Este documento trata sobre estadística aplicada a las finanzas. Explica conceptos básicos de estadística descriptiva e inferencial como población, muestra, parámetro, estadístico y variables. También cubre distribuciones de probabilidad, medidas de tendencia central, variabilidad, posición y forma. Por último, analiza las relaciones entre variables a través de la covarianza y correlación, y cómo aplicar estos conceptos en la construcción de portafolios de inversión.

1. GESTIÓN FINANCIERA EMPRESARIALEstadística Aplicada a las FinanzasUniversidad de MedellínMedellín, 2010

2. INTRODUCCIÓNLa estadística es un área del conocimiento que se encarga de describir matemáticamente las características de la población a partir del estudio de un subconjunto (muestra) de ella.

3. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVALa estadística descriptiva puede definirse como aquellos métodos que incluyen la organización, presentación y caracterización de un conjunto de datos, con el fin de describir apropiadamente las diversas características de ese conjunto de datos.

4. INFERENCIA ESTADÍSTICALa inferencia estadística comprende los métodos que son usados para sacar conclusiones de la población con base en una muestra tomada de ella. Incluye los métodos de estimación de parámetros y las pruebas de hipótesis.

5. Población: Es el conjunto completo de todos los objetos que interesan a un investigador.

6. Muestra: Es un subconjunto de la población. En este subconjunto se miden y analizan las características de interés y se concluye para la población.

7. Parámetro: Es una medida numérica que describe una característica de la población.

8. Estadístico: Es la medida numérica que describe alguna característica de la muestra.Variables:Son las características de los objetos o individuos.Clasificación de las variables: Cuantitativas y cualitativas.

10. VARIABLE ALEATORIAUna variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral. Las variables aleatorias se clasifican en, discretas y continuas. Una variable aleatoria es discreta si su espacio muestral contiene un número finito o infinito contable de posibilidades. Una variable aleatoria es continua si su espacio muestral puede tomar cualquier valor en un intervalo real dado.

11. EjemplosNúmero de mensajes de correo electrónico enviados diariamente por un analista financiero.

12. Estrato socioeconómico.

13. Rentabilidad anual de los fondos de inversión de grandes empresas.

14. Precio de las acciones de una sociedad de inversión al final de cada mes.

15. Las categorías de profesores universitarios (titular, asociado, asistente, auxiliar).

16. Número de televisores vendidos en el último año.

17. Ventas trimestrales de una empresa durante seis años.

18. Número de veces que la máquina de una fábrica se daña en una semana.Distribuciones de probabilidadEn teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos o rango de valores de la variable aleatoria.

19. Distribuciones de probabilidad Distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta El conjunto de pares ordenados se llama una función de probabilidad o función de masa de probabilidad o distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta , si para cada resultado posible ,

20. Función de Distribución AcumuladaLa distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta ,denotada por se define como

21. Distribuciones de probabilidad Distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua La función es una función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua , definida en el conjunto de los números reales si,

22. Función de Distribución AcumuladaLa distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria continua , denotada por se define como:

23. EJEMPLO 1 Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de varios años. Dado que la función de distribución acumulada de , el número de años de vencimiento para un bono que se elige al azar, es¿Cuál es la distribución de probabilidad de la variable aleatoria ?Calcule

24. EJEMPLO 2Un concesionario de automotores está seguro que la función de densidad de probabilidad de demanda por carburante mensual está dada por donde corresponde a la cantidad de litros de carburante demandados en el mes.Encuentre la función de distribución acumulada de la variable aleatoria Encuentre la probabilidad de que el consumo en el mes sea de máximo 40000 litros.Encuentre la probabilidad de que el consumo en el mes sea de mínimo 30000 litros.Encuentre la probabilidad de que el consumo en el mes este entre 20000 y 35000 litros.

25. TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIASLa tabla de distribución de frecuencias es una tabla que resume la información en forma ordenada y coherente. Agrupa un conjunto de datos en intervalos de clase, en una tabla que contiene filas y columnas.

26. Intervalo de clase

27. Frecuencia absoluta

28. Frecuencia absoluta acumulada

29. Frecuencia relativa

30. Frecuencia relativa acumuladaTABLA DE FRECUENCIAS PARA LOS RENDIMIENTOS ANUALES DE LAS ACCIONES ORDINARIAS DE UNA EMPRESA

31. Histogramas y polígonos de frecuencia como estimador de la función de densidad Un histograma es un gráfico que representa la frecuencia con que ocurren las observaciones de una muestra en determinados intervalos.

