Ejercicios Propuestos

1. !
Republica!Bolivariana!de!Venezuela!
Universidad!Fermín!Toro!
Cabudare!Edo.!Lara!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
Ejercicios!!
Ecuaciones!Diferenciales!
!!!!!!
!!!!!
Alemairy!Dávila!20.469.468!
SAIA!
Matemática!IV!!
!!!!!
!

2. !!
ASIGNACIÒN!DE!EJERCICIOS!DE!LA!UNIDAD!II:!ECUACIONES!DIFERENCIALES!!
!
!!!
1.) Determine!si!la!función!es!solución!de!la!ecuación!diferencial.!
! a y = senx ( x + ctgx) y + y = −ctgx ) ln csc ; ,, !
!
!
2.) Resolver!las!siguientes!ecuaciones!diferenciales!de!primer!orden!de!acuerdo!al!método!
correspondiente.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a .) senx cos
xy y tg x
, 2
+ =
!! ) ( cos ) (2 cos 2 ) 0
y y !
2 2
b e y xy dx xe x xy y dy
− + − + =
!!;!!!!!!!!!!!
3.) Resolver!las!ecuaciones!diferenciales!de!orden!N!por!coeficientes!indeterminados.!
!
a .) y ,, + y , =
2
e 2
xsenx
.) ,,
+ 9 = 93 +
3cos
b y y x x
!
4.) Resuelva!por!variación!de!parámetros:!
a) Y”!+!9y!=!¼(!Cosec!3x)!
!!!!!!!!!!!!!!!!!

3. Asignaci´on de ejercicios de la unidad II: Ecuaciones Diferenciales.
1. Determine si la funci´on es soluci´on de la ecuaci´on diferencial.
y = senx ln(cscx + ctgx); y′′ + y = −ctgx
Soluci´on:
y′ = cosx ln(cscx + ctgx) + senx
!
−cscxctgx − csc2x
cscx + ctgx
"
= cosx ln(cscx + ctgx) − senxcscx
!
ctgx + cscx
cscx + ctgx
"
⇒ y′ = cosx ln(cscx + ctgx) − 1
y′′ = −senx ln(cscx + ctgx) − cosxcscx = −senx ln(cscx + ctgx) − ctgx
Luego:
y′′ + y = −senx ln(cscx + ctgx) − ctgx + senx ln(cscx + ctgx) = −ctgx
En consecuencia: y = senx ln(cscx + ctgx), es soluci´on de la ecuaci´on y′′ + y = −ctgx
2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al m´etodo
correspondiente.
a) senx + cosxy′ + y = tan2x
b) (e2y − ycosxy)dx + (2xe2y − xcosxy + 2y)dy = 0
Soluci´on:
a) La ecuaci´on diferencial planteada en este literal puede reescribirse en la forma
y′ = −
y
senxcosx
+
tan2x
senxcosx
= −
y
senxcosx
+ tanxsec2x
evidentemente que la ecuaci´on planteada es lineal debido a que presenta la forma general
y′ = p(x)y + q(x)
1

4. en donde: p(x) = −
1
senxcosx
y q(x) = tanxsec2x.
La soluci´on general de este tipo de ecuaci´on diferencial es
y = e−
!
pdx
#$
qe
!
pdxdx + c
%
&
pdx =
& dx
senxcosx
= 2
& dx
sen2x
= 2
&
csc2xdx = ln|csc2x − ctg2x|
e−
!
pdx = eln |csc2x−ctg2x| =
1
csc2x − ctg2x
Por otro lado:
$
qe
!
pdxdx =
$
(tanxsec2x)(csc2x − ctg2x)dx
tanxsec2x(csc2x − ctg2x) = tanxsec2x
#
1
sen2x −
cos2x
sen2x
)
%
=
tanxsec2x
sen2x
(1 − cos2x)
1
2cos4x
(1 − cos2x + sen2x) =
1
2cos4x
(2sen2x) =
sen2x
cos4x
tanxsec2x(csc2x − ctg2x) = tan2xsec2x = tan2x(1 + tan2x) = tan2x + tan4x
&
qe
!
pdxdx =
&
tan2xdx +
&
tan4xdx =
&
tan2xdx +
1
3
tan3x −
&
tan2xdx =
1
3
tan3x
Finalmente la soluci´on de la ecuaci´on diferencial planteada es:
y =
#
1
csc2x − ctg2x
%#
1
3
tan3x + c
%
b) Esta ecuaci´on presenta la forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, en donde:
M(x, y) = e2y − ycosxy; N(x, y) = 2xe2y − xcosxy + 2y
2

5. esta es una ecuaci´on diferencial exacta si se cumple que
∂M
∂y
=
∂N
∂x
.
∂M
∂y
= 2e2y − cosxy + xysenxy;
∂N
∂x
= 2e2y − cosxy + xysenxy ⇒
∂M
∂y
=
∂N
∂x
como se comprob´o que la ecuaci´on diferencial es exacta, entonces su soluci´on general es
una funci´on f(x, y) = c tal que
∂f
∂x
= M y
∂f
∂y
= N ⇒
∂f
∂x
= e2y − ycosxy ⇒ f =
$
(e2y − ycosxy)dx ⇒ xe2y − senxy + g(y)
por otro lado:
∂f
∂y
= N = 2xe2y − xcosxy + g′(y) ⇒ 2xe2y − xcosxy + g′(y) = 2xe2y − xcosxy + 2y
dg
dy
= 2y ⇒ g(y) =
$
2ydy ⇒ g(y) = y2
Finalmente:
xe2y − senxy + y2 = c
3. Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N seg´un el orden correspondiente.
a) y′′ + y′ = 2e2xsenx
b) y′′ + 9y = 9sec23x
Soluci´on: a) La soluci´on de una ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea de segundo
orden tiene la forma
y = yh + yp
en donde yh es la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea y′′ + y′ = 0.
3

