Flotacion estabilidad

1. MECANICA DE LOS FLUIDOS
Temas:
1. Estabilidad de cuerpos flotantes
2. Fluidos en traslación y rotación

2. Tema 1
Dentro de los objetivos de este subtitulo el estudiante será
capaz de:
 Escribir la ecuación para la fuerza boyante.
 Analizar el caso de cuerpos que flotan en un fluido.
 Definir las condiciones que deben cumplirse para que un
cuerpo este estable cuando se encuentre sumergido o
flotando.
 Definir Metacentro y poder calcular su localización

3.  Cuando un cuerpo se encuentra total o parcialmente
sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente
que actúa sobre él llamada fuerza de empuje o flotación . La
causa de esta fuerza es la diferencia de presiones existentes
sobre las superficies superior e inferior. Las leyes de
boyantez o empuje se enuncian:
1° Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza
de flotación (empuje) verticalmente hacia arriba igual al peso
de fluido que desaloja.
2° Un cuerpo que flota desplaza un volumen de fluid
equivalente a su propio peso.

4.  Los cuerpos sumergidos en un fluido tienen un peso
aparentemente menor al verdadero llamado peso
aparente. El valor de la fuerza de empuje se determina
mediante la diferencia del peso real y el aparente:
Empuje = peso real – peso aparente
Empuje
.

5. Submarinos.
APLICACIONES DEL
PRINCIPIO DE
ARQUÍMEDES.

6. GLOBOS
AEROSTÁTICOS.
Según el Principio de Arquímedes, el aire caliente, al
ser menos denso, pesará menos que el aire exterior y
por lo tanto recibirá una fuerza de empuje hacia
arriba que hará ascender al globo.

7. Barcos.
El Principio de Arquímedes explica claramente por qué
los grandes barcos pueden flotar en el agua… gracias a la
gran fuerza de empuje debido al gran volumen que
desplazan de agua.

8. Flotabilidad
La flotabilidad es la característica por la cual un fluido tiende a ejercer una
fuerza de apoyo sobre un cuerpo colocado en el mismo.
Un cuerpo es empujado hacia arriba en un fluido por una fuerza igual al peso
del fluido desplazado. Esa fuerza (Fuerza de empuje, o boyante) actúa a través
del centroide.

gf : Peso específico del fluido; Vd : Volumen desplazado
Peso del sólido sumergido:
g : Peso específico del Sólido; V : Volumen del sólido
Si:
 FB > W (gf > g) El cuerpo flota sobre la superficie del líquido
 FB = W (gf = g) El cuerpo flota con flotabilidad neutra
 FB < W (gf < g) El cuerpo se hunde
FB = gf Vd
W = g V

9. Estabilidad
 Estabilidad: Se refiere a la capacidad que tiene un cuerpo de
regresar a su posición original luego de haberse inclinado
respecto a un eje horizontal.
 Se aplica a cuerpos sumergidos por completo en un fluido, como
los submarinos y los globos climatológicos.
 Submarinos, sumergidos en el agua. Globos, sumergidos en el aire.
 O que su centro de gravedad esté por debajo de su centro de flotabilidad.
Para este tipo de artefactos es importante mantener una
orientación específica a pesar de la acción de las corrientes, de
los vientos o de las fuerzas de las maniobras.
 Condición de estabilidad: que el centro de flotabilidad esté por
encima de su centro de gravedad.
 El centro de flotabilidad se encuentra en el centroide del volumen
de fluido desplazado.

10. Estabilidad de cuerpo completamente
sumergidos
 Un objeto completamente sumergido es rotacionalmente estable
solamente cuando su centro de gravedad se encuentre por debajo
del centro de boyamiento.
 Cuando este rota en sentido contrario a las
agujas del reloj, la fuerza de boyamiento y el
peso producen un par en la dirección de las
manecillas del reloj.
 La condición de estabilidad de cuerpos completamente
sumergidos en un fluido es principalmente que el centro de
gravedad del cuerpo debe estar por debajo del centro de
flotabilidad.
 Este centro de flotabilidad de los cuerpos se encuentra en el
centroide del volumen del fluido desplazado, y es a través de este
punto como actúa la fuerza boyante en dirección vertical.

