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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
ANALÍTICA
CRES
APUNTE TEÓRICO – PRÁCTICO
UNIDAD N° 3
“Determinantes”
Docentes:
Ing. Micaela Mulassano
Ing. Luana Genero

Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 2
3. DETERMINANTES
3.1 Definición
Dada una matriz cuadrada, la función determinante asocia a dicha matriz con un número real
llamado determinante de A.
El determinante de una matriz cuadrada es único, de modo que, más allá del método que se utilice
para obtenerlo, el resultado siempre es el mismo.
El determinante de una matriz 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛
se simboliza con |𝑨|, 𝐝𝐞𝐭(𝐀) 𝒐 𝑫𝒆𝒕(𝑨).
Observación: |𝐴| no guarda relación alguna con el valor absoluto de un número real.
 Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 ( 𝑨𝟏𝒙𝟏)
Si 𝐴 = [𝑎11] ∈ 𝑅1𝑥1
; entonces el det(A) = │𝐴│ = 𝑎11
Ejemplo:
𝐴 = [−5]; entonces el det(A) = │ − 5 │ = −5
 Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 ( 𝑨𝟐𝒙𝟐)
Si 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] ∈ 𝑅2𝑥2
; entonces el det(A) = |𝐴| = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| = 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12
El determinante de una matriz A de orden 2x2 se obtiene realizando el producto de los
elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
Ejemplo:
Si 𝐴 = [
4 −3
2 1
] entonces el det(A) = |𝐴| = |
4 −3
2 1
| = 4 ∗ 1 − (−3) ∗ 2 = 4 − (−6) = 10
Esto también se conoce con el nombre de Regla de Sarrus, que sólo es posible aplicar hasta
determinantes de orden 3.
 Regla de Sarrus
Para calcular el determinante de una matriz de 3x3 se agregan al final de la matriz las dos primeras
filas conservando su orden. Luego se suman los tres productos indicados mediante flechas que
descienden de izquierda a derecha (flechas azules) y se restan los tres productos indicados con flechas
que descienden de derecha a izquierda (flechas verdes).
A idéntico resultado se llega si se agregan, lateralmente, las dos primeras columnas.
IMPORTANTE: tenga presente que la regla de Sarrus sólo es válida para calcular determinantes de
orden 3.

