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M´todos Matem´ticos 2
                       e             a
        Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Orden
                            Superior.
                                               L. A. N´ nez*
                                                         u˜
                                       Centro de Astrof´sica Te´rica,
                                                         ı      o
                               Departamento de F´ ısica, Facultad de Ciencias,
                             Universidad de Los Andes, M´rida 5101, Venezuela
                                                            e
                                                      y
                                   Centro Nacional de C´lculo Cient´
                                                           a         ıfico
                                Universidad de Los Andes (CeCalCULA),
                                Corporaci´n Parque Tecnol´gico de M´rida,
                                          o                   o        e
                                          M´rida 5101, Venezuela
                                            e

                                    M´rida, Septiembre 2003. Versi´n α
                                     e                            o



´
Indice
1. Mec´nica y Electricidad
      a                                                                                                                                                            2

2. Oscilaciones libres no amortiguadas                                                                                                                             2

3. Oscilaciones Libres Amortiguadas                                                                                                                                3

4. Oscilaciones Forzadas                                                                                                                                            6
   4.1. Oscilaciones Forzadas no amortiguadas      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
        4.1.1. Amplitud modulada = ω0 . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
        4.1.2. Resonancia = ω0 . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
   4.2. Oscilaciones Forzadas amortiguadas .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    8

5. Movimiento alrededor de un punto de equilibrio                                                                                                                  10

6. P´ndulo Simple con desplazamiento finito.
     e                                                                                                     12
        6.0.1. Disgresi´n El´
                       o      ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
        6.0.2. ¿ Cu´n buena es la aproximaci´n lineal ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
                   a                             o
   6.1. El P´ndulo F´
             e       ısico: Integraci´n Num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
                                      o        e
  *
      e-mail: nunez@ula.ve




                                                       1
1.     Mec´nica y Electricidad
          a
     Una de las m´s famosas ecuaciones diferenciales, lineales, ordinaria con coeficientes constantes es
                 a

                                                     d2 u    du
                                 α u+β u+γ u≡α
                                   ¨   ˙                  +β    + γ u = Λ (t)
                                                     dt2     dt
La cual utiliza para describir sistemas mec´nicos y toma la forma
                                           a
                                                 
                                                  x
                                                  dx     ⇒ Desplazamiento
                                                 
                                                 
                                                  dt
                                                         ⇒ Velocidad
         d2 x      dx                            
                                                     m    ⇒ masa
      m 2 +η          + k x = F (t)      donde
         dt        dt                             η
                                                         ⇒ Constante de Amortiguamiento
                                                 
                                                  k
                                                 
                                                         ⇒ Constante El´stica
                                                                        a
                                                 
                                                    F (t) ⇒ Fuerza Aplicada

y circuitos el´ctricos
              e
                                                            
                                                                Q      ⇒    Carga El´ctrica
                                                                                      e
                                                            
                                                            
                                                            
                                                            
                                                                dQ
                                                                  =I    ⇒    Intensidad de Corriente
                                                            
                                                               dt
               d2 Q    dQ   1                                    L      ⇒    Inductancia
           L      2
                    +R    +   Q = E (t)         donde
               dt      dt   C                               
                                                                R      ⇒    Resistencia
                                                            
                                                            
                                                            
                                                                C      ⇒    Capacitancia
                                                            
                                                                E (t)   ⇒    Fuerza Electromotriz

Analicemos la ecuaci´n que describe sistemas mec´nicos y dejamos la que describe sistemas el´ctricos
                      o                              a                                               e
para un an´lisis posterior. El primero de los casos a analizar ser´ el de las oscilaciones libres, vale decir
            a                                                      a
F (t) = 0, lo cual en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales se traduce a ecuaciones diferenciales ho-
mog´neas. En contraste, si F (t) = 0, es decir, el caso inhomog´neo, estaremos describiendo oscilaciones
    e                                                            e
forzadas.


2.     Oscilaciones libres no amortiguadas
     Analicemos pues del caso del oscilador arm´nico libre, i.e.
                                               o

                   d2 x                                                                          k
               m        +k x=0       ⇒   x (t) = C1 cos (ω0 t) + C2 sen (ω0 t)     con ω0 =
                   dt2                                                                           m
ω0 se denomina la frecuencia natural de oscilaci´n y C1 y C2 las constantes de integraci´n que se
                                                   o                                    o
determinan de las condiciones iniciales. Es claro que

                C1 = A cos δ
      si                         ⇒   x (t) = C1 cos (ω0 t) + C2 sen (ω0 t)   ⇔    x (t) = A cos (ω0 t + δ)
                C2 = A sen δ

con R la amplitud y δ en ´ngulo de fase. Obviamente, el per´
                         a                                 ıodo del movimiento ser´
                                                                                  a

                                                    2π           m
                                              T =      = 2π
                                                    ω0           k

                                                        2
Ejemplo Como un ejemplo analicemos el caso de un sistema en el cual m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m
                                            k
En este caso la frecuencia angular ω0 =    m = 2 rad/sg. La ecuaci´n diferencial que describe este
                                                                  o
movimiento ser´a
                                             dx
                                 x (0) = 1; dt t=0 = 0;
                                                             ⇒ x (t) = cos(2t)
                                
                                
           d2 x                 
                 +4 x=0 ∧          x (0) = 4; dx t=0 = 0
                                              dt              ⇒ x (t) = 4 cos (2t)
            dt2                 
                                
                                
                                
                                
                                   x (0) = −2; dx t=0 = 0
                                                 dt           ⇒ x (t) = −2 cos (2t)




 Figura 1: Oscilador arm´nico libre. Cambios en la posici´n inicial no afectan la frecuencia natural.
                        o                                o

                                                  dx                          1
                                    x (0) = 0;
                                                  dt t=0   = 1;   ⇒ x (t) =   2   sen(2t)
                                   
                                   
             d2 x                  
                                                   dx
                  +4 x=0      ∧      x (0) = 0;    dt t=0   = 4;   ⇒ x (t) = 2 sen (2t)
             dt2                   
                                   
                                   
                                   
                                                  dx
                                     x (0) = 0;    dt t=0   = −2 ⇒ x (t) = − sen (2t)



3.   Oscilaciones Libres Amortiguadas
   Consideremos que en el movimiento act´a una fuerza de amortiguaci´n proporcional a la velocidad,
                                          u                         o
por lo cual el movimiento viene descrito por

                             d2 x    dx       d2 x      dx    2
                         m      2
                                  +η    +k x=    2
                                                   + 2µ    + ω0 x = 0
                             dt      dt       dt        dt



                                                  3
Figura 2: Oscilador Arm´nico Libre. Cambios de velocidad incial no afectan la frecuencia natural
                         o


la cual constituye una ecuaci´n diferencial lineal homog´nea de segundo orden. Las ra´ del polinomio
                              o                         e                            ıces
caracter´ıstico asociado ser´n
                            a

                            −η ±    η 2 − 4km     η                 η   2       k                   2
                    r=                        =−    ±                       −     = −µ ±      µ2 − ω0
                                   2m            2m                2m           m
por lo tanto la soluci´n ser´
                      o     a
                                                   √        2
                                                                                 √      2
                                                − µ+   µ2 −ω0 t             − µ−   µ2 −ω0 t
                                 x (t) = C1 e                     + C2 e

de donde se deducen los siguientes casos

 x (t) = C1 er1 t + C2 er2 t                                                       ⇐ µ2 − ω0 > 0 Sobreamortiguado
                                                                                           2


 x (t) = (C1 + C2 t) eµ      t                                                     ⇐ µ2 − ω0 = 0
                                                                                           2                    Cr´
                                                                                                                  ıtico

 x (t) = e−µ   t   C1 cos         2
                                 ω0 − µ2 t + C2 sen               2
                                                                 ω0 − µ2 t         ⇐ µ2 − ω0 < 0
                                                                                           2            Subamortiguado

Ejemplo Como un ejemplo analicemos el mismo caso del sistema anterior en el cual m = 0,1 Kg. y
k = 0,4 N/m, s´lo que ahora la constante de amortiguamiento ser´ η = 0,60, 0,40 y 0,15 En todos los
              o                                                a
                                   k
caso la frecuencia angular ω0 = m = 2 rad/sg. y la cantidad subradical µ2 − ω0 corresponder´ a
                                                                                  2              a
los tres casos anteriormente mencionados. Las ecuaciones diferenciales que describen este movimiento