11. Estabilidad de cuerpo completamente sumergidos
 El peso del cuerpo actúa verticalmente hacia abajo a través del centro de
gravedad.
 Se muestra a continuación una sección transversal de un vehiculo submarino
La circular es un cilindro hueco que sirve como cabina para la tripulación y
como almacén para el instrumental delicado y los sistemas de apoyo vital.
La sección rectangular que se encuentra en el
Fondo contiene baterías pesadas y otro tipo de
equipo duradero.
Con esta distribución de peso y volumen,
el centro de gravedad (cg) y el centro de
flotabilidad (cb) están localizados
aproximadamente como se muestra el la Figura a

12. Estabilidad de cuerpos flotantes
 La condición para la estabilidad de cuerpos flotantes es diferente de la de los cuerpos
que se encuentran completamente sumergidos; la razón de esto se debe a que su
centro de gravedad (cg) se encuentra por encima de su centro de flotabilidad (cb).
 La recta vertical que pasa por estos dos puntos se le conoce como eje vertical del
cuerpo.
 Con el fin de establecer la condición de estabilidad de un cuerpo flotante, debemos
definir un nuevo termino,
 El metacentro (mc), esté definido como el punto de intersección del eje vertical
de un cuerpo cuando se encuentra en su posición de equilibrio y la recta vertical
que pasa por la nueva posición del centro de flotabilidad cuando el cuerpo es girado
ligeramente.
 “Un cuerpo flotante será estable si su centro de gravedad esta por debajo del
metacentro”.
 Es posible determinar si un cuerpo flotante es estable, mediante la ubicación
del mecacentro.
 La distancia del metacentro al centro de flotabilidad se denota con MB, y se calcula a
partir de la ecuación: MB = I/Vd

13. Estabilidad de cuerpo flotante
 Un cuerpo que flota en un líquido estático tiene una estabilidad
vertical, un pequeño desplazamiento hacia arriba disminuye el
volumen del líquido desplazado, lo cual da como resultado una
fuerza no balanceada hacia abajo que tiende a retornar el cuerpo a
su posición original.
 Similarmente, un pequeño desplazamiento hacia abajo genera una
fuerza de boyamiento mayor, la cual causa un desbalance hacia
arriba.
 La fuerza resultante ejercida a un cuerpo por un fluido estático que se
encuentra sumergido o flotando se llama fuerza de boyamiento
 Un cuerpo tiene una estabilidad lineal cuando un pequeño
desplazamiento lineal, en cualquier dirección, genera fuerzas de
restablecimiento que tienden a retornarlo a su occisión original.
 Tiene estabilidad rotacional cuando se genera un par restaurador
por cualquier pequeño desplazamiento angular.

14. Estabilidad de cuerpo flotante
Un cuerpo puede flotar en equilibrio estable, inestable o
neutro.
 Cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio inestable,
cualquier pequeño desplazamiento angular genera un par
que tiende a incrementar dicho desplazamiento.
 Si el cuerpo se encuentra en estado neutral, cualquier
pequeño desplazamiento angular no genera ningún par.
Se ilustran los tres casos de equilibrio en la .

15. Estabilidad de cuerpo flotante
 Normalmente, cuando un cuerpo es demasiado pesado para flotar, se
hunde y baja hasta el fondo, a pesar de que el peso especifico del
liquido aumenta ligeramente con la profundidad, las altas presiones
tienden a comprimir el cuerpo o hacen que el liquido penetre en los
poros de sustancias sólidas, disminuyendo por esto la fuerza de
boyamiento, por ejemplo un barco es seguro que se hunda hasta el
fondo una vez que se encuentre completamente sumergido, debido a
la compresión del aire atrapado en sus diferentes partes.
 Cualquier objeto flotante con su centro de gravedad por debajo
de su centro de boyamiento (centroide del volumen desplazado) flota
en equilibrio estable.
 Sin embargo, ciertos objetos flotantes se encuentran en equilibrio
cuando su centro de gravedad esta por encima del centro de
boyamiento.

