Este documento presenta cuatro temas de matemáticas para estudiantes de 11° grado de letras: matrices, determinantes de orden 2 y 3, números complejos y distancia entre puntos. Explica conceptos como matrices, sus tipos y operaciones. También define determinantes de orden 2 y 3, resolviéndolos mediante la regla de Sarrus. Incluye ejemplos y actividades prácticas para cada tema.

1. MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN NACIONAL DE JOVENES Y ADULTOS
INSTITUTO SUPERIOR LABORAL NUEVA LUZ
MÓDULO DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA
NIVEL: 11°-LETRAS
ISNL
2014

2. TABLA DE CONTENIDO
 INTRODUCCIÓN
 MENSAJE AL ESTUDIANTE.
 TEMA #1:MATRICES
 TEMA #2:DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3.
 TEMA #3:NÚMEROS COMPLEJOS.
 TEMA #4:DISTANCIA ENTRE PUNTOS
 BIBLIOGRAFÍA

3. INTRODUCCIÓN
El presente módulo instruccional está estructurado en cuatro temas; cada uno
dividido en subtemas y desarrollado con una gran variedad de ejemplos y
diversas actividades de aprendizaje, divididas en forma individual y grupal.
La metodología del módulo se caracteriza por una presentación clara de cada
tema, de fácil comprensión mediante el empleo de un vocabulario sencillo.
Este módulo pretende ser un instrumento válido para el desarrollo de las
potencialidades de los participantes de décimo grado 11°Letras del Instituto
Laboral Nueva Luz.

4. MENSAJE AL ESTUDIANTE
Estimado y apreciado amigo estudiante, Bienvenido al año escolar 2014. Te
animo a que durante este periodo dediques todo tu esfuerzo, capacidad e interés
para el logro satisfactorio de los objetivos propuestos y de esta forma puedas
aplicar los conocimientos que te ayudaran a ser un mejor individuo y futuro
profesional.
¡Vamos Anímate!
Y recuerda los obstáculos se hicieronpara sersuperados.
Tú tienes el dondivino de la inteligencia y la sabiduría. ¡Úsalo!

5. FILAS
COLUMNAS
TEMA #1: MATRICES
Objetivo: Resolver operaciones con matrices.
Concepto de matriz: Una matriz es una disposición rectangular o cuadrada de
elementos distribuidos en filas y columnas y que verifican ciertas reglas del
álgebra.
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
)
𝑭𝒊𝒍𝒂𝒔 𝐱 𝐂𝐨𝐥𝐮𝐦𝐧𝐚𝐬
𝒎 𝐱 𝐧
Ejemplo:
(
17 0 −6
−9 1 −2
11 2 4
)
Orden de una matriz: el orden de una matriz se indica escribiendo primero el
total de filas y luego el total de columnas.
Ejemplo: (
0 4
5 6
−2 7
)
Tipos de matrices:
 Matriz Cuadrada: es aquella que tiene igual número de filas y de
columnas.
Ejemplo: (
1 14
9 −2
)
Orden
𝟑 𝐱 𝟑
Orden
𝟑 𝐱 𝟐

6.  Matriz columna: es aquella que solo tiene una sola columna.
Ejemplo: (
23
−7
10
)
 Matriz fila: es aquella que tiene una sola fila.
Ejemplo: (3 −1 2 0 5)
 Matriz nula: es aquella donde todos los elementos son ceros.
Ejemplo: (
0 0 0
0 0 0
0 0 0
)
 Matriz diagonal inferior: es una matriz cuadrada, en la cual todos los
elementos que están por arriba de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo: (
1 0 0
4 6 0
−3 5 9
)
 Matriz diagonalsuperior: es una matriz cuadrada, en la cual todos los
elementos que están por debajo de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo: (
1 −1 8
0 6 11
0 0 9
)
 Matriz Identidad: es una matriz cuadrada en dondelos elementos de la
diagonal principal son 1, y los demás elementos son ceros.
Ejemplo: (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
Traspuesta de una matriz:

