Determinantes y matrices

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Unidad 9.7: Propiedades de las matrices
Tema 1: Operaciones matemáticas con matrices
Lección 1.2: Determinantes y matrices
Una matriz se convierte en determinante para ayudarnos a calcular áreas de
polígonos o figuras geométricas.
El determinante de una matriz es una función matemática que asocia a cada
matriz cuadrada (aquellas con igual número de filas y columnas) un número real.
Por esta razón, si se quiere calcular un área, es necesario tomar el valor absoluto
del determinante de la matriz con la que se trabaja.
Se debe tener cuidado con la simbología, para representar una matriz se pueden
usar corchetes o paréntesis:
Matriz A  𝐴 = [
3 4
5 −1
] o 𝐴 = (
3 4
5 −1
)
Al expresar un determinante se deben utilizar barras:
Determinante de la matriz A  det(𝐴) = |𝐴| = |
3 4
5 −1
|
Determinante de una matriz 2×2
Para calcular el determinante de una matriz con 2 filas y 2 columnas, hay que
aplicar el siguiente orden de operaciones:
|
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
Ejemplo:
|
3 4
5 −1
| = (3)(−1) − (4)(5) = −3 − 20 = −23

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Sin embargo, vemos que solo aplica para matrices 2×2. Si tenemos una matriz
3×3, podemos calcular el determinante de dos formas diferentes (aunque existen
muchos otros métodos).
Método del cofactor
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| = 𝑎 |
𝑒 𝑓
ℎ 𝑖
| − 𝑏 |
𝑑 𝑓
𝑔 𝑖
| + 𝑐 |
𝑑 𝑒
𝑔 ℎ
|
Veamos cómo hacemos cada cofactor:
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| Elegimos una fila (la que desees).
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| Marcamos la posición del primer factor: a.
𝑎 |
𝑒 𝑓
ℎ 𝑖
| Se forma el co-factor con su determinante 2x2.
Repetimos para el cofactor b y c.
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| → 𝑏 |
𝑑 𝑓
𝑔 𝑖
|
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| → 𝑐 |
𝑑 𝑒
𝑔 ℎ
|
De esta manera, obtenemos el valor del determinante:
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| = 𝑎 |
𝑒 𝑓
ℎ 𝑖
| − 𝑏 |
𝑑 𝑓
𝑔 𝑖
| + 𝑐 |
𝑑 𝑒
𝑔 ℎ
|

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Método de Sarrus
|𝐴| = |
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| → |
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
|
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
𝑔 ℎ
Se reescribe el determinante añadiendo las primeras dos columnas al lado
derecho.
 𝒂𝒆𝒊; 𝒃𝒇𝒈; 𝒄𝒅𝒉  Se multiplican los elementos de cada diagonal.
 𝒈𝒆𝒄; 𝒉𝒇𝒂; 𝒊𝒅𝒃  Se multiplican los elementos de cada diagonal.
El valor del determinante es:
|𝐴| = 𝒂𝒆𝒊 + 𝒃𝒇𝒈 + 𝒄𝒅𝒉 − 𝒈𝒆𝒄 − 𝒉𝒇𝒂 – 𝒊𝒅𝒃
Nota: Recuerda, los determinantes son valores que nos ayudan a obtener el área
de una figura.
Multiplicación de matrices
Cuando hablamos de multiplicar matrices, al igual que cuando la sumamos,
tenemos que ver primero las dimensiones que tienen las matrices que queremos
multiplicar.
Por ejemplo, dadas las matrices 2 2A  (con 2 filas y 2 columnas) y la matriz 2 3B 
(con 2 filas y 3 columnas):

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𝐴 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]  2 filas × 2 columnas = 2×2
𝐵 = [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
]  2 filas × 3 columnas = 2×3
Para poder multiplicar dos matrices, la cantidad de columnas de la primera
matriz debe ser igual a la cantidad de filas de la segunda matriz:
 La 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 tiene 2 columnas.
 La 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐵 tiene 2 filas.
Quiere decir, que SI se pueden multiplicar.
Una forma de representar esta condición es:
 2 3 22 322 3
A B AB C  
  
La cantidad de filas de la primera matriz con la cantidad de columnas de la
segunda matriz forma la dimensión del resultado de 𝐴𝐵 = 𝐶. Es decir, cuando
multipliquemos 𝐴𝐵 obtenemos una matriz de 2 filas y 3 columnas, 2×3.
Veamos un ejercicio de ejemplo.
𝐴 = [
2 3
−1 0
] 𝐵 = [
2 −1 4
3 8 1
]
𝐴𝐵 = [
(2)(2) + (3)(3) (2)(−1) + (3)(8) (2)(4) + (3)(1)
(−1)(2) + (0)(3) (−1)(−1) + (0)(8) (−1)(4) + (0)(1)
]
Observa que cada grupo de sumas son la multiplicación de los elementos de la
primera fila con la primera columna, luego segunda fila con la primera columna.
Y se repite con los elementos hacia la derecha de la matriz.
𝐴𝐵 = [
4 + 9 −2 + 24 8 + 3
−2 + 0 1 + 0 −4 + 0
] = [
13 22 11
−2 1 −4
]

5. |5|
Inversa de una matriz
Cuando hablamos de inversa pensamos en las propiedades de números enteros.
Las matrices también tienen inversa bajo condiciones específicas.
La matriz inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz cuadrada representada
por A-1 que cumpla con la siguiente condición:
1 1
A A A A I 
   
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que A y A-1. Por ejemplo, la
matriz identidad de orden 2×2 es:
1 0
I
0 1
 
  
 
La condición necesaria y suficiente ara la existencia de la matriz inversa es:
𝑆𝑖 𝐴 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| ≠ 0
Si el determinante de una matriz cuadrada de orden 2×2 es distinto de cero,
entonces se puede demostrar que su matriz inversa es:
𝐴−1
=
1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
[
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
]
Veamos un ejemplo:
Encuentra la inversa de 𝐵 = [
−1 −4
2 −3
]
𝐵 = [
−1 −4
2 −3
] → det(𝐵) = |
−1 −4
2 −3
| = (−1)(−3) − (2)(−4) = 4 + 8 = 12
Ya sabemos que tiene matriz inversa porque det(𝐵) = 12 ≠ 0.
Ahora, aplicamos la fórmula para hallar la matriz inversa:

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𝐵−1
=
1
(−1)(−3) − (−4)(2)
[
−3 4
−2 −1
]
𝐵−1
=
1
3 + 8
[
−3 4
−2 −1
]
𝐵−1
=
1
11
[
−3 4
−2 −1
]
𝐵−1
= [
−
3
11
4
11
−
2
11
−
1
11
]
Como tarea, demuestra que el producto entre B y B-1 es la matriz identidad I:
1 1
B B B B I 
   
[
−1 −4
2 −3
] ⋅ [
−
3
11
4
11
−
2
11
−
1
11
] = [
−
3
11
4
11
−
2
11
−
1
11
] ⋅ [
−1 −4
2 −3
] = [
1 0
0 1
]
Para ver que todo tiene conexión, te recomiendo que realices las actividades de
cada lección. Verás cómo podemos aplicar los conceptos estudiados en esta
unidad.

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Si deseas conocer más sobre las lecciones puedes pulsar en los siguientes
enlaces:
Matrices
- http://tube.geogebra.org/m/142251
- http://tube.geogebra.org/m/1182904
- http://tube.geogebra.org/m/163587
Referencias
Foster, A., Gordon, B., Winters, L., Rath, J. & Gell. J. (1995). Algebra 2 with
Trigonometry. USA: Glencoe McGraw-Hill