i nt erval o , y por al t ura , la f recuenci a absol ut a d e cada i nt er val o . La super f i ci e de cada bar ra es proporci onal a la f recuenci a de los val or es r epr esent ados. Pol í gono de f recuenci a Par a con st r uir el pol í gono de f recuenci a se t om a la marca de cl ase que coin cide con el punt o medi o de cada rect ángul o . Ej em pl o El peso d e 65 per sonas adu lt as vien e dado por la siguient e t abl a: 12
  • 13. ci fi Fi [ 50, 60) 55 8 8 [ 60, 70) 65 10 18 [ 70 , 80) 75 16 34 [ 80, 90) 85 14 48 [ 90, 100) 95 10 58 [ 100, 110) 110 5 63 [ 110, 120) 115 2 65 65 Hi st ogr am a y pol í gono de f recuenci as acumul adas Si se r e pr esent an las f recuenci a s acum ul adas de una t abl a de dat os agr upados se obt iene el hi st o grama de f recuenci as acumul ada s o su cor respond ie nt e pol í gono . 13
  • 14. Parámet ros est adí st i cos Un p ará met ro es t adí st i co es u n n úmero q ue se ob t iene a p ar t ir de los dat os de una di st ri buci ón est adí st i ca . Los par ámet ros est adí st i cos sir ven par a sint et izar la inf or m ación dada por una t abla o por una gr áf ica. Ti pos de parámet ros est adí st i cos Hay t r es t i pos parámet ros est adí sti cos : De cent r alizac ión . De posic i ón De dispe r sión. M edi das de cent ral i zaci ón Nos ind ic an en t orno a qué valor ( cent r o) se dist r ibuy en l os da t os. La m edi das de cent ral i zaci ón son: Me di a ari t méti ca La m edi a es el valor promedi o de la dist r ibución. Me di ana La m edi ana es la punt a ci ón de la esca la que separa l a m i t ad super i or de la di st r ibució n y l a i nf eri or , es decir divide la s er ie de d at os en dos part es i gual es . 14
  • 15. Mo da La m od a es el val or que má s se re pi t e en una di st r ibució n. M edi das de posi ci ón Las m edi das de posi ci ón divid en u n conj unt o de dat os en gr upos con el m ism o núm er o de indiv i duos. Par a cal cular las medi das de posi ci ón es necesa r io que l os dat os est én or denados d e menor a ma yor . La m edi das de posi ci ón son: Cuar t i l es Los cuart i l es di viden la se r ie de dat os en cuat ro partes i gual es . Deci l es Los deci l es divid e n la ser ie de dat os en di ez part es i gual es . Per cent i l es Los percent i l es divide n la ser ie de dat os en ci en part es i gual es . M edi das de di spersi ón Las m edi das de d i spersi ón nos i nf or m an sobr e cuán t o se ale j an de l cent r o los valor es de la dist r ibución. Las m edi das de di spersi ón son: Rango o recorri do El r ango es la di f erenci a ent r e el ma yor y el menor de los d at os de una dist r ibución e st adí st ica. 15
  • 16. Desvi aci ón medi a La desv i aci ón medi a es la medi a arit mét i ca de los val or es absol u t os de las desvi aci ones r espect o a la medi a . Var i anza La vari anza es la m edi a ari tmét i ca del cua drado de l as desvi aci ones r espect o a la medi a . Desvi aci ón t í pi ca La desvi aci ón t í pi ca es la raí z cuadrada de la vari anza . M oda La m oda es el val or que t iene ma yor f recuenci a absol ut a . Se r epr esent a por M o . Se puede hallar la moda par a vari abl es cual i t ati vas y cuant i tat i vas . Hal l ar la moda de la dist r ibución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4 Si en u n gr upo hay dos o vari as punt uaci one s con la mi sma f r ecuenc i a y esa f r ecuencia es la m áxim a, la di st ribuci ón es bi modal o m ul t i m odal , es decir , t iene vari as modas . 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M o = 1, 5, 9 Cuand o t odas la s punt uaci ones de un gr upo t ienen la mi sma f r ecuenc i a , no hay moda . 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9 16