7. Dada una matriz de orden 𝒎 𝐱 𝐧 la traspuesta denotada por 𝐴𝑡
se obtiene
intercambiando sus filas por columnas obteniendo una matriz de orden
𝒏 𝐱 𝐦.
Ejemplo: hallar la traspuesta de la matriz 𝐴 = (
5 8
−6 7
0 1
)
Entonces tenemos que: 𝐴𝑡
= (
5 −6 0
8 7 1
)
Operaciones con matrices:
 Adición de matrices: Consideremos dos Matrices 𝐴 y 𝐵, las cuales
tienen el mismo orden. Para sumar estas matrices sesuman los elementos
de ambas que están en las mismas posiciones.
Ejemplo: Hallar 𝐴 + 𝐵 dadas, 𝐴 = (
3 10
7 −1
5 −2
) y 𝐵 = (
8 0
−6 −4
7 1
)
*Ambas matrices son del mismo orden, luego
𝐴 + 𝐵 = (
3 + 8 10 + 0
7 − 6 −1 − 4
5 + 7 −2 + 1
)
𝐴 + 𝐵 = (
11 10
1 −5
12 −1
)
Observación: la adición de matrices es conmutativa, asociativa, tiene inversa
aditiva, y elemento neutro (matriz nula).
Orden
𝟑 𝐱 𝟐
Orden
𝟐 𝐱 𝟑

8.  Resta de matrices: Consideremos dos Matrices A y B, las cuales tienen
el mismo orden. Para restar estas matrices (A-B), primero debemos
multiplicar cada uno de los elementos de la matriz B por el signo menos
y luego esto se reduce a una suma de matrices.
Ejemplo 1:
Hallar 𝐴 − 𝐵 dadas, 𝐴 = (
3 −1
4 0
5 −2
) y 𝐵 = (
8 9
4 7
−6 −2
)
𝐴 − 𝐵 = (
3 −1
4 0
5 −2
)− (
8 9
4 7
−6 −2
)
𝐴 − 𝐵 = (
3 − 8 −1 − 9
4 − 4 0 − 7
5 − [−6] −2 − [−2]
)
𝐴 − 𝐵 = (
−5 −10
0 −7
5 + 6 −2 + 2
)
𝐴 − 𝐵 = (
−5 −10
0 −7
11 0
)
Ejemplo 2:
Hallar 𝐴 − 𝐵 dadas, 𝐴 = (
−7 3 0
9 −5 6
1 −2 4
) y 𝐵 = (
−5 1 2
−8 0 5
−2 −3 1
)

9. 𝐴 − 𝐵 = (
−7 3 0
9 −5 6
1 −2 4
)− (
−5 1 2
−8 0 5
−2 −3 1
)
𝐴 − 𝐵 = (
−7 3 0
9 −5 6
1 −2 4
)+ (
5 −1 −2
8 0 −5
2 3 −1
)
𝐴 − 𝐵 = (
−7 + 5 3 − 1 0 − 2
9 + 8 −5 + 0 6 − 5
1 + 2 −2 + 3 4 − 1
)
𝐴 − 𝐵 = (
−2 2 −2
17 −5 1
3 1 3
)
 Producto de matrices: para obtener el producto de dos matrices A y B,
se multiplican los elementos de cada fila A por los elementos
correspondientes de cada columna B y luego se suman los productos
obtenidos. Estas matrices se pueden multiplicar únicamente si el número
de columnas de A, es igual al número de filas de B.
Ejemplo 1:
Multiplicar 𝐴 ⋅ 𝐵, dadas 𝐴 = (
1 3 2
2 1 4
5 3 −4
) y 𝐵 = (
−3 −2
2 4
1 5
)
Solución: Podemos observarque A tiene igual número de columnas que
las filas de B, por lo tanto podemos multiplicar estas matrices.
Procedemos a multiplicar cada fila de A por cada Columna de B.

