La Integral Indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida

1
1.1 DEFINICIÓN
1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
1.2.1 FORMULAS
1.2.2 PROPIEDADES
1.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA
1.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
1.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
1.2.6 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1.2.7 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
1.2.8 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES.
FRACCIONES PARCIALES
1.2.9 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
TRIGONOMÉTRICAS

Objetivo:
Se pretende que el estudiante encuentre algebraicamente antiderivadas

1


En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta
tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de
la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue
tratado en cálculo diferencial. El problema del cálculo del área bajo una
curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales
expondremos en este curso. Sin embargo empezaremos en este capítulo
hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos
antiderivadas para el propósito del cálculo integral.

1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL
INDEFINIDA

Llamamos a F una antiderivada, primitiva o
integral indefinida de f en el intervalo I , si
D x F ( x ) = f ( x ) es decir F ´( x ) = f ( x )

1.1.1 Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una
antiderivada es la siguiente:

∫ f ( x)dx = F ( x) + C

1.1.2 Teorema

Si F´(x) = G´(x) , ∀x ∈ (a, b) entonces existe una
constante C tal que F ( x) = G ( x) + C , ∀x ∈ (a, b)
Demostración:
Sea H ( x) = F ( x) − G ( x) definida en un intervalo (a, b ) entonces
H ´(x) = F´(x) − G´(x) . Por Hipótesis, como F´(x) = G´(x) entonces H ´(x) = 0 ,
∀x ∈ (a, b ) .
Como H es derivable ∀x ∈ (a, b ) , entonces de acuerdo el teorema del valor medio para
H ( x1 ) − H ( x )
derivada, ∃x0 ∈ ( x, x1 ) ⊆ (a, b ) tal que H ´(x 0 ) = . Haciendo H ´(x0 ) = 0
x1 − x
H ( x1 ) − H ( x )
tenemos = 0 es decir H ( x) = H ( x1 ) = C .
x1 − x
Por lo tanto F ( x) − G ( x) = C

2


1.2 INTEGRACIÓN.
Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el
proceso contrario de la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es
tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a
continuación.
En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a
poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo
hacia en el calculo de derivadas.

1.2.1 Formas (Fórmulas) Estándares de Integrales
1.
∫ dx = x + C
n +1

∫ x dx = n + 1 + C ; n ≠ −1
n x
2.

∫ x dx = ln x + C
1
3.

4.
∫ e dx = e + C
x x

x

∫ a dx = ln a + C
x a
5.

6.
∫ sen xdx = − cos x + C
7.
∫ cos xdx = sen x + C
8.
∫ sec xdx = tg x + C
2

9.
∫ csc xdx = − cot gx + C
2

∫
10. sec x tg xdx = sec x + C

11.
∫ csc x cot gdx = − csc x + C

12.
∫ tg xdx = − ln cos x + C = ln sec x + C
∫
13. cot gxdx = ln sen x + C

∫
14. sec xdx = ln sec x + tg x + C

∫
15. csc xdx = ln csc x − cot gx + C

⎛x⎞
∫ a − x dx = arcsen⎜⎝ a ⎟⎠ + C
1
16.
2 2

∫
1 1 ⎛ x⎞
17. dx = arctg⎜ ⎟ + C
a2 + x2 a ⎝a⎠

∫
1 1 ⎛ x⎞ 1 ⎛a⎞
18. dx = arcsen⎜ ⎟ + C = arccos⎜ ⎟ + C
a ⎜a⎟ a ⎜ x⎟
x x −a 2 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

19.
∫ senh xdx = cosh x + C

20.
∫ cosh xdx = senh x + C
3


Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de
acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas.

Ejemplo 1

∫ x dx
2
Calcular
SOLUCIÓN:
Sería cuestión de emplear la formula 2.
x 2+1
∫
x3
x 2 dx = +C = +C
2 +1 3

Ejemplo 2

∫
1
Calcular dx
x
SOLUCIÓN:
− 1 +1

∫ ∫x
1 −1 x 2
dx = 2 dx = +C
− 1 +1
x 2

Ejemplo 3

∫ 4+ x
1
Calcular 2
dx

SOLUCIÓN:

∫ (2x ) + C
1 1
dx = arctan
2 +x
2 2 2

Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares
hacemos uso de las siguientes propiedades.

1.2.2 PROPIEDADES.

La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es
decir:

1.
∫[ f ( x) ± g ( x)]dx =
∫ f ( x)dx ± g ( x)dx
∫
2.
∫ kf ( x)dx = k
∫ f ( x)dx; k ∈ R

4


Ejemplo 4

∫ ⎜⎝ x + 3 sin x − 4e ⎟⎠dx
⎛2 x ⎞
Calcular

SOLUCIÓN:

Aplicando propiedades y fórmulas:

∫ ∫ ∫ 3 sin dx − ∫ 4e dx
⎛2 x⎞ 2
⎜ + 3 sin x − 4e ⎟dx = dx + x
⎝x ⎠ x

∫ x dx + 3∫ sin xdx − 4∫ e dx
1
=2 x

= 2 ln x − 3 cos x − 4e x + C

Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas
para lograr el objetivo.

1.2.3 TECNICAS DE INTEGRACIÓN

1.2.3.1 INTEGRACIÓN DIRECTA.

Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las
propiedades y de las formulas se puedan encontrar antiderivadas.

Ejemplo 1

∫
Calcular
(1 − x )3 dx
x3 x
SOLUCIÓN:
Elevando al cubo el binomio y luego simplificando para aplicar propiedades, resulta:

∫ ∫
(1 − x )3 dx = 1 − 3x + 3x 2 − x 3
dx
3 4
x x x 3

∫
⎡ 1 3x 3x 2 x3 ⎤
= ⎢ − + − ⎥ dx
⎢ 34 4 4 4 ⎥
⎣x x 3 x 3 x 3 ⎦

∫
⎡ − 43 −1 2 5 ⎤
= ⎢x − 3x 3 + 3 x 3 − x 3 ⎥ dx
⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫
−4 −1 2 5
= x 3 dx − 3 x 3 dx + 3 x 3 dx − x 3 dx

−1 2 5 8
x 3 x 3 x 3 x 3
= −3 +3 − +C
−1 2 5 8
3 3 3 3
−1 9 23 9 53 3 83
= −3 x 3 − x + x − x +C
2 5 8

5


Ejercicios Propuestos 1.1
Encuentre las antiderivadas de:

∫ (3 − x ) dx
∫
23 2 x +1 − 5 x −1
1. 4. dx
10 x

∫ ∫
⎛ 1 ⎞ x 4 + x −4 + 2
2. ⎜1 − ⎟ x x dx 5. dx
⎜ ⎟
⎝ x2 ⎠ x3

( )( )dx
∫
x2 +1 x2 − 2
3.
3 2
x

1.2.3.2 INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE
VARIABLE

Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es
posible una integración directa, puede ser que con un cambio de
variable se transformen en integrales inmediatas.
En este caso las formulas de integrales se las puede observar no
sólo para " x " sino para otra variable.

