Cálculo de modos de vibración de una estructura de varios grados de libertad
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
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FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
"Año de la lucha contra la corrupción y la impunidad"
VALORES Y VECTORES PROPIOS APLICADOS EN EL
CÁLCULO DE MODOS DE VIBRACIÓN DE ESTRUCTURAS
(INGENIERÍAANTISÍSMICA)
CÁTEDRA: Métodos Numéricos
CATEDRÁTICO: Ing. Lincoln Condori Paytan
ESTUDIANTE: Angel Sullcaray Ichpas
CICLO: V
SECCIÓN: B
HUANCAVELICA-PERÚ-2019
2. DEDICATORIA
A Dios por brindarme salud para poder seguir adelante
d´ıa a d´ıa y lograr mis objetivos.
A mis padres por el apoyo incondicional en mi forma-
ci´on personal y universitaria para lograr ser un gran
profesional.
A mi docente por la ense˜nanza obtenida durante el desa-
rrollo del curso y a nosotros por el gran esfuerzo, aptitud,
uni´on, perseverancia y compromiso para lograr nuestras
metas.
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4. 0.1. INTRODUCCI´ON
La ingenier´ıa antis´ısmica, es una rama de la ingenier´ıa civil cuyo obje-
tivo es el proyecto y construcci´on de obras civiles de manera tal, que
puedan tener un comportamiento satisfactorio durante los sismos.
Para reducir el n´umero de p´erdidas de vidas humanas y las p´erdidas
asociadas con un posible fallo de estructuras existentes debido a la
acci´on s´ısmica, se requiere un conocimiento adecuado de su desempe˜no
y vulnerabilidad s´ısmica.
En este trabajo, se eval´ua los modos de vibraci´on de una estructura de
varios grados de libertad aplicando m´etodos num´ericos.
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5. 0.2. MARCO TE´ORICO
2.1. SISTEMAS LINEALES DE VARIOS GRADOS
DE LIBERTAD SIN TORSI´ON
En edificios es usualmente aceptable suponer que las masas est´an con-
centradas en los niveles de los pisos y que las fuerzas de inercia importantes
son solo las laterales, por ello lo que sigue se limita a tratar este caso, aun-
que varios conceptos son aplicables a otros sistemas estructurales con masas
concentradas cuyos apoyos tengan todos el mismo movimiento.
Figura 1: sistema de tres grados de libertad din´amicos.
Ecuaciones de equilibrio din´amico
Consideremos el sistema de tres grados de libertad mostrado en la figura
1, cuyos apoyos tienen un movimiento s(t) y cuyas masas m1, m2 y m3 tienen
desplazamientos u1, u2 y u3, respectivamente.Las fuerzas de inercia en este
caso son m1(¨u1 + ¨s), m2(¨u2 + ¨s) y m3(¨u3 + ¨s). Las fuerzas en los elementos
el´asticos se calculan como el producto de la matriz de rigidez natural K por
los desplazamientos laterales, es decir
Fe = Ku
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6. donde, para el caso de la figura 1
K =
k11 k12 k13
k21 k22 k23
k31 k32 k33
donde kij = kji
Fe =
Fe1
Fe2
Fe3
u =
u1
u2
u3
De an´aloga manera las fuerzas de amortiguamiento viscoso se pueden expre-
sar como el producto de una matriz de amortiguamiento por las velocidad, o
sea como
Fa = C ˙u
Para cada masa la suma de todas las fuerzas debe ser cero.As´ı se llega a que
las ecuaciones de equilibrio din´amico son:
M ¨u + C ˙u + Ku = M1¨s..............(1)
M se denomina matriz de masas y, para la estrucutra de la figura 1, es igual
a:
M =
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
ademas
1¨s =
1
1
1
¨s =
¨s
¨s
¨s
Vibraciones libres no amortiguadas
En lugar de resolver la ecuaci´on (1), conviene considerar primero el caso
m´as simple en el que no existan amortiguadores (sus efectos se incluyen
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7. despu´es en forma aproximada) y no existe movimiento del terreno, con lo
cual dicha ecuaci´on se convierte en:
M ¨u + Ku = 0......(2)
Ahora bien, toda estructura puede vibrar libremente en forma tal que el des-
plazamiento de cada una de las masas con respecto a su posici´on de equilibrio
est´atico es igual al producto de una funci´on de la posici´on de la masa con-
siderada por una funci´on del tiempo, que es la misma para todas las masas.
