El documento detalla la resolución de diversas ecuaciones diferenciales, verificando si ciertas funciones son soluciones de ellas y aplicando métodos específicos para resolver ecuaciones de primer y segundo orden. Incluye ejemplos prácticos y el uso de técnicas como variables separables, homogéneas y el método del anulador. Además, se examinan casos con condiciones iniciales y soluciones generales.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERECTORADO ACADEMICO
DECANATO DE INGENIERIA
FERNANDO RAMIREZ

2. 1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.
a.) y  3sen2 x  e  x ; y ,,  4 y  5e  x
1 1
b.) y  senx  cos x  10e  x ; y ,  y  senx
2 2
c) y  C1e  x  C2e x  C3e  2 x  C4e 2 x ; y 4   5 y ,,  4 y  0
2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método
correspondiente.
a.) e y sen2 xdx  cos x e 2 y  y dy  0  
b.) xy  y  x dx  x dy  0
2 2 2
c) y cos x dx  4  5 ysenx dy  0
2
2
d) y  y  x 2 cos x
,
x
3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente.
a.) y ,,  3 y ,  2 y  3e  x  10 cos 3x
b.) y 6   5 y 4   16 y ,,,  36 y ,,  16 y ,  32 y  0

3. Solución: para poder solucionar las partes a, b y c debemos derivar la función
y, luego sustituir en la ED y si la igualdad coincide entonces si es solución:
Veamos:
a.) y  3sen2 x  e  x ; y ,,  4 y  5e  x .
Para este primer problema debemos derivar 2 veces la función y luego
sustituirla en la ecuación diferencial y realizamos los cálculos
correspondientes.
y = 3xsen2 x  e  x  y = 6 x cos 2 x  e x
 y   12sen2 x  e  x
Entonces:
y” + 4y = 12sen2 x  e  x  43sen2 x  e  x 
=  12sen2x  e x  12sen2x  4e x
y”+ 4y = 5e  x
5e  x = 5e  x
La función es solución de la ecuación diferencial

4. 1 1
b.) y  senx  cos x  10e  x ; y ,  y  senx
2 2
Para esta ecuación se deriva la función y solo una vez y luego se sustituye en
la ecuación diferencial.
1 1 1 1
y= senx  cos x  10e  x  y '  cos x  senx  10e  x
2 2 2 2
Entonces:
1 1 1 1
y’ +y = cos x  senx  10e  x  senx  cos x  10e  x
2 2 2 2
y’ +y = senx
La función es solución de la ecuación diferencial
c) y  C1e x  C2e x  C3e2 x  C4e2 x ; y  4   5 y ,,  4 y  0
Para este problema debemos derivar la función cuatro veces y luego se
sustituye en la ED, de esta manera:
y’ =  c1e  x  c2 e x  2c3e 2 x  2c4 e 2 x
y” = c1e x  c2e x  4c3e2 x  4c4e2 x
y’’’ = c1e x  c2e x  8c3e2 x  8c4e2 x
y(4) = c1e  x  c2 e x  16c3e 2 x  16c4 e 2 x

5. Entonces:
y(4) - 5 y” +4y = c1e  x  c2 e x  16c3e 2 x  16c4 e 2 x
 
c1e  x  c2 e x  16c3 e 2 x  16c4 e 2 x  5 c1e x  c2e x  4c3e2 x  c4e2 x +
 
4 c1e x  c2e x  c3e2 x  c4e2 x = c1e  x  c2 e x  16c3 e 2 x  16c4 e 2 x  0
c1e x  c2e x  16c3e2 x  16c4e2 x  5c1e x  5c2e x  20c3e2 x  20c4e2 x
4c1e x  4c2e x  4c3e2 x  4c4e2 x = 0
00
La función es solución de la ecuación diferencial.
2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de
acuerdo al método correspondiente.

a.) e y sen2 xdx  cos x e2 y  y dy  0
La ecuación diferencial mostrada se resuelve por el método de variable separables,
ya que como se puede notar las variables x y Y se pueden separar de igualdad a
igualdad, una vez que se separen las variables se integra para poder eliminar los
diferenciales y nos quede la ecuación general de dicha función.
 
e y .sen2 x.dx  cos x e2 y  y dy  0

e y .sen2 x.dx   cos x e2 y  y dy  Usando variables separables

6. sen2 x e2 y 
dx   y dy
cos x e
2senx cos x  e2y y 
dx   y  y dy
e
cos x  c 

2senxdx   e y  ye  y dy 
Integrando tenemos que:
 2 cos x  e y  e y  y  1  c Solución general
 
b.) xy  y 2  x 2 dx  x 2 dy  0
La siguiente ecuación diferencial posee la forma de una ED homogénea ahora
bien veremos si se cumple con la condición de las ED homogéneas:
xy  y 2

 x 2 dx  x 2 dy
dy xy  y 2  x 2

dx x2
Con lo cual:
xy  y 2  x 2 t 2 xy  t 2 y 2  t 2 x 2
f x, y    f x, ty  
x2 t2x
 f tx, ty  

t 2 xy  y 2  x 2 
t 2 x2

7. xy  y 2  x 2
 f tx, ty  
x2
f tx, ty   f x, y 
Como f tx, ty   f x, y   la ecuación diferencial es homogénea, con lo vual
podemos hacer el cambio de variable y  vx Así:
dy dv
y  vx   .x  v
dx dx
Sustituyendo y separando variables tenemos:
dv xvx  v 2 x 2  x 2
.x  v 
dx x2
dv
.x 

x2 v  v2 1 
dx x2
dv
.x  v 2  v  1
dx
dx dv
 2
x v  v 1
Integrando:
Ln x = 2 tg 1  2 y  1 +c