                                                             4
ser´n
   a
                                                     
                                    x (0) = 0                                                     √                                     √
 d2 x
 dt2
        +6   dx
             dt    +4 x=0 ∧                               ⇒ x (t) =         1
                                                                            2   +        7
                                                                                         √      e(      5−3)t
                                                                                                                +      1
                                                                                                                       2   −    7
                                                                                                                                √     e−(3+5)t
                                       dx                                             2 5                                    2 5
                                        dt t=0   =4
                                                     
                                    x (0) = 0        
 d2 x        dx
 dt2
        +4   dt    +4 x=0 ∧                               ⇒ x (t) = (1 + 6t) e−2t
                                       dx            
                                        dt t=0   =4
                                                     
                                    x (0) = 0                                 1
                                                                                                        √                      √
 d2 x                                                                                                    15                     15
 dt2
        +   dx
            dt   +4 x=0        ∧                          ⇒ x (t) = e− 2 t              √9    sen        2 t        + cos       2 t
                                       dx                                              15
                                        dt t=0   =4




Figura 3: Oscilaciones libres amortiguadas y no amortiguadas. N´tese que el per´
                                                               o               ıodo es mayor para el
caso subamortiguado

                                                                                                            dx
    Si en los casos anteriores cambiamos el signo de la velocidad inicial, i.e.                             dt t=0    = −4 m/s, tendremos
la siguiente representaci´n gr´fica.
                          o     a
                                                                                    √                                           √
                 x (0) = 1;   dx
                              dt t=0   = −4; ⇒ x (t) =        1
                                                              2   −    1
                                                                       √
                                                                      2 5
                                                                            e(          5−3)t
                                                                                                +       1
                                                                                                        2   +    1
                                                                                                                 √
                                                                                                                2 5
                                                                                                                       e−(3+     5)t


                              dx
                 x (0) = 1;   dt t=0   = −4; ⇒ x (t) = (1 + 2t) e−2t

                                                                  1
                                                                                        √                       √
                                                                                         15                      15
                 x (0) = 1;   dx
                              dt t=0   = −4      ⇒ x (t) = e− 2 t     −7
                                                                      √
                                                                       15
                                                                            sen          2 t     + cos           2 t




                                                             5
Figura 4: Oscilaciones Libres amortiguadas con cambio de signo en la velocidad inicial

    En todos los casos dado que r1 , r2 < 0 se tiene que x (t → 0) → 0. El movimiento subamortiguado
es peri´dico y el per´
       o             ıodo viene descrito por
                  2π                                                      2                                         2
                  ω0                 T                               µ                                    1   µ
       Tam =                    =                       si                    << 1   ⇒   Tam ≈ T     1+
                       µ
                            2
                                          µ
                                               2                     ω0                                   2   ω0
               1−      ω0           1−    ω0

el cual siempre sera mayor que el periodo de oscilaci´n natural del sistema.
                                                     o


4.      Oscilaciones Forzadas
     Supongamos ahora que existe una fuerza aplicada al sistema tal que
                                         d2 x      dx    2     F0
                                            2
                                              + 2µ    + ω0 x =    cos ( t)
                                         dt        dt          m

4.1.     Oscilaciones Forzadas no amortiguadas
     En este caso µ = 0 y por lo tanto
                                               d2 x    2     F0
                                                  2
                                                    + ω0 x =    cos ( t)
                                               dt            m

4.1.1.    Amplitud modulada               = ω0
     y tendr´ como soluci´n
            a            o
                                                    F0                                                F0
 x (t) = C1 cos (ω0 t) + C2 sen (ω0 t) +            2        2
                                                                 cos ( t) = A cos (ω0 t + δ) +        2       2
                                                                                                                   cos ( t)
                                            m      ω0−                                           m   ω0−
                  homog´nea
                       e
                                                    inhomog´nea
                                                           e


                                                                 6
con lo cual es la suma de dos movimientos arm´nicos con distintas frecuencias y amplitudes. Si el
                                                   o
cuerpo parte del reposo, esto es: x (0) = x (0) = 0 entonces
                                          ˙
                          −F0
                                   
                  C1 = m ω 2 − 2 
                         ( 0    )                        F0
                                        ⇒ x (t) =         2− 2
                                                               [cos ( t) − cos (ω0 t)]
                                   
                                                    m ω0
                      C2 = 0
dado que
                                     ω0 −        ω0 +
               cos (ω0 t) = cos              +                      t
                                        2           2
                                  ω0 −         ω0 +                     ω0 −              ω0 +
               cos (ω0 t) = cos           cos                  − sen              sen
                                     2            2                        2                 2
                                     ω0 −        ω0 +
               cos ( t) = cos                −                      t
                                        2           2
                                  ω0 −         ω0 +                     ω0 −              ω0 +
               cos ( t) = cos             cos                  + sen              sen
                                     2            2                        2                 2
                                     2F0                ω0 −                   ω0 +
                       x (t) =       2     2
                                               sen              t       sen           t
                                  m ω0 −                   2                      2
                                           Envolvente


Ejemplo El mismo sistema anterior en el cual m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m, cuando parte del reposo
desde el origen de coordenadas y existe una fuerza de excitaci´n F = 0,5 cos (3t) . Por lo tanto la
                                                               o
ecuaci´n diferencial que describe el movimiento sera
      o
                                        
  d2x                      x (0) = 0                                              1         5
      + 4 x = 5 cos (3t)                   =⇒ x (t) = cos(2t) − cos(3t) ≡ 2 sen       t sen     t
  dt2                      dx                                                     2         2
                              dt t=0 = 0             homog´nea
                                                          e      inhomog´nea
                                                                        e
                                                                                              envolvente



4.1.2.   Resonancia       = ω0
    En el caso que la frecuencia de la fuerza de excitaci´n coincida con la frecuencia natural del sistema,
                                                         o
se tiene
       d2 x     2                                                                   F0
          2
            + ω0 x = F0 cos (ω0 t) =⇒ x (t) = C1 cos (ω0 t) + C2 sen (ω0 t) +            t sen (ω0 t)
       dt                                                                          2mω0
                                                                                          envolvente


Ejemplo El sistema anterior (m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m), cuando parte del reposo desde el origen
de coordenadas y existe una fuerza de excitaci´n F = 0,5 cos (2t) . Por lo tanto la ecuaci´n diferencial
                                              o                                           o
que describe el movimiento sera
                                                         
               d 2x                         x (0) = 0                       5t
                   2
                     + 4 x = 5 cos (2t) ∧                      =⇒ x(t) =         sen (2t)
                dt                          dx                               4
                                               dt t=0 =0


                                                        7
Figura 5: Oscilador arm´nico forzado. N´tese la envolvente de la funci´n
                                         o               o                              o



4.2.    Oscilaciones Forzadas amortiguadas
   En este caso µ = 0 y por lo tanto

                                       d2 x      dx    2     F0
                                          2
                                            + 2µ    + ω0 x =    cos ( t)
                                       dt        dt          m
la cual tendr´ como soluci´n
             a            o
                       √                          √                           2        2
                  − µ+        2
                         µ2 −ω0 t              − µ−        2
                                                      µ2 −ω0 t       F0      ω0 −          cos ( t) + 2µ     sen ( t)
   x (t) = C1 e                     + C2 e                       +
                                                                     m                2
                                                                                     ω0    −   2 2    + (2µ )2

una vez m´s se puede convertir en
          a
                       √                                √
                             2
                   − µ+ µ2 −ω0 t                  − µ−         2
                                                          µ2 −ω0 t            F0           cos ( t − ζ)
      x (t) = C1 e                + C2 e                             +
                                                                              m                 2 2
                       soluci´n homog´ne ≡r´gimen transitorio
                             o       e     e
                                                                                       2
                                                                                      ω0 −            + (2µ )2
                                                                          soluci´n inhomog´nea ≡ r´gimen estacionario
                                                                                o         e       e

donde
                                  2
                                 ω0 −      2
                                                                                               2µ
           cos (ζ) =                                        y        sen (ζ) =
                             2
                            ω0 −     2 2   + (2µ )2                                    2
                                                                                      ω0 −      2 2   + (2µ )2
Es claro que el t´rmino homog´neo en todos sus casos (sobreamortiguado, cr´
                  e               e                                                ıtico y subamortiguado)
tiende a cero, por ello se considera un t´rmino transitorio, no as´ el t´rmino inhomog´neo que permanece
                                         e                        ı     e               e
oscilando. En t´rminos F´
                e           ısico se pude decir que el t´rmino transitorio representa la disipaci´n de la
                                                        e                                         o
energ´ inicial que se le provee al sistema a trav´s de la posici´n y la velocidad inicial de lanzamiento.
      ıa                                           e              o
Esta energ´ inicial se expresa a trav´s de las condiciones iniciales se disipa. Si no existiera disipaci´n
           ıa                           e                                                               o