Ejemplo 1

Calcular

SOLUCIÓN:
∫ (1 − x )30 dx

No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería
más conveniente si empleamos el cambio de variable t = 1 − x .
dt
Del cambio de variable, tenemos: = −1dx → dx = − dt .
dx

∫ ∫
t 31
Ahora sustituyendo resulta: t 30 (− dt ) = − t 30 dt = − +C
31

∫ (1 − x )30 dx = − (1 − x )
31
Una vez integrado, reemplazando t se obtiene: +C
31

Ejemplo 2

∫
sen x
Calcular dx
x
SOLUCIÓN:
Aquí empleamos el cambio de variable: t = x .
dt 1
Del cambio de variable se obtiene: = → dx = 2 x dt .
dx 2 x

∫ ∫ ∫ sen tdt = 2(− cos t ) + C
sen x sen t
Sustituyendo resulta: dx = 2 x dt = 2
x x

6


∫
sen x
Una vez integrado, reemplazando " t " tenemos: dx = −2 cos x + C
x

Ejemplo 3

Calcular

SOLUCIÓN:
∫ x x − 1dx

Aquí empleamos el cambio de variable: t = x − 1
dt
Del cambio de variable se obtiene: = 1 → dx = dt
dx

Sustituyendo resulta:

Como no se simplifica la
∫x x x − 1dx =

, debemos reemplazarla.
∫ x t dt

En este caso, despejando del cambio de variable: x = t + 1

∫ ∫ ∫ (t )
∫ ∫
3 1
x t dt = (t + 1) t dt = t + t dt = t 2 dt + t 2 dt
Entonces:
5 3
= 5t
2 2 + 2t
3
2 +C
Una vez integrado, reemplazando t resulta:

∫ x x − 1dx = 2
5
(x − 1)5 2 + 2 (x − 1) 32 + C
3

Ejemplo 4

∫
⎛ 4 x − 1 + arc tan x − e arc tan x ⎞
Calcular ⎜ ⎟ dx
⎜ x 2 +1 ⎟
⎝ ⎠
SOLUCIÓN:
Separando las integrales, tenemos:

∫ ∫ ∫ ∫
4x 1 arctanx e arc tan x
dx − dx + dx − dx
x +12
x +1
2
x +12
x2 + 1
Ahora tenemos 4 integrales, que se las trata por separado.

∫
4x
1. dx . Esta integral se la resuelve por cambio de variable t = x 2 + 1 , de donde
x +1
2

dt dt
= 2 x , entonces dx = .
dx 2x

∫ ∫ ∫
4x 4 x dt 1
Sustituyendo, resulta: dx = =2 dt = 2 ln t + C = 2 ln x 2 + 1 + C
x +12 t 2x t

∫ ∫
1 1
2. dx . Esta integral es directa. dx = arctanx + C
x 2 +1 x 2 +1

∫
arctg x
3. dx . Esta integral se la resuelve por cambio de variable t = arctg x , de donde
x2 + 1
dt
=
1
dx x 2 + 1
, entonces dx = x 2 + 1 dt . ( )
7


Sustituyendo, resulta:

∫ ∫ ∫
arctanx
dx =
t
(x + 1)dt =
2
tdt =
t2
+C =
(arctanx)2 + C
x 2 +1 x2 +1 2 2

∫
e arc tg x
4. dx . Para esta integral sirve el mismo cambio de variable, por tanto:
x2 + 1

∫ ∫ (x + 1)dt =
∫
e arc tan x et
dx = 2
e t dt = e t + C = e arctanx + C
x +1
2
x 2
+1
FINALMENTE:

∫ ⎟ dx = 2 ln x 2 + 1 − arc tan x + (arc tan x ) − e arc tan x + C
⎛ 4 x − 1 + arc tan x − e arc tan x ⎞ 2
⎜
⎜ x 2 +1 ⎟ 2
⎝ ⎠

Ejemplo 5

∫(
dx
Calcular
)
1 + x 2 ln⎛ x + 1 + x 2 ⎞
⎜
⎝
⎟
⎠
SOLUCIÓN:
Tomando el cambio de variable: t = ln ⎛ x + 1 + x 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
dt
= ⎜1 +
1 1
2x ⎟
⎜
dx x + 1 + x 2 ⎟
⎝ 2 1+ x
2
⎠
⎛ 1+ x + x ⎞
2
Del cambio de variable: =
1 ⎜ ⎟
2 ⎜ ⎟
x + 1+ x ⎝ 1+ x 2
⎠
dt 1
= → dx = 1 + x 2 dt
dx 1+ x 2

Reemplazando, resulta:

∫( ∫
dx 1 + x 2 dt
=
)⎛ ⎞
1 + x 2 ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟
⎝ ⎠
1 + x2 t

∫
−1 1
= t 2 dt = 2t 2 + C

⎛ ⎞
= 2 ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟ + C
⎝ ⎠

8


Calcular:

∫ ∫
dx 1+ x2 + x 1− x2
1. 11. dx
(5x − 2) 5
2 1 − x4

∫ ∫
ln x dx
2. x 2 x − 1dx 12.
x 1 + ln x

∫ ∫
dx dx
3. 13.
⎛ π⎞ x ln x ln (ln x )
sen 2 ⎜ 2 x + ⎟
⎝ 4⎠

∫
a+x

∫
14. dx
4. 1 − sen (2 x ) dx a−x

∫ ∫
sen x cos x
x2 +1
15. dx
5. dx a sen 2 x + b 2 cos 2 x
2
x −1

∫ ∫
dx
(1 + x )2 16.
6. dx sen 2 x 4 c tg x
1+ x2
⎛ ⎞

∫ ∫
ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟
7.
dx
17. ⎝ ⎠
dx
(1 + x ) x 1+ x 2

∫ ∫
arc tan x 2 x 3x
8. dx 18. dx
x (1 + x ) 9x − 4x

∫ ⎛1+ x ⎞
∫
1 x dx
9. ln ⎜ ⎟ dx 19.
1 − x2 ⎝1− x ⎠
1 + x2 + (1 + x )2 3

∫ ∫
dx x −1
10. 20. dx
x +1 + x −1 2
4 x − 8x + 3

1.2.3.3 INTEGRACION POR PARTES.

Para el producto de funciones, tenemos: d (uv ) = udv + vdu
udv = d (uv ) − vdu

∫ ∫ ∫
Despejando y tomando integral, resulta:
udv = d (uv ) − vdu

En definitiva, la formula que se emplea en integración por partes
es:

∫ udv = uv −
∫ vdu

Ejemplo 1

Calcular

SOLUCIÓN:
∫ x e x dx

Haciendo u = x y dv = e x dx .

9


Entonces du = dx y v =
∫ e x dx = e x

6dv8
7

∫ ∫
}
u }}
u v }}
v du

x e dx = x e x −
x
e x dx
Integrando, resulta:

= x e x
− ex + C

Ejemplo 2

Calcular

SOLUCIÓN:
∫( )
2 x 2 + 3 x − 5 sen x dx

Haciendo u = 2 x 2 + 3 x − 5 y dv = sen x dx .

Entonces du = (4 x + 3 )dx y v =

Por lo tanto, integrando tenemos:
∫ sen xdx = − cos x

6 4 7 4 4 6 dv 4
4u 8 47 8 6 4 7 44 6 v 4
4u 8 47 8

∫ ( ) ( )
∫
6 v 4 647 4
47 8 du 8
2 x + 3 x − 5 sen x dx = 2 x + 3 x − 5 (− cos x ) −
2 2
(− cos x )(4 x + 3 )dx

(
= − 2 x 2 + 3 x − 5 cos x + )
∫( 4 x + 3 ) cos xdx

Ahora, la integral

Haciendo
∫( 4 x + 3) cos xdx también se la realiza por partes.

u = 4x + 3 y dv = cos x dx . Entonces du = 4 dx y

v =
∫ cos xdx = sen x

Por tanto: ∫( 4 x + 3) cos xdx = (4 x + 3) sen x −

= (4 x + 3) sen x + 4 cos x
∫ sen x(4dx )

FINALMENTE:

∫ (2 x 2
) ( )
+ 3 x − 5 sen x dx = − 2 x 2 + 3 x − 5 cos x + (4 x + 3 )sen x + 4 cos x + C

Ejemplo 3

Calcular

SOLUCIÓN:
∫ e x cos xdx

Haciendo u = e x y dv = cos x dx .

Entonces du = e x dx y v =
∫ cos xdx = sen x

10


Por tanto:
∫ e x cos xdx = e x sen x −
∫ sen x e x dx

La integral
∫ sen xe x dx se la calcula por parte. Hacemos u = e x y dv = sen x dx .

