clase

1. SESIÓN 05
Oscilaciones amortiguadas.
Oscilaciones forzadas.
Resonancia.
Foro de discusión relacionado con
una herramienta TIC.

2. Logros esperados
• Resuelve problemas sobre oscilaciones amortiguadas.
• Analiza y resuelve problemas sobre oscilaciones forzadas.
• Establece las condiciones necesarias de resonancia

3. Las oscilaciones o vibraciones
mecánicas no deseadas pueden
perjudicar el correcto funcionamiento
de máquinas o estructuras. Esto
conlleva a gastos de mantenimiento o
deterioro temprano del material.
Actividad previa

4. • En un sistema masa-resorte real hay
fuerzas de fricción debido al aire u
otro fluido donde oscila la masa.
• En este caso la energía mecánica del
sistema “masa-resorte” disminuye
con el tiempo, y se dice que el
movimiento es amortiguado.
La figura muestra un tipo de sistema de
suspensión para automóviles, en el que un
amortiguador se coloca dentro de un muelle
(resorte) helicoidal en cada rueda.
Oscilaciones amortiguadas

5. Amortiguamiento viscoso ሶ
𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣𝑥
• La fuerza de amortiguamiento viscoso es proporcional a la velocidad instantánea,
𝑓𝑑,𝑥 = −𝑏𝑣𝑥.
• 𝑏 es la constante de amortiguamiento
𝑁.𝑠
𝑚
y 𝑣𝑥 es la velocidad del objeto.
• Por segunda ley de newton,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎,𝑥 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
−𝑏𝑣𝑥 − 𝑘𝑠𝑥 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+
𝑏
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑘𝑠
𝑚
𝑥 = 0
Ecuación (diferencial) del oscilador
libre amortiguado viscosamente 𝑏 = 0 → 𝑀𝐴𝑆
Ecuación diferencial del oscilador amortiguado

6. Amortiguamiento viscoso
Pulsación del oscilador 𝝎′
𝝎′ = 𝜔0
2
−
𝑏
2𝑚
2
𝝎𝟎 =
𝑘𝑠
𝑚
Donde:
Frecuencia angular NATURAL
Para sistemas críticamente amortiguado y sobreamortiguado no
hay oscilación. Solamente oscilan sistemas subamortiguados.

7. Amortiguamiento viscoso
https://physics.bu.edu/~duffy/HTML5/mass_
on_spring_damped.html
Ingrese al enlace compartido y
compruebe que el movimiento
oscilatorio corresponde al caso SUB-
AMORTIGUADO; es decir,
𝑏
2𝑚
<
𝑘𝑠
𝑚
.

8. 𝑏
2𝑚
=
1 𝑁. 𝑠/𝑚
2(2 𝑘𝑔)
= 0.25
𝑁. 𝑠
𝑘𝑔. 𝑚
= 0.25
1
𝑠
𝝎𝟎 =
𝑘𝑠
𝑚
=
2 𝑁/𝑚
2 𝑘𝑔
= 1
𝑟𝑎𝑑
𝑠
¡¡Cumple!!
Ingrese al enlace compartido y compruebe que el movimiento oscilatorio corresponde al caso SUB-AMORTIGUADO; es
decir,
𝑏
2𝑚
<
𝑘𝑠
𝑚
.
Enunciado

9. Amortiguamiento viscoso
Solución de la ec. diferencial (caso subamortiguado)
• Para el caso 𝜔0>
𝑏
2𝑚
, la solución de la ecuación es,
𝒙 𝑡 = 𝑨𝒆
−
𝒃
𝟐𝒎
𝒕
cos(𝝎′𝑡 + 𝜙)
• Donde, 𝝎′ es la pulsación del oscilador
𝝎′ = 𝜔0
2
−
𝑏
2𝑚
2
=
2𝜋
𝝎′

10. El sistema de suspensión de un automóvil de
2000 kg se hunde 10.0 cm cuando el chasis es
ubicado sobre él. Además, la amplitud de la
oscilación decrece un 50.0% en cada ciclo. Estime
los valores de: (A) La constante 𝑘𝑠 de cada resorte,
(B) constante de amortiguamiento 𝑏. Asuma que
cada llanta soporta el peso de una masa de 500 kg
(la cuarta parte del total).
EJEMPLO 05

