El documento presenta dos problemas de ingeniería de control. El primer problema involucra determinar propiedades de un sistema de control dado, incluyendo sus polos, ceros, modos controlables y observables. El segundo problema implica determinar secuencias de acción de control para llevar la salida a posiciones deseadas para un sistema discreto dado, así como diseñar un observador de estado de orden reducido.

1. Examen de Ingeniería de Control I
(25 Enero 2008)
Problemas (Total 3 puntos)
1. Dado un sistema definido por:






=
















=
















=
00023
01001
;
30
00
00
00
02
;
10000
11000
01100
00020
00002
CBA
Determinar:
a) Polos del sistema y su orden de multiplicidad.
b) Ceros del sistema indicando de que tipo son.
c) Separar el sistema en subsistemas según sus propiedades de
controlabilidad/observabilidad (descomposición de Kalman), e indicar
justificando la respuesta:
- ¿Qué modos se pueden controlar con cada entrada?
- ¿Qué modos se pueden observar con cada salida?
d) Obtener una realización mínima.
e) Obtener la matriz de transferencia del mismo.
2. Para el sistema discreto, definido por las siguientes matrices






=





=










=










−
−
−
=
00
10
,
021
100
01
00
10
,
5.010
02.01
004.0
DC
BA
Se pide:
a) Determinar la secuencia de acciones de control que permite llevar la salida a la
posición [ ]T
fy 11= a partir de un estado inicial nulo en el menor tiempo
posible.
b) Utilizando sólo una de las dos entradas, calcular la secuencia de acciones de
control que permiten llevar la salida a la posición [ ]T
y 113 = a partir de un
estado inicial nulo.
c) Diseñar un observador de orden reducido y tiempo mínimo.
d) Indicar como se diseñaría el control que minimice el índice:
( ) ( ) ( )∑
∞
=
++=
0
2
1
2
2
2
1 102
i
iuiyiyJ
e) Dibujar la estructura de control incluyendo el observador del estado.

2. Problema 1: Dado un sistema definido por:






=
















=
















=
00023
01001
;
30
00
00
00
02
;
10000
11000
01100
00020
00002
CBA
Determinar:
a) Polos del sistema y su orden de multiplicidad.
b) Ceros del sistema indicando de que tipo son.
c) Separar el sistema en subsistemas según sus propiedades de
controlabilidad/observabilidad (descomposición de Kalman), e indicar
justificando la respuesta:
- ¿Qué modos se pueden controlar con cada entrada?
- ¿Qué modos se pueden observar con cada salida?
d) Obtener una realización mínima.
e) Obtener la matriz de transferencia del mismo.
Solución:
a) Los polos del sistema son los valores propios de la matriz A. Como la matriz A aparece
en forma canónica diagonal, podemos dividirla en tres bloques de Jordan, de la
siguiente forma:
Los dos primeros bloques son de dimensión 1×1 y representan dos polos
independientes en 2, en la misma posición. Y el tercer bloque es de dimensión 3×3 y
representa un polo en 1 con orden de multiplicidad 3, ya que forman una cadena de
polos en 1 encadenados desde la misma entrada.
b) El sistema aparece en forma canónica diagonal, por lo que claramente podemos
estudiar las propiedades de controlabilidad y observabilidad de cada modo.
Así observamos que el 2º modo (polo en 2) es no controlable porque no le afecta
ninguna entrada (2ª fila de B es nula), por lo tanto será un cero de acoplamiento de
entrada. El resto de modos son controlables porque les afecta directamente una entrada
(modos 1º y 5º), o porque son afectados por otro modo que si es controlable (como
ocurre con los modos 3º y 4º).
Y analizando la observabilidad de los modos se puede ver como el 4º modo (polo en 1)
no es observable, porque ni afecta a la salida (4ª columna de C es nula) ni afecta a
ningún otro estado observable, por tanto será un cero de acoplamiento de salida. El
resto de modos si son observables porque afectan directamente a la salida (modos 1º, 2º
y 4º), o porque afectan a otro modo que si es observable (como ocurre con el 5º modo,
ya que A(4,5)≠0).
