Entonces du = e x dx y v =
∫ sen xdx = − cos x .

Por lo tanto
∫ e x sen xdx = −e x cos x +
∫ e x cos xdx

FINALMENTE:

∫ ∫
⎡ ⎤
e x cos xdx = e x sen x − ⎢− e x cos x + e x cos xdx ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦

∫ e x cos xdx = e x sen x + e x cos x −
∫ e x cos xdx

Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando

2
∫ e x cos xdx = e x sen x + e x cos x

∫
e x sen x + e x cos x
e x cos xdx = +C
2

Ejemplo 4

Calcular

SOLUCIÓN:
∫ x ln xdx

Aquí debemos tomar u = ln x y dv = x dx .(¿por qué?)

∫
1 x2
Entonces du = dx y v = xdx =
x 2
Por tanto:

∫ ∫
⎛ x2 ⎞ x2 ⎛ 1 ⎞
x ln xdx = (ln x )⎜ ⎟ − ⎜ dx ⎟
⎜ 2 ⎟ 2 ⎝x ⎠
⎝ ⎠

= 1 x 2 ln x − 1
2 2
∫ xdx

1 x 2 ln x − 1 ⎜
⎛ x2 ⎞
= ⎟+C
2 2⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠

Ejemplo 5

Calcular

SOLUCIÓN:
∫ ln xdx

11


1
Entonces, aquí sería también u = ln x y dv = dx . Entonces du = dx y
x

v =

Por tanto:
∫ dx = x

∫ ∫
⎛1 ⎞
ln xdx = x ln x − x⎜ dx ⎟
⎝x ⎠
= x ln x − x + C

Ejemplo 6

Calcular

SOLUCIÓN:
∫ x arctg x dx

1 x2
Tomamos u = arctg x y dv = xdx , entonces: du = dx y v =
1+ x 2 2
Por tanto:

∫ ∫
⎛ x2 ⎞ x2 ⎛ 1 ⎞
x arctg xdx = (arctg x )⎜ ⎟ − ⎜
⎜ ⎟
dx ⎟
⎜ 2 ⎟ 2 ⎝1+ x 2
⎠
⎝ ⎠

∫
x2
= 1 x 2 arctg x − 1 dx
2 2
x +12

x2 1
Para la última integral dividimos el numerador entre el denominador, resulta: = 1−
x +1
2
x +1
2

∫ ∫ ∫ ∫
2
x ⎛ 1 ⎞ 1
Reemplazando dx = ⎜1 − 2
⎜ ⎟dx =
⎟ dx − dx = x − arctg x
x2 + 1 ⎝ x +1⎠ x2 + 1

FINALMENTE:
∫ x arctg xdx = 1 x 2 arctg x − 1
2 2
[x − arctg x] + C


1.
∫ x e 3 x dx 11.
∫( x arctg x )2 dx

2.
∫( x + 1)e 2 x dx
12.
∫ e x dx

3.
∫ (2 x − 1)sen 3xdx 13.
∫
⎛ ⎞
ln ⎜ x + 1 + x 2 ⎟ dx
⎝ ⎠

4.
∫ x sen (3 x − 1)dx 14.
∫ arcsin x dx

5.
∫ x 2 e − 2 x dx 15.
∫ arctg xdx

6.
∫( )
x 2 − 3x + 2 e 2 x dx 16.
∫ ( )
arc tan x dx

7.
∫ (2 x − 1)ln xdx 17.
∫ cos (ln x ) dx

12


8.
∫ x ln 2 x dx 18.
∫ sen x dx

9.
∫ x ln x dx 19.
∫ sen (ln x ) dx

∫ ∫ sen x ln (tg x ) dx
x cos x dx
10. 20.
sen 2 x

1.2.3.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean
directas, es necesario utilizar identidades trigonométricas. Se las ha
clasificado de la siguiente manera:

TIPO I: Integrales de la forma:
∫ sen n x dx o
∫ cos n x dx

Para este caso se sugiere, lo siguiente:
sen 2 x = 1 − cos 2 x
1. Si " n " es IMPAR usar:
cos 2 x = 1 − sen 2 x
1 − cos 2 x
sen 2 x =
2
2. Si " n " es PAR usar:
1 + cos 2 x
cos 2 x =
2
Ejemplo 1

Calcular
∫ cos 2 x dx

SOLUCIÓN:
Usamos la regla para la potencia par:

∫ ∫
⎛ 1 + cos 2 x ⎞
cos2 x dx = ⎜ ⎟dx
⎝ 2 ⎠

∫ ∫
1⎡ ⎤
= ⎢ 1dx + cos 2 xdx⎥
2⎢
⎣ ⎥
⎦
1⎡ sen 2 x ⎤
= ⎢x + +C
2⎣ 2 ⎥ ⎦

Ejemplo 2

Calcular
∫ sen 3 x dx

SOLUCIÓN:
Ahora usamos la regla para la potencia impar:

∫ sen 3 x dx =
∫ sen 2 x sen xdx

=
∫( )
1 − cos 2 x sen xdx

=
∫sen xdx −
∫ cos2 x sen xdx

De esto último, la primera integral es directa y la segunda es por sustitución.

13


1.
∫ sen xdx = − cos x

2.
∫ cos 2 x sen xdx requiere el cambio de variable t = cos x entonces dt = − sen xdx .

∫ ∫
cos3 x
Reemplazando resulta: cos 2 x sen xdx = t 2 (− dt ) = −
3

∫
3
cos x
FINALMENTE: sen 3 xdx = − cos x + +C
3

Ejemplo 3

Calcular
∫ cos 4 x dx

SOLUCIÓN:
Ahora usamos la regla para la potencia par:

∫ ∫ (cos x) dx
2
cos 4 x dx = 2

∫
2
⎛ 1 + cos 2 x ⎞
= ⎜ ⎟ dx
⎝ 2 ⎠

∫ ∫ ∫
1⎡ ⎤
= ⎢ 1dx + 2 cos 2 xdx + cos 2 2 xdx ⎥
4⎢ ⎥
⎣ ⎦

∫
1⎡ sen 2 x ⎛ 1 + cos 4 x ⎞ ⎤
= ⎢x + 2 + ⎜ ⎟dx ⎥
4⎢ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥
⎣ ⎦
1⎡ ⎞⎤

∫ ∫
⎛
= ⎢ x + sen 2 x + 1 ⎜ 1dx + cos 4 xdx ⎟⎥
4⎢ 2 ⎜ ⎟⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦
1⎡ 1⎛ sen 4 x ⎞⎤
= ⎢ x + sen 2 x + ⎜ x + ⎟⎥ + C
4⎣ 2⎝ 4 ⎠⎦

TIPO II. Integrales de la forma
∫ sen m x cos n x dx

1. si m ∨ n son impares

Ejemplo

Calcular
∫ sen 3 x cos − 4 x dx

SOLUCIÓN:
Como el exponente de seno es impar, hacemos lo siguiente:

∫ sen 3 x cos − 4 x dx =
∫ sen 2 x sen x cos − 4 x dx

=
∫( )
1 − cos2 x sen x cos − 4 x dx

=
∫( cos x )− 4 sen x dx −
∫( cos x )− 2 sen x dx

Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable t = cos x de donde
dt = − sen xdx , resulta

14


∫( cos x )− 4 sen x dx −
∫( cos x )− 2 sen x dx =
∫ t − 4 (− dt ) −
∫ t − 2 (− dt )

t −3 t −1
=− + +C
− 3 −1
cos −3 x
= − cos −1 x + C
3

2. si m ∧ n son pares

Ejemplo

Calcular
∫ sen 2 x cos 4 x dx

SOLUCIÓN:
Como ambos son pares, entonces:

∫ ∫
sen 2 x cos4 x dx = (
sen 2 x cos2 x )2 dx

∫
2
⎛ 1 − cos 2 x ⎞⎛ 1 + cos 2 x ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟ dx
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠

∫ ( (1 − cos 2 x )1 + 2 cos 2 x + cos2 2 x )dx
1
=
8

∫( )
1
= 1 + cos 2 x − cos2 2 x − cos3 2 x dx
8

∫ ∫ ∫ ∫
⎡ ⎤
1⎢
= 1dx + cos 2 xdx − cos2 2 xdx − cos3 2 xdx ⎥
8⎢ ⎥
⎣ ⎦

Las dos últimas integrales son trigonométricas

∫ ∫
1⎡ sen 2 x ⎛ 1 + cos 4 x ⎞ ⎤
= ⎢x + − ⎜ ⎟dx − cos 2 2 x cos 2 xdx ⎥
8⎢
⎣ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥
⎦

∫( )
1⎡ ⎤
∫ ∫
sen 2 x 1 ⎛ ⎞
= ⎢x + − ⎜ 1dx + cos 4 xdx ⎟ − 1 − sen 2 2 x cos 2 x ⎥
8⎢ 2 2⎝⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎠ ⎦
⎡ ⎞⎤
∫ ∫
1 sen 2 x 1 ⎛ sen 4 x ⎞ ⎛
= ⎢x + − ⎜x+ ⎟ − ⎜ cos 2 xdx − sen 2 2 x cos 2 xdx ⎟ ⎥
8⎢⎣ 2 2⎝ 4 ⎠ ⎜ ⎝
⎟⎥
⎠⎦
1⎡ sen 2 x x sen 4 x ⎛ sen 2 x sen 3 2 x ⎞⎤
= ⎢x + − − −⎜ − ⎟⎥ + C
8⎢ 2 2 8 ⎜ 2 6 ⎟⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦

FINALMENTE:

∫
1 ⎡ x sen 4 x sen 3 2 x ⎤
sen 2 x cos 4 x dx = ⎢ − + ⎥+C
8 ⎢2 8 6 ⎥
⎣ ⎦

15


TIPO III. Integrales de la forma:
∫ sen mx cos nxdx ,
∫ sen mx sen nxdx ,

∫ cos mx cos nxdx

En este caso se recomienda usar, las siguientes identidades como
sea conveniente:
sen mx cos nx =
1
[sen(m + n )x + sen(m − n )x]
2
sen mx sen nx = − [cos(m + n )x − cos(m − n )x ]
1
2
cos mx cos nx = [cos(m + n )x + cos(m − n )x ]
1
2

Ejemplo 1

Calcular:
∫ sen 2 x cos 3x dx

SOLUCIÓN:
Empleando la identidad trigonométrica respectiva y simplificando, resulta:

∫ ∫ [sen (2 + 3)x + sen (2 − 3)x]dx
1
sen 2 x cos 3x dx =
2

∫ ∫
⎡ ⎤
sen 5 xdx + sen (− x )dx ⎥
1⎢
=
2⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 ⎡ cos 5 x ⎤
= ⎢− + cos x ⎥ + C
2⎣ 5 ⎦

Ejemplo 2

Calcular
∫ sen x sen 2 x sen 3xdx

SOLUCIÓN:
Agrupando y aplicando identidades, tenemos:

∫ sen x sen 2 x sen 3 xdx =
∫( sen x sen 2 x )sen 3xdx

∫ [cos(1 + 2)x − cos(1 − 2)x]sen 3xdx
1
= −
2

∫[ cos 3 x sen 3 x − cos(− x )sen 3x ]dx
1
=−
2

∫ ∫
1⎡ ⎤
= − ⎢ sen 3 x cos 3 xdx − sen 3 x cos xdx ⎥
2⎢
⎣ ⎥
⎦

∫ ∫
1⎡ ⎤
=− ⎢
1
[sen 6 x + sen 0 x] − 1
[sen 4 x + sen 2 x]dx ⎥
2⎢
⎣ 2 2 ⎥
⎦

∫ ∫ ∫
1⎡ ⎤
= − ⎢ sen 6 xdx − sen 4 xdx − sen 2 xdx ⎥
4⎢⎣ ⎥
⎦
1 ⎡ cos 6 x cos 4 x cos 2 x ⎤
= − ⎢− + + +C
4⎣ 6 4 2 ⎥ ⎦

16


TIPO IV. Integrales de la forma:
∫ tg n x dx y
∫ cot g n x dx

tg 2 x = sec 2 x − 1
Aquí se recomienda usar las identidades:
cot g 2 x = csc 2 x − 1

Ejemplo 1

Calcular
∫ tg 3 x dx

SOLUCIÓN:

∫ tg3 x dx =
∫ tg 2 x t gxdx

=
∫( )
sec2 x − 1 tg xdx

=
∫ sec2 x tg xdx −
∫
La segunda integral es directa, mientras que la primera es por sustitución.
tg xdx

t = tg x de donde dt = sec 2 xdx
FINALMENTE:

∫ tg 3 x dx =
∫ (
tdt − − ln cos x )
tg 2 x
= + ln cos x + C
2

Ejemplo 2

Calcular

SOLUCIÓN:
∫ cot g 4 x dx

Empleando la identidad trigonométrica respectiva y aplicando propiedades, resulta:

∫ cot g 4 x dx =
∫ cot g 2 x cot g 2 x dx

=
∫ (
cot g 2 x csc2 x − 1 dx )
=
∫ cot g 2 x csc2 xdx −
∫ cot g 2 xdx

La primera integral es por sustitución y la segunda se emplea la identidad trigonométrica
respectiva, es decir:

17


2

∫ ∫ ∫
⎛ ⎞
⎜ ⎟
cot g 4 x dx = 2
⎜ cot 3 ⎟ csc24 −
gx x dx cot g 2 x dx
⎜ 1 ⎟ 1 3
2 4
⎝ t ⎠ − dt

∫ (csc2 x − 1)dx
cot g 3 x
=− −
3

∫ ∫
cot g 3 x
=− − csc2 xdx + dx
3

cot g 3 x
=− + cot gx + x + C
3

TIPO V. Integrales de la forma:
∫ tg m x sec n xdx y
∫ cot g m x csc n xdx

Caso 1. Si el exponente de la secante o cosecante " n " es par, se procede
con el diferencial de la tangente o cotangente.

Ejemplo

∫
−3
Calcular tg 2 x sec 4 xdx

SOLUCIÓN:

∫ ∫
−3 −3
tg 2 x sec4 x dx = tg 2 x sec2 x sec2 xdx
132

∫ ( )
−3
= tg 2 x tg 2 x + 1 sec2 x dx

∫ ∫
1 −3
= tg 2 x sec2 x dx + tg 2 x sec2 x dx

Las dos integrales últimas se hacen por sustitución:
1 −3

∫ ∫ ∫
−3 ⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞ 2
tg 4
2 x sec xdx = ⎜ tg x ⎟ sec2 x dx + ⎜ tg x ⎟ sec2 x dx
⎜ { ⎟ 1 24
⎜ ⎟ 4 3 ⎜{⎟
⎜ ⎟ 1 24
4 3
⎝ t ⎠ dt ⎝ t ⎠ dt
3 −1
tg 2 x tg 2 x
= + +C
3 −1
2 2
3 − 1
= 2 tg 2 x − 2 tg 2 x + C
3

Caso 2. Si el exponente de la tangente o cotangente " m " es impar, se
procede con el diferencial de la secante o cosecante.