16. Estabilidad de cuerpos
flotantes y sumergidos
 La estabilidad de un cuerpo parcial
o totalmente sumergido es vertical
y obedece al equilibrio existente entre el peso del
cuerpo () y la fuerza de flotación (F):
FF = W (en el equilibrio)
ambas fuerzas son verticales y actúan a lo largo de la
misma línea.
La fuerza de flotación estará aplicada en el centro de
flotación (CF) y el peso estará aplicado en el centro de
gravedad (CG).
16

17. Procedimiento para evaluación de estabilidad de
cuerpos flotantes
 Determinar la posición del cuerpo flotante, utilizando los principios de la
flotabilidad.
 Localizar el centro de flotabilidad, cb, y calcular la distancia desde algún eje de
referencia a cb, “Ycb”.
 Por lo general se toma el fondo del objeto como el eje de referencia.
 Localizar el centro de gravedad, cg, y calcular “Ycg”, medida desde el mismo
eje de referencia.
 Determinar la forma del área en la superficie del fluido y calcular el menor
momento de inercia,”I”.
 Calcular MB = I/V
 Si Ymc > Ycg , el cuerpo es estable. Si Ymc < Ycg , el cuerpo es inestable.
 Las condiciones para la estabilidad de cuerpos en un fluido pueden resumirse
en puntos:
 Los cuerpos completamente sumergidos son estables si el centro de gravedad esta por
debajo del centro de flotabilidad.
 Los cuerpos que se encuentran flotando son estables si el centro de gravedad esta por
debajo del metacentro
17

18. E
A B
C
D
H
F1
F2
FR
A
C
B
E
H
A
C
B
E
D
PRINCIPIO DE ARQUIMIDES: Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un
empuje ascendente igual al peso del liquido que desaloja.-
SUPERFICIES CURVAS TOTALMENTE SUMERGIDA
LA FUERZA RESULTANTE
C
E
D
H
F1=γ *VABCHE
F1=γ *VABCDE
FR= F2 - F1 =
FR= γ *VHCDE

19. A
C
B
D
CUERPOS SUMERGIDOS
h
ds
a1 a2
df1 df2
Las Componentes Horizontales del
Empuje Hidrostático en a1 y a2 valen:
h1
h2
dp1
dp2
ds
b1
b2
El cuerpo no tiene tendencia a
moverse en sentido horizontal.-
Las Componentes Verticales del Empuje
Hidrostático en b1 y b2 valen:
El EMPUJE que soporta un cuerpo sumergido, es igual al producto del peso
especifico del liquido por el volumen del cuerpo;
este producto representa el peso del liquido desplazado por el cuerpo.-
df1 =γ*h*ds
df2 =γ*h*ds
 df1 =df2
dp1 =γ*h1*ds
df2 =γ*h2*ds
dE= dp2 –dp1 =γ*ds *(h2-h1)
E= ʃdE=γ*ʃ(h2-h1)*ds = γ*ʃZ*ds
E =γ*Vc

20. EQUILIBRIO DE CUERPOS SUMERGIDOS
E
W
Si W > E el cuerpo se hunde hasta el fondo.-
Si W < E el cuerpo flota parcialmente
sumergido.
Si W = E el cuerpo se mantiene sumergido
en equilibrio.
Ahora bien, como:
Resulta que:
W =γc*Vc
E =γL*VD = γL*Vc  W=E = γC*Vc = γL*Vc
Si γc= γL el cuerpo queda neutro
Si γc< γL el cuerpo Flota
Si γc> γL el cuerpo se hunde

21. La estabilidad de un cuerpo parcialmente o
totalmente sumergido es de dos tipos:
ESTABILIDAD LINEAL
-> Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo
verticalmente hacia arriba.
ESTABILIDAD ROTACIONAL
-> Este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando el
cuerpo sufre un desplazamiento angular.
1. 21
La estabilidad de un cuerpo parcialmente o
totalmente sumergido es de dos tipos:

22. -> Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo
verticalmente hacia arriba.
Este desplazamiento provoca una disminución del volumen de
fluido desplazado cambiando la magnitud de la fuerza de
flotación correspondiente.
Como se rompe el equilibrio existente entre la fuerza de
flotación y el peso del cuerpo ( FF W ), aparece una fuerza
restauradora de dirección vertical y sentido hacia abajo que hace
que el cuerpo regrese a su posición original, restableciendo así el
equilibrio.
De la misma manera, si desplazamos el cuerpo verticalmente
hacia abajo, aparecerá una fuerza restauradora vertical y hacia
arriba que tenderá a devolver el cuerpo a su posición inicial.
En este caso el centro de gravedad y el de flotación permanecen
en la misma línea vertical.
22
1. ESTABILIDAD LINEAL