pág. 3
Esquemáticamente:
Dada 𝐴3𝑥3 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
], entonces el determinante de A es:
|𝐴| = |
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑
|
|
= [(𝑎11𝑎22𝑎33) + (𝑎21𝑎32𝑎13) + (𝑎31𝑎12𝑎23)] − [(𝑎13𝑎22𝑎31) + (𝑎23𝑎32𝑎11) + (𝑎33𝑎12𝑎21)]
3.1.1 Algunas definiciones necesarias
 Submatriz: Se denomina submatriz de una matriz 𝐴𝑛𝑥𝑛 a la matriz que se obtiene suprimiendo
de A una o más filas, una o mas columnas, o ambas cosas.
 Matriz Menor o Menor 𝑴𝒊𝒋: Menor ij de la matriz 𝐴𝑛𝑥𝑛 es la submatriz de A de orden (𝑛 −
1)𝑥(𝑛 − 1), obtenida eliminando la fila i-ésima y la columna j-ésima de A. Se simboliza con
𝑴𝒊𝒋(𝑨)
𝐴 =
(
𝑎11 𝑎12
𝑎21
⋮
𝑎𝑖−11
𝑎𝑖1
𝑎𝑖+11
⋮
𝑎𝑛1
𝑎22
⋮
𝑎𝑖−12
𝑎𝑖2
𝑎𝑖+12
⋮
𝑎𝑛2
⋯
⋯
⋮
⋯
⋯
⋯
⋮
⋯
𝑎1𝑗−1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑗+1 ⋯ 𝑎11
𝑎2𝑗−1 𝑎2𝑗
𝑎2𝑗+1 ⋯ 𝑎11
⋮
𝑎𝑖−1𝑗−1
𝑎𝑖𝑗−1
𝑎𝑖+1 𝑗−1
⋮
𝑎𝑛𝑗−1
⋮
𝑎𝑖−1𝑗
𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖+1 𝑗
⋮
𝑎𝑛𝑗−1
⋮
𝑎𝑖−1𝑗+1
𝑎𝑖 𝑗+1
𝑎𝑖+1 𝑗+1
⋮
𝑎𝑛𝑗+1
⋮
⋯
⋯
⋯
⋮
⋯
⋮
𝑎𝑖−1𝑛
𝑎𝑖𝑛
𝑎𝑖+1𝑛
⋮
𝑎𝑛𝑛 )
𝑀𝑖𝑗(𝐴) =
(
𝑎11 𝑎12
𝑎21
⋮
𝑎𝑖−11
𝑎𝑖+11
⋮
𝑎𝑛1
𝑎22
⋮
𝑎𝑖−12
𝑎𝑖+12
⋮
𝑎𝑛2
⋯
⋯
⋮
⋯
⋯
⋮
⋯
𝑎1𝑗−1
𝑎𝑖𝑗+1 ⋯ 𝑎11
𝑎2𝑗−1
𝑎2𝑗+1 ⋯ 𝑎11
⋮
𝑎𝑖−1𝑗−1
𝑎𝑖+1 𝑗−1
⋮
𝑎𝑛𝑗−1
⋮
𝑎𝑖−1𝑗+1
𝑎𝑖+1 𝑗+1
⋮
𝑎𝑛𝑗+1
⋮
⋯
⋯
⋮
⋯
⋮
𝑎𝑖−1𝑛
𝑎𝑖+1𝑛
⋮
𝑎𝑛𝑛 )
Por simplicidad, normalmente se denota como 𝑀𝑖𝑗. Solo se hará uso de la notación 𝑀𝑖𝑗(𝐴) cuando
se trabaje con más de una matriz.
Si 𝐴2𝑥2 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
]; entonces la matriz menor 𝑀11(𝐴)=[𝑎22]
Si 𝐴3𝑥3 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] ; entonces la matriz menor 𝑀11(𝐴)=[
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
]

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Resumiendo, si consideramos el elemento 𝑎𝑖𝑗 , decimos que el Menor de dicho elemento (𝑀𝑖𝑗), es la
submatriz que se obtiene de eliminar la fila 𝑖 y la comuna 𝑗 a la que pertenece dicho elemento 𝑎𝑖𝑗.
Ejemplo: Si 𝐴3𝑥3 = [
1 2 5
6 6 3
2 1 4
] ; entonces la matriz menor de:
𝑀11(𝐴)=[6 3
1 4
], 𝑀13(𝐴)=[6 6
2 1
], 𝑀22(𝐴)=[1 5
2 4
]
 Cofactor 𝑪𝒊𝒋
Sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛
; se denomina cofactor 𝐶𝑖𝑗 del elemento 𝑎𝑖𝑗 de la matriz 𝐴𝑛𝑥𝑛 al producto entre (−1)𝑖+𝑗
y el determinante de la matriz menor 𝑀𝑖𝑗.
Simbólicamente:
𝑪𝒊𝒋 = (−𝟏)𝒊+𝒋
𝐝𝐞𝐭(𝑴𝒊𝒋)
Ejemplo: Si 𝐴3𝑥3 = [
2 3 −1
0 2 4
−2 5 6
] ; entonces el 𝐶22 𝑦 𝐶12 son:
𝑪𝟐𝟐 = (−1)2+2
det(𝑀22) = (−1)4
det ([
2 −1
−2 6
]) = 1[(2 ∗ 6) − (−1 ∗ −2)] = 𝟏𝟎
𝑪𝟏𝟐 = (−1)1+2
det(𝑀12) = (−1)3
det ([
0 4
−2 6
]) = −1[(0 ∗ 6) − (4 ∗ −2)] = −𝟖
3.1.2 Determinante de orden n
El determinante de orden asociado a una matriz 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛
, se definirá a través de una función
recursiva:
Se denomina determinante de orden n asociado a una matriz cuadrada 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛
, y se simboliza con
|𝐴| 𝑜 det(𝐴), al valor calculado mediante la función:
 Para un determinante de orden n=1:
det(𝐴1) = 𝑎11 , 𝑠𝑖 𝑛 = 1
 Para los determinantes de orden 𝑛 > 1:
det(𝐴𝑛) = ∑ 𝑎1𝑘𝐶1𝑘
𝑛
𝑘=1
, 𝑠𝑖 𝑛 > 1
𝐴2𝑥2 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
]

