ejemplos sobre matrices

1. “matriz” a el conjunto de números dispuestos en forma rectangular,
ordenadas en filas y/o columnas.
MATRICES
EJEMPLO:
𝐴 =
1 2
7 2
3 4
FILAS COLUMNAS

2. PROPIEDADES DE LAS MATRICES:
 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1. Asociativa: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
2. Conmutativa:𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
Ejemplo:
2
1
3
+
1
−1
2
=
1
−1
2
+
2
1
3
=
3
0
5
3. Elemento neutro:0, 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴
Ejemplo:
𝟑
𝟐
+
𝟎
𝟎
=
𝟎
𝟎
+
𝟑
𝟐
=
𝟑
𝟐
4. Elemento opuesto:𝐴 + −𝐴 = 0
Ejemplo:
𝟐 𝟑
𝟏 −𝟏
+
−𝟐 −𝟑
−𝟏 𝟏
= 0

3.  PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE
NÚMEROS DE MATRICES
1. Asociativa:𝑎 − 𝑏 ∙ 𝐴 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝐴
2. Distributiva I: 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝐴 = 𝑎 ∙ 𝐴 + 𝑏 ∙ 𝐴
Ejemplo:
(2 + 3)
1 2
3 4
=
2
1 2
3 4
+ 3
1 2
3 4
3. Distributiva II: (A+B) = a.A+a.B
4. Producto por 1: 1.A = A

4.  PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES:
1. Asociativa: (A.B).C = A.(B.C)
(siempre que se puedan multiplicar)
¡el producto de matrices no es conmutativo!

5.  PROPIEDADES DE LAS MATRICES
CUADRADAS:
A. SUMA:
1. Asociativa: (A.B).C = A.(B.C)
2. Conmutativa: A+B = B+A
3. Elemento neutro: A+0 = 0+A
4. Elemento simetrico: A+ (-A) = 0 ¡OPUESTO DE A!

6. A. PRODUCTO:
1. Asociativa: (A.B).C = A.(B.C)
2. Conmutativa: ¡NO!
3. Elemtneo neutro: I; A.I = I.A = I
4. Elemento simetrico: B inversa; A.B = B.A = I
 Distributivas:
1. Distributiva 1: A.(B+C)= A.B+C.A
2. Distributiva 2: (B+C).A = B.A+C.A

7. 1. Adición de matrices.
Para sumar matrices se debe cumplir que:
 Ambas tienen que ser del mismo orden.
 El orden resultante será el común a ambas.
Ejemplo:
𝐴 =
2 8
4 10
6 12
𝑌 𝐵 =
1 7
3 9
5 11
𝐴 + 𝐵 =
3 15
7 19
11 23
OPERACIONES CON MATRICES:

8. 1. Sustracción de matrices.
𝐴 =
2 8
4 10
6 12
𝑌 𝐵 =
11 5
9 3
7 1
𝐴 − 𝐵 =
−9 3
−5 7
−1 11

9. 1. Multiplicación de matrices.
 Multiplicación de un escalar por una matriz.
Ejemplo:
Si: 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
5𝐴 =
5 × 𝑎 5 × 𝑏 5 × 𝑐
5 × 𝑑 5 × 𝑒 5 × 𝑓

10. 1. Multiplicación de dos matrices.
La multiplicación de una matriz A y otra matriz B
existe si y solo si el número de columnas de la primera
matriz es igual al umero de filas de la segunda matriz.
Dado dos matrices.
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛
𝑦𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛𝑥𝑝
→ 𝐴𝐵 = 𝐶 = 𝑐𝑖𝑘 𝑚𝑥𝑝
𝐴𝐵 =
𝑗=𝑖
𝑛
𝜕𝑖𝑗 × 𝑏𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑘 𝑚𝑥𝑝
Ejemplo: multiplicar la matriz A.B
𝐴 =
0 −7 3
2 4 −1
12 7 −6
𝐵 =
5 4 −3
0 −6 10
−2 8 11
A.B=C; 𝐶 =
−9 4 −9
43 16 41
15 −14 9

11. DIVISIÓN DE MATRICES:
POR UN ESCALAR:
𝐴 =
24 0 12
8 36 20
4 𝐴 =
24/4 0/4 12/4
8/4 36/4 20/4
𝐵 =
6 0 3
2 9 5

12. DETERMINANTES
A cada matriz cuadrada de orden n se le puede asociar
un número real llamado determinante de la matriz. Si A
es una matriz representaremos al determinante de A por
|A|.

