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- 1. Republica bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la educación universitaria Universidad politécnica territorial “Andrés Eloy Blanco” Participantes : Enmanuel Rodríguez C.I: 29976569 Ricardo José Pérez C.I: 29517942 Profesor: Miguel Rodríguez
- 2. Suma algebraica - Para sumar dos o mas expresiones algebraicas con uno o mas términos se deben reunir todos los términos semejantes que existan en uno solo. Se puede aplicar la propiedad distributiva de multiplicación con respecto de la suma. - Para resolver esta suma algebraica se puede sumar por un lado los valores positivos y, por otro, los negativos. Ejercicio A): -7 + 6 – 4 + 5 – 2 + 8 – 6= ? = (– 7 – 4 – 2 – 6 = – 19) (6 + 5 + 8 =19) = 19 – 19 = 0 Ejercicio B) – 6 + 4 + 8 – 9 – 7 = ? = (– 6 – 9 – 7 = – 22) (+ 4 + 8 = 12) = 12 – 22 = -10
- 3. Suma de monomio • Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x3 + 4x3, el resultado será un monomio, ya que es la misma serie y tiene el mismo grado. En este caso sumaremos solo los términos numéricos, puesto que en ambos casos, es lo mismo que multiplicar (x): Ejercicio A) 2x3 + 4x3 = 6x3 Ejercicio B) 2x4 + 3x4 = 5x4 Ejercicio C) 2a3 b2 c6 + 6a3 b2 c6 = 8a3 b2 c6 Suma de monomios no semejantes: 2𝑥3 + 4𝑥7 + 5𝑥3 = 4𝑥7 + 7𝑥3 Como resultado obtenemos un polinomio, ya que al sumar dos monomios no semejantes, se obtiene un polinomio • Un polinomio es la expresión algebraica que esta formada por sumas y restas de los diferentes términos que conforman un polinomio. Así pues, una suma de polinomios se puede realizar de dos formas distintas, con el método vertical o con el método horizontal. Ejercicio A) Método en vertical : 𝑃 𝑥 = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥 + 1 𝑄 𝑥 = 4𝑥3 + 𝑥2 − 9𝑥 + 3 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 = 7𝑥3 − 4𝑥2 − 5𝑥 + 4 Ejercicio B) Método horizontal: 𝑃 𝑥 = 6𝑥4 + 4𝑥3 + 2𝑥 − 3 𝑄 𝑥 = 3𝑥4 − 7𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 + 1 6𝑥4 + 4𝑥3 + 2𝑥 − 3 + 3𝑥4 − 7𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 + 1 𝑃 𝑥 + Q x = 9𝑥4 − 3𝑥3 + 6𝑥2 − 2𝑥 − 2 Suma de polinomios
- 4. Resta algebraica La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del álgebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser expresiones que están compuestas por términos numéricos, literales, y exponentes.
- 5. Resta de monomio • Dos o más monomios solo se pueden restar si son monomios semejantes, es decir, si ambos monomios tienen una parte literal idéntica (mismas letras y mismos exponentes). La resta de dos monomios semejantes, es igual a otro monomio compuesto por la misma parte literal y la resta de los coeficientes de esos dos monomios. Ejercicio A) 8𝑥2 − 2𝑥2 = 6𝑥2 Ejercicio B) 9𝑥2 − 10𝑥2 = −1𝑥2 Ejercicio C)−3𝑥4 − 2𝑥4 = −5𝑥4 Resta de monomios no semejantes: 8𝑥2 − 4𝑥 − 2𝑥2 = 6𝑥2 − 4 Cuando restamos dos (o más) monomios no semejantes no los podemos agrupar y, en consecuencia, obtenemos un polinomio. • Para hacer la resta de dos polinomios se deben restar los términos de los polinomios que son semejantes. Es decir, la resta de polinomios consiste en restar los términos que tienen la misma parte literal (mismas variables y mismos exponentes) Ejercicios: A)3𝑥3 − 6𝑥2 − 2𝑥 + 4 +5𝑥3 + 8𝑥2 − 4𝑥 − 7 = 8𝑥3 + 2𝑥2 − 6𝑥 − 3 Resta de polinomios B) (6x+8y)−(3x−2y) =6x+8y-3x+2y=6x+8y−3x+2y =6x-3x+8y+2y=6x−3x+8y+2y =3x+10y=3x+10y
- 6. Valor numérico El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el numero que se obtiene al sustituir en esta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. Por ejemplo, si el valor de X es 5, entonces, el valor de 2X es 10, esto es: 2𝑥 = 2.5 = 10 Dados los valores 𝑎 = 7 y 𝑏 = 2 encontrar los siguientes ejercicios: A) 𝑎 + 5 = 7 + 5 = 12 B) 𝑎2 + 𝑏2 = 72 + 22 = 49 + 4 = 53 C) 𝑎2 − 𝑎2 = 72 − 72 = 49 − 49 = 0 Valor numérico de un polinomio En matemáticas, el valor numérico de un polinomio P(x) para el valor x=a, es decir P(a), es el resultado que se obtiene al sustituir la variable x del polinomio por el número a y hacer los cálculos indicados en la expresión del polinomio. Ejercicio: ¿Cuál es el valor numérico del siguiente polinomio para x=2? 𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 5𝑥2 − 4𝑥 + 1 𝑃 2 = 23 + 5. 22 − 4.2 + 1 𝑃 2 = 8 + 5.4 − 4.2 + 1 𝑃 2 = 8 + 20 − 8 + 1 𝑃 2 = 21
- 7. Multiplicación Algebraica Es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamados multiplicando y multiplicador. La multiplicación algebraica de monomios y polinomios consiste en realizar una operación entre los términos llamados multiplicando y multiplicador para encontrar un tercer término llamado producto.