11. El sistema de suspensión de un automóvil de 2000 kg se hunde xi = 0.100 m cuando el chasis es ubicado sobre él. Además, la
amplitud de la oscilación decrece un 50.0% en cada ciclo. Estime los valores de: (a) La constante 𝑘𝑠 de cada resorte, (b)constante de
amortiguamiento 𝑏. Asuma que cada llanta soporta el peso de una masa de m = 500 kg (la cuarta parte del total).
Enunciado
Datos: 𝑚 = 500 𝑘𝑔 xi = 0.100 m
Obtención de 𝒌𝒔
𝑘𝑠𝑥𝑖 − 𝑚𝑔 = 0
𝑘𝑠 =
𝑚𝑔
𝑥𝑖
= 49050 𝑁/𝑚
𝜔0>
𝑏
2𝑚
𝐴 𝑡 = 𝐴𝑖𝑒
−
𝑏
2𝑚
𝑡
𝐴 𝑇′ =
𝐴𝑖
2
Obtención de 𝝎′
𝝎′ = 𝜔0
2
−
𝑏
2𝑚
2
Aproximaciòn
𝑘𝑠
𝑚
≫
𝑏
2𝑚
2
= 𝜔0=
49050 𝑁/𝑚
500 𝑘𝑔
= 9.90454
𝑟𝑎𝑑
𝑠
Obtención de 𝑻′
𝑇′ =
2𝜋
𝜔′
= 0.63437 𝑠
Obtención de 𝒃
𝐴 𝑇′ = 𝐴𝑖𝑒
−
𝑏
2𝑚
𝑇′
𝐴𝑖
2
= 𝐴𝑖𝑒
−
𝑏
2𝑚
𝑇′
1
2
= 𝑒
−
𝑏
2𝑚
𝑇′
𝐿𝑛
1
2
= −
𝑏
2𝑚
𝑇′
𝑏 = −
2𝑚
𝑇′
𝐿𝑛
1
2
𝑏 = 1086
N ∙ s
m
= 1.09 × 103
N ∙ s
m

12. Movimiento oscilatorio forzado armónicamente
• Sea una masa (sistema) cuyos entornos son
los siguientes: un resorte (unido a la masa),
un amortiguador (unido a la masa) y un
agente que produce un fuerza externa
impulsora de la forma:
𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐹0cos(𝜔𝑡)
• Por segunda Ley de Newton (para la masa):
−𝑘𝑥 − 𝑏𝑣𝑥 + 𝑭𝟎 cos 𝝎𝑡 = 𝑚𝑎𝑥
𝑚
𝑑𝟐
𝑥
𝑑𝑡𝟐
+ 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 𝐹0cos(𝜔𝑡)

13. Movimiento oscilatorio forzado armónicamente
𝑚
𝑑𝟐
𝑥
𝑑𝑡𝟐
+ 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 𝐹0cos(𝜔𝑡)
• En un inicio la solución de esta
ecuación es transitoria.
• Sin embargo, la solución decae y
puede ignorarse después de cierto
tiempo.
𝒙(𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝝋)
(Solución estacionaria)
𝑨
𝝎
Signo (-) indica que la respuesta del
sistema está atrasada respecto a la fuerza
impulsora

14. Movimiento oscilatorio forzado armónicamente
Amplitud de oscilación forzada
𝑨(𝜔) =
𝐹0
𝑚2 𝜔0
2
− 𝜔2 2 + 𝑏2𝜔2

15. EJEMPLO 06
Un bloque de 𝒎 = 𝟐. 𝟎𝟎 𝐤𝐠 es adherido a un resorte que tiene una constante de
fuerza 𝒌𝒔 = 𝟐𝟎. 𝟎 𝐍/𝐦. El bloque se mueve sin fricción (𝒃 = 𝟎) y es impulsado por
una fuerza externa 𝑭 = (𝟑. 𝟎𝟎 𝐍) 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅
𝐫𝐚𝐝
𝐬
𝒕 , donde 𝑭 está en newtons y 𝒕 en
segundos.
A. Calcula la frecuencia angular
natural del sistema.
B. Reconoce la frecuencia angular de
la fuerza impulsora.
C. Calcula la amplitud del movimiento
en el estado estacionario.

16. Enunciado
Un bloque de 𝒎 = 𝟐. 𝟎𝟎 𝐤𝐠 es adherido a un resorte que tiene una constante de fuerza 𝒌𝒔 = 𝟐𝟎. 𝟎 𝐍/𝐦. El bloque se
mueve sin fricción (𝒃 = 𝟎) y es impulsado por una fuerza externa 𝑭 = (𝟑. 𝟎𝟎 𝐍) 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅
𝐫𝐚𝐝
𝐬
𝒕 , donde 𝑭 está en newtons
y 𝒕 en segundos. Calcule: (a) la frecuencia angular natural del sistema, (b) la amplitud del movimiento en el estado
estacionario.
Datos:
𝑚 = 2.00 𝑘𝑔
𝑘𝑠 = 20.0 𝑁/𝑚
𝑏 = 0
𝐹0 = 3.00 𝑁 𝜔 = 2𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
= 6.28
𝑟𝑎𝑑
𝑠
Obtención de 𝝎𝟎
Estado estacionario
𝝎𝟎 =
𝑘𝑠
𝑚
=
20.0 𝑁/𝑚
2 .00𝑘𝑔
𝝎𝟎 = 3.16
rad
s
Obtención de 𝑨(𝜔)
𝑨 6.28
𝑟𝑎𝑑
𝑠
=
(3.00 𝑁)
(2.00 𝑘𝑔)2 10
𝑟𝑎𝑑
𝑠
− 6.28
𝑟𝑎𝑑
𝑠
2 2
+ 0 𝑁.
𝑠
𝑚
2
6.28
𝑟𝑎𝑑
𝑠
2
𝑨 6.28
𝑟𝑎𝑑
𝑠
= 0.0509 m