                                                            8
Figura 6: Oscilador arm´nico forzado con
                                 o                          2
                                                         = ω0 N´tese el fen´meno de resonancia
                                                               o           o



esta energ´ inicial permanecer´ por siempre en el sistema. Finalmente el t´rmino inhomog´neo, a
           ıa                    ıa                                               e         e
trav´s de la fuerza de excitaci´n, impone el movimiento al sistema. N´tese adem´s que el termino
    e                           o                                          o           a
inhomog´neo nunca se hace infinito, ni siquiera para el caso para el cual tiene un m´ximo y es aquel
         e                                                                              a
en el cual la frecuencia de excitaci´n coincide con la frecuencia natural del sistema.
                                    o

                                                                                              1
Ejemplo En un circuito RLC, cuyos componentes son L = 1 henry, R = 40 ohmios y C = 40000
faradios, se le aplica un tensi´n de V = 24 voltios. Determine el comportamiento de la carga y la
                               o
intensidad de corriente en el circuito.
    La ecuaci´n diferencial que describe el comportamiento del sistema
              o

        d2 Q (t)    dQ (t)    1                             d2 Q (t)       dQ (t)                  1
      L       2
                 +R         +    Q = E (t)          ⇒            2
                                                                      + 40         + 40000 Q (t) =
           dt          dt     C                               dt             dt                    2
       d2 I (t)    dI (t)   1         dE (t)                  d2 I (t)      dI (t)
     L      2
                +R        +   I (t) =                ⇒                 + 40        + 40000 I (t) = 0
        dt          dt      C          dt                       dt2           dt
tomando en cuenta las condiciones iniciales tendremos como soluci´n
                                                                 o
                                                          √       √          √
  Q (0) = 10−4                    Q(t) = 1 + e−20t 47 11 sin 1160t + 7 cos 1160t
                                  
                                            8000       2640000        8000
                             ⇒
                                                                √    √      √
  I (0) = dQ
          dt   = 10−2            
                                   I (t) = dQ = e−20t 1 cos 1160t − 37 11 sin 1160t
              t=0                              dt             100                  6600



   Si en vez de un tensi´n constante de 0,5 V. la fuente de tensi´n es sinusoidal de la forma E (t) =
                        o                                        o




                                                    9
Figura 7: Carga en runci´n del tiempo en un circuito RLC sometido a un voltage constante. N´tese
                           o                                                               o
que el sistema alcanza el r´gimen estacionario cercano a los 0,3 sg
                           e

1
2   cos (180t) voltios las ecuaciones se transforman en

        d2 Q      dQ            1                                                     dQ
             + 40    + 40000 Q = cos (180t)         con Q (0) = 10−4   ∧    I (0) =              = 10−2
        dt2       dt            2                                                     dt   t=0
          d2 I      dI
             2
               + 40    + 40000 I = −90 sin (180t)
          dt        dt
con sus correspondientes soluciones a las condiciones iniciales del sistema
                            √
          1        −20t 293 11
                                      √         91          √            9                19
 Q(t) =          e             sin 60 11t +         cos 60 11t −            cos (180t) +     sin (180t)
         1000            30140                  685                     274              548
                                               √
          1      −20t 103
                                 √         2461 11          √            81              171
  I(t) =       e           cos 60 11t −             sin 60 11t +            sin (180t) +     cos (180t)
         100           274                   3014                       137              274

     Por analog´ con el caso mec´nico procedemos a identificar cantidades
               ıa               a
                   
           2µ = R 
                 L                         V0                             1
                         ⇒A=                              = √
            2    1                   1     2 2+ R     2    2    4 − 78400 2 + 1600000000
          ω0 = LC               L    LC −         L

con ello se puede ver la funcionalidad de la amplitud con la frecuencia excitatriz


5.      Movimiento alrededor de un punto de equilibrio
   La fuerza el´stica F = −k x m´s all´ de ser el caso m´s simple, representa la primera aproximaci´n
               a                a     a                 a                                          o
al movimiento alrededor de un punto de equilibrio estable. Si recordamos que para una fuerza que

                                                     10
Figura 8: Intensidad en un circuito RLC sometido a un voltage constante.


derive de un potencial
                                     dV                        d 1 k x2
                                F =−        ⇒ F = −k x = − 2
                                     dx                           dx
mas aun, un punto de equilibrio estable se define aquel en el cual no existen fuerzas externas, vale decir
                                                               dV
                                     F |x=x0 = 0          ⇒−               =0
                                                               dx   x=x0

por lo cual, dado un potencial de una fuerza arbitraria siempre podemos expandirlo en series de Taylor
alrededor de un punto de equilibrio x = x0
                                    dV               1             d2 V               1             d3 V
      V (x) = v (x0 ) + (x − x0 )                +      (x − x0 )2                +      (x − x0 )3               ···
                                    dx    x=x0       2!            dx2     x=x0       3!            dx3    x=x0
                                         =0

As´ en general, alrededor de un punto de equilibrio x = x0 la primera aproximaci´n de una funci´n
  ı,                                                                             o             o
                      1           2 d2 V     1           2
potencial seraV (x) ≈ 2! (x − x0 ) dx2    ≈ 2 k (x − x0 ) . As´ un potencial de la forma
                                                               ı,
                                              x=x0

                                      1          35   50
                               V (x) = x6 − 2x5 + x4 − x3 + 12x2
                                      6           4    3
Soluci´n: x5 − 10x4 + 35x3 − 50x2 + 24x Soluci´n: que genera una fuerza
      o                                       o
                                dV (x)
                          F =−          = − x5 − 10x4 + 35x3 − 50x2 + 24x
                                  dx
tendr´ dos puntos de equilibrio x = 0 y x = 4. En torno a x = 0 se podr´ aproximar con un potencial
     a                                                                 a
parab´lico
     o
                              ˜        1           d2 V (x)
                             V (x) = (x − x0 )2                 = 12x2
                                      2!             dx2 x=x0

                                                          11
Figura 9: Carga en funci´n del tiempo en un circuito RLC sometido a un voltage sinusoidal V (t) =
                            o
1
2 cos (180t) . N´tese el r´gimen transitorio (0 ≤ t
                o         e                         0,17) y estacionario (t 0,17) .



tal y como se observa gr´ficamente
                        a


6.    P´ndulo Simple con desplazamiento finito.
       e
     El caso t´
              ıpico de esta aproximaci´n lo constituye el p´ndulo simple: una masa m, empotrada a
                                            o                 e
una varilla, de masa despreciable y de longitud L. La varilla se desplaza un ´ngulo θ de la vertical y
                                                                                 a
se suelta. La Figura (13) muestra el diagrama de cuerpo libre del P´ndulo F´
                                                                         e       ısico. Desde la ancestral
f´
 ısica general, a´n en secundaria, era proverbial resolver este problema suponiendo ´ngulos peque˜os.
                 u                                                                       a            n
En esas tempranas ´pocas de nuestro conocimiento de F´
                       e                                      ısica era limitado y m´s limitado a´n era
                                                                                      a            u
nuestra capacidad para resolver ecuaciones diferenciales. A este “problema” se le conoce con el p´ndulo
                                                                                                   e
f´
 ısico. Como siempre, aproximar es un arte y exploremos este arte. Como norma general tendremos
que se debe aproximar al final. Pero no siempre. Si suponemos un cuerpo de masa constante, m, las
ecuaciones diferenciales que describen el movimiento no pueden ser otras que aquellas que provengan
de las ecuaciones de Newton
                             − −− −−→−
                              − −→ − − →
                                 − −
                                  − −             −−→
                                                   −−
                                                 d mv(t)     −→
                                                              −
                             F (r(t), v(t), t) =         = m a(t) = m (ar ur + aθ uθ ) ,
                                                                           ˆ       ˆ                   (1)
                    externas
                                                   dt

