El documento trata sobre vibraciones forzadas en sistemas mecánicos. Explica que una vibración forzada requiere una fuerza externa aplicada que mantiene el sistema en oscilación. Luego define conceptos como amplitud, fase y resonancia, y explica que a la frecuencia de resonancia la amplitud de vibración se amplifica sustancialmente. Finalmente, analiza casos específicos como sistemas no amortiguados bajo excitación armónica.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA APLICADA
Unidad 4
Vibraciones Forzadas
Primera Parte: Definiciones Generales
Para que un sistema mecánico se mantenga vibrando es necesario aplicar una
fuerza o acción externa (por ejemplo, suministrar energía), lo que hace que la
vibración sea ahora forzada. Entre estos tipos de vibración podemos citar:
• El balanceo de un niño en un columpio estirando sus piernas en forma
periódica.
• La oscilación de un cuerpo cuyo apoyo es obligado a oscilar (Fig. 39).
• La oscilación de un motor eléctrico (rotación desbalanceada) apoyado sobre
resortes (Fig. 40).
Es decir, una vibración forzada la
origina y mantiene una carga
(generalmente fuerza) aplicada
externamente al sistema, la cual
no depende de la posición ni de la
velocidad del sistema mecánico. A
esta carga se le conoce como
excitatriz.
Sin embargo, debe tenerse en
cuenta que las vibraciones forzadas
no siempre se deben a la acción
de una carga externa aplicada
directamente al sistema vibratorio.
Por ejemplo:
• Los sistemas de suspensión de los automóviles: El movimiento vibratorio
se debe al movimiento del soporte donde se apoya el sistema, y no a la acción
de una carga externa.
• Los sismos y los terremotos: La acción de las fuerzas de la naturaleza es
aleatoria.
Fig. 39. Oscilación forzada de
un sistema con apoyo móvil.
Fig. 40. El motor hace que la viga vibre verticalmente,
con el objeto de hallar sus características vibratorias.

2. 4.1. Modelo elemental de una vibración forzada
4.2. Tipos de Vibración Forzada
4.2.1. Por la naturaleza de la excitación
a) Vibraciones armónicas, cuando la carga excitatriz se puede
definir con una función seno o coseno.
b) Vibraciones impulsivas, cuando el tiempo de aplicación de la
carga excitatriz es sumamente corto.
c) Vibraciones periódicas, cuando la carga aplicada es de natu-
raleza periódica (se excluyen las cargas de tipo armónico en
esta definición).
d) Vibraciones generales, cuando la carga aplicada es de cual-
quier naturaleza.
4.2.2. Por el sentido de la vibración
Vibración en fase.-
Ocurre cuando el cuerpo
o sistema vibra en el
mismo sentido de la carga
excitatriz, y cuando la
vibración tiene lugar a
bajas frecuencias.
Vibración en oposición
de fase.- Ocurre cuando
el cuerpo o sistema vibra
en sentido opuesto al de
la carga excitatriz, y
cuando la vibración tiene
lugar a altas frecuencias.
4.3. Determinación de la Ecuación de Movimiento de una
Vibración Forzada Armónica
En el DCL mostrado en la fig. 44, el bloque es desplazado una distancia x
en dirección positiva. La fuerza excitatriz F(t) = FmáxsenΩΩΩΩt, siendo Ω la
frecuencia de excitación de la fuerza, en rad/s, tiene la misma dirección
de x en el análisis. Al aplicar la 2da Ley de Newton se tiene:
Figura 41