- 8. Multiplicación de monomios • Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio, luego multiplicamos la parte literal, esto es las variables según las leyes de los exponentes, y aplicamos la ley distributiva, seguido de esto la leyes de los signos. Ejercicios: Calcular: A)3𝑥4. 𝑥5 = 3.1 𝑥4+5 = 3𝑥9 B) 2𝑦8. −5𝑦6 = (2. −5 )𝑦8+6 = −10𝑦14 Resuelve: A) 2𝑥4. 4𝑥. −3𝑥6 = 8𝑥3. −3𝑥6 = 24𝑥10 B) 7𝑥3. 3𝑥2. 2𝑥7 = 21𝑥5. 2𝑥7 = 42𝑥12 Simplifica: A) 8𝑥3𝑦2. 5𝑥4𝑦7 = 40𝑥7𝑦2 • Solo debemos tener en cuenta la propiedad distributiva, la ley de signos, las leyes de la potenciación. Multiplicacion de polinomios Ejercicio: A) 4𝑥2 + 1 . 3𝑥2 − 2 = = 4𝑥2. 3𝑥2 + 4𝑥2. −2 + 1 . 3𝑥2 + 1. −2 = 12𝑥4 − 8𝑥2 + 3𝑥2 − 2 = 12𝑥4 − 5𝑥2 − 2
- 9. División algebraica La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo. Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto importante: el mayor exponente de algún término del dividendo debe ser mayor o igual al mayor exponente de algún término del divisor.
- 10. División de monomio • la división de monomios es otro monomio, cuyo coeficiente equivale al cociente de los coeficientes de los monomios, y cuya parte literal se obtiene de dividir las variables que tienen la misma base, es decir, restando sus exponentes. Por lo tanto, para dividir dos monomios diferentes, simplemente dividimos los coeficientes entre sí y restamos los exponentes de las potencias que tengan la misma base Ejercicios: A)24𝑥4 : 6𝑥2 = 24: 6 𝑥4−2 = 4𝑥2 B)32𝑥7: 4𝑥3 = 32: 4 𝑥7−3 = 8𝑥4 C) −11𝑎5𝑏9: −𝑎2𝑏6 = 11𝑎3𝑏3 Para dividir un polinomio entre otro polinomio es necesario seguir los siguientes pasos: 1- Se ordenan los dos polinomios en orden alfabético y descendente. 2- Se divide el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor 3-Se multiplica el primer termino del cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo 4- Se repiten los pasos dos y tres hasta que el resultado sea 0 o de menos exponente que el dividendo División de polinomio
- 11. Producto notable Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios Ejercicio: Para resolver este caso usamos la primer fórmula tomando 𝑎 = 𝑥 y B = 3, sustituimos y nos queda: Binomio Cuadrado Binomio conjugado Sumas iguales igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. Ejercicio: (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 Resta iguales igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. Ejercicio: (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 Los binomios conjugados son aquellos que se diferencian por un signo en la operación. Y como su nombre indica, se habla de una estructura algebraica que consta de dos término Su fórmula es: (x + a) (x – a) = x2 – a2 Ejercicio: Encontrar el conjugado de (x – 5) (x + 5) Respuesta = (x – 5) (x + 5) = x2 – 52 = x2 -25
- 12. Factorización de productos notables Es el proceso de encontrar dos o mas expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o mas factores. Factor común monomio Un factor común monomio, es el factor que está presente en cada término del polinomio. En el caso de los coeficientes numéricos el factor común es el mayor divisor posible entre ellos y el factor común literal está conformado por el o los elementos de la parte literal presentes en todos los términos con el menor exponente. Ejercicio: Se extrae el factor común «5a» P=5ax+5ay+5azP=5ax+5ay+5az P=5a(x+y+z)P=5a(x+y+z) Factor común polinomio Para encontrar el factor común de un polinomio: Se determina el número mayor que divida exactamente a todos los coeficientes del polinomio. Se identifican las literales comunes de menor exponente que se encuentren entre todos los términos del polinomio. Factorizar el siguiente polinomio Q=ax+bxQ=ax+bx solucion Se extrae el factor común «xx» Q=ax+bxQ=ax+bx Q=x(a+b)Q=x(a+b) Respuesta.