Ejemplo

∫
−1
Calcular tg 3 x sec 2 xdx

18


SOLUCIÓN:
Descomponiendo para obtener el diferencial de la secante

∫ ∫ x (sec x tg xdx )
−1 −3
tg 3 x sec 2 xdx = tg 2 x sec 2
14243
4 4
d (sec x )
y luego resolviendo, tenemos:

∫ ∫ (sec ) x(sec x tg xdx )
−1 −3
tg 3 x sec 2 xdx = 2
x − 1 sec 2

∫ x(sec x tg xdx ) −
∫ x(sec x tg xdx )
1 −3
= sec 2 sec 2

estas últimas integrales se resuelven por sustitución:
1 −3

∫ ∫ ∫
−1 ⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞ 2
3
tg x sec 2 xdx = ⎜ sec x ⎟ (sec x tg xdx ) − ⎜ sec x ⎟ (sec x tg43)
xdx
⎜ { ⎟ 14243 4 4 ⎜{⎟ 142 4
4
⎝ t ⎠ dt ⎝ t ⎠ dt
3 −1
= 2 sec 2 x + 2 sec 2x
3

Otras integrales trigonométricas pueden requerir tratamientos ya
definidos:

Ejemplo

Calcular
∫ sec 3 x dx

SOLUCIÓN:
Esta integral se resuelve por partes

∫ sec 3 x dx =
∫ 2
sec xsec2xdx
{1 4 4 3
u dv

Entonces si tomamos u = sec x tenemos du = sec x tg xdx y si tomamos dv = sec 2 xdx
tenemos v = tg x
Ahora, integrando

∫ ∫
}}u v } 64du 4
v 7 8
sec 3 x dx = sec x tg x − tg xsec x tg xdx

= sec x tg x −
∫ tg 2 x sec xdx

= sec x tg x −
∫( )
sec 2 x − 1 sec xdx

= sec x tg x −
∫ sec 3 xdx +
∫ sec xdx

∫ sec 3 x dx = sec x tg x −
∫ sec 3 xdx + ln sec x + tg x

FINALMENTE, despejamos la integral buscada

2
∫ sec 3 x dx = sec x tg x + ln sec x + tg x

∫ sec 3 x dx = 1 sec x tg x + 1 ln sec x + tg x + C
2 2

19



1.
∫ (2 − 3 cos 2x)dx
2 11.
∫ tan 5 x dx

2.
∫ sen 3 3 xdx
12.
∫ c tg 6 x dx

3.
∫ cos6 x dx
13.
∫ tan 2 5 x dx

4.
∫ cos 5 x sen x dx
14.
∫ tg 5 x sec
− 32
xdx

∫
dx
15.
5.
∫ sen 3x sen 5 x dx sen 2 x cos 2 x

∫
dx
(2 ) (2 )
16.

∫ Sen x Cos 3 x
x 2x
6. sen cos dx
3 3

∫
dx

∫
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 17.
7. sen ⎜ 2 x − ⎟ cos ⎜ 3x + ⎟ dx sen 2 x cos 4 x
⎝ 6⎠ ⎝ 4⎠
( ) dx
∫
sen x + π 4

∫ 2
18.
8. cos x cos 3x dx sen x cos x

∫
dx

∫
19.
9. sen 3 (2 x ) cos 7 (2 x ) dx sen 2 x cos x

10.
∫ cos x cos 2 x cos 3 x dx
20.
∫ csc3 x dx

1.2.3.5 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA.

Se trata ahora de convertir las integrales dadas en directas
mediante una sustitución trigonométrica. Usualmente presenta la
forma de radicales con suma o diferencia de cuadrados, en tal caso se
recomienda:

Si tenemos a2 − x2 sustituir
x = a sen t
Si tenemos a2 + x2 sustituir
x = a tg t
Si tenemos x2 − a2 sustituir
x = a sec t

20


Ejemplo 1

∫
4 − x2
Calcular dx
x2
SOLUCIÓN:
En este caso hacemos x = 2 sen t entonces dx = 2 cos tdt
Reemplazando y resolviendo, resulta:

∫ ∫
4 − x2 4 − (2 sen t )2
dx = 2 cos tdt
x 2
(2 sen t )2

∫
4 − 4 sen 2 t
= 2 cos tdt
4 sen 2 t

( )
∫
4 1 − sen 2t
= cos tdt
2 sen 2 t

∫
4 cos 2 t
= cos tdt
2 sen 2 t

∫
2 cos t
= cos tdt
2 sen 2 t

∫
cos 2 t
= dt
sen 2 t

=
∫cot g 2tdt

=
∫( )
csc2t − 1 dt

=
∫ ∫
csc2 tdt −

= − cot gt − t + C
dt

Ahora hay regresar a un expresión en " x ", para lo cual del cambio de variable tenemos
x
sen t = . Por trigonometría, hacemos el siguiente triángulo:
2

4 − x2
De la figura, observamos que cot g t = y como
x
x
t = arcsen tenemos:
2
2
x

∫
4 − x2
dx = − cot gt − t + C
t x2

4 − x2 x
=− − arcsen + C
x 2
4 − x2

21


Ejemplo 2

∫(
x 3 dx
Calcular
x2 + 9 ) 3
2

SOLUCIÓN:
En este caso hacemos x = 3 tg t entonces dx = 3 sec2 t dt

∫( 2
x3dx

x +9 2 )
3
=
∫( ) (3 tg t )3
(3 tg t ) 2
3
+9 2
3 sec2 tdt

=
∫ 27 tg 3 t 3 sec2 t
⎛ 2 ⎞
⎜ 9 tg t + 9 ⎟
⎝ ⎠
3
dt

=
∫ 81 tg 3 t sec2 t
(3 sec t )3
dt

=
∫ 81 tg 3 t sec2 t
27 sec3 t
dt

=
∫ 3
tg 3 t
sec t
dt

=3
∫ tg t tg 2 t
sec t
dt

=3
∫ ( ) tg t sec2 t − 1
sec t
dt

∫ ∫
⎡ ⎤
⎢ tg t sec2 t tg t ⎥
= 3⎢ dt − dt ⎥
⎢ sec t sec t ⎥
⎣ ⎦

∫ ∫
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= 3⎢ sec t tg tdt − sen tdt ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
= 3[sec t + cos t ] + C

x
Ahora por trigonometría, del cambio de variable tg t = tenemos el siguiente triángulo:
3

x2 + 9 3
Por tanto sec t = y cos t =
3 x +9
2
x2 + 9 FINALMENTE,
x

∫(
x 3 dx ⎡ x2 +9 3 ⎤
= 3⎢ + ⎥+C
t x2 + 9 ) 3
2 ⎢
⎣
3 x2 + 9 ⎥
⎦

3

22


Ejemplo 3

∫
x 2 − 16
Calcular dx
x3
SOLUCIÓN:
En este caso hacemos x = 4 sec t entonces dx = 4 sec t tg tdt

∫ ∫
x 2 − 16 (4 sec t )2 − 16
dx = 4 sec t tg tdt
x 3
(4 sec t )3

∫
16 sec 2 t − 16
= 4 sec t tg tdt
43 sec3 t

( )
∫
16 sec 2 t − 1
= tg tdt
4 2 sec 2 t

∫
16 tg 2 t
= tg tdt
4 2 sec 2 t

∫
4 tg t
= tg tdt
4 2 sec 2 t

∫
tg 2 t
= dt
4 sec 2 t

sen 2 t

∫ cos 2 t dt
1
=
4 1
cos 2 t

∫
1
= sen 2 tdt
4

∫
1 ⎛ 1 − cos 2t ⎞
= ⎜ ⎟dt
4 ⎝ 2 ⎠

∫ ∫
⎡ ⎤
1⎢
= 1dt − cos 2tdt ⎥
8⎢ ⎥
⎢
⎣ ⎥
⎦
1 ⎡ sen 2t ⎤
= t− +C
8⎢⎣ 2 ⎥ ⎦
1 ⎡ 2 sen t cos t ⎤
= t− ⎥+C
8⎢⎣ 2 ⎦
x
Ahora por trigonometría , del cambio de variable sec t = tenemos el siguiente triángulo:
4

x
x 2 − 16

t

4

x x 2 − 16 4
Por tanto, t = arc sec , sen t = y cos t =
4 x x

23


FINALMENTE:

∫
x 2 − 16 1 ⎡ 2 sen t cos t ⎤
dx = t− ⎥+C
x 3 8⎢⎣ 2 ⎦

1⎡
⎢arc sec x − x 2 − 16 4 ⎤
⎥+C
=
8⎢ 4 x x⎥
⎣ ⎦

En otras integrales, es necesario completar cuadrado primero.