3. − − = =
⇒ + + = á
!
ED del movimiento (4.1)
La solución de esta ecuación tiene dos
partes: Una solución complementaria u
homogénea y una solución particular; la
solución complementaria (xc) resulta en
una vibración libre, que puede ser amor-
tiguada o un MAS (c = 0), y la solución particular o de estado estable (xp),
que debido a que la fuerza excitatriz dada es armónica, es de la forma:
xp(t) = Aforzsen(ΩΩΩΩt – ϕϕϕϕ)
Al derivar esta relación y sustituir las relaciones obtenidas en la ecuación
diferencial y despejar Aforz y ϕϕϕϕ en términos de sus coeficientes, se obtiene:
"#$%& =
'(á)/+
,-./0123 4 5
6
7
3
(4.2)
Debe notarse que cuando c = 0, (4.2) pasa a ser:
" #$%&
89:
=
'(á)/+
./0123
(4.2.1)
Que según se aprecia, puede obtenerse Aforz > 0 ó Aforz < 0, dependiendo si
ωMAS sea mayor o menor que Ω. Asimismo:
; = tan2?
@
6
7
3
A
7
23
B (4.3)
Al expresar Aforz y ϕϕϕϕ en términos de la frecuencia excitatriz y natural (en
términos de la relación de frecuencias r, tal que r = ΩΩΩΩ/ωωωωMAS) y el factor de
amortiguamiento (ξ) se obtiene:
"#$%& =
'(á)/C
DE?2F G 5EHI%G
=
'(á)/+
./01DE?2F G 5EHI%G
(4.4)
; = tan2?
J
HIF
?2F
K(4.5)
La amplitud de xp es constante, y se le llama vibración permanente o de
estado estable. ϕ viene a ser la diferencia de fases entre la fuerza aplicada
y la vibración resultante de estado estable del sistema amortiguado.
Figura 44. Diagrama de cuerpo libre de un
cuerpo con movimiento oscilatorio forzado.

4. Así entonces, la solución de la E.D. del movimiento oscilatorio será:
x(t) = xc(t) + xp(t) (4.6)
NOTA IMPORTANTE.- En la resolución de problemas en la unidad 3 se
aprendió que, luego de obtener la ecuación diferencial de movimiento, la
respectiva solución debe primero adecuarse a las fórmulas deducidas. En
este tema se ha de proceder del mismo modo.
4.4. Factor de Amplificación (FA) y Resonancia
En la fórmula (4.4) debe notarse que Fmáx/k = δ0 es la deformación del resorte si
la fuerza se aplicara estáticamente. Entonces, el cociente Aforz/δδδδ0 representa el
número de veces que la magnitud de la oscilación dinámica es mayor que la
deformación estática. Este cociente se conoce como factor de amplificación
(FA).
FA =
NOPQR
ST
⇒ FA =
?
DE?2F G 5EHI%G
(4.7)
En las figuras 45 y 46 se muestra la variación de FA y de ϕ con la razón
de frecuencias con y sin excitación para diversos valores del factor de
amortiguamiento. En ellas se observa lo siguiente:
• Cuando la fuerza excitatriz se aplica a bajas frecuencias (Ω/ωMAS < 1),
la respuesta permanente está en fase con la fuerza excitatriz, es decir,
ésta se ejerce generalmente hacia la derecha (F(t) > 0) cuando el sistema
se halla a la derecha de la posición de equilibrio.
• A muy bajas frecuencias (Ω/ωMAS ≈ 0), el sistema se halla esencialmente
en equilibrio estático, ϕ es casi nulo, y FA es casi igual a la unidad.
• Cuando la fuerza excitatriz se aplica a frecuencias elevadas (Ω/ωMAS >
1), la respuesta en su mayor parte en oposición de fase con la fuerza
excitatriz, es decir, ésta se ejerce generalmente hacia la derecha (F(t) >
0) cuando el bloque se halla a la izquierda de la posición de equilibrio, y
viceversa. A frecuencias muy elevadas (Ω/ωMAS >> 1), la respuesta está
casi en oposición de fase total con la fuerza excitatriz (ϕ ≈ 180°), y FA es
casi nulo.
• Sin embargo, cuando la fuerza excitatriz se aplica a una frecuencia
próxima a la frecuencia propia del sistema (Ω/ωMAS ≈ 1), y el amortigua-
miento es débil, la amplitud de la vibración se amplifica de manera
sustancial. En realidad, si el sistema no tuviera amortiguamiento, y
hubiera una fuerza cuya frecuencia de excitación es próxima a la propia
(Ω ≈ ωMAS), según la fórmula (3.4), la amplitud de la vibración sería muy
grande. Esta condición recibe el nombre de RESONANCIA.
Según se aprecia en la figura 45, la condición de resonancia (peligrosa e
indeseable en sistemas vibratorios mecánicos) sugiere que la amplitud
de la oscilación se controle evitando esta condición, o en su defecto (si no
pudiera evitarse) aumentar el amortiguamiento.