13. 1.Determinante de una matriz de orden 2
𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
= 𝑎11𝑎21 − 𝑎12𝑎21
2. DETERMINANTES DE ORDEN 3
1. REGLA DE ESTRELLA 1. REGLA DE SARRUS 1. METODO POR MENORES
COMPLEMENTARIOS

14. 1. METODO DEL PIBOTE
Este método sirve para calcular el determinante de una matriz
de orden superior al tercero. El método consiste en obtener otro
determinante a partir de A aplicando repetidas veces la
propiedad 7 de los determinantes, que goce de la propiedad de
que todos los elementos de alguna fila o columna son ceros
excepto uno, es decir:

15. DETERMINANTE DE VOUDERMONDE
𝐷 =
1 1 1
5 2 3
25 4 9
𝐷 =(5 – 2) (2 – 3) (5 – 3)
𝐷 =(3) (-1) (2)
𝐷 =-6
La determinante de D
se definiría por los
factores que provocan
los cuadrados

16. PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES
PROPIEDAD 1:
𝐼 = 1
PROPIEDAD 2:
Si A es una matriz cuadrada que
tiene una línea (fila o columna)
compuesto exclusivamente de
ceros, entonces el determinante de
la matriz es cero
PROPIEDAD 3:
Los determinantes de una matriz y de su
traspuesta son iguales
PROPIEDAD 4:
Si la matriz B es obtenida de A
intercambiando dos filas o columnas
adyacentes, entonces: |B| = -|A|

17. PROPIEDAD 5:
Si A y B son dos matrices de orden n,
si B es la matriz que resulta de
multiplicar una línea de A por un
escalar K, entonces:
D (B) = KD (A)

18. PROPIEDAD 6:
Si B es la matriz que se obtiene de A al
trasladar una de sus líneas p lugares,
entonces:

19. PROPIEDAD 7:
Si los elementos de una fila o columna cualquiera consta de dos términos, el
determinante puede expresarse como la suma de otros determinantes.

20. PROPIEDAD 8:
Si dos filas o columnas de A son iguales o proporcionales
el determinante de la matriz es cero, es decir: |𝑨| = 0.

21. PROPIEDAD 9:
Si se multiplica una fila o columna de un determinante por un escalar k,
entonces el determinante queda multiplicado por dicho escalar.

22. PROPIEDAD 10
Si
es una matriz diagonal, entonces su determinante es:
|D|= 2x3x5x-11x9 = - 2970

23. PROPIEDAD 11
Si A es una matriz triangular, esto es, A sólo tiene ceros por
encima o por debajo de la diagonal principal, entonces el
determinante |A| es igual al producto de los elementos de la
diagonal.
- TRIANGULAR SUPERIOR
- 𝐴 =
𝑋 6 3
0 𝑌 2
0 0 𝑍
= (𝑋)(𝑌)(𝑍)
- TRIANGULAR INFERIOR
- 𝐴 =
𝑋 0 0
0 𝑌 0
5 4 𝑍
= (𝑋)(𝑌)(𝑍)

24. PROPIEDAD 12
|AB|= |A||B|

25. PROPIEDAD 13
Si dos filas (columnas) de A son iguales,
entonces det(A) = 0
PROPIEDAD 14
Toda matriz asimétrica A con orden impar tiene
determinante cero y sus elementos de DP son 0
𝑨𝑻 = −𝑨
𝑨 =
𝟎 𝟐 𝟑
−𝟐 𝟎 −𝟒
−𝟑 𝟒 𝟎
𝟑𝒙𝟑
DP= 0
PROPIEDAD 15
|A + B| ≠ |A| + |B|