En otras palabras, los desplazamientos se pueden expresar como
u(t) = Z.q(t)............(3)
donde para el caso de la figura 1
u =
u1(t)
u2(t)
u3(t)
; Z =
z1
z2
z3
Se dice que una estructura de esta manera vibra en sus modos naturales; el
conjunto de valores zj (que son constantes independientes de t) se denomina
forma del modo y el periodo de la funci´on del tiempo q(t), en caso de existir,
se llama periodo natural.
Derivando la ecuaci´on (3) se obtiene ¨u(t) = Z. ¨q(t) y sustituyendo en (2)
llegamos a:
MZ ¨q + KZu = 0........(4)
Por sencillez se han omitido los (t). Para la masa i el desarrolo de la ´ultima
exprtesi´on da
mizi ¨q + (
j
kijzi)q = 0............(5)
de donde
¨q
q
= j kijzi
mizi
El primer miembro de esta ecuaci´on es funci´on de t, mientras que el segundo
no, por tanto ambos deben ser constantes para que la igualdad subsista. Si
llamamos ω2 a este valor constante, obtenemos:
¨q + ω2
q = 0
cuya soluci´on es
q = asenω(t − τ)..........(6)
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8. De acuerdo con lo anterior existen modos de vibraci´on que satisfacen las con-
diciones de la expresi´on (3).Estos son tales que el movimiento de cada masa
es arm´onico simple con periodo natural T = 2π/ω; ω se llama frecuencia
natural circular. Derivando dos veces la ecuaci´on (6) se tiene
¨q = −ω2
asenω(t − τ) = −ω2
q
sustituyendo en la ecuaci´on del m´etodo β de Newmark que es
a = a1 − a = 4( u − ν t)/ t2
− 2a
y considerando que q = 0, queda
(K − ω2
M)Z = 0........(7)
que es un sistema de ecuaciones lineales homog´eneo. Para que existan valores
de Z distintos de cero es necesario que el determinante del sistema se anule,
esto es, que
| K − ω2
M |= 0.....(8)
Frecuencias y modos de vibraci´on
Matem´aticamente, la expresi´on 8 constituye un problema de valores carac-
ter´ısticos. Desarrollando la determinante se obtiene una ecuaci´on algebraica
de grado n cuya inc´ognita es ω2, siendo n el n´umero de grados de liber-
tad(tres en el caso de la figura 1) cuya soluci´on conduce a n valores de ω2,
es decir a n frecuencias naturales de vibraci´on ω, que corresponden a otros
a otros periodos naturales 2π/ω. Para estructuras estables los valores de ω2
son reales y positivos, y sus ra´ıces cuadradas son las frecuencias naturales.
Se acostumbra numerar a las ω en orden creciente; as´ı la primera frecuencia
ω1(llamada frecuencia fundamental) tiene el menor valor, y la ´ultima, ωn, el
mayor. Reemplazando cada valor de la frecuencia ωj en (7) podemos obtener
vectores Zj diferentes de cero; cada uno de ellos se llama modo de vibraci´on.
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9. 0.3. PROBLEMA DE APLICACI´ON
1.Determine las formas modales de la estructura, as´ı mismo utilice el
m´etodo de la bisecci´on para encontrar las soluciones de la ecuaci´on.
La matriz de masas es:
El valor de cada masa es igual a Wi/g (g es la aceleracion de la gravedad)
g = 9,81m/s2
= 981cm/s2
Entonces las masas son:
m1 =
500
981
= 0,5097tn.s2
/cm
m2 =
440
981
= 0,4485tn.s2
/cm
m3 =
400
981
= 0,4077tn.s2
/cm
M =
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
=
0,5097 0 0
0 0,4485 0
0 0 0,4077
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10. La matriz de rigideces es:
K =
k1 + k2 −k2 0
−k2 k2 + k3 −k3
0 −k3 k3
Reemplazando los valores de ki dados en el problema, obtenemos.