3  3
Devolviendo el cambio de variable:

8. Ln x = 2 tg 1  2 y / x  x +c

3  3
Ln x = 2 tg 1  2 y  x
 +c solución general
3  3x
c) y 2

cos x dx  4  5 ysenx dy  0
Para poder resolver esta ecuación diferencial, en primer lugar notamos que
posee la forma de un ED exacta, primero lo comprobamos:
y 2 cos xdx  (4  5 ysenx)dy  0
Verifiquemos si es exacta:
M
M ( x, y)  y 2 cos x   2 y cos x
y
N
N ( x, y)  4  5 ysenx   5 y cos x
x
M N
Como   no es exacta, sin embargo podemos buscar el factor
y x
integrante (FI) y luego multiplicar la ED por ese factor integrante y asi poder
resolver la misma.
 N M 
  x  y 
 
 ( y)  e  

9. 5 y cos x  2 y cos x
 dy
e y 2 cos x
dy
3 y
 e3 Lnly  y 3
3
=e
Entonces
 ( y)  y 3 es el factor inteligente, multipliquemos ± por  (y) = y
3
Y5 cosxdx + (4 y3 + 5 y4 senx) dy = 0
La cual debe ser ahora exacta
aM
M = y5 cosx  = 5 y4 cosx
ay
aN
N = 4 y3 + 5 y4 senx  = 5 y4 cosx
ax
aM aN
Como =  es exacta y resolvemos usando
ay ax
x y

a
M ( xb)dx   N  ( xy )  0
b
x y
b cos xdx   (ay 4  5 y 4 senx)dy  0
5
a b
x y
b5senx   (y  y 5 senx)   0
4
a b
b5senx - b5sena + y4 + y5 senx – b4 b5senx = 0

10. y4 + y5 senx +c = 0 c = -b5sena – b4
2
d ) y,  y  x 2 cos x
x
La Ed posee la Forma de la ecuación de Ricatti, por lo que la resolvemos por
ese método así:
2
y´ - y = x2 cosx
x
La ecuación tiene la estructura de una ecuación lineal de 1er orden con lo cual
Q(x) = x2 cosx
2 dx
P(x) = -   P( x)dx  2  2 ln x
x x
Así la solución es de la forma
Buscamos el factor integrante;
 P ( x ) dx   P ( x ) dxdx  c
Y=e    Q ( x )e 
 
Sustituyendo  P( x)dx , tenemos
y=e 2 Ln x
 x cos xe
2  2 Ln x
dx  c 

11. 2 Ln x 2  x 2 cos xe 1n x2 dx  c

y=e 
 
y = x2  x cos x.x
2 2
dx  c 
y = x2  cos xdx  c
y  x 2 senx  c
3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método
correspondiente.
a.) y ,,  3 y ,  2 y  3e x  10 cos 3x
Para esta Ed utilizamos el método del anulador ya que la ecuación es no lineal
y no Homogenea.
y” – 3y3 + 2y = 3e-x – 10cos3x
Usaremos el método del anulador, entonces
R(x) = 3e-x -10cos3x
L(D) = D2 – 3D + 2 = (D - 1) (D - 2)
A (D) = (D + 1) (D2 + 9) anulador de R(x)
Entonces la ecuación anterior se puede escribir como

12. (D2 – 3 D + 2) y = 3 e-x – 10cos 3x
Multiplicando ambos lados de la igualdad por A(D)
(D-1)(D+2)(D+1)(D2+9) y = (D+1)(D2+9)(3e-x-10cos3x)
(D-1)(D-2)(D+1)(D2+9) = 0, polinômios característicos
D -1 = 0, D - 2 = 0, D + 1 = 0 y D2 + 9 = 0
D = 1, D = 2, D = -1 y D = ± 3
La solución tiene forma
Y = c, ex + c2 e2x + c3 e-x + c4 sen3x + c5cos3x
Sustituyendo nos queda:
(D2-3D+2)(c, ex+c2 e2x + c3e-x + c4sen3x + c5cos3x) = 3e-x-10cos3x
Desarrollando tenemos que
2c, ex + 2 c2 e2x + 2 c3 e-x + 2 c4 sem 3x + 2 c5 cos 3x
-3(c, e2 + 2 c2 e-2x – c3 e-x + 3 c4 cos 3x – 3 c5 sem 3x)
+ c, ex + 4 c2 e-2x + c, e-x – 9 c4 sen3x – 9 c5 cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
3c1 e2 + 6 c2 e-2x + 3 c3 e-x – 7 c4 sem 3x – 7 c5 cos 3x – 3 c, ex
- 6 c2 e-2x + 3c3 e-x – 9 c4 cos3x + 9 c5 sem 3x = 3 e-x – 10 cos 3x

13. 6 c3 e-x + (-7 c4 + 9 c5) sem 3x – (9 c4 + 7 c5) cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
Igualando coeficientes
6 c3 = 3  c3 = ½
-7 c4 9 c5 = 0  c4 = 9/7 c5
9
9 c4 + 7 c5 = 10  9 c5 + 7 c5 = 10  130 c5 = 70
7
 c5 = 7/13  c4 = 9/13
Por lo tanto la solución es
1 -x 7 9
y = c, ex + c2 e2x e + sen 3x + cos 3x
2 13 13
b.) y 6   5 y 4   16 y ,,,  36 y ,,  16 y ,  32 y  0
Esta Ed la resolvemos
y(6) – 5 y(4) + 15 y”´ 35 y” 16 y´ - 32 y = 0
el polinomio característico nos queda:
Buscamos las raíces nos dan:
( )( )( )( )

14. La solución es
y = c, ex + c2 e-x + c3 e-2x + c4 x e-2x + c5 e2x sem x + c5 e2x cos 2x