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det(𝐴2) = ∑ 𝑎1𝑘𝐶1𝑘 = 𝑎11𝐶11 + 𝑎12𝐶12 =
2
𝑘=1
𝑎11(−1)1+1
det(𝑎22) + 𝑎12(−1)1+2
det(𝑎12)
det(𝐴2) = 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12
𝐴3𝑥3 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
]
det(𝐴3) = ∑ 𝑎1𝑘𝐶1𝑘 = 𝑎11𝐶11 + 𝑎12𝐶12 + 𝑎13𝐶13 =
3
𝑘=1
det(𝐴3) = 𝑎11(−1)1+1
det ([
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
]) + 𝑎12(−1)1+2
det ([
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
]) + 𝑎13(−1)1+3
det ([
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
])
det(𝐴3) = 𝑎11(1)[𝑎22𝑎33 − 𝑎23𝑎32] + 𝑎12(−1)[𝑎21𝑎33 − 𝑎23𝑎31] + 𝑎13(1)[𝑎21𝑎32 − 𝑎22𝑎31]
Este desarrollo constituye lo que se conoce como Teorema del desarrollo de un determinante por los
cofactores de una línea (o Regla de Laplace).
El determinante 𝐝𝐞𝐭(𝑨𝒏) de una matriz se puede calcular sumando los productos obtenidos entre
los elementos de una línea (fila o columna) por sus respectivos cofactores.
Observación: esta definición nos permite calcular el determinante de cualquier orden n, reduciendo
el cálculo a n determinantes de un orden inferior.
De este modo, notamos que no resulta práctica su aplicación a determinantes de orden 4 en adelante,
salvo con aquellos determinantes que contengan varios ceros en sus filas o sus columnas.
3.1.2 Cálculo del determinante de una matriz triangular
𝐴5𝑥5 =
[
𝑎11 0 0 0 0
𝑎21 𝑎22 0 0 0
𝑎31 𝑎32 𝑎33 0 0
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44 0
𝑎51 𝑎52 𝑎53 𝑎45 𝑎55]
Si calculamos el determinante aplicando el desarrollo de un determinante por los cofactores de una
línea:
det(𝐴5) = ∑ 𝑎1𝑘𝐶1𝑘 = 𝑎11𝐶11 + 𝑎12𝐶12 + 𝑎13𝐶13 + 𝑎14𝐶14 + 𝑎15𝐶15 = 𝑎11𝐶11
5
𝑘=1