Ejemplo 4

Calcular

SOLUCIÓN:
∫ 5 − 4 x − x 2 dx

Primero completamos cuadrado, para de allí realizar una simple sustitución algebráica y luego la
sustitución trigonométrica que convenga.

∫ 5 − 4 x − x 2 dx =
∫ ( )
5 − x 2 + 4 x + 4 + 4 dx

=
∫ 9 − (x + 2 )2 dx

En la última integral podemos hacer u = x + 2 entonces du = dx y la integral quedará así:

∫ 9 − u 2 du

Para la cual la sustitución trigonométrica adecuadas es u = 3 sen t de la cual resulta
du = 3 cos tdt . Reemplazando y resolviendo, tenemos:

∫ 9 − u 2 du =
∫ 9 − 9 sen 2 t 3 cos tdt

=
∫ 3 cos t 3 cos tdt

=9
∫ cos 2 tdt

∫
⎛ 1 + cos 2t ⎞
=9 ⎜ ⎟dt
⎝ 2 ⎠

∫ ∫
⎡ ⎤
9⎢
= 1dt + cos 2tdt ⎥
2⎢ ⎥
⎢
⎣ ⎥
⎦
9 ⎡ sen 2t ⎤
= ⎢t + +C
2⎣ 2 ⎥⎦
9 ⎡ 2 sen t cos t ⎤
= t+ ⎥+C
2⎢⎣ 2 ⎦

u
Del cambio de variable sen t = obtenemos el siguiente triángulo:
3

3
u

t

24
9−u2


u 9−u2
Entonces t = arcsen y cos t =
3 3
Por tanto,

∫ [t + sen t cos t ] + C
9
9 − u 2 du =
2

9⎡⎢arcsen⎛ u ⎞ + u 9 − u
2 ⎤
⎥+C
⎜ ⎟ =
2⎢ ⎝3⎠ 3 3 ⎥
⎣ ⎦
Finalmente, como u = x + 2 , reemplazando resulta:

∫
9⎡⎢arcsen⎛ u ⎞ + u 9 − u
2 ⎤
⎥+C
9 − u 2 du = ⎜ ⎟
2⎢ ⎝3⎠ 9 ⎥
⎣ ⎦
⎡ 9 − (x + 2 )2 ⎤
9 ⎛ x + 2 ⎞ (x + 2 )
= ⎢arcsen⎜ ⎟+ ⎥+C
2⎢ ⎝ 3 ⎠ 9 ⎥
⎣ ⎦

Ejercicio Propuestos 1.5

∫ ∫
dx
1. x 2 9 − x 2 dx 11.
1+ e 2x

∫( ∫
dx sec 2 xdx
2. 12.
1 − x2 2 )
3
tg 2 x + 4 tg x + 1

∫(
x2
∫
sen x cos xdx
3. dx 13.
1− x 2
)
3
2 9 + sen 4 x

∫ ∫
x arctg xdx
x2 14.
4. dx 1 + x2
9 − x2

∫(
x e arc tanx
∫
dx dx
)
5. 15. 3
x x2 + 9 1+ x 2 2

∫ ∫
dx
6. 16. x 2 arc cos x dx
3
x x2 − 9

∫ ∫
dx
7. ln x dx
x 4
x2 −1
17.
x 1 − 4 ln x − ln 2 x

∫ ∫(
2
x
8. dx xdx
18.
x2 − 2
1+ x 2
) 1− x 4

∫ ∫
2
x dx
9. x 3 dx
4x − x 2
19.
x − x2 + 2
4

∫( ∫
dx
10. x11 dx
x 2 + 4x + 13 )
3 20.
x 8 + 3x 4 + 2

25


1.2.3.6 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

p( x)
Cuando la función racional es una fracción propia, o sea que
q( x)
el grado del numerador es menor que el grado del denominador, se
recomienda usar el método de fracciones parciales.

REGLA GENERAL
Sea p( x) una fracción propia. Entonces:
q( x)
1. Se podrá expresar en tantas fracciones parciales
como factores tenga el denominador q(x) .
2. Cada denominador de las fracciones parciales es un
factor de q(x) .
3. El numerador de cada fracción parcial será un
polinomio de un grado menor a su denominador.
Ahora veámos por caso.

CASO I: q (x) se descompone en factores lineales diferentes

Ejemplo

∫
5x + 3
Calcular dx
x 3 − 2 x 2 − 3x
SOLUCIÓN:
Note que tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que
el grado del denominador es tres). Empecemos factorizando el denominador
5x + 3 5x + 3 5x + 3
=
(
x3 − 2 x 2 − 3 x x x 2 − 2 x − 2
=
)
x(x − 3)(x + 1)
El denominar se expresa en 3 factores lineales diferentes, entonces sus fracciones parciales serían
de la forma siguiente:
5x + 3 A B C
= + +
x(x − 3)(x + 1) x x − 3 x + 1
Ahora debemos encontrar los valores de A , B y C
Multiplicando por x (x − 3)(x + 1) a cada termino, resulta:
5 x + 3 = A(x − 3)(x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 3)
Una manera rápida y efectiva es evaluando la última expresión en las raíces de q (x ) :
Si x = 0 , resulta:
5(0) + 3 = A(0 − 3)(0 + 1) + B(0)(0 + 1) + C (0)(0 − 3)
3 = −3 A
A = −1
Si x = 3 , resulta:
5(3) + 3 = A(3 − 3)(3 + 1) + B (3)(3 + 1) + C (3)(3 − 3)
18 = 12 B
B=3
2
Si x = −1 , resulta:

26


5(−1) + 3 = A(−1 − 3)(−1 + 1) + B (−1)(−1 + 1) + C (−1)(−1 − 3)
− 2 = 4C
C=−1
2
Integrando,

∫ ∫
5x + 3 ⎛ −1 3 −1 ⎞
dx = ⎜ + 2 + 2 ⎟dx
x − 2 x − 3x
3 2 ⎜ x x − 3 x +1 ⎟
⎝ ⎠

∫ ∫ ∫
1 3 1 1 1
=− dx + dx − dx
x 2 x −3 2 x +1

= − ln x + ln x − 3 − ln x + 1 + C
3
2
1
2

CASO II. En q(x) hay factores lineales repetidos

Ejemplo

∫(
3x 2 − 8 x + 13
Calcular dx
x + 3)(x − 1)2
SOLUCIÓN:
En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma:
3 x 2 − 8 x + 13 A B C
= + +
(x + 3)(x − 1)2 x + 3 x − 1 (x − 1)2
multiplicando por (x + 3)(x − 1)2 se obtiene:
3 x 2 − 8 x + 13 = A(x − 1)2 + B (x + 3)(x − 1) + C ( x + 3)
Evaluando para las raíces:
Si x = −3 , resulta:
3(− 3)2 − 8(−3) + 13 = A(− 3 − 1)2 + B(− 3 + 3)(x − 1) + C (−3 + 3)
64 = 16 A
A=4
Si x = 1 , resulta:
3(1) 2 − 8(1) + 13 = A(1 − 1)2 + B(1 + 3)(1 − 1) + C (1 + 3)
8 = 4C
C=2
Como ya no disponemos de otra raíz, evaluamos para cualquier otro x y empleamos los valores
ya encontrados:
Si x = 0 , resulta:
3(0) 2 − 8(0) + 13 = 4(0 − 1)2 + B(0 + 3)(0 − 1) + 2(0 + 3)
13 = 4 − 3B + +6
B = −1
Integrando