5. Un caso muy conocido del indeseable fenómeno de resonancia tuvo lugar con
el puente colgante de Tacoma Narrows el 07/11/1940, al cuarto mes de haber
sido abierto al tráfico (01/07/40). La amplitud máxima de las vibraciones
torsionales fueron 35°, y la frecuencia excitatriz del viento fue 0,2 Hz. En las
figuras 47, 48 y 49 se puede observar la evolución de dicho desastre.
r = Ω/ωMAS
Fig. 45. Variación del factor de amplificación con respecto a la relación de frecuencias de
oscilación con y sin excitación.
r = Ω/ωMAS
Fig. 46. Variación del ángulo de desfase con respecto a la relación de frecuencias de oscilación
con y sin excitación.
ϕ(Ángulodedesfase)

6. Figura 47 Figura 48
Figura 49. Instante del colapso total del puente Tacoma. Se
recomienda al alumno ingresar a www.youtube.com, y digitar
el título “El desastre del puente Tacoma”, para que se aprecie
la evolución del desastre.

7. 4.5. Sistemas no Amortiguados bajo Excitación Armónica
Respuesta a una excitación armó-
nica.- Consideremos una vibración
que se inicia súbitamente por la
acción de una fuerza armónica de
la forma F(t) = FmáxcosΩΩΩΩt. Así en-
tonces, la ED del movimiento será:
+ UVWX
Y
= á
Z[ ! (4.8)
Asimismo, se sabe que:
x(t) = xc(t) + xp(t) (xc = xhom)
Donde: xp = AforzcosΩΩΩΩt (4.9)
(c = 0)
Derivando 2 veces la ecuación (4.9), y reemplazando en (4.8):
Y
][^_Z[ ! UVWX
Y
][^_Z[ ! `
á
a Z[ !
Despejando se obtiene: ][^_
á /
UVWX
Y 2 Y
á
2 Y (4.10)
Y siempre que ωMAS ≠ Ω, xp será: b ! á Z[ !
2 Y (4.11)
La solución complementaria u homogénea vendrá dada por:
xc(t) = Asen(ωMASt + φ) = A1senωMASt + A2cosωMASt
y la solución total es:
! c UVWX! YZ[ UVWX! á Z[ !
2 Y
(4.12)
Los coeficientes A1 y A2 se hallarán en base a las condiciones iniciales. Si
dichas condiciones son x(0) = x0; d ed, hallamos sus valores, y así x(t)
resulta:
!
ed
UVWX
UVWX! d
á
2 Y
Z[ UVWX! á Z[ !
2 Y
(4.13)
CASO ESPECÍFICO: x0 = 0; v0 = 0. La ecuación (6) queda:
!
á
Y
Z[ ! Z[ UVWX!
Fig. 50. Una zaranda está sometida a vibración
forzada para separar o tamizar granos.

8. Empleando identidades trigonométricas, se obtiene:
H'(á)/+
A
7
23
sen J
UVWX5
H
K sen J
UVWX2
H
K (4.14)
Dos fenómenos importantes ocurren cuando la frecuencia de excitación
está muy próxima a la frecuencia natural del sistema.
En principio, si ωωωωMAS – ΩΩΩΩ es muy pequeño, para condiciones iniciales iguales
a cero la solución viene dada por la ecuación (3.14); sin embargo, se debe
observar que el término J
UVWX2
Y
!K oscilará con un periodo mayor que
J
UVWX5
Y
!K, ya que el periodo, como se sabe, es 2π/ω. Así entonces, el
periodo de dicha oscilación será:
h =
Hi
j/01kl ⇒ h =
mn
UVWX2
(4.15)
El movimiento resultante es una oscilación rápida cuya amplitud varía
lentamente, y se denomina golpeteo (beating).
Ejemplo gráfico de respuesta en golpeteo: Resultante de una vibración con
ωωωωMAS = 400 s-1 y ΩΩΩΩ = 390 s-1.
Fig. 51. Fenómeno del golpeteo en una vibración forzada.
Dando otra forma a la ecuación (3.14):
4p
qrst − Ω
4p
qrst + Ω