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det(𝐴5) = 𝑎11(−1)1+1
𝐝𝐞𝐭 ([
𝒂𝟐𝟐 𝟎 𝟎 𝟎
𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑 𝟎 𝟎
𝒂𝟒𝟐 𝒂𝟒𝟑 𝒂𝟒𝟒 𝟎
𝒂𝟓𝟐 𝒂𝟓𝟑 𝒂𝟒𝟓 𝒂𝟓𝟓
])
det(𝐴5) = 𝑎11[𝒂𝟐𝟐(−𝟏)𝟐+𝟐
𝐝𝐞𝐭 ([
𝒂𝟑𝟑 𝟎 𝟎
𝒂𝟒𝟑 𝒂𝟒𝟒 𝟎
𝒂𝟓𝟑 𝒂𝟒𝟓 𝒂𝟓𝟓
])]
det(𝐴5) = 𝑎11[𝑎22[𝑎33(−1)3+3
det ([
𝑎44 0
𝑎45 𝑎55
])]]
det(𝐴5) = 𝑎11[𝑎22[𝑎33[𝑎44(−1)4+4
det([𝑎55])]]]
𝐝𝐞𝐭(𝑨𝟓) = 𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟑𝒂𝟒𝟒𝒂𝟓𝟓
Por lo tanto, el resultado es: │𝐀│ = 𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟑𝒂𝟒𝟒𝒂𝟓𝟓
El cálculo del determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal
principal.
𝐝𝐞𝐭(𝑨𝐧) = 𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟑𝒂𝟒𝟒𝒂𝟓𝟓…𝒂𝒏𝒏
3.2 Propiedades de los determinantes
A continuación, se estudiará un conjunto de propiedades, haciendo hincapié en aquellas que luego
permitirán simplificar el cálculo de un determinante.
 Propiedad 1: El determinante de una matriz A es igual al determinante de su matriz transpuesta
AT
En símbolos: |𝐴𝑇| = |𝐴|
Esta propiedad es relevante ya que permite hacer extensiva cualquier otra propiedad demostrada
para un reglón a columna o viceversa. Por ello se hará mención a “línea”, entendiendo por esto fila o
columna. Así, cuando se efectúa el desarrollo de los elementos por sus cofactores, es válido utilizar
una fila o una columna.
De igual modo, cuando nos referimos a una matriz inferior, se puede decir lo mismo de una matriz
superior.
 Propiedad 2: Si la matriz tiene una línea (fila o columna) nula, entonces su determinante es nulo.
Esto se demuestra tomando en el desarrollo por cofactores, la línea nula, de modo que todos los
productos se anulan.

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𝑆𝑖 𝐴 = (
0 0 0
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) → |𝐴| = |
0 0 0
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
Desarrollando el determinante por la primera fila (nula)
|𝑨| = 0𝐶11 + 0𝐶12 + 0𝐶13 = 𝟎
 Propiedad 3: Si toda una línea de la matriz se encuentra multiplicada por un escalar k (k ε R), esto
es equivalente a multiplicar a todo el determinante por dicho escalar k.
|𝐴| = |
|
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝒌𝑎𝑖1 𝒌𝑎𝑖2 … 𝒌𝑎𝑖𝑛
… … … …
𝑎𝑛1 𝑎2𝑛 … 𝑎𝑛𝑛
|
|
|𝐴| = 𝒌 |
|
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑛
… … … …
𝑎𝑛1 𝑎2𝑛 … 𝑎𝑛𝑛
|
| = 𝒌|𝐴|
Esto también puede interpretarse que, si un escalar multiplica a toda una línea, es posible extraer un
factor (k) del determinante.
Observaciones: cuando se multiplica un escalar por una matriz, esto es equivalente a multiplicar todos
los elementos de la matriz por dicho escalar; mientras que, si se multiplica un escalar por un
determinante, este escalar sólo afecta a una línea del determinante (fila o columna).
 Propiedad 4: Si en una matriz se intercambian dos líneas (filas o columnas), el determinante
asociado a esa matriz cambia de signo.
Ejemplo:
𝐴 = [
2 0 2
0 3 0
0 0 1
], el determinante |𝐴| = 6
Ahora tenemos la matriz B, que resulta de un cambio de fila en la matriz A
𝐵 = [
0 3 0
2 0 2
0 0 1
], el determinante |𝐵| = −6
 Propiedad 5: Si una matriz tiene dos líneas iguales o proporcionales, entonces su determinante
es nulo.