     Es bueno recordar que hay que expresar la aceleraci´n en un sistema de coordenadas m´viles
                                                        o                                o
(ˆ r , uθ ). Esto es
 u ˆ
                                         dˆ r
                                          u                             dθ (t)   dθ (t)      ˙
      ur = cos (θ)ˆ+ sen (θ) ˆ
      ˆ           ı             =⇒           = (− sen (θ)ˆ+ cos (θ) ˆ)
                                                          ı                   =        uθ = θ (t) uθ
                                                                                        ˆ          ˆ
                                          dt                             dt       dt
                                       dˆ θ
                                        u                             dθ (t)    dθ (t)       ˙
     uθ = − sen (θ)ˆ+ cos (θ) ˆ =⇒
     ˆ             ı                       = − (cos (θ)ˆ+ sen (θ) ˆ)
                                                        ı                   =−        ur = −θ (t) ur
                                                                                       ˆ           ˆ
                                        dt                             dt        dt

                                                    12
Figura 10: Intensidad de corriente en un circuito RLC sometido a un voltage sinusoidal V (t) =
1
2 cos (180t)




con lo cual
                                                                       d (r (t) ur )
                                                                                ˆ                       ˙
                r (t) = r (t) ur
                              ˆ                  =⇒          v (t) =                 = r (t) ur + r (t) θ (t) uθ
                                                                                       ˙     ˆ                ˆ
                                                                            dt
                                                 y
                ˙     ˆ          ˙
              d r (t) ur + r (t) θ (t) uθ
                                       ˆ
    a (t) =                                      =        ¨             ˙      ˆ     ˙     ˙             ¨
                                                          r (t) − r (t) θ2 (t) ur + 2r (t) θ (t) + r (t) θ (t) uθ
                                                                                                               ˆ
                           dt
es claro que si r (t) = L = cte =⇒r (t) = v (t) = r (t) = a (t) = 0
                                  ˙               ¨
                                                                         d (Lˆ r )
                                                                             u        ˙
                             r (t) = Lˆ r
                                      u              =⇒        v (t) =             = Lθ (t) uθ
                                                                                            ˆ
                                                                            dt
                                                      y
                                      ˙
                                   d Lθ (t) uθ
                                            ˆ                              2
                       a (t) =                        =          ˙
                                                              −L θ (t)               ¨
                                                                               ur + Lθ (t) uθ
                                                                               ˆ           ˆ
                                        dt
As´ y para este caso particular, las ecuaciones de Newton quedan como
  ı,
                                          
                                                         ˙
                                           m ar ≡ −mLθ2 (t) = −T + mg cos (θ)
                  m a = T + m g =⇒                                                                                   (2)
                                                      ¨
                                             m aθ = mLθ (t) = −mg sen (θ) .

   El caso que todos nos aprendimos de memoria, proviene de la suposici´n θ ≈ sen (θ)
                                                                       o                                           1 que
implica:                                   
                                                   ˙
                                            mLθ2 (t) = −T + mg
                         m a = T + m g =⇒                                                                            (3)
                                                  ¨
                                               mLθ (t) = −mgθ.

                                                            13
Figura 11: Amplitud como funci´n de la frecuencia excitatriz. N´tese el m´ximo de la amplitud cuando
                                 o                             o         a
el sistema entra en resonancia, i.e. = ω0



con lo cual, ahora, en este curso, sabemos que lo podemos integrar inmediatamente. Si suponemos que
                  ˙
parte del reposo: θ (0) = 0 y θ (0) = θ0

      ¨                                          g                  g                         g
     Lθ (t) = −gθ (t)     =⇒θ (t) = C1 sen         t + C2 cos         t    =⇒θ (t) = θ0 cos     t
                                                 L                  L                         L

y el per´
        ıodo puede ser integrado

      ˙     ¨        g      ˙                        ˙         g            ˙          g 2
      θ (t) θ (t) = − θ (t) θ (t)   =⇒Etotal ∝ cte = θ (t)2 + 2 θ (t)2    =⇒θ (t) =      θ − θ2     (4)
                     L                                         L                       L 0
que no es otra cosa que la energ´ total del sistema. Por lo tanto sabemos que en el instante inicial, si
                                ıa
soltamos la masa desde un ´ngulo θ0 , la energ´ total es puramente potencial. Es decir
                            a                  ıa

                                                                                1
                        Etotal = Epotencial = mgL (1 − cos (θ0 )) = 2mgL sen2     θ0                (5)
                                                                                2

por otro lado, de la ecuaci´n (4) podemos obtener el per´
                            o                            ıodo de oscilaci´n para el P´ndulo F´
                                                                         o           e       ısico
linealizado:
                        ˙         g 2                  1                θ
                    ω = θ (t) =     θ − θ2   =⇒T =         arctan
                                 L 0                     g             2 − θ2
                                                                      θ0
                                                              L

   Este caso tambi´n se conoce con el nombre de oscilador arm´nico simple o p´ndulo f´
                  e                                          o               e        ısico linealizado.
Igualmente podemos analizar el caso de general del p´ndulo amortiguado forzado linealizado. Vale decir,
                                                    e
una masa, m,atada a una varilla sin masa de longitud L,y que oscila, inmersa en un fluido que la frena



                                                     14
Figura 12: Aproximaci´n por una par´bola en torno a x = 0
                                             o             a



el movimiento de la masa con una fuerza, −η v (t) y que adicionalmente est´ excitada por una fuerza
                                                                              a
exterior F (t) = F0 cos ( t) . Recordamos que en este caso la ecuaci´n en la direcci´n tangente (ˆ θ ), es
                                                                    o               o            u

        d2 θ (t)    dθ (t)                                         d2 θ (t)      dθ (t)    2         F0
 mL              +η        + mg θ (t) = F0 cos ( t)       =⇒                + 2µ        + ω0 θ (t) =    cos ( t)
         dt2         dt                                             dt2           dt                 mL
                                                                                       η                 g
donde, por costumbre, hemos rebautizado las constantes tales que µ =                      y ω0 =           .
                                                                                      2mL                L
   Por lo tanto, su soluci´n tendr´ la forma
                          o       a
                        √                     √
                               2
                   − µ+ µ2 −ω0 t                    2
                                          − µ− µ2 −ω0          t            F0          cos ( t − ζ)
      θ (t) = C1 e                + C2 e                            +
                                                                            mL                2 2
                     soluci´n homog´ne ≡r´gimen transitorio
                           o       e     e
                                                                                      2
                                                                                     ω0 −           + (2µ )2
                                                                        soluci´n inhomog´nea ≡ r´gimen estacionario
                                                                              o         e       e

donde
                                2
                               ω0 −       2
                                                                                            2µ
            cos (ζ) =                                    y         sen (ζ) =
                            2
                           ω0 −     2 2   + (2µ )2                                   2
                                                                                    ω0 −     2 2   + (2µ )2
   Hemos aprendido que dependiendo del valor de los coeficientes de la ecuaci´n caracter´
                                                                            o          ıstica del
P´ndulo F´
 e       ısico amortiguado libre (F0 = 0) se derivan tres casos posibles:

      Subamortiguado: µ2 − ω0 < 0
                            2


      Sobreamortiguado: µ2 − ω0 > 0
                              2


        ıtico µ2 − ω0 = 0
      Cr´           2




                                                         15
Figura 13: Diagrama de Cuerpo Libre, del P´ndulo F´
                                                                  e       ısico