∫( ∫
3x 2 − 8 x + 13 ⎛ 4 −1 2 ⎞
dx = ⎜ + + ⎟ dx
x + 3)(x − 1) 2 ⎜ x + 3 x − 1 (x − 1)2 ⎟
⎝ ⎠

∫ ∫ ∫(
1 1 1
=4 dx − dx + 2 dx
x+3 x −1 x − 1)2
2
= 4 ln x + 3 − ln x − 1 − +C
x −1

27


CASO III. En q(x) hay factores cuadráticos irreducibles

Ejemplo 1

∫
5x 2 + 2
Calcular dx
x 3 − 4x 2 + 5x
SOLUCIÓN:
En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma:
5x2 + 2 A B(2 x − 4 ) + C
5x2 + 2
x − 4 x + 5x x x − 4 x + 5
3 2
=
(
x
+ 2
2
x − 4x + 5 ) =

Note que para el polinomio de grado uno, que es numerador de la fracción con denominador el
factor cuadrático, se lo define con la derivada del denominador; por asunto de facilitar el cálculo de
la derivada.
( )
Simplificando, tenemos: 5 x 2 + 2 = A x 2 − 4 x + 5 + [B (2 x − 4 ) + C ](x )
Evaluando para x = 0 ,
( )
5(0 )2 + 2 = A (0)2 − 4(0) + 5 + [B (2(0 ) − 4 ) + C ](0 )
2 = 5A
A= 2
5
Para x = 2 , porque anulamos el término que contiene a B y como ya se conoce el valor de A
( )
5(2)2 + 2 = A (2 )2 − 4(2 ) + 5 + [B(2(2 ) − 4 ) + C ](2)
22 = 2
5
(1) + 2C
C = 54
5
Evaluando para x = 1 y empleando lo valores de A y C, tenemos:
5(1)2 + 2 = 2
5
((1) 2
)[
− 4(1) + 5 + B(2(1) − 4 ) + 54 (1)
5
]
7= 2
5
(2) + [B(− 2) + 54 ]
5

B = 23
10
Ahora, integrando resulta

∫ ∫
5x 2 + 2 ⎛ 25
⎜ +
23 (2 x − 4) + 54 5 ⎞
⎟
dx = 10
dx
x 3 − 4x 2 + 5x ⎜ x x 2 − 4x + 5 ⎟
⎝ ⎠

∫ ∫ ∫
2 1 23 2x − 4 54 1
= dx + dx + dx
5 x 10 x − 4x + 5
2 5 x − 4x + 5
2

∫
2 23 54 1
= ln x + ln x 2 − 4 x + 5 + dx
5 10 5 (x − 2 )2 + 1
arctg(x − 2 ) + C
2 23 54
= ln x + ln x 2 − 4 x + 5 +
5 10 5

Ejemplo 2

∫
x 3 −1
Calcular dx
x3 + x
SOLUCIÓN:
Note que en esta integral la fracción no es propia, el grado del numerador es 3 y el del
denominador también; por tanto dividiendo primero, se obtiene:
x 3 −1 x +1
= 1−
x3 + x x3 + x
La integral sería ahora:

28


∫ ∫
x3 −1 ⎛ x +1 ⎞
dx = ⎜1 −
⎜ ⎟dx
⎟
x3 + x ⎝ x3 + x ⎠

∫ ∫
x +1
= 1dx − dx
x3 + x
La primera integral es directa y la segunda por fracciones parciales. Entonces:
x +1 x +1 A B (2 x ) + C
=
x3 + x x x 2 +1 (= +
x )
x 2 +1
( )
Simplificando tenemos: x + 1 = A x + 1 + [B (2 x ) + C ](x )
2

( )
0 + 1 = A 0 2 + 1 + [B(2(0) ) + C ](0)
Evaluando para x = 0 , resulta: 1 = A(1)
A =1
Evaluando para x = 1 y utilizando el valor obtenido para A, resulta
( )
1 + 1 = 1 12 + 1 + [B(2(1) ) + C ](1)
2 = 2 + 2B + C
2B + C = 0
Evaluando para x = −1 y utilizando el valor obtenido para A, resulta
( )
− 1 + 1 = 1 (− 1)2 + 1 + [B(2(− 1)) + C ](− 1)
0 = 2 + 2B − C
2 B − C = −2
Tomando simultáneamente, ambos resultados, encontramos los valores de B y C
⎧2 B + C = 0
⎨
⎩ 2 B − C = −2
4 B = −2
Bastaría con sumar miembro a miembro las ecuaciones y obtendríamos B:
B=−1
2
C = −2 B
⎛ 1⎞
Entonces C = −2⎜ − ⎟
⎝ 2⎠
C =1

OTRO MÉTODO para obtener A, B y C, que en ocasiones es más ventajoso, es el que sigue:
( )
En la expresión x + 1 = A x 2 + 1 + [B (2 x ) + C ](x ) simplificamos hasta obtener un polinomio
reducido en ambos lados de la ecuación, es decir:
x + 1 = Ax 2 + A + 2 Bx 2 + Cx
x + 1 = ( A + 2 B )x 2 + Cx + A
⎧0 = A + 2 B
⎪
De la última expresión, rápidamente se puede decir que: ⎨1 = C
⎪1 = A
⎩
⎧A = 1
⎪
Por tanto ⎨ B = − 1
2
⎪
⎩C = 1
En fin, ahora integrando tenemos:

29


∫ ∫ ∫
x3 −1 x +1
dx = 1dx − dx
x3 + x x3 + x

( )
∫
⎛ 1 − 1 2x + 1 ⎞
= x− ⎜ + 2 ⎟dx
⎜x x 2 +1 ⎟
⎝ ⎠

∫ ∫ ∫
⎡ 1 1 2x 1 ⎤
= x−⎢ dx − dx + dx ⎥
⎢ x 2 x 2 +1 x 2 +1 ⎥
⎣ ⎦
= x− ⎡ln x − 1 ln x 2 + 1 + arctg(x )⎤ + C
⎢
⎣ 2 ⎥
⎦


∫ ∫
dx 4
1. 11. dx
(x − 1)(x + 3) x 4 −1

( )
∫ ∫
(4 x − 2)dx 2 x 2 + 3x + 2
2.
3 2
x − x − 2x
12.
(x + 2)(x 2
+ 2x + 2 ) dx

∫ ∫(
x dx x5
3. 13.
)
dx
(x + 1)(x + 2)(x + 3)2 x2 + 4
2

(2 − x )dx
∫ ∫(
2 4x 2 + 2x + 8
14.
)
4. 2
dx
x 3 + 3x 2 + 2 x x x2 + 2

( )
∫ ∫
x 2 + x − 10 x 2 − 4x + 3
(x − 1)2 (x 2 + 1)
15.
(2 x − 3)(x 2 + 4)
5. dx dx

∫ ∫
4x2 − x + 1 x3 − 1
6. dx 16. dx
x3 − x 2 + x − 1 4x3 − x

∫ ∫
x 3 dx sen x dx
7. 17.
2
x + x−2 cos 2 x + cos x − 6

∫( ∫
sec 2 t dt
dx 18.
8.
)(
x 2 − 4x + 4 x 2 − 5x + 6 ) sec 2 t − 3 tan t + 1

∫( ∫
3x − 1 dx
19.
9.
2 )(
x + 1 x + 2x + 22 ) dx (2 + cos x ) sen x

∫ ∫
x5 + 9x3 − 9x 2 − 9 dx
10. dx 20.
x x x
x3 + 9x 1+ e 2 + e 3 + e 6

30


1.2.3.7 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
TRIGONOMÉTRICAS

CASO I. Integrales del tipo
∫( R sen x, cos x )dx

⎧ 2t
⎪sen x =
⎪ 1+ t 2
⎪
⎪ 1− t 2
Se recomienda la siguiente sustitución tg 2 = t de donde
x
⎨cos x =
⎪ 1+ t 2
⎪ 2
⎪dx = dt
⎪
⎩ 1+ t 2