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 Propiedad 6: El determinante de una matriz no cambia cuando a una línea se le suma el múltiplo
escalar de otra. Dicho de otra manera: cuando a una línea se le suma otra, previamente
multiplicada por un escalar, el valor del determinante no se altera.
 Propiedad 7: El determinante del producto entre dos matrices A y B es igual al producto de sus
respectivos determinantes
│𝐴 𝑥 𝐵│ = │𝐴││𝐵│
 Propiedad 8: Si los elementos de una línea son suma de m términos, entonces el determinante
puede descomponerse en la suma de m determinantes.
|𝐴| = |
𝒂 + 𝒃 𝒄 + 𝒅 𝒆 + 𝒇
2𝑎 2𝑐 2𝑒
−𝑏 −𝑑 −𝑓
|
|𝐴| = |
𝒂 𝒄 𝒆
2𝑎 2𝑐 2𝑒
−𝑏 −𝑑 −𝑓
| + |
𝒃 𝒅 𝒇
2𝑎 2𝑐 2𝑒
−𝑏 −𝑑 −𝑓
|
 Propiedad 9: Si una línea (fila o columna) es combinación lineal de las otras, entonces el
determinante es nulo.
3.3 Resolución de determinantes por el método de triangulación
Dada una matriz A cuadrada, mediante las operaciones elementales de fila (o el método de Gauss-
Jordan) se reduce la matriz hasta obtener una matriz triangular superior (es decir, sólo se hacen 0 por
debajo de la diagonal principal).
Como demostramos anteriormente, el cálculo del determinante de una matriz triangular se obtiene
con el producto de los elementos de la diagonal principal.
Este resultado puede estar afectado por algún escalar, en función de las operaciones que se hayan ido
realizando para triangular la matriz.
Al ir aplicando las operaciones elementales de fila, debemos recordar las propiedades vistas
anteriormente, para ver si las operaciones realizadas van modificando al determinante en cuestión:
 Si se intercambian filas, cambia el signo del determinante: Propiedad 4.
 Cuando se multiplica una fila por un escalar (para obtener el número 1) debe multiplicarse a
todo el determinante por el inverso de dicho escalar para no alterarlo. Propiedad 3.
 Las demás operaciones no modifican al determinante.

pág. 9
3.4 Usos de los determinantes
3.4.1 Matriz Adjunta
Si consideramos la matriz 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛
, denominamos Matriz Adjunta a la matriz que se obtiene de
transponer la matriz de los Cofactores.
Simbólicamente: 𝐴𝑑𝑗(𝐴)
Matriz de los Cofactores es aquella donde cada elemento de la matriz A se reemplaza por su
correspondiente cofactor.
Dada la matriz 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ … ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
] ,
tenemos 𝐶 la matriz de los cofactores de A: 𝐶 = [
𝐶11 𝐶12 … 𝐶1𝑛
𝐶21 𝐶22 … 𝐶2𝑛
⋮ ⋮ … ⋮
𝐶𝑛1 𝐶𝑛2 … 𝐶𝑛𝑛
]
La Matriz Adjunta se obtiene de transponer la matriz de los Cofactores.
𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 𝐶𝑇
= [
𝑐11 𝑐21 … 𝑐𝑛1
𝑐12 𝑐22 … 𝑐𝑛2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑐1𝑛 𝑐2𝑛 … 𝑐𝑛𝑛
]
3.4.2 Adjunta e Inversa
Si efectuamos el producto entre la matriz A y su Adjunta.
𝐴 ∗ 𝐴𝑑𝑗(𝐴)
Observamos que para toda matriz 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛
,
𝐴 ∗ 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 𝐴𝑑𝑗(𝐴) ∗ 𝐴 = │A│ ∗ I
A ∗ Adj(A)
[
𝑐11 𝑐21 … 𝑐𝑛1
𝑐12 𝑐22 … 𝑐𝑛2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
]
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ … ⋮
] [
𝑥11 𝑥12 … 𝑥1𝑛
𝑥12 𝑥22 … 𝑥2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 … 𝑥𝑛𝑛
]
Dada la definición del producto entre matrices y teniendo en cuenta que el elemento ij de la matriz
adjunta es el cofactor ji, por lo que se obtiene:

pág. 10
𝑥𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘𝐶𝑗𝑘
n
𝑘=1
Si 𝒊 = 𝒋 , (los elementos de la diagonal principal: 𝑥11, 𝑥22, … , 𝑥𝑛𝑛)
𝑥𝑖𝑖 = ∑ 𝑎𝑖𝑘𝐶𝑖𝑘 = |𝐴|
n
𝑘=1
(𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒)
Si 𝒊 ≠ 𝒋, Nos queda, la suma de los productos de los elementos de una línea por los cofactores de
una línea paralela.
Tenemos una propiedad que nos indica que:
Sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛
, la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) multiplicados
por los cofactores de los elementos de otra fila (o columna) es cero.
Resumiendo, de este producto nos queda como resultado lo siguiente:
A ∗ Adj(A)
[
𝑐11 𝑐12 … 𝑐𝑛1
𝑐12 𝑐22 … 𝑐𝑛2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
]
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ … ⋮
] [
|𝐴| 0 … 0
0 |𝐴| … 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 … |𝐴|
]
Adj(A) ∗ A [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ … ⋮
]
[
𝑐11 𝑐12 … 𝑐𝑛1
𝑐12 𝑐22 … 𝑐𝑛2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
] [
|𝐴| 0 … 0
0 |𝐴| … 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 … |𝐴|
]
|𝐴| [
1 0 … 0
0 1 … 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 … 1|
] = [
|𝐴| 0 … 0
0 |𝐴| … 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 … |𝐴|
]
siendo 𝐼 la matriz Identidad de 𝑅𝑛𝑥𝑛
.