     En el caso del P´ndulo F´
                        e       ısico amortiguado forzado (F0 = 0) la f´     ısica se hace mucho m´s rica y
                                                                                                      a
                                                                  2
pueden ocurrir fen´menos de resonancia cuando ω0 − 2 + (2µ )2 → 0.
                      o                                 2

     Es interesante considerar los gr´ficos tanto de la evoluci´n del sistema en el espacio directo: θ (t)
                                      a                            o
                                                                        ˙
vs t; como la evoluci´n del sistema en el espacio de fases ω = θ (t) vs θ (t) . Las figuras (16) y (18)
                         o
muestran la primera de estas evoluciones, es decir, la evoluci´n del ´ngulo en el espacio directo. Las
                                                                     o     a
figuras (17) y (19) muestran la evoluci´n del sistema en el espacio de fases. Es claro de la ecuaci´n
                                           o                                                                o
                               ˙        ˙
(4), en la cual aparece ω = θ (t) = θ (θ (t)) ,que las curvas en el diagrama de fase tanto para el caso
libre (figura (15)) como para los de los casos amortiguados (figuras (17) y (19)) corresponden a curvas
de misma energ´ En el caso del P´ndulo F´
                  ıa.                  e         ısico linealizado libre, corresponden a curvas de energ´    ıa
constante. en los otros casos el sistema va disipando energ´ debido al coeficiente de amortiguaci´n.
                                                                ıa                                        o
     N´tese que la disipaci´n obliga al sistema a evolucionar al punto de equilibrio siguiendo trayectorias
       o                     o
espirales en el espacio de fases. Claramente m´s r´pidamente en el caso sobreamortiguado que en el
                                                   a a
subamortiguado. Tambi´n sabemos que para el caso cr´
                            e                               ıtico (µ2 − ω0 = 0) el tiempo de evoluci´n del
                                                                          2                              o
sistema hasta llegar al punto de equilibrio ser´ menor que en cualquiera de los casos sobreamortiguados.
                                                a
Dejamos al lector la comprobaci´n de esta ultima afirmaci´n.
                                   o          ´                 o
     Hemos aprendido que dependiendo del valor de los coeficientes de la ecuaci´n caracter´
                                                                                         o           ıstica del
P´ndulo F´
  e         ısico amortiguado libre (F0 = 0) se derivan tres casos posibles:
     Ahora bien, la situaci´n que nos interesa simular es la del p´ndulo f´
                             o                                        e      ısico para los casos en los cuales
los ´ngulos de oscilaci´n no necesariamente sean peque˜os.
     a                    o                                 n
     Denominaremos p´ndulo libre al caso en el cual no recurriremos a ninguna aproximaci´n respecto
                          e                                                                        o
al ´ngulo de oscilaci´n. Recordemos que para este caso partimos de la ecuaci´n (2) en la direcci´n
    a                   o                                                              o                    o
tangente. Es decir

                                              g                                       ˙
                                                                                      θ (t)2  g
   ¨
  Lθ (t) = −g sen (θ)       ˙     ¨
                         =⇒ θ (t) θ (t) = −               ˙
                                                sen θ (t) θ (t)   =⇒ Etotal ∝ cte =          − cos θ (t)
                                              L                                          2    L


                                                       16
Figura 14: Evoluci´n θ (t) vs t del P´ndulo F´
          √         o                e       ısico libre, para distintos valores de la velocidad inicial
V0 = 3, 5, 40, 7, 8.




Figura 15: Digrama de Fase para el Oscilador Arm´nico Simple. N´tese que el punto de equilibrio es
                                                o              o
el origen de coordenadas.




                                                  17
g
Figura 16: Evoluci´n θ (t) vs t del P´ndulo Simple, Subamortiguado ( = 4; µ = 0, 5) libre,para
                    o                    e
                                                    √               L
distintos valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5, 40, 7, 8.




                                                                                     g
                     o ˙
Figura 17: Evoluci´n θ (t) vs θ (t) del P´ndulo F´
                                           e        ısico Subamortiguado libre ( = 4; µ = 0, 5) en
                                                                                 √ L
el Espacio de Fases para distintos valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5, 40, 7, 8. N´tese que la
                                                                                              o
disipaci´n lleva irremediablemente al sistema al punto de equilibrio, vale decir al origen de coordenadas
        o
del espacio de fases.




                                                   18
g
Figura 18: Evoluci´n θ (t) vs t del P´ndulo F´
                    o                    e         ısico Sobreamortiguado ( = 4; µ = 3, 5) libre,para
                                                     √                     L
distintos valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5, 40, 7, 8.




                                             g
Figura 19: F´ısico Sobreamortiguado libre ( = 4; µ = 3, 5) en el Espacio de Fases para distintos valores
                                  √          L
de la velocidad inicial V0 = 3, 5, 40, 7, 8. N´tese que la disipaci´n lleva irremediablemente al sistema
                                               o                   o
al punto de equilibrio, vale decir al origen de coordenadas del espacio de fases.




                                                  19
Figura 20: Diagrama de Fase para el P´ndulo F´
                                                                 e       ısico.



Al igual que en la ecuaci´n en la direcci´n tangente linealizada (4), nos encontramos con la Energ´
                           o               o                                                             ıa
total del sistema. Con lo cual Es f´cil despejar θ
                                     a             ˙ (t) = θ (θ (t)) y construir los diagramas de fases del
                                                            ˙
sistema. Otra vez, las l´
                        ıneas del diagrama de fase ser´n l´
                                                       a ıneas de la misma energ´ As´ podemos graficar
                                                                                    ıa. ı

                                        ˙             2g
                                        θ (t) = ± C +    cos (θ (t))                                   (6)
                                                      L
                                                                                 g
para distintos valores de la constante C = 4, 01; 4, 1; 6; 8; 10; 20 y para el caso = 4. La Figura (20)
                                                                                 L
representa el diagrama de fase para estos casos. Las curvas cerradas (aquellas que tienen los valores de
a
´ngulos y velocidades acotadas) representan oscilaciones del sistema, mientras que las curvas abiertas
(aquellas en las cuales las velocidades est´n acotadas pero no as´ el valor del ´ngulo) representan
                                            a                        ı              a
que el sistema rota. N´tese que el sistema presenta puntos de equilibrio inestable para θ (t) ≈ ±nπ
                       o
con n = 0, 1, 2. Lo cual era de esperarse por cuanto corresponde al ´ngulo en el cual el sistema
                                                                          a
varilla-masa se encuentran verticalmente dispuestos y el peso y la tensi´n son colineales y se anulan
                                                                          o
moment´neamente.
        a
    Otro enfoque, quiz´ m´s intuitivo para resolver este problema, pudo haber sido el an´lisis energ´tico.
                      a a                                                               a           e
Para ello sabemos que, por ser un sistema conservativo, la energ´ total viene definida por
                                                                  ıa

                       1     ˙                               1    ˙                       θ (t)
           Etotal =      mL2 θ (t)2 + mgL (1 − cos (θ (t))) ≡ mL2 θ (t)2 + 2mgL sen2
                       2                                     2                              2
                                         Energ´ Potencial
                                              ıa
                      Energ´ Cin´tica
                           ıa   e

por consiguiente

            ˙              2Etotal 4g         θ (t)          g         θm´x
                                                                         a             θ (t)
            θ (t) = ±             −   sen2            ≡ ±2     sen2           − sen2                   (7)
                            mL2     L           2            L          2                2

                                                      20
donde hemos sustituido Etotal = 2mL sen2 θm´x con θm´x el ´ngulo m´ximo que alcanza el P´ndulo
                                               2
                                                a
                                                           a    a        a                        e
F´
 ısico, por cuanto en ese punto la energ´a total es puramente potencial. N´tese que ese ´ngulo no
                                           ı´                                  o              a
necesariamente es el ´ngulo inicial, debido a que la velocidad incial puede ser distinta de cero.
                     a
    La ecuaci´n (7) es claramente integrable por separaci´n de variables y conduce a encontrar la
             o                                               o
expresi´n para el per´
       o             ıodo:

                                    θ(t)
                1       L                                       dθ
         t=                                                                                        con − π ≤ θ (t) ≤ π                       y θ0 = θ (0)
                2       g       θ0              g              θm´x                    θ
                                                  sen2          2
                                                                 a
                                                                          −   sen2     2
                                                L