23. 2. ESTABILIDAD ROTACIONAL
-> Este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando el
cuerpo sufre un desplazamiento angular.
En este caso, el centro de flotación y el centro de gravedad no
permanecen sobre la misma línea vertical, por lo que la fuerza
de flotación y el peso no son colineales provocando la aparición
de un par de fuerzas restauradoras.
El efecto que tiene dicho par de fuerzas sobre la posición del
cuerpo determinará el tipo de equilibrio en el sistema:
23

24. Tipo de equilibrio en el sistema :
 Equilibrio estable : cuando el par de fuerzas restauradoras
devuelve el cuerpo a su posición original.
Esto se produce cuando el cuerpo tiene mayor densidad en
la parte inferior del mismo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por
debajo del centro de flotación.
 Equilibrio inestable : cuando el par de fuerzas tiende
a aumentar el desplazamiento angular producido.
Esto ocurre cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte superior del cuerpo, de
manera que el centro de gravedad se encuentra por encima del centro de flotación
 Equilibrio neutro : cuando no aparece ningún par de
fuerzas restauradoras a pesar de haberse producido un desplazamiento angular.
Podemos encontrar este tipo de equilibrio en cuerpos cuya distribución de masas es
homogénea, de manera que el centro de gravedad coincide con el
centro de flotación.
24

25. EQUILIBRIO DE CUERPOS SUMERGIDOS
Además del W (Peso) y el E (Empuje) el cuerpo puede estar
sometido a otras fuerzas que la aparten del equilibrio.-
C
E
G
W
M W
G
E
C
M
W
E
G=
C
ESTABLE INESTABLE INDIFERENTE
G
W
E

26. A
C
B
D
CUERPOS PARCIALMENTE SUMERGIDOS O FLOTANTES
  






 S
2
1
1
2
d
z
z
'
h
'
dp 




 1
2
dp
dp
dE
Para el prisma elemental de sección ds,
el Empuje Hidrostático Vertical vale:
dp1
dp2
ds
b1
b2
 
  




 S
2
1
1
2
d
z
z
h
'
dp 

S
1
1
d
h
'
dp 

 
  S
2
1
1
2
d
z
z
'
dp
dp
dE 





 

S
2
S
1
d
z
d
z
'
dE 




 

'
V
"
V
'
E 


 

El EMPUJE que soporta un cuerpo que flota entre dos fluidos, es igual a la suma
de los pesos de los volúmenes fluidos que desaloja.-
h1
z2
z1

'

V”
V’
Si γ’ es aire: '
V
E 
 
V’= Volumen sumergido, o desplazado
Volumen de Carena
Integrando:

27. EQUILIBRIO DE CUERPO PARCIALMENTE SUMERGIDO
G
W
G: Centro de gravedad del cuerpo
G
W
C
F
M
G
W
C
F
M
M
M
C
F
C: Centro de gravedad del liquido desalojado M: Metacentro
Si MG>0 equilibrio ESTABLE
Si MG<0 equilibrio INESTABLE
Si MG=0 equilibrio INDIFERENTE
1.- Si “C” se ubica por debajo de “G”
CG
V
J
MG
CARENA
E



28. EQUILIBRIO DE CUERPO PARCIALMENTE SUMERGIDO
G
W
G
W
M
C
E
Siempre el equilibrio del cuerpo flotante cuando el centro de
carena “C” esta por encima de “G” será ESTABLE
C
E
G
W
C
E
M
M
M
2.- Si “C” se ubica por encima de “G”

29. Metacentro
 METACENTRO El metacentro (M) es el
punto de intersección de las líneas verticales trazadas desde el
centro de carena a pequeños ángulos de escora consecutivos, y se
puede equiparar a un eje central cuando el buque está inclinado a
pequeños ángulos de escora.
 La distancia entre G y M se conoce como la altura
metacéntrica (GM).
 Un buque estable en posición de adrizado tiene una altura
metacéntrica (GM) positiva, es decir, el metacentro (M) se
encuentra por encima del centro de gravedad (G).
 Por lo general, esta magnitud se denomina altura GM positiva o
estabilidad inicial positiva.