9. 2 wáx/
qrst
H
− ΩH
sen y`
UVWX +
2
a z sen y`
UVWX −
2
a z
O también:
=
2 wáx/
UVWX +
sen y`
UVWX +
2
a z {
sen J
UVWX −
2
K
UVWX −
2
|
Llevando esta expresión al límite, se tiene:
lim
UVWX→
= lim
UVWX→
•
wáx/
UVWX +
sen y`
UVWX +
2
a z {
sen J
UVWX −
2
K
UVWX −
2
|‚
Cuyo resultado es: ! ƒí = á /
Y
! ! (4.16)
Puede apreciarse que x(t) → ∞ cuando t → ∞. Este es el indeseable fenómeno
conocido como RESONANCIA.
Fig. 51. El fenómeno de la resonancia tiene lugar también cuando el tiempo vibración
crece indefinidamente.
4.6. Sistemas Amortiguados bajo Excitación Armónica
Si ahora consideramos la presencia de amortiguamiento, la ecuación (1)
será de la forma:
+ Y†UVWX + UVWX
Y
= á
Z[ ! (4.17)
Cuya respuesta permanente es una función armónica con la misma
frecuencia de la fuerza excitatriz, pero con diferente amplitud y fase, esta
última debida a la presencia del amortiguamiento. Así entonces, la
respuesta del sistema vendrá dada por:
x(t) = Ae
-(ξωξωξωξωMAS)t
cos(ωωωωt + θθθθ) + Aforzcos(ΩΩΩΩt – φφφφ) (4.18)
á /
Y
!
−
á /
Y
!

10. Los valores de A y θ los determinan las condiciones iniciales.
Para grandes valores de t, el primer
término de x(t) se aproxima a cero, y
por tanto x(t) se aproxima a la solución
particular.
Así entonces, la solución homogénea
(o complementaria) se denomina res-
puesta transitoria o transiente, y la
solución particular se denomina res-
puesta en estado estable.
Según el problema a resolver, si ξξξξ es
relativamente grande, puede ignorarse
la parte transitoria y solo considerar la
respuesta en estado estable.
Al examinar la amplitud Aforz y la fase φ
de la respuesta en estado estable con el
factor de amplificación (FA), se obtiene:
FA
"#$%&
‡:
c
D c ˆY Y Y†ˆ Y
(4.19)
‰Š ‹
Y†ˆ
c2ˆY (4.20)
Fig. 52. Para la prueba del sistema de suspensión del vehículo, se debe
hacer un ensayo de vibración forzada con amortiguamiento.
Fig. 53. En el compactador de suelo, la
vibración se genera por un motor interno,
cuya frecuencia de operación no debe
alcanzar la frecuencia natural de la
máquina; de lo contrario, tendría lugar la
resonancia.