  • 17. Si d os p unt uaci ones ad yacent es t ienen la f recu en ci a máxi m a , la m oda es el promedi o de las dos punt uacion es adyacent es. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4 M edi ana Es el v a l or que ocupa e l l ugar cent ral de t odos l os dat os cuando ést os están orden ados de menor a ma yor . La m edi ana se r epr esent a por M e . La m edi ana se puede hal l ar sólo par a vari abl es cuant i t ati vas . Cál cul o de l a medi ana 1 O r denamos los dat os de menor a ma yor . 2 Si la s er ie t ien e un nú mero i mpar de medi das la medi ana es l a punt uaci ón cent ral de la m ism a. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 M e= 5 3 Si la s er ie t ien e un nú mero pa r de punt uacion es la medi ana es l a m edi a ent r e las dos punt uaci ones cent ral es . 7, 8, 9, 10, 11, 12 M e= 9. 5 M edi a ar i t mét ica La m edi a ari t mét i ca es el val or o bt enido a l sum ar t odos los dat os y di vi di r el r esult ado ent r e el número t ot al de dat os . 𝑥 es el sí m bolo de la medi a ari t méti ca . 17
  • 18. Ej em pl o Los peso s de seis am igos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso m edio. M edi a ari t méti ca para dat os agrupados Si l os d at os vie nen agr upados en una t abla de f r ecuencias, la expr es ió n de la medi a es: Ej er ci ci o de media ari t méti ca En un t est r ealizado a un gr upo de 42 per sonas se han obt enido las punt uaci ones que m uest r a la t abla. Cal cul a l a punt uaci ón medi a . xi fi xi · fi [ 10, 20) 15 1 15 [ 20, 30) 25 8 200 [ 30, 40) 35 10 350 [ 40, 50) 45 9 405 [ 50, 60 55 8 440 18
  • 19. [ 60, 70) 65 4 260 [ 70, 80) 75 2 150 42 1 820 O bservaci ones sobre l a medi a ari t méti ca 1 La medi a se puede hal l ar sólo par a vari abl es cuant i t at i vas . 2 La medi a es i ndependi e nt e de las ampl itudes de los i nt erval os . 3 La medi a es m uy sensibl e a las pu nt uaci ones ext re mas . Si t enem os una dist r ibución c on los si guient es pesos: 65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg. La m edi a es i gu al a 74 kg, que es una medi da de cent r al i zaci ón poco r epr esent at iva de la dist r ibuci ón. 4 La medi a no se puede ca lcular si hay un in t er valo con una a mpl i t ud i ndet er m i nada . xi fi [ 60, 63) 61. 5 5 [ 63, 66) 64. 5 18 [ 66, 69) 67. 5 42 19
  • 20. [ 69, 72) 70. 5 27 [ 72, ∞ ) 8 100 En est e caso n o es po sible hal lar la m edi a por que no podem os calcul ar la marca de cl ase de l últ im o int er valo . Cuar t i l es Los cuar t i l es son los t res val ores de la v ar iable q ue di vi den a un conj unt o de dat os ordena dos en cuat ro part es i gual es . Q 1 , Q 2 y Q 3 det erm inan lo s valor es cor r espondient es al 25 %, a l 50 % y al 75 % d e los dat os . Q 2 coinci de con la medi ana . Cál cul o de l os cuart i l es 1 O r denamos los dat os de menor a ma yor . 2 Busca m os el lugar que ocupa ca da cuart i l m ediant e la expr esión . 𝑖.(𝑁+1) 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄 𝑖 = 𝑖 = 1,2,3 N= nº de dat os 4 Núm ero i mpar de dat os 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9 20
  • 21. Núm ero par de dat os 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9 Deci l es Los deci l es son l os nuev e val ores que di vi den l a s er ie de d at os en di ez par tes i gual es . Los deci l es dan l os valor e s cor r espondi ent es al 10 %, al 20%. . . y al 90% de los dat os. D 5 coinci de con la medi ana . Se calcul an de f orm a sim ilar a los cuar t iles 𝑖.(𝑁+1) 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑫 𝑖 = 𝑖 = 1, 𝟐, … 𝟏𝟎 N= nº de dat os 𝟏𝟎 Percent i l es Los perc ent i l es son los 99 val ores que di vi den la s er ie de d at os en 100 par t es i gual es . Los perc ent i l es dan los v a lor es cor r espondi ent es al 1%, al 2 %. . . y al 99% de los dat os. P 5 0 coinc ide con l a medi ana . Se calcul an: 𝑖.(𝑁+1) 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑷 𝑖 = 𝑖 = 1, 𝟐, … 𝟏𝟎𝟎 N= nº de dat os 𝟏𝟎𝟎 21
  • 22. Desvi aci ón medi a La desv i aci ón medi a es la medi a arit mét i ca de los val or es absol ut os de l as desvi aci ones res pect o a la medi a . La desvi aci ón medi a se repr esent a por 𝐷 𝑥 Ej em pl o Calc u lar la desvi a ci ón medi a de la dist r ibución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Desvi aci ón medi a para dat os agrupados Si los d at os vienen agr upados en una t abl a de f recuenci as , la expr es ió n de la desvi aci ón medi a es: 22
  • 23. Ej em plo Calcu lar la desvi a ci ón medi a de la dist r ibución: xi fi xi · fi |x - x| |x - x| · f i [ 10, 15) 12. 5 3 37. 5 9. 286 27. 858 [ 15, 20) 17. 5 5 87. 5 4. 286 21. 43 [ 20, 25) 22. 5 7 157. 5 0. 714 4. 998 [ 25, 30) 27. 5 4 110 5. 714 22. 856 [ 30, 35) 32. 5 2 65 10. 174 21. 428 21 457. 5 98. 57 Vari anza La vari anza es la me di a ari t mét i ca del cua drado de l as desvi aci ones res pect o a la m edi a de una di st r ibució n est adí st ica. La var ian za se r epr esent a por 𝜎2. Var i anza para dat os agrupados 23