30. DETERMINACION DE LA DISTANCIA METACENTRICA
0
s V
)
sum ergido
.
volum en
(
V 
G
E
β
C
M
r
1.- Cuerpo en posición inicial:
2.-Al aplicar una desviación angular:
β
dS=dy.L
dy
2
1
0
S V
V
V
'
V 


'
C
C 
3.-Determinación de “r”:
2
2
1
1
0
0
S V
.
y
V
.
y
V
.
y
V
.
r 








2
V
2
1
V
1
0
V
0
S dV
.
y
dV
.
y
dV
.
y
V
.
r
CG
V
I
MG xx


Ixx: Momento de inercia de la sup. de flotación.
Vs: Volumen de carena.-
V2
V1
F
L
C’
W
(Nuevo volumen sumergido)
M (Metacentro)
(Nuevo centro de presión)
(Teorema Varignon)
S
1
d
.
tan
.
y
dV 
 S
2
d
.
tan
.
y
dV 







2
A
1
A
S dS
.
tan
.
y
.
y
dS
.
tan
y
.
y
0
V
.
r 

xx
A
2
S I
.
tan
dS
.
y
.
tan
V
.
r 
 



tan
.
CM
r  xx
s I
.
tan
V
.
tan
.
CM 
 
CG
MG
V
I
CM
s
xx



β
y
Eje xx
Vs V’s
C

31. EJERCICIO N°:1
Q
P
E
E 2
1



Una pasarela de madera se compone de dos filas de tambores de
sección circular sobre las que apoya un tablero de madera por
intermedio de perfiles de acero, se pide determinar:
1°) la magnitud de la carga P concentrada para que el borde
inferior del tablero quede a una distancia “h” de la superficie del
agua.-
2°) la distancia “x” de dicha carga al apoyo1 para que el tablero
quede horizontal.-
E2
I I
P
0,15 0,15
X
h=0,32
E1
0,10
f
L=3,55
R1 R2
Peso del Tablero: 40kg/m2
Peso del Tambor 1: 30kg/m
Peso del Tambor 2: 40kg/m
R1: 0,60m ; R2: 0,90m
La condición de equilibrio es:
DATOS

32. SOLUCION
m
kg
995
m
kg
1000
.
m
995
,
0
E 3
2
1


E2
I I
P
0,15 0,15
X
h=0,32
E1
0,10
f
L=3,55
R1 R2
1°.Determinación del EMPUJE:
F
A
Ac
C
V
E 
 
 
f
R
2
f
f
3
4
A 

  2
1
m
135
,
0
22
,
0
60
,
0
2
22
,
0
22
,
0
3
4
A 



  2
2
m
173
,
0
22
,
0
90
,
0
2
22
,
0
22
,
0
3
4
A 



2
2
1
2
1
1
C
m
995
,
0
135
,
0
60
,
0
.
A
R
.
A 



 

2
2
2
2
2
2
C
m
370
,
2
173
,
0
90
,
0
.
A
R
.
A 



 

m
kg
2370
m
kg
1000
.
m
37
,
2
E 3
2
2



33. SOLUCION
2°.Determinación de las CARGAS:
E1=995kg/m
E2=2370kg/m
q1= 30kg/m
T/2= 77kg/m
T/2= 77kg/m
q2= 40kg/m
TABLERO: se reparte en partes iguales en ambos apoyos
R1
R2
La fuerza “P” tendrá que ser igual a la suma de las reacciones
T=(40 kg/m2 *(3.55+0.30)) =145kg/m
R1 = E1 –(T/2)-q1 =995 -77 -30 =888kg/m
R2 = E2 –(T/2)-q2 =2370 -77 -40 =2253kg/m
P= R1 + R2888+2253 =3141 kg/m

34. SOLUCION
R2
I I
P
0,15 0,15
X
h=0,32
R1
0,10
f
L=3,55
R1 R2
3°.Determinación de “x”:
Para determinar este valor
debemos tomar momento de la
fuerza “P” y las reacciones,
con respecto, por ejemplo a
O1.-

35. EJERCICIO N°:2
Un cajón de forma paralelepípedo rectangular de dimensiones: 6,00m de
ancho; 18,00m de largo y 3,00m de altura, pesa 160.000 kg; flota en agua
salada (γ:1025kg/m3), el centro de gravedad cuando esta cargado esta a
1,35m por debajo de la parte superior del cajón.- Se pide determinar: 1°)
el centro de empuje cunado flota horizontalmente en agua tranquila. 2°) la
longitud metacéntrica cuando ha girado alrededor del eje horizontal en
10°; y 3°) verificar la condición de equilibrio y calcular su ancho
mínimo.-
B: 6,00m
DATOS
L: 18,00m
H: 3,00m
γ: 1025 kg/m3
P: 160.000 kg
1,35
hs
B
L
C
G