Ejemplo

∫
1
Calcular dx
1 + sen x + cos x
SOLUCIÓN:
Reemplazando y simplificando resulta:

∫ ∫
1 1 ⎛ 2 ⎞
dx = ⎜
⎜ ⎟
dt ⎟
1 + sen x + cos x 2t 1− t ⎝1+ t
2 2
⎠
1+ +
1+ t2 1+ t2

∫
1 ⎛ 2 ⎞
= ⎜
⎜ dt ⎟
⎟
1 + t + 2t + 1 − t ⎝ 1 + t
2 2
2
⎠
1+ t2

∫
2
= dt
2 + 2t

∫(
2
= dt
2 1+ t)

∫
1
= dt
1+ t

= ln 1 + t + C
= ln 1 + tg 2 + C
x

CASO II Integrales donde se cumple que

∫( R − sen x,− cos x )dx =
∫(
R sen x, cos x )dx

⎧ t
⎪sen x =
⎪ 1+ t 2
⎪
⎪ 1
Se recomienda usar la sustitución tg x = t de donde ⎨cos x =
⎪ 1+ t 2
⎪ dt
⎪dx =
⎪
⎩ 1+ t 2

31


Ejemplo

∫
1
Calcular dx
1 + sen 2 x
SOLUCIÓN:
Reemplazando y simplificando

∫ ∫
1 1 ⎛ dt ⎞
dx = ⎜ ⎟
2 2⎜ 2 ⎟
1 + sen x ⎛ ⎞ ⎝1+ t ⎠
1+ ⎜ ⎟
t
⎜
⎜ ⎟
⎝ 1 + t2 ⎟
⎠

∫
1 ⎛ dt ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
t2 ⎝1+ t
2
⎠
1+
1 + t2

∫
1 ⎛ dt ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
1 + t2 + t2 ⎝1 + t2 ⎠
1 + t2

∫
1
= dt
1 + 2t 2

∫
1
=
( 2 t )2
dt
1+

arctg( 2 t ) + C
1
=
2

arctg( 2 tg x ) + C
1
=
2


∫ ∫
dx dx
1. 5.
2 sen x + cos x + 5 sen x + tg x

∫ ∫
dx dx
2. 6.
3 sen x + 4 cos x cot x + csc x

∫ ∫
3.
1 sin x + cos x − 1
dx 7. dx
3 sen x − 4 cos x sin x + cos x + 1

∫ ∫
2
4.
sen x sin x − 2 cos x
dx 8. dx
1 + sen 2 x sin x + cos x + 1

Misceláneos

∫ ∫
x −1 e ar sen x + 3x 2 − 4 x + 2
1. dx 43. dx
3
x + 4x 1 − x2

∫ ∫
x2 − 1 x2 − 4
2. dx 44. dx
3
x x2

3.
∫ x 3 x 2 + 9 dx 45.
∫ sen 2 x cos 2 xdx

32


∫(3x )
∫
x
4. 2
− 2 x e 2 x dx 46. dx
1+ 4 x

∫ ∫
dx
5. 3 sen 2 x cos 5 2 xdx 47.
1 + senx + cos x

6.
∫
2x − 6
(x − 1)(x 2 + 1)
dx
48.
∫( 3 x 2 − 2 x + 5 ln xdx )

∫ ∫
e3 x + 1
2 cos x 49. dx
7. dx ex + 1
9 − cos 2 x

8.
∫(
x 2 − 5 x + 3 e − 2 x dx ) 50.
∫( 2 3 x 2 + 5 xdx )

∫ ∫
x3
ex 51. dx
9. dx 8
x +4
2x x
e + 4e + 1

10.
∫
senh ( x ) dx
x
52.
∫ (6x 2
)
− 4 x + 3 arctgx dx

∫( ∫
x +1 sen 4 x
53.
)
11. dx dx
x 2 + 4 x + 5 (x − 1) cos 4 x

∫ ∫
1 − x2 2 cos x − sen x
12. 54. dx
x
dx 3 sen x + cos x

13.
∫ sen 2 2 x cos xdx 55.
∫ cos x dx

∫ ∫
x
14.
cos x
dx 56. dx
cos 2 x x3 − 1

∫ ∫
15. cos 3 x cos 7 xdx x −1
57. dx
x + 4x
3

∫
3x 2 − 5 x + 4
(x − 2)2 (x 2 + 2 x + 3)
16.

∫
dx
x −1
58. 3
dx
x + 4x

∫
sen x
17.
( ) dx
∫
cos x cos 2 x + 1 5 x3 − 3x 2 + 2 x − 1
59. dx
x4 + x2

∫
2
x +1
18.

∫
dx
x ln x
60. dx
x + 4 x ln 2 x
19.
∫ x 3 x 2 + 9 dx
( )
∫
3
9 − x2
61. dx

∫
x6
x
20. dx

∫(
(x − 3)2 7x + 3
62.
x 2 + 2 x´+2 (x − 1) ) dx

∫
3
x
21. dx

∫
x 2 + 25 2x + 3
63. dx

∫
x3 + 4 x
3x
22. dx

∫
x4 + 4x2 + 5 e2 x
64. dx

∫
ex + 1
23. x 2 arctgxdx

∫
1+ x
65. dx
1 + x2

33


∫ ∫
1 − 4x2 x2
24. dx 66. dx
x 1 − x2

∫ ∫
x2 − 2x
25. e 2 x sen xdx 67. dx
x3 + 1

∫ ∫
( )
3
1 − sen x 16 + x 2 2
26. dx 68. dx
cos x
x2

∫ ∫
ex 3 cos x − 4 sen x
27. dx 69. dx
e 2x
e2 x + 4 sen x + cos x + 1

∫ ∫
ln x 3 tg x − 4 cos 2 x
28. dx 70. dx
x cos x

29.
∫x 2 x + 1dx 71.
∫
1
x (3 + ln x )
dx

∫ ∫
2
30. x 3e − x dx 72.
dx
x3 − x

∫ ∫
1 2x − 5
31. dx 73. dx
x 1 + ln x 3x 2 + 6 x + 9

∫ ∫
2x − 1
32. dx x −1
x3 − 2 x 2 − 3x 74. dx
x + 4x
3

∫
x 4 + 3x3 − 5 x 2 − 4 x + 7
33.

∫
dx
x3 + x 2 − 5 x + 3
75. 2 x arcsen xdx

∫
dx
34.
( )
∫
x 3 x 1+ 3 x dx
76.

∫
sen x cos 3 x
x2 − 2
35.
∫
dx
3x + 1 77.
cos x dx
1 + sen x + cos 2 x
36.
∫(3x − 1)cos 2 xdx
78.
∫
cos x dx
1 + sen x + cos 2 x

37.
∫ln (2 x + 3)dx
79.
∫ 1 + x dx

∫
2x + 3

∫
38. dx dx
(x + 1)(x 2 + 2 x + 2)
2
x − 3x + 2 80.

∫(
x3 − 1
) dx
∫
39.
x2 + 4 x e 4 x + 3e 2 x
81. dx
e4 x + 5

∫
1 − sen x
40.

∫
dx
x + cos x
82. sin 2 x cos 3 x cos 2 xdx

∫
2x + 3
41.

∫
dx
x 2 − 3x + 2 x
83. dx

∫
2 x+3 x
sen xdx
42.

∫
sen x + 2 cos x
dx
84.
(sin x + cos x )2

34

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