10. Orden
𝟐 𝐱 𝟑
Orden
𝟑 𝐱 𝟐
𝐴 ⋅ 𝐵 = (
1(−3) + 3(2) + 2(1) 1(−2) + 3(4) + 2(5)
2(−3) + 1(2) + 4(1) 2(−2) + 1(4) + 4(5)
5(−3) + 3(2) − 4(1) 5(−2+ 3(4) − 4(5)
)
𝐴 ⋅ 𝐵 = (
−3 + 6 + 2 −2 + 12 + 10
−6 + 2 + 4 −4 + 4 + 20
−15 + 6 − 4 −10 + 12 − 20
)
𝐴 ⋅ 𝐵 = (
5 20
0 20
−13 −18
)
Ejemplo 2:
Multiplicar 𝐴 ⋅ 𝐵, dadas 𝐴 = (
1 2 3
4 5 6
) y 𝐵 = (
1 0
7 2
−9 −3
)
𝐴 ⋅ 𝐵 = (
1 2 3
4 5 6
)⋅ (
1 0
7 2
−9 −3
)
𝐴 ⋅ 𝐵 = (
1(1) + 2(7) + 3(−9) 1(0) + 2(2) + 3(−3)
4(1) + 5(7) + 6(−9) 4(0) + 5(2) + 6(−3)
)
𝐴 ⋅ 𝐵 = (
1 + 14 − 27 0 + 4 − 9
4 + 35 − 54 0 + 10 − 18
)
𝐴 ⋅ 𝐵 = (
−12 −5
−15 −8
)

11. TALLER#1:
Resolver las siguientes operaciones con matrices:
1) Sumar 𝐴 + 𝐵 dadas, 𝐴 = (
−6 7 5
2 8 −5
−10 9 3
) , 𝐵 = (
−5 −1 9
−4 5 2
−1 −11 −14
)
2) Restar 𝐴 − 𝐵 dadas, 𝐴 = (
−5 4 8
−2 −6 −4
−9 2 5
) ,𝐵 = (
−1 −4 6
−7 5 −2
−10 −12 −7
)
3) Multiplicar 𝐴 ⋅ 𝐵, dadas 𝐴 = (
5 −4 1
6 −5 2
7 −2 3
),𝐵 = (
1 9
2 8
3 0
)
ASIGNACIÓN PRÁCTICA:
Resolver las siguientes operaciones con matrices:
1) Sumar 𝐴 + 𝐵 dadas, 𝐴 = (
−6 7 5
2 8 −5
−10 9 3
) , 𝐵 = (
−5 −1 9
−4 5 2
−1 −11 −14
)
2) Restar 𝐴 − 𝐵 dadas, 𝐴 = (
−5 4 8
−2 −6 −4
−9 2 5
) ,𝐵 = (
−1 −4 6
−7 5 −2
−10 −12 −7
)
3) Multiplicar 𝐴 ⋅ 𝐵, dadas 𝐴 = (
4 2 5
1 −3 4
5 −2 −4
),𝐵 = (
3 7
2 0
1 8
)

12. TEMA #2: DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3
Determinante de orden 2:
La expresión |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| es una determinante 2 por 2, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐, y 𝑑 son
números reales. La solución de la misma es:
D=|
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
Las columnas están constituidas porlas cantidades en una misma línea vertical
y las filas por las cantidades que se encuentran en una misma línea horizontal.
El orden de un determinante 2 por 2 es el número total de filas y de columnas.
En el determinante |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| la línea que une 𝒂 con 𝒅 es la diagonalprincipal
y la línea que une 𝒃 con 𝒄 es la diagonal secundaria. Los elementos de esta
determinante son 𝑎𝑏 𝑦 𝑐𝑑.
Ejemplo: |
3 2
5 4
| = (3) ∙ 4 − (5) ∙ (2) = 12 − 10 = 2
Determinante de orden 3:
Para desarrollar una determinante de tercer orden aplicamos la regla se Sarrus.
Ejemplo:|
1 −2 −3
−4 2 1
5 −1 3
| porregla de Sarrus tenemos: Debajo de la tercera fila
horizontal se repite las dos primeras filas horizontales
1 −2 −3
−4 2 1
5 −1 3
1 −2 −3
−4 2 1
Trazamos 3 diagonales de derecha a izquierda y viceversa.