36. SOLUCION
1°) Centro de Empuje “C”, en aguas tranquilas:
1,35
hs
B
L
C
G
E
P
m
445
,
1
m
6
m
18
m
kg
1025
kg
000
.
160
h
3
S 



Al ser un rectángulo el
centro de empuje se ubica
a:
m
7226
,
0
2
m
445
,
1
2
h
C S



E=γVc  E=γ*B*L*hs  hs=P/ γ*B*L

37. 2°) Longitud Metacéntrica MG, para un giro de φ=10°:
C
G
C’
M
x
x
P
E
φ
CG
V
I
MG
CARENA
xx


  4
3
3
XX
m
00
,
324
12
00
,
18
00
,
6
12
L
B
I 



3
S
C
m
60
,
156
h
L
B
V 



m
925
,
0
:
35
,
1
275
,
2
2
45
,
1
3
CG 





 m
93
,
0
m
22
,
154
m
00
,
324
MG 3
4
m
17
,
1
M G 
Como: CG
V
I
CARENA
xx

Equilibrio
ESTABLE
SOLUCION


 m
93
,
0
m
10
,
2
M G

38. SOLUCION
3°) Determinación del ancho mínimo:
C
G
C’
M
P
E
φ
Condición: CG
V
I
CARENA
xx

Equilibrio
ESTABLE
 
m
93
,
0
h
12
B
h
L
B
12
L
B
S
2
S
3







m
00
,
4
Bmin


39. EJERCICIO N°:3
Una válvula de flotante debe cerrarse cuando los 2/3 del volumen del
flotador esférico este sumergido en el agua.
La válvula tiene un diámetro de Ø=1/2 pulgada , el brazo de operacion gira
en el punto “O” que se encuentra a 10cm de la valvula y a 45cm del centro
del flotador.-
Calcular el mínimo diámetro del flotador si la válvula al cerrarse debe
vencer una presión de 1,4 kg/cm2.-
10cm
O
45cm

40. SOLUCION
10cm
O
45cm
Fa
Ff
3°) Diámetro mínimo del flotador: γ =1000kg/m3
2°) Fuerza en el flotador:
ƩMo =0  Ff *45cm = Fa *10cm Ff =Fa(10cm/45cm) =0.394kg

41. TRASLACION Y ROTACION DE
MASAS LIQUIDAS
-Estudio Fluidos sometidos a movimientos de
traslación o rotación con aceleración constante
-Fluidos están en equilibrio relativo
-Las partículas de los fluidos no se mueven
-Fluidos están libres de tensiones cortantes

42. Equilibrio relativo de líquidos
-Recipiente con aceleración lineal constante

43. Equilibrio relativo de líquidos
-Recipiente con aceleración lineal constante
 -Para fluidos perfectos vol inicial = vol final
 Parte desplazada arriba = parte desplazada abajo respecto
superficie libre inicial
 Punto de interseccióin de ambas superficies a la mitad de
la superficie libre
 Cálculo de las constantes se cumple para x=l => y=0, z=h
 Angulo de la nueva superficie con la inicial

44. Masas fluidas sometidas a
aceleración constante
 Cuando a una masa fluida se le aplica una aceleración
constante a, esta es adquirida por todas las partículas de
dicha masa y por lo tanto no existe movimientos relativos
entre estas.
 Una vez aplicada y mantenida-permanentemente la
aceleración, la masa adquiere un equilibrio relativo, por
lo que puede ser analizada corno un fluido en reposo

45. Masas fluidas sometidas a aceleración
constante
 En estática de fluidos la variación de la presión es simple de calcular,
gracias a la ausencia de esfuerzos cortantes.
 En el movimiento de fluidos dado que ninguna capa se mueve con
relación a capas adyacentes, el esfuerzo cortante también es cero en todo
el fluido.
 Un fluido en traslación con velocidad uniforme sigue aun las leyes de
la variación estática de la presión.
 Cuando el líquido se acelera de tal forma que ninguna capa se
mueve relativamente hacia una capa adyacente, es decir, cuando el
fluido se mueve como si fuera un solidó, no ocurren esfuerzos cortantes
y se puede determinar la variación de la presión planteando la ecuación
de movimiento para un cuerpo libre apropiado.
 Existen dos casos de interés, una aceleración lineal uniforme y
una rotación uniforme alrededor de un eje vertical.
 Cuando se mueve de esta manera, se dice que el fluido se encuentra en
equilibrio relativo.

