Este documento presenta varios problemas matemáticos relacionados con la física, biología y epidemiología. Incluye el problema braquistocrona sobre encontrar la curva de tiempo mínimo, modelos para la dinámica de poblaciones de peces y la propagación de enfermedades contagiosas, y ecuaciones diferenciales para describir reacciones químicas y la acumulación de agua en un estanque.

1. 1.- Braquistócronaproblema.Unode losproblemasde famososen lahistoriade lasmatemáticas
esel problemabraquistocrona:paraencontrarlacurva a lolargo de la cual una partícula se desliza
sinfricciónenel tiempomínimode unpuntodado P a otro Q, el segundopuntoesmásbajoque el
primero,peronodirectamente debajode ella(véase lafigura2.3.6) . Este problemafue planteado
por JohannBernoulli en1696 como un problemade desafíoalosmatemáticosde suépoca.
SolucionescorrectasfueronencontradosporJohannBernoulli ysuhermanoJakobBernoulliypor
Isaac Newton,GottfriedLeibniz,yMarquésde L'Hospital de.El problemabraquistocronaes
importante enel desarrollode lasmatemáticascomounode losprecursoresdel cálculode
variaciones.
En la soluciónde este problema,esconveniente tomarel origencomoel puntoPsuperioryal
orientarlosejes,comose muestraenla Figura2.3.6. El puntomás bajo Q tiene coordenadas(Xo,
Yo)
Entoncesesposible mostrarque lacurva de tiempomínimoestádadapor una funcióny= φ (x)
que satisface laecuacióndiferencial
donde k2 esuna ciertaconstante positivaque se determinarámásadelante.
(a) Resolverlaecuación.(i) paray’. ¿Por qué esnecesarioelegirlaraíz cuadrada positiva?
(b) Introducirlanuevavariable tpor la relación Y= K2SEN2T
Demostrarque la ecuaciónque se encuentraenlaparte (a),entoncestomala forma
C) Dejarque θ = 2t, mostrar que lasoluciónde laecuación.(iii) parael que x = 0 cuando y = 0 es
dada por
Las ecuaciones(iv) sonecuacionesparamétricasde lasoluciónde laecuación.(i) que pasaatravés
de (0, 0).
La gráficade las ecuaciones.(iv)se llamaunacicloide.(d) Si hacemosunaelecciónadecuadade la
constante k,entonceslacicloide tambiénpasapor el punto(x0, y0) y es lasolucióndel problema
braquistocrona.Encuentraksi x0 = 1 y y0 = 2.
2.- La recolecciónde unrecursorenovable.Supongamosque lapoblaciónyde ciertasespeciesde
peces(porejemplo,atúnohalibut) enunazonadeterminadadel océanoesdescritaporla
ecuaciónlogística
dy / dt = r (1 - a / K) y.
Si bienesdeseable utilizarestafuente de comida,esintuitivamente evidenteque si esdemasiado
muchospecessoncapturados,a continuación,lapoblaciónde pecesse puede reducirpordebajo
de un nivel útil,yposiblementeinclusollevadasalaextinción.Problemas20y 21 exploranalgunas
de las cuestionesinvolucradasenlaformulaciónde unaestrategiaracional paralagestiónde la
pesquería

2. 20. En un determinadonivelde esfuerzo,esrazonablesuponerque lavelocidadalaque lospeces
son capturadosdepende de lapoblacióny:Lamás pecesque hay,más fácil serápara su captura.
Por lotanto se supone que lavelocidadala que lospecessoncapturadosestádada por Ey, donde
E es una constante positiva,conunidadesde 1/ tiempo,que mide el esfuerzototal realizadopara
cosecharlas especie de peces.Paraincluireste efecto,laecuaciónlogísticase sustituyepor
dy/dt = r(1 − y/K)y − Ey.
Esta ecuaciónse conoce como el modelode Schaeferdespués de que el biólogo,MBSchaefer,
quienloaplicóa laspoblacionesde peces.
(a) Demostrarque si E <r, entonceshaydospuntosde equilibrio,y1= 0 y y2 = K (1 -E / r)> 0.
(b) Demostrarque y = y1 esinestable yy= y2 esasintóticamente estable.
(c) un rendimientosostenible Yde lapesqueríaesuna velocidadalaque lospecespuedenser
capturadosde formaindefinida.Esel productodel esfuerzoEy lapoblacióny2 asintóticamente
estable.EncuentraYcomo una funcióndel esfuerzoE;lagráfica de estafunciónse conoce como la
curva de rendimiento-esfuerzo.
(d) DeterminarEa finde maximizarYy por lotanto encontrarel máximorendimientosostenible
Ym.
3.- Se forma unestanque comoel agua se acumulaen unadepresióncónica de radioa y la
profundidadh.Supongamosque el aguafluye aunavelocidadconstante ykse pierde por
evaporaciónauna velocidadproporcionalal áreade superficie.
(a) Demostrarque el volumenV (t) de agua enel estanque enel tiempotsatisface laecuación
diferencialdonde α esel coeficiente de evaporación.
(b) Determine laprofundidadde equilibriodel aguaenel estanque.Esel equilibrio
asintóticamenteestable?
Las epidemias.El usode métodosmatemáticosparaestudiarlapropagaciónde enfermedades
contagiosasse remontapor lomenoshastaciertotrabajo porDaniel Bernoulli en1760 sobre la
viruela.Enlosúltimosañosse hanpropuestomuchosmodelosmatemáticosyestudiadopor
muchosdiseases.9diferente Problemas22al 24 de acuerdocon algunosde losmodelosmás
simplesylasconclusionesque se puedenextraerde ellos.Modelossimilarestambiénse han
utilizadoparadescribirlapropagaciónde rumoresyde productosde consumo.
4.- Supongamosque unapoblacióndeterminadase puededividirendospartes:losque tienenuna
enfermedaddeterminadaypuede infectaraotros,y losque no lotienen,perosonsusceptibles.
Seax la proporciónde individuossusceptiblese ylaproporciónde individuosinfecciosos;
entoncesx + y = 1. Supongamosque laenfermedadse propagaporel contactoentre losenfermos
y así de lapoblación,yque la tasa de propagacióndy/ dt es proporcional al númerode esos
contactos.Además,se supone que losmiembrosde ambosgruposse muevenlibremente entresí,