La integral anterior, puede ser transformada en otra que aparece en las tablas integrales, si hacemos
          sen( θ )
sen β =      θm´x , con lo cual
               2
                a
          sen       2

                                                                                                                                        θ
                                                                                                   
                                                                                                                                 sen    2
                                                                                                   
                                                                                                                 sen β =
                                                                                                   
                                                                                                                                       θm´x
                                                                                                   
                                                                                                                                sen     2
                                                                                                                                          a

                            L           ζ(t)
                                                               dβ                                  
                t=                                                                         donde                                                             (8)
                            g       ζ(0)                        θm´x                               
                                                                                                                                            θ(t)
                                                1−      sen2      a
                                                                          sen2 β                   
                                                                                                                     sen                     2
                                                                 2                                  ζ (t) = arcsin 
                                                                                                                                                    
                                                                                                   
                                                                                                   
                                                                                                                     sen                    θm´x
                                                                                                                                               a
                                                                                                                                              2

                                                                            π
    Es claro que el recorrido entre ζ (0) = 0 =⇒ θ = 0 a θ = θm´x =⇒ ζ (t) = representa un cuarto
                                                                 a
                                                                            2
del per´
       ıdo, por consiguiente el per´
                                   ıodo total del P´ndulo F´
                                                   e       ısico ser´:
                                                                    a
                                                                              π
                                                                      L       2                  dβ
                                                        T =4
                                                                      g   0                        θm´x
                                                                                      1 − sen2      2
                                                                                                     a
                                                                                                                sen2 β


6.0.1.    Disgresi´n El´
                  o    ıptica
    En este punto haremos una disgresi´n respecto a las integrales el´
                                      o                              ıpticas, su clasificaci´n y algunas
                                                                                            o
de sus propiedades. En general encontrar´n en la bibliograf´a que las integrales el´
                                        a                  ı´                      ıpticas se dividen en

     Integrales El´
                  ıpticas de Primera Especie
                                    ϕ                                                                  x
                                                        dβ                                                               dt
         F (ϕα) =                                                        ⇐⇒ F (x|m) =                                                              con 0 ≤ m ≤ 1
                                0              1−   sen2 α sen2 β                                  0            (1 −   t2 ) (1   − mt2 )
                                            π
     las cuales, para el caso particular ϕ = o x = 1, se puede reacomodar como una Integral El´
                                                                                              ıptica
                                            2
     de Primera Especie Completa
                                                    π
                                                                                           1
                                                    2          dβ                                          dt
                        K (m) =                                                   ≡                                                con 0 ≤ m ≤ 1               (9)
                                                0        1 − m sen2 β                  0       (1 − t2 ) (1 − mt2 )


                                                                                       21
Integrales El´
                  ıpticas de Segunda Especie

                                 ϕ                                                          x        1 − mt2
        E (ϕα) =                     1 − sen2 α sen2 βdβ ⇐⇒ E (x|m) =                                         dt         con 0 ≤ m ≤ 1
                             0                                                          0            (1 − t2 )
                      π
     y si ϕ =           o x = 1, entonces se obtiene una Integral El´
                                                                    ıptica de Segunda Especie Completa
                      2
                                     π
                                                              1   1 − mt2
                         E (m) = 2 1 − m sen2 βdβ ≡                         dt    con 0 ≤ m ≤ 1
                                   0                        0     (1 − t2 )

    Adicionalmente, y tambi´n sin perder generalidad, dado que 0 ≤ m ≤ 1, el denominador de la
                             e
integral el´
           ıptica K (m) de la ecuaci´n (9) y equivalentemente de la ecuaci´n (8) puede ser expandido
                                    o                                     o
en series de potencias. Con lo cual
          1                          1                      3                     5                                35
                         =1+           sen2 βm +              sen4 β 2 m2 +          sen6 β 3 m3 +                    sen8 β 4 m4 + · · ·
     1−   m sen2 β                   2                      8                     16                              128


          1        1                           1                           1·3
                  = π 1+                                sen2 β m +               sen4 β m2 +
     1 − m sen2 β  2                           2                           2·4
                                                               1·3·5
                                                        +                 sen6 β m3 + O m4
                                                               2·4·6

                             ∞
          1                          (2n − 1)!! n
                         =                     m sen2n β
     1−   m sen2 β                     (2n)!!
                             n=0

y siendo una serie uniformemente convergente puede ser integrada t´rmino a t´rmino como
                                                                  e         e
                  π                                     π      ∞                                     ∞
                                                                                                                                π
                  2          dβ                         2 dβ         (2n − 1)!! n                          (2n − 1)!! n         2 sen2n β dβ
 K (m) =                                       =                               m sen2n β =                           m
              0         1 − m sen2 β                0                  (2n)!!                                (2n)!!         0
                                                               n=0                                   n=0


              ∞                                                          ∞                      2
                      (2n − 1)!! n (2n − 1)!! π    π                          (2n − 1)!!
 K (m) =                        m            ·   =                                                  mn
                        (2n)!!       (2n)!!    2   2                            (2n)!!
           n=0                                                          n=0

Del mismo modo se obtiene para las integrales el´
                                                ıpticas completas de segunda especie que
                                           π                                       ∞                         2
                                           2                               π                (2n − 1)!!            mn
                        E (m) =                    1 − m sen2 βdβ =          1−
                                       0                                   2                  (2n)!!             2n − 1
                                                                                  n=1

Finalmente podemos mencionar la relaci´n de “recurrencia” de Legendre para las Integrales El´
                                      o                                                     ıpticas
completas. Ella es
                                                                                                                    π
                             E (m) K (1 − m) + E (1 − m) K (m) − K (m) K (1 − m) =
                                                                                                                    2

                                                                         22
Las integrales el´
                 ıpticas de primera y segunda especie, incompletas y completa deben resolverse num´ri-
                                                                                                  e
camente y tradicionalmente est´n tabuladas en algunas tablas integrales 1 . En nuestros d´as tambi´n
                                 a                                                         ı´      e
pueden ser resueltas num´ricamente utilizando comandos de manipuladores simb´licos
                           e                                                     o     2.



6.0.2.      ¿ Cu´n buena es la aproximaci´n lineal ?
                a                        o
     Utilizando la expansi´n en serie de la Integral El´
                          o                            ıptica completa de primera especie (8) del p´ndulo
                                                                                                   e
f´
 ısico, tendremos que se cumple
                                      π
                              L       2                  dβ                            L       π          θm´x
                                                                                                            a
                  T =4                                                         =4        F        sen2                 =⇒
                              g   0                          θm´x                      g       2           2
                                             1−   sen2        2
                                                               a
                                                                     sen2 β


                                      ∞                       2                      2n
                              L              (2n − 1)!!                   θm´x
                                                                            a
                  T = 2π                                            sen
                              g                (2n)!!                      2
                                      n=0

                                      θm´x         1                1 3            1    5          7                     2π            L
m´s a´n, dado que sen
 a u                                   2
                                        a
                                               =   2 θm´x
                                                       a      −     48 θm´x
                                                                         a    +   3840 θm´x
                                                                                          a   + O θm´x y que T0 =
                                                                                                     a                      = 2π       g
                                                                                                                         ω0
tendremos
                                  ∞                      2                                                         2n
                          L               (2n − 1)!!          1        1 3     1 5         7
             T = 2π                                             θm´x − θm´x +
                                                                  a        a      θ a + O θm´x                           =⇒
                          g                 (2n)!!            2       48      3840 m´x       a
                              n=0


                                  1 2        11 4
             T ≈ T0 1 +              θm´x +
                                       a        θ a
                                  16        3072 m´x

y si realizamos un estimado de las correcciones al problema lineal que conlleva esta expansi´n veremos
                                                                                              o
                                  π
que a´n para ´ngulos θm´x =
       u        a          a         las correcciones son del orden de un p´   ırrico 4 %, con lo cual la
                                  4
aproximaci´n lineal resulta bien razonable. Para ´ngulos θm´x
            o                                        a          a    1 las correcciones comienzan a ser
significativas y todo este esfuerzo de integraci´n empieza a tener sentido. La siguiente tabla da una
                                                 o
idea m´s clara de este cambio en el per´
        a                                  ıodo del p´nulo y los errores relativos porcentuales respecto
                                                       e
                                                   2π
al per´ıodo del p´ndulo f´
                  e      ısico linealizado T0 =       ,cuando se consider´n distintos valores del ´ngulo
                                                                         a                        a
                                                   ω0
m´ximo, θm´x
  a          a

