Este documento presenta la solución a 10 problemas relacionados con capacitancia y dieléctricos. En el primer problema, se calcula cómo se distribuye la carga entre dos esferas conductoras cargadas y la potencia del sistema. Los problemas subsiguientes involucran calcular capacitancia para diferentes configuraciones como nubes sobre la Tierra, capacitores de chips de memoria y cables coaxiales. El último problema determina el volumen de la región entre esferas metálicas que componen un capacitor esférico.

1. Problemas
Complementarios
Capacitancia y Dieléctricos
Clase 7a 14/Octubre/2014

2. Problemas
 Problema 5
 Dos esferas conductoras con diámetros de 0.4m y 1m están separadas por
una distancia que es grande comparada con los diámetros. Las esferas
están conectadas por medio de un alambre delgado y se cargan hasta
7휇퐶 a) ¿Cómo se comparte esta carga total entre esferas? (ignore
cualquier carga en el alambre) b) ¿Cuál es la potencia del sistema de
esferas cuando el potencial de referencia se toma como 푉 = 0 푒푛 푟 = ∞ ?

3. Problemas
 Solución
1 2
푅1 푅2
 Datos: 2푅2 = 0.4푚, 2푅1 = 1푚, 푄푡표푡푎푙 = 7휇퐶

4. Problemas
 Solución
 Inciso a
 Datos: 2푅2 = 0.4푚, 2푅1 = 1푚, 푄푡표푡푎푙 = 7휇퐶
 Sabemos que: 푉1 = 푉2
 ⟹
퐾푒푄1
푅1
=
퐾푒푄2
푅2
⟹ 푄1 ∙ 푅2 = 푄2 ∙ 푅1
 Como: 푄1 + 푄2 = 7휇퐶
 Entonces: 7 − 푄2 푅2 = 푄2 ∙ 푅1

5. Problemas
 Solución
 Inciso a
 Datos: 2푅2 = 0.4푚, 2푅1 = 1푚, 푄푡표푡푎푙 = 7휇퐶
 ∴ 푄2 =
7푅2
푅2+푅1
=
7 0.2
0.7
 Por lo tanto: 푄2 = 2휇퐶 푦 푄1 = 5휇퐶

6. Problemas
 Solución
 Inciso b
 Sabemos que: 푉 = 0 푒푛 푟 = ∞
 Entonces: 푉푠푖푠푡푒푚푎 = 푉1 = 푉2 =
퐾푒∙푄1
푅1
 ⟹ 푉푠푖푠푡푒푚푎 =
8.99×109× 5×10−6
0.5
 ∴ 푉푠푖푠푡푒푚푎 = 89.9푘푉

7. Problemas
 Problema 6
 Considerando a la Tierra y una capa de nubes 800m sobre la superficie
terrestre como las “placas” de un capacitor, calcule la capacitancia si la
capa de nubes tiene un área de 1 푘푚2. Suponga que el aire entre la nube
y el suelo es puro y seco. Suponga que la carga acumulada en la nube y
el suelo hasta un campo eléctrico uniforme con una magnitud de 3 × 106 푁
퐶
a través del espacio entre ellos hace que el aire se rompa y conduzca
electricidad como un relámpago. ¿Cual es la máxima carga que puede
soportar la nube?

8. Problemas
 Solución
 Datos: E = 3 × 106 푁
퐶
−푄
퐸 푑
, 퐴 = 1푘푚2, 푑 = 800푚, 푄 = ?
+푄
퐴푖푟푒 푝푢푟표 푦 푠푒푐표

9. Problemas
 Solución
 Sabemos que la capacitancia de un capacitor de
placas paralelas es:
 퐶 =
휖표퐴
푑
⟹ 퐶 =
8.85×10−12× 1×106
800
∴ 퐶 = 1.1 × 10−2푚퐹
 Por otro lado:
 Δ푉 = 퐸 ∙ 푑 = 3 × 106 × 800 = 2.4 × 109푉

10. Problemas
 Solución
 Luego por definición: 퐶 =
푄
Δ푉
 ⇒ 푄 = 퐶 × Δ푉 = 1.1 × 10−2푚퐹 × 2.4 × 109
 ∴ 푄푚á푥푖푚푎 = 26.4 퐶

11. Problemas
 Problema 7
 Un chip de memoria de computadora de un megabit contiene muchos
capacitores de 60푓 퐹. Cada capacitor tiene un área de placa de 21 ×
10−12푚2. Determine la separación de placas de tal capacitor (suponga
que la configuración de placas paralelas). El diámetro atómico
característico es de 10−10푚 = 0.1푛푚. Exprese la separación de placas en
nanómetros.