pág. 11
Si el │𝐴│ ≠ 0 , multiplicamos miembro a miembro por el escalar
1
|𝐴|
Entonces:
1
|𝐴|
(𝐴 ∗ 𝐴𝑑𝑗(𝐴)) =
1
|𝐴|
(𝐴𝑑𝑗(𝐴) ∗ 𝐴) =
1
|𝐴|
(│A│ ∗ I)
Al utilizar las propiedades de las operaciones matriciales,
1
|𝐴|
𝐴𝑑𝑗(𝐴) ∗ 𝐴 =
1
|𝐴|
𝐴𝑑𝑗(𝐴) ∗ 𝐴 = 𝐼
Entonces, 𝐵 ∗ 𝐴 = 𝐵 ∗ 𝐴 = 𝐼
Podemos ver claramente que la matriz B verifica la definición de matriz inversa de A.
Por lo tanto, si │𝐴│ ≠ 0 tenemos que 𝐴−1
=
1
|𝐴|
𝐴𝑑𝑗(𝐴)
Esta expresión la conocemos como el cálculo de la matriz inversa por definición.
De esta expresión también se desprende que la condición necesaria y suficiente para la existencia
de la matriz inversa, es que su determinante no sea nulo.
3.4.3 Regla de Cramer
Es un método que permite resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas compatibles
determinadas.
Resulta conveniente para la resolución de un sistema de 2 y 3 ecuaciones lineales con 2 y 3
incógnitas respectivamente (aunque puede aplicarse a n ecuaciones lineales con n incógnitas).
Sin embargo, sólo es aplicable cuando el sistema es compatible determinado (lo que puede
detectarse en una primera instancia).
3.4.3.1 Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por la Regla de Cramer
Para encontrar la incógnita i-ésima de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas compatible
determinado, 𝐴𝑛𝑥𝑛𝑋𝑛𝑥1 = 𝐵𝑛𝑥1 con |𝐴| ≠ 0, basta con realizar el cociente entre dos determinantes.
El numerador es el determinante de la matriz que se forma al sustituir en la matriz de los coeficientes
A de las incógnitas la i-ésima columna por la matriz columna B de los términos independientes, y el
denominador es el determinante de la matriz de los coeficientes de A.
B B

pág. 12
Ejemplo:
{
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
4𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 2
2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 0
1- Se toma el determinante de la matriz de los coeficientes y se le asigna la letra ∆ (se llama
determinante principal o discriminante).
|𝐴| = |
2 1 1
4 3 2
2 −1 −3
| = −8
Si ∆ ≠ 0, entonces el sistema es compatible determinado y puede continuarse con su resolución.
Si ∆ = 0, el sistema no es compatible determinado y el método no puede aplicarse.
2- Se calculan los determinantes que designaremos con las letras ∆𝟏, ∆𝟐 𝒚 ∆𝟑, los cuales se obtienen
de reemplazar en el determinante principal (∆) las columnas 1, 2 y 3 –respectivamente- por la
columna correspondiente a los términos independiente.
∆𝟏= |
𝟎 1 1
𝟐 3 2
𝟎 −1 −3
| = 4
∆𝟐= |
2 𝟎 1
4 𝟐 2
2 𝟎 −3
| = −16
∆𝟑= |
2 1 𝟎
4 3 𝟐
2 −1 𝟎
| = 8
3- Las incógnitas 𝑥1, 𝑥2 𝑦 𝑥3 se obtienen de la siguiente manera:
𝑥1 =
∆𝟏
∆
, 𝑥2 =
∆𝟐
∆
,𝑥3 =
∆𝟑
∆
𝑥1 =
𝟒
−𝟖
= 4
𝑥2 =
−𝟏𝟔
−𝟖
= 2
𝑥3 =
𝟖
−𝟖
= -1