32. HISTOGRAMA

33. POLIGONO DE FRECUENCIASEl polígono de frecuencias es un gráfico de líneas, que se construye uniendo los puntos medios de cada intervalo con segmentos de recta.

34. POLÍGONO

35. GRÁFICO DE BARRASEs un conjunto de barras paralelas colocadas en forma vertical u horizontal y es uno de los gráficos más simples para su elaboración; se utiliza principalmente en la presentación de datos cualitativos.

36. GRÁFICO DE BARRAS

37. GRÁFICO CIRCULAR O DE SECTORESEs un circulo que se divide en tantas partes como categorías se tengan, de manera que el área sea proporcional a la importancia relativa de cada categoría.

38. GRÁFICO CIRCULAR O DE SECTORES

39. DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE LOS DATOSMedidas de tendencia central

40. Medidas de variabilidad

41. Medidas de posición

42. Medidas de forma

43. Medidas de las relaciones entre variables

44. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALUna medida de tendencia central ubica e identifica el punto alrededor del cual se centran los datosMedia muestral: Promedio de los datos

45. Media ponderada: Es el resultado de multiplicar cada uno de los números por un valor particular para cada uno de ellos, llamado su peso, obteniendo a continuación la suma de estos productos, y dividiendo el resultado de esta suma de productos entre la suma de los pesos más la masa según la característica de cada número inicial

46. Mediana: Es la observación que ocupa el lugar central de un conjunto de observaciones ordenadas en sentido ascendente (o descendente).

47. Moda: La moda, si existe, es el valor que aparece con más frecuencia.ESPERANZA MATEMÁTICAMedia de una variable aleatoria Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x), la media o valor esperado de X se define como,

48. MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓNLas medidas de variabilidad o dispersión sirven para estudiar la representatividad del valor central; es decir, permiten determinar que tan dispersos se encuentran las posibles realizaciones.Rango

49. Rango intercuartílico

50. Varianza

51. Desviación típica

52. Coeficiente de variaciónMedidas de VariabilidadRango o recorrido: es la diferencia entre el máximo y el mínimo valor del conjunto de datos. Varianza y desviación estándar: la varianza corresponde al valor promedio de las desviaciones de la variable aleatoria con respecto a su media. El indicador más común del riesgo de un activo es la desviación estándar. Mide la dispersión de los rendimientos en torno al rendimiento promedio o esperado de un activo.

53. EJEMPLO 3Considere dos inversiones alternativas A y B, que se describen en la tabla adjunta. Obtener el rendimiento promedio y el riesgo asociado a cada activo. ¿Cuál inversión es más riesgosa?

54. Medidas de Variabilidad Coeficiente de variación: El coeficiente de variación es una medida de la dispersión relativa de los rendimientos de un activo. Es útil para comparar el riesgo de activos con diferentes rendimientos promedio o esperados. Cuanto mayor sea el coeficiente de variación, mayor será el riesgo. Entre más pequeño sea este coeficiente existirá un mejor compromiso entre riesgo y retorno. En otras palabras, menor será la volatilidad como proporción del retorno esperado.

55. EJEMPLO 4Suponga que desea seleccionar la menos riesgosa de dos inversiones alternativas X y Y. El rendimiento promedio y la desviación estándar de cada una de estas inversiones son los siguientes,

56. ESPERANZA MATEMÁTICAVarianza de una variable aleatoria Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y media , la varianza de X se define como, A la raíz cuadrada positiva de la varianza, se le llama desviación estándar o desviación típica.

57. EJEMPLO 5La tasa de retorno anual de un proyecto de inversión es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad,Halle el valor de .Si una persona invierte $50000000, calcule la utilidad esperada y su desviación estándar.La tasa de colocación (tasa a la que prestan los bancos) es del 17.5%. Un inversionista recurrirá al apalancamiento (pedir prestado para invertir) si la tasa de retorno supera en 15 puntos porcentuales a la tasa de colocación con una probabilidad de 0.6 o superior. ¿Qué decisión debe tomar el inversionista?

58. EJEMPLO 6Un contratista está interesado en conocer el costo total de un proyecto sobre el que intenta hacer una oferta. Estima que los materiales costaran 25 000 dólares y su trabajo 900 dólares diarios. Si se necesitan días para terminar el proyecto, el costo total del trabajo será de dólares. El contratista construye unas probabilidades subjetivas sobre la duración del proyecto como se indica en la tabla,Calcule la media y la desviación estándar del costo total del proyecto.