K =
595 −270 0
−270 585 −315
0 −315 315
De la ecuaci´on (8),| K − ω2M |= 0.....(8), se escribe:
595 − 0,5097λ −270 0
−270 585 − 0,4485λ −315
0 −315 315 − 0,4077λ
= 0
Desarrollando la determinante
(595−0,5097λ)[(585−0,4485λ)(315−0,4077λ)− (−315)(−315)]− (−270)[(315−
0,477x)(−270) − 0] = 0
(595 − 0,5097λ)[0,1829λ2 − 379,782λ + 85050] − 22963500 + 29721,33λ = 0
donde λ = ω2. El desarrollo de este determinante conduce a la siguiente
ecuaci´on c´ubica (polinomio caractar´ıstico):
0,0932λ3 − 302,37002λ2 + 239596,830094λ − 27641006,0142 = 0
Esta ecuaci´on resolveremos aplicando el m´etodo de la bisecci´on.Pero prime-
ro vamos a graficarlo para ver el rango entre la cual estan ubicadas las ra´ıces.
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11. f(x) = 0,0932x3
− 302,37002x2
+ 239596,830094x − 27641006,0142 = 0
Figura 2: Gr´afica de la funci´on f(x)
Utilizando el lenguaje de programaci´on python se realiz´o el seudoc´odigo para
hallar las raices de f(x)
# UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
# FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´IA
# ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIER´IA CIVIL
# M´ETODOS NUM´ERICOS APLICADOS A LA INGENIER´IA
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
#DEFINIENDO LA FUNCI´ON
def f(x):
f =0.0932*x**3-302.370021197*x**2+239596.830094*x-27641006.0142
return f
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12. #M´ETODO DE FALSA POSICI´ON
def FALSA(a,b):
cont = 0
tol = 1e-10
error=0.1
raiz = 0
print("===============================RESULTADOS======"
"============================")
print(’|’,"I. N◦".center(5),’|’,"raiz".center(13),’|’,
"a".center(13),’|’,"b".center(13),’|’,"error".center(22),’|’)
while error>=tol:
c = (a+b)*(0.5)
raiz = c
fa=f(a)
fc=f(c)
print(’|’,str(cont).center(5),’|’,str(round(raiz,6)).center(13),
’|’,str(round(a,4)).center(13),’|’,str(round(b,4)).center(13),
’|’,str(round(error,8)).center(22),’|’)
if (fa*fc<0) :
b = c
elif (fa*fc>0):
a = c
error=abs(fc)
cont = cont+1
print("La raiz de f(x) es = ",raiz)
#RESULTADOS
FALSA(130,140)
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13. Figura 3: Los resultados de la iteraci´on para los l´ımites [130,140]
λ1 = 138,55816
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14. Figura 4: Los resultados de la iteraci´on para los l´ımites [1000,1040]
λ2 = 1031,3247
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15. Figura 5: Los resultados de la iteraci´on para los l´ımites [1000,1040]
λ3 = 2073,430676
Entonces los valores propios son:
λ1 = 138,558
λ2 = 1031,33
λ3 = 2073,43
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18. se procede a realizar el diagrama de modos de vibraci´on de la estructura
la cual se muestra en la siguiente figura.
Figura 6: modos de vibrar la estructura del problema 1
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19. 0.4. CONCLUSIONES
Para el c´alculo de los valores propios se utiliz´o el lenguaje de progra-
maci´on python, ya que el polinomio caracter´ıstico result´o de grado 3 y
no era sencillo resolverlo con c´alculos manuales.
La estrucutura tiene tres modos de vibrar, cada una con un periodo de
vibraci´on (T) dado.
El mayor desplazamiento de los pisos de la estructura se da cuando el
periodo de vibraci´on es mayor.
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20. 0.5. BIBLIOGRAF´IA
dise˜no s´ısmico de edificios.Enrique Baz´an y Roberto Meli.
c´alculo y dise˜no sismo resistente de edificios. Aplicaci´on de la norma
NCSE-02 H.Barbat, S.Oller, J.C.Vielma
Texto de guia ingenier´ıa antis´ısmica.Ivan Richard Goytia Torrez, Ro-
lando Villanueva Inca
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