             2π                                  π                 π                 π               π            π               2π
      T0 =      = 2,83845              θm´x =
                                         a               θm´x =
                                                           a                  θm´x =
                                                                                a             θm´x =
                                                                                                a         θm´x =
                                                                                                            a           θm´x =
                                                                                                                          a
             ω0                                  12                6                 4               3            2                3
      T                                     2,85066          2,88786           2,95191         3,04617      3,35034          3,89685
                  |T − T0 |
          = 100                             0,42821          1,71109           3,84368         6,81916      15,2786          37,1283
                     T
  1
    Abramowitz, M. y Stegun I.A (1964) Handbook of Mathematical Functions Dover, New York
  2
    En el caso de MAPLEV se puede proceder directamente evaluando num´ricamente la integral (8) a trav´s del comando
                                                                       e                              e
evalf(int(...)) o mediante la funci´n de biblioteca EllipticF(z,k) donde z= β es al argumento del seno y k= sen θ2
                                   o                                                                              0

el par´metro (consulte la ayuda de MAPLE para m´s detalles).
      a                                            a


                                                                          23
6.1.    El P´ndulo F´
            e       ısico: Integraci´n Num´rica
                                    o     e
   Tal y como indicamos en la primera secci´n de este proyecto, procedemos a convertir una ecuaci´n
                                           o                                                      o
de segundo orden en un sistema de ecuaciones diferenciales de dos ecuaciones diferenciales de primer
orden. As´ del mismo modo que en la ecuaci´n (??) podremos escribir:
         ı,                                o
                                                
                                                 dθ(t)
                                                         = ϕ(t)
                       ¨
                       θ (t) = −ω0 sen (θ) =⇒        dt
                                                 dϕ(t)
                                                         = −ω0 sen (θ(t))
                                                      dt
con lo cual podemos adimencionalizar de dos varias formas, dependiendo de las condiciones iniciales
                                                               ˜       t                   ˜
del movimiento. Si adicionalmente hemos adimencionalizado con t =           por lo que 0 ≤ t ≤ 1 y
                                                                    tf inal
   1 d (·)   d (·)                       ϕ             dθ(t)
           =       y, adcionalmente: ϕ =
                                     ˜      , con ϕ0 =         = 0. De este modo el sistema queda
         ˜
tf inal dt    dt                         ϕ0             dt t=0
escrito
       dθ(t)                                 ˜
                                        d θ(t)                                         ˜
                                                                                  d θ(t)
             = ϕ(t)           =⇒                             ˜˜
                                               = ϕ0 tf inal ϕ(t)           =⇒                ˜˜
                                                                                         = Λ ϕ(t)
        dt                                 ˜
                                          dt                                         ˜
                                                                                    dt
       dϕ(t)                              ˜˜
                                        d ϕ(t)     ω 2 tf inal                      ˜˜
                                                                                  d ϕ(t)
             = −ω0 sen (θ(t)) =⇒               =− 0                  ˜
                                                               sen θ(t)    =⇒                       ˜
                                                                                         = −Γ sen θ(t)
        dt                                 ˜
                                          dt           ϕ0                            ˜
                                                                                    dt

                                  ˜˜     ˜ ˜
    N´tese que las cantidades ϕ(t), θ(t), t, Γ y Λ son adminensionales. Acto seguido procedemos a inte-
      o
grar num´ricamente el sistema de ecuaciones3 .
            e
    La figura (21) ilustra la evoluci´ del ´ngulo θ (t) vs t, con 0 ≤ t ≤ 10 del P´ndulo F´
                                       ıon      a                                           e          ısico, para
                                                     dθ(t)     ˙
distintos valores de la velocidad angular inicial:           = θ(t) = ϕ(t) = 3,5, 3,9, 4, 4,1, 4,5. Mientras que
                                                       dt
la figura (22) (y tambi´n la figura (20)) representan la evoluci´n del sistema en el espacio de fases.
                           e                                          o
           dθ(t)
θ (t) vs           = ϕ(t). Las curvas cerradas en esta gr´fica corresponden a las curvas oscilantes de la
                                                             a
             dt
figura (21). Dado que el sistema parte de θ0 = θ (t = 0) y seleccionamos el nivel de energ´a potencialı´
igual a cero all´ cada una de estas curvas representan un valor de la energ´a cin´tica inicial. El caso
                   ı,                                                               ı´     e
       1        ˙2
Ec = mL2 θ0 = mg2L corresponde a la separatr´ vale decir, la ´rbita que separa las curvas cerradas
                                                      ız,               o
       2
de las abierta. Es claro que en este caso le movil “subir´” y alcanzar´ un equilibrio inestable en la
                                                                a             a
posici´n vertical. En la figura (21) este caso viene ilustrado por la curva que se convierte en horizontal
       o
          ˜                         ˜
0, 25 ≤ t ≤ 0, 5, luego a partir de t ≈ 0, 5, la inexactitud del c´lculo num´rico genera pertubaciones que
                                                                   a          e
en teor´a no debieran existir.
         ı´
                                                   1      ˙2
                                           Ec = mL2 θ0 = mg2L
                                                   2




  3
    En MAPLEV podemos integra el sistema de dos maneras distintas. La primera haciendo uso del coman-
do dsolve({sysED,CI}, numeric, vars, options) donde sysED es el sistema de ecuaciones diferenciales, CI
sus condiciones iniciales. Si necesit´ramos un an´lisis gr´fico es mucho m´s ´til el paquete DEtools.
                                     a           a        a               a u


                                                       24
o       e         ˜    ˜           ˜
Figura 21: Integraci´n num´rica (θ t vs t, con 0 ≤ t ≤ 10) del P´ndulo F´
                                                                       e ısico, para distintos valores
                                 dθ(t)
de la velocidad angular inicial:       = ϕ(t) = 3,5, 3,9, 4, 4,1, 4,5.
                                  dt




                         Figura 22: Digrama de Fase para el P´ndulo F´
                                                             e       ısico




                                                 25

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Aplicacion de las ecuaciones diferenciales de orden superior