59. MEDIDAS DE POSICIÓN Cuartiles

60. Deciles

61. PercentilesMEDIDAS DE FORMAAsimetría

62. CurtosisMEDIDAS DE FORMAFrecuentemente la forma de la distribución es importante pues permite tomar decisiones de inversión entre diferentes activos o portafolios o implicará emplear modelos más o menos sofisticados para la medición del riesgo.Coeficiente de asimetría: Las medidas de asimetría son indicadores que permiten establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una distribución de probabilidad de una variable aleatoria sin tener que hacer su representación gráfica.

63. MEDIDAS DE FORMA Coeficiente de asimetríaSi A = 0, la distribución es simétrica.Si A > 0, la distribución es asimétrica hacia la derecha.Si A < 0, la distribución es asimétrica hacia la izquierda.

64. MEDIDAS DE FORMA Coeficiente de curtosis: Esta medida determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución. Por medio del Coeficiente de Curtosis, podemos identificar si existe una gran concentración de valores (Leptocúrtica), una concentración normal (Mesocúrtica) ó una baja concentración (Platicúrtica).

65. MEDIDAS DE FORMACoeficiente de CurtosisSi k = 3, la distribución es MesocúrticaSi k > 3, la distribución es LeptocúrticaSi k < 3, la distribución es Platicúrtica

66. MEDIDAS DE LAS RELACIONES ENTRE VARIABLESCovarianza: Es una medida de la relación lineal entre dos variables. Un valor positivo indica una relación lineal directa o creciente y un valor negativo indica una relación lineal decreciente. La covarianza muestral se define como, Covarianza entre dos variables aleatorias

67. Covarianza entre dos variables aleatorias Sean X y Y variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(x,y) y medias , respectivamente. La covarianza de X y Y es,

68. MEDIDAS DE LAS RELACIONES ENTRE VARIABLESCoeficiente de Correlación: Es una medida estandarizada de la relación lineal entre dos variables. Generalmente es una medida más útil, ya que indica tanto el sentido como el grado de relación. El coeficiente de correlación se calcula como,MEDIDAS DE LAS RELACIONES ENTRE VARIABLESLa diversificación implica la inclusión de distintos instrumentos de inversión en un portafolio. Para construir un portafolio de manera eficaz, se necesitan comprender los conceptos de correlación y diversificación, su relación con el riesgo y el rendimiento total del portafolio. Para reducir el riesgo general de un portafolio, es mejor combinar activos que tengan una correlación negativa (o positiva baja).La correlación es importante para reducir el riesgo, pero sólo hasta cierto punto. Un portafolio de dos activos que tienen rendimientos perfectamente correlacionados positivamente no puede reducir su riesgo general por debajo del activo menos riesgoso.Sin embargo, un portafolio que combina dos activos con una correlación positiva baja puede reducir el riesgo total a un nivel inferior al de cualquiera de sus componentes; en ciertas situaciones, puede ser igual a cero.

69. Correlación entre dos variables aleatorias Coeficiente de correlación poblacional: Es el grado de dependencia lineal entre dos variables aleatorias. Se define como,Si hay relación lineal positiva, ρ > 0 y próximo a 1.

70. Si hay relación lineal negativa ρ < 0 y próximo a –1.

71. Si no hay relación lineal ρ será próximo a 0.Rendimiento de un Portafolio El rendimiento de un portafolio de n activos se define como la suma ponderada de los retornos de cada activo, es decir, donde es la proporción del valor total en dólares del portafolio representada por el activo i.

72. Riesgo de un Portafolio La varianza de los rendimientos de un portafolio de n activos se define como donde es el vector de las participaciones relativas de cada uno de los activos dentro del portafolio, es la matriz de varianzas y covarianzas de los retornos de los activos en el portafolio. La desviación estándar del portafolio es la volatilidad o riesgo del portafolio.

73. EJEMPLO 7Considere los precios de cierre diarios de las acciones de, Grupo nacional de chocolates, Inversiones Argos e ISA, las cuales transan en la Bolsa de Valores de Colombia, en el periodo muestral que va desde el 27 de noviembre de 2007 hasta el 20 de agosto de 2010. Suponga que le piden seleccionar un portafolio de activos. Para ello, debe crear cuatro portafolios, el primero integrado por los activos de Grupo nacional de chocolates y Inversiones Argos , el segundo por Inversiones Argos y ISA, el tercero por Grupo nacional de chocolates e ISA y el cuarto compuesto por los tres activos, invirtiendo proporciones iguales de cada uno de los activos que componen los portafolios de dos acciones. Para el portafolio de tres acciones considere las proporciones que usted considere adecuadas, justificando claramente su elección.