46. Masas fluidas sometidas a aceleración
constante


47. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS
LÍQUIDAS
 Consideremos un recipiente abierto conteniendo un líquido tal
como se muestra en la Fig., sometido a una aceleración uniforme
horizontal.
 En la figura se observa que después de ser sometido a dicha
aceleración el líquido por si mismo se dispone de tal forma que
se mueve como un sólido sometido a una fuerza aceleradora.


48. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS
LÍQUIDAS
 Para determinar la variación de presión en dirección vertical se
considera el DCL de una porción de fluido en forma vertical y se
aplica la segunda ley de Newton.
2 1
2 1
2 1
2 1
(0)
( )
y y
F ma
dF dF dW m
p dA p dA gdV
p p dA ghdA
p p gh



 
  
 
 
 

49. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS
 Para determinar la variación de presión en la dirección
horizontal, se considera el DCL en la posición horizontal tal
como se muestra en la figura, y se aplica la segunda ley de
Newton, esto es
Simplificando se tiene
   
1 2
0 1 0 1
( )
y y
x
x
F ma
dF dF dm a
p gh dA p gh dA LdAa
  
 
 
   
1 2
1 2
( )
( )
x
x
x
g h h La
a
h h
L g
a
tg
g
 

 




50. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS
 Consideremos el movimiento de un depósito conteniendo un
fluido, en dirección vertical con una aceleración ay . La figura,
muestra en este caso la superficie libre permanece horizontal
durante el movimiento.
 Es decir la presión en planos horizontales permanece constante,
pero en dirección vertical no,
2 1
2 1
2 1
2 1
( )
( )
( )
( )
y y
y
y
y
y
F ma
dF dF dm a
p p dA gdV dVa
p p dA ghdA hdAa
p p h g a
 
 

 
 
  
  
  
Esta ecuación indica que la presión varía con la
profundidad y con la aceleración del depósito

51. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS
 Si ahora el depósito se mueve hacia abajo, se tiene
En el caso de que el tanque se suelta desde el reposo, es
decir tiene un movimiento de caída libre
2 1
1 2
1 2
2 1
( )
( )
( )
( )
y y
y
y
y
y
F ma
dF dF dW dm a
p p dA gdV dVa
p p dA ghdA hdAa
p p h g a
 
 

 
   
  
  
  
2 1
2 1
( )
p p h g g
p p

  


52. Recipiente con líquido que gira
alrededor de un eje vertical
 Cada uno de los puntos del líquido estará sometido a dos
fuerzas por unidad de masa: la centrífuga (rω2) y la gravedad
(g)
52

53. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
 Del DCL de fluido, se observa que las variaciones de la presión en
la dirección vertical es análoga al caso hidrostático, esto es
2 1 0
( ) ( )( )
z z
z
z
F ma
dF dF dW
p
pdA p dz dA g dz dA
z
p
g
z


 
  

  


 


54. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
 Analizando el movimiento en dirección normal se tiene
 En la dirección azimutal
' '
2 1
2
2
( )
( ) ( )( )
n n
n
r
r r
r
F ma
dF dF dm a
p
p dr dA p dA dr dA r
r
p
r
z
 

 
 

  




0
p





55. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
 La variación total de la presión será
 Integrando indefinidamente
 La constante C esta dada por
2
r z
p
p p
dp dr dz d
r z
dp rdr gdz



 

 
  
  
 
2
2 2
2
dp rdr gdz
r
p gz C
 


 
  
  
0 0
0 0
p gz C
C p gz


  
 
Remplazando C se obtiene
2 2
0 0
( )
2
r
p p g z z


   

56. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
 La forma que adopta la superficie libre del fluido se obtiene
haciendo debido a que en la superficie libre la presión es ,
entonces tenemos
2
0 0 0
2 2
0
( )
2
2
r
p p g z z
r
Z Z
g



   
 
Esta ecuación indica que la superficie
libre es un paraboloide de revolución
Cuando existe una superficie libre en el recipiente
que está girando el volumen que ocupa el fluido
que está debajo de la superficie libre del
paraboloide de revolución tiene que ser igual al
volumen de fluido que tenía cuando estaba en
reposo.