13. 1 −2 −3
−4 2 1
5 −1 3
1 −2 −3
−4 2 1
Multiplicamos los números de cada diagonal, e invertimos el signo de los
números que van de derecha a izquierda. Luego sumamos o restamos
dependiendo de los signos de cada diagonal y encontramos el valor de la
determinante. Productos
Determinante de orden tres
por la Regla de Sarrus: 𝚺 − 𝚺 = −16 − (−7) = −16 + 7 = −9
PRÁCTICAEN GRUPO:Resuelva las siguientes determinantes de orden dos
y tres.
a) |
2 7
3 5
|
b) |
9 −11
−3 7
|
De
derecha
a
izquierda
De
izquierda
a
derecha
-30 6
-1 -12
24 -10
Totales
Σ
-7 -16
c)|
8 2
−3 0
|
d)|
16 7
9 4
|

14. ACTIVIDAD PRÁCTICA INDIVIDUAL: Resuelva las siguientes
determinantes de orden dos y tres.
a) |
15 −1
13 2
|
b) |
12 −1
13 −9
|
e) |
2 5 −1
3 −4 3
6 2 4
| f) |
−3 4 1
2 3 0
1 2 7
|
c)|
10 7
3 2
|
d)|
3 21
0 34
|
e) |
5 2 −8
−3 −7 3
4 0 −1
| f) |
5 2 3
6 1 2
3 4 5
|

15. TEMA #3: LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Objetivo: Resolver operaciones con números complejos.
Concepto:El conjunto de todos los números de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖 donde 𝑎, 𝑏 son
números reales; 𝑖 elementos de los Imaginarios tal que, 𝑖2
= −1, a tal unión de
Reales e Imaginarios se les llama el Conjunto de los Números Complejos y se
denota por la letra C, de esta forma:
ℂ = { 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑖 ∈ 𝕀}
Donde 𝑎 + 𝑏𝑖 es un número complejo y que tiene su parte real en 𝑎 y su parte
imaginaria en 𝑏𝑖.
Ejemplos de números complejos:
−2 + 5𝑖 ,
4
3
+ 9𝑖 , 3 − 𝑖
Conjugado de un número complejo: el conjugado de un número complejo, es
otro número complejo con la misma parte real y la parte imaginaria solamente
difiere en el signo.
Ejemplo: El conjugado de 4 + 7𝑖 es 4 − 7𝑖
El conjugado de −6 − 8𝑖 es −6 + 8𝑖
Operaciones con Números Complejos.
 Adición de Números Complejos: para sumar números complejos, se
suman respectivamente las partes reales de cada uno, y las partes
imaginarias de cada uno.
Ejemplos de sumas:
Sumar −5 + 4𝑖 , −7 + 2𝑖 , 3 − 𝑖

16. (−5 + 4𝑖) + (−7 + 2𝑖) + (3 − 𝑖) = (−5 − 7 + 3) + (4𝑖 + 2𝑖 − 𝑖)
= −9 + 5𝑖
Sumar −4 − 7𝑖 , −2 + 3𝑖 , 3 − 8𝑖
(−4 − 7𝑖) + (−2 + 3𝑖) + (3 − 8𝑖) = (−4 − 2 + 3) + (−7𝑖 + 3𝑖 − 8𝑖)
= −3 − 12𝑖
 Resta de Números Complejos: para restar dos números complejos,
primero debemos multiplicar los signos del sustraendo, posteriormente
queda convertido en una adición de números complejos.
Ejemplos:
𝐷𝑒 − 7 + 5𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 4 − 9𝑖
Solución:
(−7 + 5𝑖) − (4 − 9𝑖) = (−7 + 5𝑖) + (−4 + 9𝑖)
= (−7 − 4) + (5𝑖 + 9𝑖)
= −11 + 14𝑖
𝐷𝑒 3 − 4𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 6 − 8𝑖
Solución:
(3 − 4𝑖) − (6 − 8𝑖) = (3 − 4𝑖)+ (−6 + 8𝑖)
= (3 − 6) + (−4𝑖 + 8𝑖)
= −3 + 4𝑖
 Multiplicación de Números Complejos: para multiplicar números
complejos, debemos aplicar la propiedad distributiva dela multiplicación
y recordar que 𝑖2
= −1