74. EJEMPLO 8Una firma comisionista tiene 5 acciones de la empresa A y 10 de la empresa B; las variaciones de sus precios siguen el modelo de distribución de probabilidad de la tabla dada. Hallar la media, la varianza y la covarianza del portafolio W=5 X+10 Y. La firma sabe que una elevada varianza implica un elevado riesgo. Cree que el riesgo de la anterior cartera es demasiado alto, por lo que considera una cartera con menos riesgo. Por lo tanto toma dos acciones diferentes cuyos precios siguen el modelo de distribución de probabilidad dado en la tabla. Hallar la media, la varianza y la covarianza del portafolio Z=5 X+10 Y.

75. EJEMPLO 8

76. EJEMPLO 9Suponga que debe decidir entre dos inversiones alternativas para el año venidero. La primera es un fondo mutuo cuya cartera consiste en una combinación de acciones que forman parte del promedio industrial Dow Jones (X ). La segunda consiste en fondos de crecimiento (Y). Suponga que estima las ganancias siguientes (por cada 1000 dólares de inversión) con tres condiciones económicas, cada una con una probabilidad de ocurrencia dada.a) Calcular el valor esperado y la desviación estándar para cada inversión y la covarianza de las dos inversiones.b) Calcule e interprete la correlación entre X y Y .c) Hallar la media y la volatilidad del portafolio Z=0.5X+0.5Y.

77. Distribución NormalLa función de densidad de la variable aleatoria normal X, con media μ y desviación estándar σ, es,

78. Distribución NormalLa función de densidad, en el caso de la distribución Normal, tiene forma de campana :

79. Distribución NormalLa mayor parte de la masa de probabilidad (área comprendida entre la curva y el eje de abcisas) se encuentra concentrado alrededor de la media, y las ramas de la curva se extienden asintóticamente a los ejes, de modo que cualquier valor “muy alejado” de la media es posible (aunque poco probable).

80. Distribución NormalLa forma de la campana de Gauss depende de los parámetros uy s.uindica la posición de la campana (parámetro de centralización)

81. Distribución Normalses el parámetro de dispersión. Cuanto menor sea, mayor cantidad de masa de probabilidad habrá concentrada alrededor de la media

82. Distribución Normal

83. Distribución NormalComo el cálculo de esta integral es laborioso, para calcular el área se realiza el siguiente cambio de variable:

84. Distribución NormalEste cambio origina una distribución normal estándar de media μ = 0 y desviación típica σ = 1 cuya función de densidad es :

85. Distribución NormalLos parámetros μ y σ se estiman:

86. Dado que la variable aleatoria sigue una distribución normal con , encuentrea) , , y b)¿10% de los valores son menores que cuál valor de? c)¿80% de los valores se encuentran entre cuáles dos valores de (simétricos alrededor de la media)? d)¿70% de los valores están arriba de cuál valor de ?EJEMPLO 10

87. EJEMPLO 11Dado que la variable aleatoria sigue una distribución normal con , encuentrea) y b) El valor de tal que c) El valor de tal que

88. EJEMPLO 12Dada una distribución normal estándar, a) Cuál es la probabilidad de que esté entre la media y +1.08? esté entre -0.21 y la media? sea menor que -0.21 o mayor que la media? b)¿cuál es el valor de si sólo 15.87% de todos los valores posibles son menores? c)¿cuál es el valor de si sólo 15.87% de todos los valores posibles son mayores?

89. EJEMPLO 13 Una cartera de inversión contiene acciones de un gran número de empresas. El año pasado, las tasas de rendimiento de estas acciones siguieron una distribución normal que tenía una media de 12.2% y una desviación típica de 7.2%. a) ¿De qué proporción de estas empresas fue la tasa de rendimiento de más del 20 por ciento? b) ¿De qué proporción de estas empresas fue la tasa de rendimiento negativa? c) ¿De qué proporción de estas empresas fue la tasa de rendimiento de entre el 5 y el 15 por ciento? d) Encuentre la tasa de rendimiento por arriba de la cual se encuentran el 15% de las tasas de rendimiento más altas.