pág. 13
Ejercicios: DETERMINANTES
1. Resolver los siguientes determinantes por el método de desarrollo por los elementos de una
línea.
a. |𝐴| = |
3 −2 1
1 −4 1
2 5 −2
|
b. |𝐵| = |
2 7 −1
0 −2 1
1 3 −3
|
c. |𝐶| = |
2 −2 4
−3 1 7
1 6 5
|
2. Resolver los siguientes determinantes por el método de triangulación.
a. |𝐴| = |
3 2 −3
1 −2 0
4 −2 1
|
b. |𝐵| = |
6 3 0 12
0 −1 0 2
7 −2 3 5
0 −2 0 6
|
c. |𝐶| = |
|
2 6 6 10
1 2 3 4
−1 −2 −
5
2
−1
3 6 9 9
|
|
3. Hallar el valor de x, de modo que los determinantes sean nulos.
a. |𝐴| = |
𝒙 − 1 −2
1 𝒙 − 4
|
b. |𝐵| = |
𝒙 − 6 0 0
0 𝒙 −1
0 4 𝒙 − 4
|
4. Hallar el valor de x, en los siguientes determinantes:
a. |𝐴| = |
𝒙 −2
7 𝟕 − 𝒙
| = 26
b. |𝐵| = |
3 𝒙 2𝒙
0 𝒙 99
0 0 𝒙 − 1
| = 60
c. |𝐶| = |
𝒙 0 2
2𝒙 𝒙 − 𝟏 4
−𝒙 𝒙 − 1 𝒙 + 1
| = 0
5. Dadas las siguientes matrices:
𝐴 = [
4 5
2 3
] 𝐵 = [
1 −2 −4
2 −3 −6
−3 6 15
] 𝐶 = [
−2 −1 0
0 2 2
1 3 2
]

pág. 14
a. Hallar para cada una la matriz adjunta.
b. Hallar para cada una la matriz inversa por definición.
6. Encontrar el valor del determinante de 𝑘 ∈ 𝑅 para que el determinante de la matriz 𝐴 sea igual
al doble del valor del determinante de su inversa, siendo 𝐴 = [
2 1 0
𝑘 1 0
3 𝑘 −1
]
7. ¿Para qué valore+ de 𝑚 la siguiente matriz no admiten inversa?
𝐴 = (
3 𝑚 𝑚
1 −1 0
3 −2 0
)

pág. 15
Resultados: DETERMINANTES
1. a. |𝐴| = 14
b. |𝐵| = 11
c. |𝐶| = −194
2. a. |𝐴| = −26
b. |𝐵| = −36
c. |𝐶| = 3
3. a. {
𝑥1 = 3
𝑥2 = 2
b. {
𝑥1 = 6
𝑥2 = 2
4. a. {
𝑥1 = 4
𝑥2 = 3
b. {
𝑥1 = 5
𝑥2 = −4
c. {
𝑥1 = 1
𝑥2 = −3
𝑥3 = 0
5. a.
𝐴𝑗𝑑 𝐴 = [
3 −5
−2 4
]
𝐴𝑗𝑑 𝐵 = [
−9 6 0
−12 3 −2
3 0 1
]
𝐴𝑗𝑑 𝐶 = [
−2 2 −2
2 −4 4
−2 5 −4
]
b.
𝐴−1
= [
3/2 −5/2
−1 2
]
𝐵−1
= [
−3 2 0
−4 1 −2/3
1 0 1/3
]
𝐶−1
= [
−1 1 −1
1 −2 2
−1 5/2 −2
]
6. {
𝑘1 = 2 + √2
𝑘2 = 2 − √2
7. 𝑚 = 0

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