17. Ejemplos: 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 (2 + 4𝑖)(3 − 2𝑖)
Solución:
(2 + 4𝑖)(3− 2𝑖) = 2(3) + 2(−2𝑖) + 4𝑖(3) + 4𝑖(−2𝑖)
= 6 − 4𝑖 + 12𝑖 − 8𝑖2
= 6 − 4𝑖 + 12𝑖 − 8(−1)
= 6 − 4𝑖 + 12𝑖 + 8
= 14 + 8𝑖
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 (8 + 2𝑖)(−4+ 𝑖)
Solución:
(8 + 2𝑖)(−4+ 𝑖) = 8(−4) + 8( 𝑖) + 2𝑖(−4) + 2𝑖(𝑖)
= −32 + 8𝑖 − 8𝑖 + 2𝑖2
= −32 + 8𝑖 − 8𝑖 + 2(−1)
= −32 + 8𝑖 − 8𝑖 − 2
= −34 − 0𝑖
= −34
 División de Números Complejos: El cociente de dos números
complejos se obtiene multiplicando el numerador y el denominador por
el conjugado del denominador.
Ejemplos:
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟
2 + 4𝑖
3 − 2𝑖
Solución:
2 + 4𝑖
3 − 2𝑖
= (
2 + 4𝑖
3 − 2𝑖
)∙ (
3 + 2𝑖
3 + 2𝑖
)
=
2(3) + 2(2𝑖) + 4𝑖(3) + 4𝑖(2𝑖)
3(3) + 3(2𝑖) − 2𝑖(3) − 2𝑖(2𝑖)

18. =
6 + 4𝑖 + 12𝑖 + 8𝑖2
9 + 6𝑖 − 6𝑖 − 4𝑖2
=
6 + 4𝑖 + 12𝑖 + 8(−1)
9 + 6𝑖 − 6𝑖 − 4(−1)
=
6 + 4𝑖 + 12𝑖 − 8
9 + 6𝑖 − 6𝑖 + 4
=
−2 + 16𝑖
13
= −
2
13
+
16𝑖
13
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟
8 + 2𝑖
−4 + 𝑖
Solución:
8 + 2𝑖
−4 + 𝑖
= (
8 + 2𝑖
−4 + 𝑖
) ∙ (
−4 − 𝑖
−4 − 𝑖
)
=
8(−4) + 8(−𝑖) + 2𝑖(−4) + 2𝑖(−𝑖)
−4(−4) − 4(−𝑖) + 𝑖(−4) + 𝑖(−𝑖)
=
−32 − 8𝑖 − 8𝑖 − 2𝑖2
16 + 4𝑖 − 4𝑖 − 𝑖2
=
−32− 8𝑖 − 8𝑖 − 2(−1)
16 + 4𝑖 − 4𝑖 − (−1)
=
−32 − 8𝑖 − 8𝑖 + 2
16 + 4𝑖 − 4𝑖 + 1
=
−30 − 16𝑖
17
= −
30
17
−
16𝑖
17

19. ACTIVIDAD EN GRUPO: Resolver las siguientes operaciones con números
complejos.
1) Hallar el conjugado de los siguientes números complejos
 6 − 4𝑖
 1 −
7
5
𝑖
 −12 + 7𝑖
 −2 − 𝑖
2) Sumar (−7 − 2𝑖)+ (6 + 5𝑖) + (−1 − 4𝑖) + (−3 − 12𝑖)
3) 𝐷𝑒 − 5 − 9𝑖 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 − 6 − 11𝑖
4) 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 (−5 + 3𝑖)(7− 8𝑖)
5) Dividir
9−4𝑖
2+6𝑖
ACTIVIDAD PRÁCTICAINDIVIDUAL: Resolver las siguientes operaciones
con números complejos.
1) Sumar (−6 − 3𝑖)+ (9 + 4𝑖) + (−2 − 4𝑖) + (−1 − 10𝑖)
2) 𝐷𝑒 − 2 − 8𝑖 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 4 − 12𝑖
3) 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 (7 + 5𝑖)(6 − 8𝑖)
4) Dividir
8−5𝑖
3+9𝑖