7. La ecuaci´on caracter´ıstica de esta ecuaci´on es m2 + m = 0, la cual tiene como solu-ci
´on
yh = c1em1x + c2em2x
m2 + m = m(m + 1) = 0 ⇒ m = 0; m = −1; de donde se desprende que
yh = c2e−x + c1
Asimismo yp es una soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial y la vamos a calcular
de acuerdo a
1
D − r
f(x) = erx
&
e−rxf(x)dx.
Aqu´ı:
y′′ + y′ = (D2 + D)y = 2e2xsenx ⇒ D(D + 1)y = 2e2xsenx ⇒ y =
1
D(D + 1)
2e2xsenx
yp =
1
D
1
D + 1
2e2xsenx
1
D + 1
2e2xsenx = ex
&
e−x(2e2xsenx)dx = 2ex
&
exsenxdx
Esta ´ultima integral se resuelve por medio del m´etodo de integraci´on por partes. La
aplicaci´on del mencionado m´etodo produce co mo soluci´on
$
exsenxdx =
ex
2
(senx − cosx)
Asi:
yp =
1
D
e2x(senx − cosx) = e0
$
e0e2x(senx − cosx)dx =
$
e2xsenxdx −
$
e2xcosxdx
la soluci´on de la ´ultima integral produce
4

8. $
e2xcosxdx =
e2x
5
(senx + 2cosx)
Entonces
yp =
e2x
5
(senx − 3cosx)
Finalmente
y = c2e−x +
e2x
5
(senx − 3cosx) + c1
b)Al igual que en el caso anterior, aqui:
y = yh + yp
en donde yh es la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea y′′ + 9y = 0.
La ecuaci´on caracter´ıstica de esta ecuaci´on es m2 + 9 = 0, la cual tiene como soluci´on
yh = eax(c1cosbx + c2senbx)
m = ±√−9 = ±3i ⇒ yh = c1cos3x + c2sen3x
5

9. 4")"Variación"de"parámetros"
!!! + 9! =
1
4
!"#!3!"
"
Como"observamos"la"ecuación"tiene"la"forma:"
"
!!!! + !!!! + !" = 0"
"
!! + 9 = 0"
"
! = 1!; ! = 0!!; !! = 9"
"
!! = −9"
"
! = ± −9"
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""!!!!!!! = 3!"
! = ±3!"
"
""""""""""""""""""""""""!!!!! = −3!!"
"
!! = !!!!!! +!!!!!!!"
"
!! = !!!!"# +!!!!!!"#"
"
""
!!!!!" +!!!!!!!""como"!!!"#3! +!!!!"#3!."
"
Así,"!
!
!! = !!!"#3! +!!!!"#3!"
"
Ahora""debe"buscar"la"solución"particular"(!!)."
"
"!! = !! ! !"#$% + !! ! !"#$%"
"
Así"tendríamos,"!
!! = !!!! +!!!!!"""
"
!!
! = −3!"#3!"
"
!!
! = 3!"#3!"
!
! !!, !! =
!! !!
!!
! !!
! = !!. !!
! − !!
!. !! ≠ 0"
"

10. ! !"#3!, !"#3! = !"#3! !"#3!
−3!"#3! 3!"#3!
= 3!"#!3! − (−3!"#!3!)"
"
w= 3!"#!3! + 3!"#!3!"
"
! = 3(!"#!3! + !"#!3!)"
"
! !"#3!, !"#3! = 3"
""
!! =
0 !!
! ! !!
! "
"
!! =
0 !"#3!
1
4
!"#!3! 3!"#3! "
"
!! = 0 −
1
4
!"#3!. !"#$!3!"
"
!! = −
1
4
!"#3!
1
!"#3!
"
"
! = −
1
4
"
"
!! =
!! 0
!!
! !(!) =
!"#3! 0
−3!"#3!
1
4
!"#!3! =
1
4
!"#3!. !"#$!3! − 0"
"
!! =
1
4
!"#3!
1
!"#3!
=
1
4
!"#3!
!"#3!
"
""!
!!
! =
!!
!
"
"
!!
! =
−14
3
= −
1
12
"
"
!!! = −
1
12
!""
"
!! = −
!
12
"
"

11. !!
! =
!!
!
"
"
!!
! =
14
!"#3!
!"#3!
3
"
!!
! =
!"#3!
12!!"#3!
"
!!
Ahora"integramos"u2:"
"
!!! =
!"#3!
12!!"#3!
!""
"
Cambio"de"variable:"
"
ℎ = !"#3!!!! ⇛ !!!ℎ = 3!"#3!. !"!!!!! ⇛!!!
1
3
!ℎ = !"#3!. !""
!!"
"
!! =
1
12
1
3
!ℎ
ℎ
"
"
!! =
1
36
!ℎ
ℎ
"
"
!! =
1
36
!" ℎ "
"
!! =
1
36
!" !"#3! "
"
Luego""
"
!! = !! ! !! + !! ! !!"
"
!! = −
!
12
!"#3! +
1
36
!" !"#3! !"#3!"
"
Así"sustituyendo"en"y=c1yc+c2yp"
"
! =! !!!"#$% +!!!!"#$% −
!
!"
!"#$% +
!
!"
!" !"#$% !"#$%"