3. por loque el númerode contactos esproporcional al productode x e y. Comox = 1 - y, obtenemos
el problemade valorinicial
dy/dt= αy(1− y),y(0) = y0,
donde α esun factor de proporcionalidadpositivayy0 es laproporcióninicial de infecciosalos
individuos.
(a) Hallar lospuntosde equilibrioparalaecuacióndiferencial (i)ydeterminarsi cada unoes
asintóticamenteestable,semiestable,oinestable.
(b) Resolverel problemade valorinicial (i) yverifiqueque lasconclusionesalasque llegaron enla
parte (a) soncorrectas. Demostrarque y (t) → 1 cuando t → ∞, loque significaque enúltima
instancialaenfermedadse propagaatravésde toda la población.
5.- El trabajode Daniel Bernoulli en1760 tenía el objetivode evaluarlaeficaciade un programade
inoculaciónpolémicacontralaviruela,que enese momentoeraunagranamenazapara la salud
pública.Sumodelose aplicaigualmente bienacualquierotraenfermedadque,unavezse
contrajoy sobrevivió,confiere unainmunidadde porvida.Considerelacohorte de individuos
nacidosenun año determinado(t=0), y sean (t) es el númerode estaspersonassobrevivent
años mástarde.Sea x (t) esel númerode miembrosde estacohorte que nohan tenidolaviruela
por año t, y que,portanto,siguensiendosusceptibles.
Vamosβ seala velocidadala que lossusceptiblesviruelacontrato,yseaν sea lavelocidadala que
laspersonasque contraenla viruelamuerenacausade la enfermedad.Porúltimo,vamosaμ (t) la
tasa de mortalidadportodas lascausas distintasde laviruela.Entoncesdx /dt,la velocidadala
que el númerode personassusceptiblesdeclina,estádadapor:
dx/dt= −[β + μ(t)]x; i
el primertérminoenel ladoderechode laecuación.(i) eslavelocidadalaque lossusceptibles
viruelacontrato,mientrasque el segundotérminoeslavelocidadalaque muerenporotras
causas.También:
dn/dt= −νβx − μ(t)n, ii
donde dn/ dt es latasa de mortalidadde todalacohorte,y losdos términosdel ladoderechoson
lastasas de mortalidaddebidoalaviruelaypara todas lasdemáscausas, respectivamente.
(a) Seaz = x / nymostrar que satisface zdel problemade valorinicial
dz/dt= −βz(1 − νz),z(0) = 1. iii
Observe que el problemade valorinicial (iii)nodependede μ(t).

4. (b) Encuentre z(t) mediante laresoluciónde laecuación.(iii).
(c) Bernoulli estimaque ν= β = octavo.Utilizandoestosvalores,determinarlaproporción
de jóvenesde 20 años que nohan tenidolaviruela.
Nota:De acuerdocon el modeloque acabamosde describiryutilizarlosmejoresdatosde
mortalidaddisponiblesenel momento,Bernoulli calcula que si lasmuertesdebidasala
viruelapodríaneliminarse (ν=0), entoncesaproximadamente 3añosse podrían añadira
la esperanzade vidamedia(en1760) de 26 años 7 meses.Porconsiguiente,apoyael
programa de inoculación.
6.- Las reaccionesquímicas.Una reacciónde segundoordenimplicalainteracciónquímica
(colisión)de unamoléculade unasustanciaPcon una moléculade unasustanciaQ para
produciruna moléculade unanuevasustanciaX;estose denotapor P + Q → X.
Supongamosque py q, donde p= q, sonlas concentracionesinicialesde PyQ,
respectivamente,ydejarque x (t) seala concentraciónde X enel tiempot.Entoncesp - x
(t) y Q - x (t) sonlas concentracionesde PyQ enel tiempot,y lavelocidadala que la
reacciónque ocurre esdada por laecuación:
dx/dt = α(p − x)(q − x),
donde α esuna constante positiva.
(a) Si x (0) = 0, determinarel valorlímite de x (t) cuandot → ∞sin resolverlaecuación
diferencial.Luegode resolverel problemade valorinicialyencontrarx (t) para cualquiert.
(b) Si las sustanciasPy Q son losmismos,entoncesp= q y laEc. (i) se sustituye por:
dx/dt = α(p − x)2
Si x (0) = 0, determinarel valorlímite de x (t) cuandot → ∞ sinresolverel diferencial
ecuación.Luegode resolverel problemade valorinicial ydeterminarx (t) paracualquiert.