=
10000
11000
01100
00020
00002
A

3. Por tanto tenemos un cero de acoplamiento de entrada en 2 y un cero de acoplamiento
de salida en 1. Los ceros de transmisión estarán determinados por los modos
controlables y observables, es decir por la realización mínima del sistema.
c) Separamos el sistema en 4 subsistemas de la siguiente forma:
Estos subespacios tienes las siguientes propiedades de controlabilidad- observabilidad:
- El subespacio x1 es controlable con la 1ª entrada y observable con ambas salidas.
- El subespacio x2 es no controlable y observable con la 2ª salida.
- El subespacio x4-x5 es controlable con la 2ª entrada (x5 directamente porque
depende de la entrada y x4 porque depende de x5) y observable con la 1ª salida
(x4 directamente porque influye en la salida y x5 porque influye en x4).
- El subespacio x3 es controlable con la 2ª entrada (porque depende de x4 que a su
vez es controlable) y no observable.
Por tanto podemos decir que:
- El modo que se puede controlar con la 1ª entrada es x1.
- Los modos que se pueden controlar con la 2ª entrada son x5, x4 y x3.
- Los modos que se pueden observar con la 1ª salida son x1, x4 y x5.
- Los modos que se pueden observar con la 2ª salida son x1 y x2.
d) La realización mínima estará formada por los modos controlables y observables; es
decir por los subespacios x1, x4 y x5. Por tanto eliminado las filas 2ª y 3ª de las matrices
A y B, y las columnas 2ª y 3ª de las matrices A y C obtenemos la realización mínima:






=










=










=
003
011
30
00
02
;
100
110
002
m
mm
C
BA
Ahora podemos comprobar si el sistema tiene ceros de transmisión, resolviendo el
problema del valor propio generalizado, vemos que no hay ceros de transmisión:
( )
( ) ( ) 1836
03
11
16
003
011
110
32
0003
0011
3100
0110
2
00003
00011
30100
00110
02002
=−⋅−=⋅−⋅=
−−
⋅⋅=
=
−
−−
⋅−−=−
−−
−−
=
−−
s
s
s
s
s
s
DC
BAsI
m
mm






=
















=
















=
00023
01001
30
00
00
00
02
;
10000
11000
01100
00020
00002
C
BA

4. e) La matriz de transferencia se puede obtener a partir de una realización mínima del
sistema:
( ) ( ) ( )












−
−−=⋅−⋅=
−
0
2
6
1
3
2
2
2
1
s
ssCAsIBsG mmm
También se podría haber obtenido a partir de la representación en diagrama de bloques
de las ecuaciones de estado de la realización mínima, y aplicando el teorema de
superposición para obtener las f.d.t. que relacionan cada par entrada-salida.
x1
x2x3
2
y2
1
y1
3
s-1
fdt3
1
s-1
fdt2
2
s-2
fdt1
3
Gain
2
u2
1
u1

5. Problema 2: Para el sistema discreto, definido por las siguientes matrices:






=





=










=










−
−
−
=
00
10
,
021
100
01
00
10
,
5.010
02.01
004.0
DC
BA
Se pide:
a) Determinar la secuencia de acciones de control que permite llevar la salida a la
posición [ ]T
fy 11= a partir de un estado inicial nulo en el menor tiempo
posible.
b) Utilizando sólo una de las dos entradas, calcular la secuencia de acciones de
control que permiten llevar la salida a la posición [ ]T
y 113 = a partir de un
estado inicial nulo.
c) Diseñar un observador de orden reducido y tiempo mínimo.
d) Indicar como se diseñaría el control que minimice el índice:
( ) ( ) ( )∑
∞
=
++=
0
2
1
2
2
2
1 102
i
iuiyiyJ
e) Dibujar la estructura de control incluyendo el observador del estado.
Solución:
a) En primer lugar analizamos la matriz de controlabilidad de la salida para comprobar si
la salida es controlable:
[ ]( ) 22
=⋅⋅⋅⋅⋅ BACBACBCDrango
El rango coincide con el número de salidas, por tanto la salida es controlable. Si ahora
tomamos por orden las columnas mínimas necesarias para tener una matriz de rango
completo, observamos que solo son necesarios 2 instantes para controlar la salida:
[ ]( ) 2=⋅ BCDrango
Desarrollando la ecuación de la salida en el instante 1 podemos encontrar la secuencia
de acciones de control que nos permitirá llevar la salida a la posición deseada:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) [ ]
( )
( )
( )
( )
[ ] ( ) ( )( )01
1
0
1
0
01
100111
1
xACyDBC
u
u
u
u
DBCxACy
uDuBxACuDxCy
⋅⋅−⋅⋅=











⋅⋅+⋅⋅=
⋅+⋅+⋅⋅=⋅+⋅=
−
Como hemos comprobado antes, la matriz [ ]DBCCs ⋅= es invertible, pero como no
es cuadrada calcularemos su pseudo inversa.
( ) 1# −
⋅⋅= TT
CsCsCsCs
Conocido el estado inicial ( ) [ ]T
x 0000 = y la salida final deseada ( ) [ ]T
y 112 = la
secuencia de acciones de control se calcula como:

6. ( )
( )
( )
( )
( )
( ) 