11. Notese que si Ω → 0, Aforz → Fmáx/mω2; si Ω → ∞, Aforz → 0.
Por definición, se sabe que la resonancia tiene lugar cuando Ω = ωMAS, valor
que corresponde a la fase φ = π/2, pero no necesariamente al máximo valor
de la amplitud Aforz. Así entonces, a partir de la fórmula (3.19), el FA límite
viene a ser:
Œs
F
0 ⇒ Ž••‘$ D1 2“H 3
.
< 1
Así, FAmáx resulta: •W á =
c
Y†Dc2Y†Y
(4.21)
En muchas aplicaciones, ξ es pequeño, por lo que rpico → 1. En ese caso, la
condición de resonancia no amortiguada (Ω = ωMAS) puede ser usada como
resonancia de un sistema ligeramente amortiguado.
Problemas Resueltos
1. El carrito de 30 kg mostrado está
sometido a la acción de la fuerza
armónica indicada. Determinar los
límites permitidos de la pulsación
excitatriz Ω de la fuerza F(t) = 30
senΩΩΩΩt (N), de modo que la amplitud
de la respuesta estacionaria sea
inferior a 75 mm en los siguientes casos:
a) Cuando c = 0 b) Cuando c = 36 kg/s.
Solución
El sistema mostrado es similar al sistema elemental dado en 3.1. Así entonces, la ED
del sistema será:
+
8
–:
+
? :—:
–:
=
–:
–:
sen Ω ⇒ +
8
–:
+ 36 = sen Ω
PRIMER CASO: Aplicando la ecuación (4.4), como c = 0, ξ = 0. Así entonces, (4.4)
quedará del siguiente modo:
"#$%& =
wáx/
1 −
Ω
qrst
H
Con Aforz = 0,075 m, y reconociendo que Fmáx = 30 N, al reemplazar se tiene:
–:/?:—:
?2
l
š›
= 0,075 ⇒ ΩΩΩΩ = 4,761 s-1 (Rpta a)
SEGUNDO CASO: Cálculo del factor de amortiguamiento (en el supuesto que Ω = 0):
“ =
8/–:
H√–
=
– /–:
H.
⇒ ξξξξ = 0,1.
k = 1 080 N/m
c
Figura 54

12. En esta ocasión, previo al reemplazo de datos, la ecuación (4.4) se puede escribir del
siguiente modo:
¢1 `
Ω
qrst
a
H
£
H
y2“ `
Ω
qrst
az
H
`
wáx
"#$%&
a
H
Al reemplazar y simplificar se obtiene la siguiente ecuación bi-cuadrática:
Ω¤
70
14
25
ΩH
1118
2
9
0
Cuyas soluciones reales son: ΩΩΩΩ1 = 6,821 s-1 y ΩΩΩΩ2 = 4,903 s-1
En consecuencia, los límites permitidos para Ω son:
ΩΩΩΩ < 4,903 s-1 ; ó ΩΩΩΩ > 6,821 s-1 (Rpta b)
2. La plataforma P de 22 kg de masa mostrada descansa sobre 4 rodillos que se mo-
delan como cilindros homogéneos de 2 kg de masa y 30 mm de radio. La plataforma
está sometida a la fuerza F(t) = 100 sen3t (N), y k = 900 N/m. Si inicialmente está
a 10 cm de su posición de equilibrio y con rapidez v = 2 m/s hacia la derecha,
determinar:
a) La ED del movimiento de la plataforma, dando su amplitud.
b) La ecuación de movimiento de la vibración, si junto al resorte se coloca un
amortiguador cuya constante es c = 75 kg/s.
Solución
Primero determinemos la ecuación de movimiento de uno de los
rodillos, con base en su diagrama de cuerpo libre.
∑ ¨©ª« ¬©ª«- ⇒ ®?. 2Ž
–
H %ŽH
-
⇒ ®?
–
¤ %Ž- (1)
Asimismo, como la amplitud de las oscilaciones es pequeña, el
des-plazamiento x de cada rueda puede aproximarse a 2θr. Por
lo tanto, la relación (1) quedará como:
®?
–
— % (1’)
A continuación, en base al DCL de
la plataforma plantearemos la 2da
Ley de Newton:
∑ %¯° ¨ ¨
4®? ¨ (2)
Figura 55
CIR
f1
f2
Np
θ
W
N
x = 2θr
Figura 56
(elaboración
propia)
f1
Mg
kx
M
F(t)
Fig. 57 (elaboración
propia)
f1
Np NpNp Np
f1 f1