57.  En el caso de un cilindro circular que gira alrededor de su eje, la
elevación del líquido desde el vértice hasta la pared del cilindro
es según la ecuación
2 2
0
0
2
r
h
g


Por otro lado, debido a que el volumen del
paraboloide de revolución es igual a la mitad del
volumen del cilindro circunscrito, el volumen del
líquido por encima del plano horizontal es,
2 2 4 2
2 0 0
0
1
( )( )
2 2 4
r r
V r
g g
  

 

58. Movimiento Horizontal


59. Equilibrio en porción de fluido


60. Movimiento vertical


61. 

62. 

63. Ejemplo
 Un recipiente con agua se mueve con
igual aceleración horizontal y vertical de
4,90 m/s².
 Hallar la ecuacion de presiones y la
presión en los puntos A, B y C del
recipiente
SOLUCION

64.  Para un punto en la superficie libre
del fluido:

65. Presión A (0 , 1,20 m). El fluido no alcanza este
punto PA=0
Presión en el punto B (0, 0)
PB=1650 kg/m2
Presión en el punto C (1,2 m, 0)
PC=1650kg/m2 – [500 kg/m3*1.2m]
PC=1050kg/m2

66. Mov Rotación ( Recipientes Abiertos)


67. Mov Rotación ( Recipientes Cerrados)


68. Volumen paraboloide de revolución es la mitad
del volumen del cilindro circunscrito a dicho
paraboloide.
a) Eje de giro está fuera del recipiente:
Parte del paraboloide se forma dentro del
recipiente.
b) El recipiente se tapa sin añadir presión:
El paraboloide se considera sobre la tapa del
recipiente tangente a ella
c) El recipiente se tapa añadiendo presión
adicional:
Esta se considera como una altura sobre la
tapa del recipiente; sobre dicho nivel se forma el
paraboloide.

70.  En la superficie libre del fluido P=Po
obtiene la ecuacion de la forma de la
superficie y de la forma de las
superficies de igual presión

71. EJEMPLO.
 Un depósito de forma cilíndrica de 4 m de
altura y 2 m de diámetro contiene aceite hasta
3,2 m de altura.
 A cuantas rpm debe girar el recipiente
alrededor de su eje para que el aceite alcance
el borde superior?
 Volumen paraboloide = Volumen cilindro /2

73. EJEMPLO.
EJEMPLO:
Un cilindro de 1,8 m de diámetro y 2,70 m de altura
se llena completamente con glicerina de densidad
1,60 y al taparlo se añade al depósito una presión de
2,50 kg/cm². El material de que está hecho el
cilindro tiene 13 mm de espesor con un esfuerzo
admisible de trabajo de 850 kg/cm².
Determinar a qué velocidad máxima se puede hacer
girar el recipiente sobres su eje sin que se rompa
Solución
• De la figura se puede deducir que la presión será máxima en el borde
inferior externo del cilindro
• El esfuerzo tangencial en un cilindro de radio r, con presión interna P es:
σ =Pr/t t es el espesor del material de que está hecho el cilindro

75.  En el caso de las bombas y turbinas la rotación de
una masa en un fluido, o en caso que gire el
recipiente que lo contiene, se genera un
incremento en la presión entre un punto situado en
el eje y uno a una distancia X del eje en el mismo
plano horizontal; y esta dada por :
 Y el aumento de la altura de presión será
 Que es una ecuación parecida a la aplicable a
recipientes abiertos en rotación. La velocidad
lineal Vy el termino da la altura de velocidad.

76. Bibliografía
 1. Çengel, Y.A., y Cimbala, J.M.,
 Mecánica de Fluidos, fundamentos y aplicaciones, 1ª ed., McGraw-Hill Interamericana,
2006.
 2. Fox, R.W., & McDonald, A.T.,
 Introduction to Fluid Mechanics, 4th ed., John Wiley & Sons, 1995.
 3. Gerhart, P.M., Gross, R.J. y Hochstein, J.I.,
 Fundamentos de Mecánica de Fluidos, 2ª ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.
 4. Shames, I.H.,
 Mechanics of Fluids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1982.
 5. Daugherty, R.L., & Franzini, J.B.,
 Fluid Mechanics with Engineering Applications, 6th ed., McGraw-Hill, 1977.
 6. Franzini, J.B., y Finnemore, E.J.,
 Mecánica de Fluidos con aplicaciones en Ingeniería, 9ª edición, McGraw-Hill, 1999.
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