12. Problemas
 Solución
퐴 퐴
+휎 −휎
푑
 Datos: 퐴 = 21 × 10−12푚2, 퐶 = 60 푓퐹, 푑 =?

13. Problemas
 Solución
 En un capacitor de placas paralelas, la capacitancia es
igual a:
 퐶 =
휖표∙퐴
푑
 ⇒ 60 × 10−15 =
8.85×10−12× 21×10−12
푑
 ∴ 푑 = 3.1 × 10−9푚 = 3.1푛푚

14. Problemas
 Problema 9
 Un cable coaxial de 50m de largo tiene un conductor interior con un
diámetro de 2.58 mm que conduce una carga de 8.10 푢퐶. El conductor
circundante tiene un diámetro interior de 7.27 푚푚 y una carga de
− 8.10 휇퐶 . A) ¿Cuál es la capacitancia de este cable? B)¿Cuál es la
diferencia de potencial entre los dos conductores? Suponga que la región
entre los conductores es aire.

15. Problemas
 Solución
−푄2
퐿
퐷1
퐷2
푄1
 Datos: 퐿 = 50푚, 퐷1 = 2.58 푚푚, 퐷2 = 7.27 푚푚, 푄1 = 8.10 휇퐶

16. Problemas
 Solución
 Inciso a
퐷2
2 퐸 ∙ 푑푠 = − 퐷1
 Sabemos que: Δ푉 = − 퐷1
2
퐷2
2 2푘푒∙휆
2
푟
∙ 푑푟
 ⟹ Δ푉 = 2푘푒 ∙ 휆푙푛
퐷2
2
퐷1
2
=
2푘푒∙푄
2
∙ 푙푛
퐷2
퐷1
 Luego: 퐶 =
푄
Δ푉
=
푄
2∙퐾푒∙푄
퐿
∙ 푙푛
퐷2
퐷1

17. Problemas
 Solución
 Inciso a
 Entonces
 퐶 =
퐿
2푘푒푙푛
퐷2
퐷1
=
50
2 8.99×109 ∙푙푛
7.27
2.58
∴ 퐶 = 2.68 푛퐹

18. Problemas
 Solución
 Inciso b
 Sabemos que:
 퐶 =
푄
Δ푉
 ⟹
푄
퐶
= Δ푉 ⟹ Δ푉 =
8.10×10−6
2.68×10−9
 ∴ Δ푉 = 3.02 푘푉

19. Problemas
 Problema 10
 Un capacitor esférico de −20휇퐹 esta compuesto de dos esferas metálicas,
una con radio dos veces mayor que la otra. Si la región entre las esferas es
le vacío, determine el volumen de esta región.

20. Problemas
 Solución
퐷1 푄1
푉푎푐í표 퐷2 (푃푙푎푛표 푇푟푎푛푠푣푒푟푠푎푙)
푒푠푓푒푟푎푠 푚푒푡á푙푖푐푎푠
 Datos: 퐶 = 20 휇퐹, Volumén vacío = ?

21. Problemas
 Solución
 Sabemos que:
 Δ푉 = 푘푒 ∙ 푄
푏−푎
푎푏
⟹ Δ푉 = 푘푒 ∙ 푄
2푅−푅
2푅 푅
=
푘푒∙푄
2푅
 Entonces: 퐶 =
푄
Δ푉
=
푄
퐾푒∙푄
2푅
=
2푅
푘푒

22. Problemas
 Solución
 ⟹ 푅 =
퐶∙퐾푒
2
; 푅 =
20×10−6 8.99×109
2
⟹∴ 푅 = 89.9 × 103푚
 En consecuencia
 Volumen en el vacío
 푉 =
4휋
3
2푅 3 − 푅3 =
4휋
3
7푅3 =
4
3
휋 × 7 89.9 × 103 3⟹
 푉표푙푢푚푒푛 푒푛 푒푙 푣푎푐í표 = 2.13 × 1016푚3