Una matriz es una tabla rectangular de números. Tiene filas y columnas, y cada número en la tabla es un elemento de la matriz. Se puede calcular la inversa de una matriz cuadrada usando el método de Gauss-Jordan. Este método coloca la matriz al lado de una matriz identidad y aplica operaciones de filas para obtener la matriz identidad a la izquierda y la inversa de la matriz original a la derecha. Las matrices se pueden sumar o restar si tienen el mismo número de filas y columnas.

2. Definición. Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números. Los numeras en el arreglo se denominan elementos de la matriz. Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas.

3. Ejemplos: La matriz es una matriz 4×3. El elemento A [2,3] o a 2,3 es 7. La matriz es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos .

4. Matriz Inversa Método de Gauss-Jordan, es el cálculo de matrices inversas. Sea A una matriz de NxN . La matriz inversa de A es una matriz B de tal que: Se escribe para denotar la matriz inversa. Cuando la matriz inversa existe, es única, pero no siempre existe la matriz inversa. Un resultado de algebra lineal prueba que la matriz inversa existe si y solo si el determinante de A es distinto de cero. El método de Gauss-Jordan procede como sigue: Es decir, en una matriz comenzamos por escribir la matriz A , y a su derecha agregamos la matriz identidad del mismo orden que la matriz A ; enseguida aplicamos el método de Gauss-Jordan para hacer los ceros y unos y obtener del lado izquierdo la matriz identidad . Del lado derecho lo que obtendremos será la matriz inversa de A .

5. Ejemplo Solución . En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad : El primer elemento pivote está bien colocado y procedemos a hacer ceros debajo de este elemento. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por y lo sumamos al renglón 2. Esto nos da: Nuestro segundo elemento pivote es . Para hacer ceros arriba de este elemento, multiplicamos el renglón 2 por y lo sumamos al renglón 1. Esto nos da: Finalmente, hacemos los 1’s en la diagonal principal. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por y el renglón 2 por. Esto nos da la matriz final: Por lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es: A=

6. Matriz Inversa A · A -1 = A -1 · A = I Propiedades (A · B) -1 = B -1 · A -1 (A -1 ) -1 = A (k · A) -1 = k -1 · A -1 (A t ) -1 = (A -1 ) t Ejemplo

7. formas de obtener el determinante (método cofactores). Ejemplo: 1) Un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus : Ejemplo: 2)

8. Operaciones Suma y resta de matrices Suma de matrices: Lo que se hace es sumar cada posición de una matriz con la misma de la otra, por lo que la matriz resultante es una con el mismo numero de filas y columnas que las demás y cuyos valores son la suma de los valore de las otras 2 matrices. Ejemplos: 1) -3 3 2 1 -1 1 -2 0 + 6 4 8 2 -6 5 -5 = -2 9 6 9 1 -5 3 -5 2) 0 2 9 -6 0 2 -6 2 11 + =

9. Resta de matrices : Lo que se hace es restar cada posición de una matriz con la misma de la otra, por lo que la matriz resultante es una con el mismo numero de filas y columnas que las demás y cuyos valores son la resta de los valore de las otras 2 matrices. -3 3 2 1 -2 0 6 4 -6 5 -5 -4 -6 -2 7 -7 5 - = 1) 4 6 0 2 1 1 1 2 6 0 1 1 0 1 0 2 0 0 7 0 1 0 - = 2)

10. Nota: La única regla que hay para la resta y suma de matrices es que ambas tienen que tener el mismo numero de filas y de columnas, y no importa si son rectangulares o cuadradas.