13. Reemplazando (1’) en (2), y los datos dados, obtenemos la ED de la vibración de la
plataforma:
¨
–
H % ⇒ ±² m ³ ±! (ED)
Como la plataforma vibra sin amortiguamiento, la amplitud se calculará mediante la
fórmula (4.4), con ε = 0. Así entonces, tenemos:
"#$%&
'(á)/C
?2`
l
j/01
a
⇒ "#$%& =
?::/´::
?2
š
š›
⇒ Aforz = 0,148 m (Rpta a)
b) En este caso, la ED de la vibración ha de incluir el término de primer orden, de la
forma (c/m) por lo que la ED será: + ± + ±² = m ³ ±!. Así, el factor de amortigua-
miento será: µ =
–
H.
= 0,25, y la nueva amplitud será, con la ecuación (4.4):
"#$%& =
?::/´::
¶y?2
š
›
z 5JH.:,H·
š
›
K
⇒ Aforz = 0,141 m
Cuyo ángulo de desfase ϕ será, con la ecuación (4.5):
; = tan2?
¢
H.:,H·
š
›
?2
š
›
£ ⇒ ϕϕϕϕ = 18,435° = 0,322 rad
Así entonces, la ecuación de movimiento de esta vibración será: x(t) = xc(t) + xp(t),
donde:
8 " cos qrst º " cos 6 º
En t = 0: x = 0,1 m ⇒ Acosφ = 0,1 (I)
= 2 m/s ⇒ -Asenφ = 1/3 (II)
De (I) y (II): A = 0,348 m; φφφφ = -1,279 rad ⇒ ! d, ±m» Z[ ²! c, Y¼½
Y xp(t) viene dado por: xp(t) = Aforzsen(ΩΩΩΩt – ϕϕϕϕ)
⇒ xp(t) = 0,141sen(3t – 0,322) (m) (Rpta b)
3. Para una vibración estacionaria con coeficiente de amortiguamiento c bajo la acción
de una fuerza excitatriz de frecuencia armónica Ω, que produce una amplitud A,
determinar la energía disipada por cada ciclo en el amortiguador, sabiendo que la
fuerza que desarrolla es proporcional a la velocidad de vibración.
Solución
La ecuación de movimiento en condición estacionaria es: xest = Asen(ΩΩΩΩt – ϕϕϕϕ).
La energía disipada por el amortiguador será: ¾'¿
À Á‘ . Â Á À ‘ Â À Ã . Ã Â
Así entonces: ¾'¿ À ÃH
 (*)
Como: xest = Asen(Ωt – ϕ) ⇒ Ω" cos Ω ; . En (*) tenemos:

14. ¾'¿
ÄEΩ" cos Ω ; GH
Â
Å
:
1
2
ΩH
"H
ÄE1 cos 2Ω 2; GÂ
Å
:
¾'¿
1
2
ΩH
"H
y
1
2Ω
sen 2Ω 2; z
:
Å
Teniendo en cuenta que la función seno es periódica, simplificando nos queda:
¾'¿
?
H
ΩH
"H
h
?
H
ΩH
"H Hi
3
⇒ Æ Z
n Y
(Rpta)
4. Conforme la velocidad de giro de un motor soportado por resortes aumenta poco a
poco de 200 a 500 rpm, se observa que la amplitud de la vibración debida al des-
balanceo del motor decrece de modo continuo de 8 mm a 2,5 mm. Si todas las am-
plitudes tienen lugar debido a una fuerza excitatriz de valor máximo constante,
calcular:
a) La velocidad de resonancia.
b) La amplitud de la vibración estacionaria a 100 rpm.
Solución
a) Al simplificar la fórmula (4.2) se obtiene: ][^_
á
2 Y
(*), de la cual se deduce que la
frecuencia de resonancia del motor tendrá lugar cuando Ω = Ωrst = Ω%¯° = D / . En
dicha fórmula debe tenerse en cuenta que:
Si
C
+
< Ω2
⇒ A < 0.
Si
C
+
> Ω2
⇒ A > 0.
Así entonces, en función de cada amplitud, y despejando Ωres se obtendrá:
"? =
'(á)
C2+3È
"H =
'(á)
C2+3
| ⇒ ^ = ,
c c
Y2Y Y
Y
c2Y
(**)
Reemplazando datos se tiene: Ω%¯° = ,
—.H:: 2 2H,· ·::
—2 2H,·
= ±dd ˆÊ (Rpta. a)
b) Con (**) y el resultado obtenido se obtiene la siguiente fórmula: ± = c ` ^
Y 2 c
Y
^
Y 2 ±
Ya (***).
Reemplazando datos se obtiene: "– = 8
–:: 2H::
–:: 2?::
= Ë (Rpta. b)
JMCM: 27/04/2018
**********************