17. • Un sistema que oscila tiene una frecuencia
angular natural de oscilación 𝜔0.
• La resonancia se produce si el sistema
funciona con una frecuencia angular externa
𝜔 que coincide con esta frecuencia natural.
• Esto produce una gran amplitud de
oscilación.
• Verifique el efecto de la resonancia en el link
compartido. https://youtu.be/OKNiDklOgoo
Resonancia

18. Amplitud estacionaria y resonancia
Resonancia
𝑨(𝜔) =
𝐹0
𝑚2 𝜔0
2
− 𝜔2 2 + 𝑏2𝜔2
• Si 𝜔 = 𝜔0 y 𝑏 = 0, la amplitud crece sin
límites en resonancia (colapso del sistema):
𝑨𝒎𝒂𝒙 = infinito.
• Si 𝑏 es pequeño, la máxima amplitud
ocurre cerca a la resonancia (𝜔 ≈ 𝜔0) y A
es muy alta.
𝑨𝒎𝒂𝒙 =
𝐹0
𝑏𝜔0
• Si 𝑏 no es cero, la máxima amplitud ocurre
con una frecuencia menor a la de
resonancia.
𝜔0
𝑨𝒎𝒂𝒙

19. La amplitud de un oscilador armónico
amortiguado alcanza el valor de 𝟐𝟑. 𝟕
𝐅𝐨
𝐤𝒔
para
una frecuencia de resonancia de 𝐟𝟎 = 𝟑𝟖𝟐 𝐇𝐳.
Para una masa de 𝐦 = 𝟏. 𝟓𝟎 𝐤𝐠, ¿Qué valor
posee la constante de fuerza del resorte (𝐤𝒔) y
la de amortiguamiento (b)?
𝐹0cos(𝜔𝑡)
b
EJEMPLO 07

20. La amplitud de un oscilador armónico amortiguado alcanza el valor de 𝟐𝟑, 𝟕
𝐅𝐨
𝐤𝐬
para una frecuencia
de resonancia de 𝐟𝟎 = 𝟑𝟖𝟐 𝐇𝐳. Para una masa de 𝐦 = 𝟏, 𝟓𝟎 𝐤𝐠, (a)¿Qué valor posee la constante
de fuerza del resorte (k) y la de amortiguamiento (b)?
𝐹0cos(𝜔𝑡)
b
Enunciado
Obtención de 𝒌𝒔
𝑓 = 𝑓0
𝑓 = 𝑓0 =
𝜔0
2𝜋
=
𝑘𝑠
𝑚
2𝜋
(Resonancia)
2𝜋𝑓0 =
𝑘𝑠
𝑚
(2𝜋𝑓0)2 =
𝑘𝑠
𝑚
𝑘𝑠 = 𝑚(2𝜋𝑓0)2
Obtención de 𝒃
𝐀𝐦𝐚𝐱 =
𝐹0
𝑏𝜔0
(Resonancia)
𝐛 =
𝐹0
𝐀𝐦𝐚𝐱𝜔0
𝐛 =
𝐹0
𝟐𝟑. 𝟕
𝐅𝐨
𝐤𝐬
(2𝜋𝑓0)
=
𝑘𝑠
23.7(2𝜋𝑓0)
→ 𝐛 = 151.90 … N ∙ s/m = 152 N ∙ s/m
= 8641272,91 … N/m = 8.64 × 106 N/m

21. Cierre
• Se ha resuelto problemas sobre oscilaciones amortiguadas.
• Se ha analizado y resuelto problemas sobre oscilaciones forzadas.
• Se ha establecido las condiciones necesarias de resonancia.
No se olvide que en cada semana
hay un trabajo colaborativo
obligatorio.

22. Bibliografía del Curso
Referencias Básicas
▪ SERWAY RAYMOND, JEWETT JOHN W. Física
para la Ciencias e Ingeniería. Volumen I. 7a
Edición. México. Thomson. 2009. LIBRO TEXTO
▪ TIPLER PAUL, MOSCA GENE. Física para la
ciencia y la tecnología. VOLUMEN 1.
Mecánica/Oscilaciones y ondas/Termodinámica.
Sexta Edición. Barcelona. Reverte. 2010