=












=





5.0
0
1
5.0
1
1
0
0
1
0
2
1
2
1
u
u
u
u
u
u
b) Comprobaremos primero con cual de las dos entradas la salida es controlable. Para ello
tomamos [ ]21 bbB = y [ ]21 ddD = y analizando la matriz de controlabilidad de la
salida con cada entrada:
[ ]( )
[ ]( ) 2
1
2
2
222
1
2
111
=⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅⋅
bACbACbCdrango
bACbACbCdrango
Se observa que únicamente podemos controlar la salida con la entrada 2.
Desarrollando la ecuación de la salida para el instante 3 y considerando únicamente la
entrada 2, podemos obtener la secuencia de control para llevar la salida a la posición
deseada:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ] ( ) ( )( )












=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
























⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=
⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅=
⋅+⋅+⋅⋅=⋅+⋅=
−
6927.0
3707.0
5931.0
3073.0
03
3
2
1
0
3
2
1
0
03
321003
322333
31
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
23
22222222
222222
xACydbCbACbAC
u
u
u
u
u
u
u
u
dbCbACbACxACy
udubCububxAAACy
udubxACudxCy
Igual que en el apartado anterior hay que calcular la psedo inversa de la matriz de
controlabilidad de la salida.
c) Para diseñar un observador de orden reducido el primer pasar será hacer una
transformación del estado T, que nos permite obtener directamente el valor de dos
estados directamente a partir de la salida y la entrada en el mismo instante de tiempo.
Con










=





=
001
021
100
001
C
T , se obtiene: ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )kTx
kx
kDuky
kz
kz
kz =




 −
=





=
12
1
Siendo el sistema transformado:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )


⋅+⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅⋅=+
−
−
kuDkzTCky
kuBTkzTATkz
1
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )









⋅





+⋅





=⋅+=
⋅










+





⋅










−
−
−−
=





+
+
=+
kukzkuDkzky
ku
kz
kz
kz
kz
kz
00
10
010
001
10
10
01
4.000
8.12.00
5.05.05.0
1
1
1
1
2
1
2
1

7. Descomponemos el sistema en dos subespacios de la siguiente forma:
( )
( )
( )
( )
( )
( )ku
B
B
kz
kz
AA
AA
kz
kz
kz ⋅





+





⋅





=





+
+
=+
2
1
2
1
2221
1211
2
1
1
1
1
El subespacio z1 se puede obtener directamente: ( ) ( ) ( )kuDkykz ⋅−=1 , y solo habrá
que estimar el subespacio z2 mediante la siguiente ecuación del observador de orden
reducido:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ1`ˆ 11211121212222 +⋅+⋅−+⋅−+⋅−=+ kzKkuBKBkzAKAkzAKAkz OOOO
La dinámica del observador está determinada por la matriz ( )1222 AKA O ⋅− .
Ajustaremos el valor de OK para fijar el polo del observador en el origen y así tener un
observador de tiempo mínimo:
( )
08.15.04.0
8.15.04.0
21
211222
=+−
=+−+=⋅−−
KK
zKKzAKAz O
Existen infinitas soluciones, por ejemplo para: 





=
0
8.0
OK
Una vez estimado z2 habrá que juntarlo en un vector con z1 real y deshacer la
transformación T para obtener el estado estimado del sistema original:
( )
( ) ( )
( ) 




 ⋅−
⋅= −
kz
kuDky
Tkx
2
1
ˆ
ˆ
d) Expresamos el índice en forma matricial:
( ) ( )[ ]
( )
( )
( ) ( )[ ]
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )∑
∑
∞
=
∞
=
⋅⋅+⋅⋅=






⋅





⋅+





⋅





⋅=
0
0 2
1
21
2
1
21
00
010
20
01
i
u
T
y
T
i
iuRiuiyQiyJ
iu
iu
iuiu
iy
iy
iyiyJ
Como TTTTT
DuCxyuDxCy ⋅+⋅=→⋅+⋅= , que podemos sustituir en el
índice:
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
∑
∞
=
∞
=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
0
0
2
2
i
TTT
i
y
TT
uy
TT
y
TT
iuMixiuRiuixQixJ
iuDQCixiuRDQDiuixCQCixJ
Con:










=⋅⋅=





=+⋅⋅=










=⋅⋅=
10
00
00
,
10
010
,
100
084
042
DQCMRDQDRCQCQ y
T
uy
T
y
T
Como la matriz Q es semidefinida positiva (valores propios mayores o iguales que
cero) y la matriz R es definida positiva (valores propios mayores que cero) podemos
aplicar el control óptimo.
>> K = dlqr(A, B, Q, R, M)

8. e) La estructura de control incluyendo el observador del estado, será la siguiente:
y(k)u(k)
z1(k)
z2(k)
z(k)
x(k)
-K-
inv(T)
z
1
Unit Delay
Step Scope
-K-
Kopt
-K-
KO
y(n)=Cx(n)+Du(n)
x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)
Discrete State-Space
-K-
D
-K-
B2-KO*B1
-K-
A22-KO*A12
-K-
A21-KO*A12