20. TEMA #4: DISTANCIA ENTRE PUNTOS
Objetivos: Calcular la distancia entre dos puntos.
Hallar el punto medio de un segmento.
La distancia (𝑑) entre dos puntos ( 𝑥1,𝑦1) , ( 𝑥2, 𝑦2 ) en el plano, está dada por
la siguiente fórmula:
𝒅 = √( 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏) 𝟐 + ( 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏) 𝟐
Ejemplo #1: encuentre la distancia entre los puntos 𝑷(−8,5) 𝑸(5,1)
Solución: 𝑑 = √(5 − (−8))
2
+ (1 − 5)2
𝑑 = √(5 + 8)2 + (−4)2
𝑑 = √(13)2 + (−4)2
𝑑 = √169 + 16
𝑑 = √185
𝑑 = 13.60
Ejemplo #2: encuentre la distancia entre los puntos 𝑷(−3,1) 𝑸(5,1)
Solución: 𝑑 = √(5 − (−3))
2
+ (1 − 1)2
𝑑 = √(5 + 3)2 + (−4)2
𝑑 = √(8)2 + (0)2
𝑑 = √64 + 0
𝑑 = √64
𝑑 = 8

21. Punto Medio de un segmento de una Recta.
El punto medio de un segmento determinado por los puntos ( 𝑥1, 𝑦1) ,( 𝑥2, 𝑦2 )
en el plano, está dada por la siguiente fórmula:
𝑷𝑴 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
)
Observación:recordar queel puntomediode un segmento también es un punto
coordenado en el plano cartesiano.
Ejemplo #1:Determine las coordenadas delpunto medio que divide al segmento
que tiene como extremos los puntos 𝑷(4,2) 𝑸(−10,−1)
Solución:
𝑷𝑴 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
)
𝑃𝑀 = (
4 − 10
2
,
2 − 1
2
)
𝑃𝑀 = (−
6
2
,
1
2
)
𝑃𝑀 = (−3 ,
1
2
)
Ejemplo #2:Determine las coordenadas delpunto medio que divide al segmento
que tiene como extremos los puntos 𝑷(5,3) 𝑸(7,−9)
Solución:
𝑃𝑀 = (
5 + 7
2
,
3 − 9
2
)
𝑃𝑀 = (
12
2
,
−6
2
)
𝑃𝑀 = (6 ,−3)

22. ACTIVIDAD PRÁCTICA GRUPAL.
Calcule las siguientes distancias entre puntos.
 𝑷(11,6) 𝑸(−4,−1)
 𝑴(9,3) 𝑵(3,−8)
Calcule el punto medio de los segmentos determinados porlos siguientes pares
de puntos:
 𝑬(3,10) 𝑭(−9,−2)
 𝑹(6,−2) 𝑺(12,−7)
ACTIVIDAD PRÁCTICA INDIVIDUAL.
Calcule las siguientes distancias entre puntos.
 𝑩(6,7) 𝑪(−5,−2)
 𝑰(10,4) 𝑱(5,−8)
Calcule el punto medio de los segmentos determinados porlos siguientes pares
de puntos:
 𝑳(4,12) 𝑴(−11,−1)
 𝑺(5,6) 𝑻(−5,−7)

23. BIBLIOGRAFÍA
 Baldor Aurelio. Álgebra.
 Instituto Laboral Nueva Luz, Módulo Instruccional 12°, 2011.
 Matemática 11° de Santillana. 2010.
 Rees-Sparks. Trigonometría. 2004