  • 24. Par a si m plif icar el c ál cul o de l a vari anza vam os o ut i li zar l as sigui ent e s expr esi ones que son equi valent es a las ant er ior es. Var i anza para dat os agrupados Ej er ci ci os de vari anza Cal cul ar l a vari anza de la dist r ibución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Cal cul ar l a vari anza de la dist r ibución de la t abla: xi fi xi · fi xi2 · fi [ 10, 20) 15 1 15 225 [ 20, 30) 25 8 200 5000 [ 30, 40) 35 10 350 12 250 [ 40, 50) 45 9 405 18 225 24
  • 25. [ 50, 60 55 8 440 24 200 [ 60, 70) 65 4 260 16 900 [ 70, 80) 75 2 150 11 250 42 1 820 88 050 Propi eda des de l a vari anza 1 La v ari anza ser á siem pr e un v al or posi t i vo o c ero , en el caso de que las p unt uacio nes sean iguales. 2 Si a t odos los val ores de la v ar iable s e les s u ma un n úmer o la var i anza no varí a . 3 Si t odo s los val ores de l a var iabl e se mult i pli can por un númer o la var i anz a queda mul t i pli cada por el cuadrad o de dich o número . O bservaci ones sobre l a vari anza 1 La vari anza , al igua l que la m edi a , es un í ndice m u y sensib l e a las punt uaci ones ext r em as. 2 En los casos que no se pued a hal l ar l a medi a t am poco ser á posib le h allar la v ari anza . 3 La var i anza no viene e xpr esad a en l as m ism as unida des que los dat os, ya que las desviac io nes est án elevad as al cuadr ado. 25
  • 26. Desvi aci ón t í pi ca La desvi aci ón t í pi ca es la raí z cuadrada de l a vari anza . Es decir , la r aí z cuadr ad a de la m edia de los c uadr ados de las punt uaci ones de desviac ió n. La desvi aci ón t í pi ca se r epr esent a por σ . Desvi aci ón t í pi ca para dat os agrupados Par a sim plif icar el cálculo vam os o ut ilizar la s siguie n t es expr e siones que son equiva le nt es a las ant er ior es. Desv i aci ón t í pi ca para dat os agrupados Ej er ci ci os de desvi aci ón tí pi ca Calcu lar la desvi a ci ón t í pica de la dist r ibuci ón: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 26
  • 27. Cal cul ar l a desviaci ón t í pi ca de la dist r ibuci ón de la t abla: xi fi xi · fi xi2 · fi [ 10, 20) 15 1 15 225 [ 20, 30) 25 8 200 5000 [ 30, 40) 35 10 350 12 250 [ 40, 50) 45 9 405 18 225 [ 50, 60) 55 8 440 24 200 [ 60, 70) 65 4 260 16 900 [ 70, 80) 75 2 150 11 250 42 1 820 88 050 27
  • 28. Propi eda des de l a desvi aci ón t í pica 1 La des vi aci ón tí pi ca será siem pr e un val or posi t ivo o cero , en el caso de que las p unt uacio nes sean iguales. 2 Si a t odos los val ores de la v ar iable s e les s u ma un n úmer o la desvi aci ón t í pi ca no varí a . 3 Si t odo s los val ores de l a var iabl e se mult i pli can por un númer o la desvi aci ón t í pi ca queda mul t i pli cada por dicho número . O bservaci ones sobre l a desvi aci ón t í pi ca 1 La de svi aci ón t í pi ca , al igu al que la m edia y la var ianza, es un í ndice m uy sensi ble a las punt uaci ones ext r em as. 2 En los casos que no se pued a hal l ar l a medi a t am poco ser á posib le h allar la d esvi aci ón t í pi ca . 3 Cuant a m ás pequeña sea la desvi aci ón t í pi ca m ayor ser á l a concent r aci ón de dat os alr ededor de la medi a . Coef i ci ent e de vari aci ón y punt ua ci ones t ípi cas El c oef i ci ent e de vari aci ón es la r elaci ón e nt r e la d esvi aci ón t í pi ca de una m uest ra y su medi a . El coef i ci ent e de vari aci ón se suele expr es ar en porcent aj es : El co ef i ci ent e de vari aci ón per m i t e com par ar las di spersi ones de dos dist r ibucion es dist int as, siem pr e que sus medi as sean posi t i vas . Se calcul a par a cada una de las di st r ibucio nes y los valor es que se obt ienen se com par an ent re sí . 28
  • 29. La m a yor di spersi ón cor r esponder á al valor de l coef i ci ent e d e var i aci ón ma yor . Ej er ci ci o Una dist r ibuci ón t i ene x = 140 y σ = 28. 28 y ot r a x = 150 y σ = 2 5. ¿Cuál de las dos pr esent a m ayor disper sión ? La pr im er a dist r ibución pr e sent a m ayor d isper sión. 29