  • 1. M´todos Matem´ticos 2 e a Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior. L. A. N´ nez* u˜ Centro de Astrof´sica Te´rica, ı o Departamento de F´ ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, M´rida 5101, Venezuela e y Centro Nacional de C´lculo Cient´ a ıfico Universidad de Los Andes (CeCalCULA), Corporaci´n Parque Tecnol´gico de M´rida, o o e M´rida 5101, Venezuela e M´rida, Septiembre 2003. Versi´n α e o ´ Indice 1. Mec´nica y Electricidad a 2 2. Oscilaciones libres no amortiguadas 2 3. Oscilaciones Libres Amortiguadas 3 4. Oscilaciones Forzadas 6 4.1. Oscilaciones Forzadas no amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.1.1. Amplitud modulada = ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.1.2. Resonancia = ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.2. Oscilaciones Forzadas amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5. Movimiento alrededor de un punto de equilibrio 10 6. P´ndulo Simple con desplazamiento finito. e 12 6.0.1. Disgresi´n El´ o ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.0.2. ¿ Cu´n buena es la aproximaci´n lineal ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 a o 6.1. El P´ndulo F´ e ısico: Integraci´n Num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 o e * e-mail: nunez@ula.ve 1
  • 2. 1. Mec´nica y Electricidad a Una de las m´s famosas ecuaciones diferenciales, lineales, ordinaria con coeficientes constantes es a d2 u du α u+β u+γ u≡α ¨ ˙ +β + γ u = Λ (t) dt2 dt La cual utiliza para describir sistemas mec´nicos y toma la forma a   x  dx ⇒ Desplazamiento    dt  ⇒ Velocidad d2 x dx  m ⇒ masa m 2 +η + k x = F (t) donde dt dt  η  ⇒ Constante de Amortiguamiento   k   ⇒ Constante El´stica a  F (t) ⇒ Fuerza Aplicada y circuitos el´ctricos e   Q ⇒ Carga El´ctrica e     dQ =I ⇒ Intensidad de Corriente   dt d2 Q dQ 1 L ⇒ Inductancia L 2 +R + Q = E (t) donde dt dt C   R ⇒ Resistencia     C ⇒ Capacitancia  E (t) ⇒ Fuerza Electromotriz Analicemos la ecuaci´n que describe sistemas mec´nicos y dejamos la que describe sistemas el´ctricos o a e para un an´lisis posterior. El primero de los casos a analizar ser´ el de las oscilaciones libres, vale decir a a F (t) = 0, lo cual en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales se traduce a ecuaciones diferenciales ho- mog´neas. En contraste, si F (t) = 0, es decir, el caso inhomog´neo, estaremos describiendo oscilaciones e e forzadas. 2. Oscilaciones libres no amortiguadas Analicemos pues del caso del oscilador arm´nico libre, i.e. o d2 x k m +k x=0 ⇒ x (t) = C1 cos (ω0 t) + C2 sen (ω0 t) con ω0 = dt2 m ω0 se denomina la frecuencia natural de oscilaci´n y C1 y C2 las constantes de integraci´n que se o o determinan de las condiciones iniciales. Es claro que C1 = A cos δ si ⇒ x (t) = C1 cos (ω0 t) + C2 sen (ω0 t) ⇔ x (t) = A cos (ω0 t + δ) C2 = A sen δ con R la amplitud y δ en ´ngulo de fase. Obviamente, el per´ a ıodo del movimiento ser´ a 2π m T = = 2π ω0 k 2
  • 3. Ejemplo Como un ejemplo analicemos el caso de un sistema en el cual m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m k En este caso la frecuencia angular ω0 = m = 2 rad/sg. La ecuaci´n diferencial que describe este o movimiento ser´a  dx  x (0) = 1; dt t=0 = 0;  ⇒ x (t) = cos(2t)   d2 x  +4 x=0 ∧ x (0) = 4; dx t=0 = 0 dt ⇒ x (t) = 4 cos (2t) dt2      x (0) = −2; dx t=0 = 0 dt ⇒ x (t) = −2 cos (2t) Figura 1: Oscilador arm´nico libre. Cambios en la posici´n inicial no afectan la frecuencia natural. o o  dx 1  x (0) = 0;  dt t=0 = 1; ⇒ x (t) = 2 sen(2t)   d2 x  dx +4 x=0 ∧ x (0) = 0; dt t=0 = 4; ⇒ x (t) = 2 sen (2t) dt2      dx x (0) = 0; dt t=0 = −2 ⇒ x (t) = − sen (2t) 3. Oscilaciones Libres Amortiguadas Consideremos que en el movimiento act´a una fuerza de amortiguaci´n proporcional a la velocidad, u o por lo cual el movimiento viene descrito por d2 x dx d2 x dx 2 m 2 +η +k x= 2 + 2µ + ω0 x = 0 dt dt dt dt 3
  • 4. Figura 2: Oscilador Arm´nico Libre. Cambios de velocidad incial no afectan la frecuencia natural o la cual constituye una ecuaci´n diferencial lineal homog´nea de segundo orden. Las ra´ del polinomio o e ıces caracter´ıstico asociado ser´n a −η ± η 2 − 4km η η 2 k 2 r= =− ± − = −µ ± µ2 − ω0 2m 2m 2m m por lo tanto la soluci´n ser´ o a √ 2 √ 2 − µ+ µ2 −ω0 t − µ− µ2 −ω0 t x (t) = C1 e + C2 e de donde se deducen los siguientes casos x (t) = C1 er1 t + C2 er2 t ⇐ µ2 − ω0 > 0 Sobreamortiguado 2 x (t) = (C1 + C2 t) eµ t ⇐ µ2 − ω0 = 0 2 Cr´ ıtico x (t) = e−µ t C1 cos 2 ω0 − µ2 t + C2 sen 2 ω0 − µ2 t ⇐ µ2 − ω0 < 0 2 Subamortiguado Ejemplo Como un ejemplo analicemos el mismo caso del sistema anterior en el cual m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m, s´lo que ahora la constante de amortiguamiento ser´ η = 0,60, 0,40 y 0,15 En todos los o a k caso la frecuencia angular ω0 = m = 2 rad/sg. y la cantidad subradical µ2 − ω0 corresponder´ a 2 a los tres casos anteriormente mencionados. Las ecuaciones diferenciales que describen este movimiento 4
  • 5. ser´n a    x (0) = 0  √ √ d2 x dt2 +6 dx dt +4 x=0 ∧ ⇒ x (t) = 1 2 + 7 √ e( 5−3)t + 1 2 − 7 √ e−(3+5)t  dx  2 5 2 5 dt t=0 =4    x (0) = 0  d2 x dx dt2 +4 dt +4 x=0 ∧ ⇒ x (t) = (1 + 6t) e−2t  dx  dt t=0 =4    x (0) = 0  1 √ √ d2 x 15 15 dt2 + dx dt +4 x=0 ∧ ⇒ x (t) = e− 2 t √9 sen 2 t + cos 2 t  dx  15 dt t=0 =4 Figura 3: Oscilaciones libres amortiguadas y no amortiguadas. N´tese que el per´ o ıodo es mayor para el caso subamortiguado dx Si en los casos anteriores cambiamos el signo de la velocidad inicial, i.e. dt t=0 = −4 m/s, tendremos la siguiente representaci´n gr´fica. o a √ √ x (0) = 1; dx dt t=0 = −4; ⇒ x (t) = 1 2 − 1 √ 2 5 e( 5−3)t + 1 2 + 1 √ 2 5 e−(3+ 5)t dx x (0) = 1; dt t=0 = −4; ⇒ x (t) = (1 + 2t) e−2t 1 √ √ 15 15 x (0) = 1; dx dt t=0 = −4 ⇒ x (t) = e− 2 t −7 √ 15 sen 2 t + cos 2 t 5
  • 6. Figura 4: Oscilaciones Libres amortiguadas con cambio de signo en la velocidad inicial En todos los casos dado que r1 , r2 < 0 se tiene que x (t → 0) → 0. El movimiento subamortiguado es peri´dico y el per´ o ıodo viene descrito por 2π 2 2 ω0 T µ 1 µ Tam = = si << 1 ⇒ Tam ≈ T 1+ µ 2 µ 2 ω0 2 ω0 1− ω0 1− ω0 el cual siempre sera mayor que el periodo de oscilaci´n natural del sistema. o 4. Oscilaciones Forzadas Supongamos ahora que existe una fuerza aplicada al sistema tal que d2 x dx 2 F0 2 + 2µ + ω0 x = cos ( t) dt dt m 4.1. Oscilaciones Forzadas no amortiguadas En este caso µ = 0 y por lo tanto d2 x 2 F0 2 + ω0 x = cos ( t) dt m 4.1.1. Amplitud modulada = ω0 y tendr´ como soluci´n a o F0 F0 x (t) = C1 cos (ω0 t) + C2 sen (ω0 t) + 2 2 cos ( t) = A cos (ω0 t + δ) + 2 2 cos ( t) m ω0− m ω0− homog´nea e inhomog´nea e 6
  • 7. con lo cual es la suma de dos movimientos arm´nicos con distintas frecuencias y amplitudes. Si el o cuerpo parte del reposo, esto es: x (0) = x (0) = 0 entonces ˙ −F0  C1 = m ω 2 − 2  ( 0 )  F0 ⇒ x (t) = 2− 2 [cos ( t) − cos (ω0 t)]   m ω0 C2 = 0 dado que ω0 − ω0 + cos (ω0 t) = cos + t 2 2 ω0 − ω0 + ω0 − ω0 + cos (ω0 t) = cos cos − sen sen 2 2 2 2 ω0 − ω0 + cos ( t) = cos − t 2 2 ω0 − ω0 + ω0 − ω0 + cos ( t) = cos cos + sen sen 2 2 2 2 2F0 ω0 − ω0 + x (t) = 2 2 sen t sen t m ω0 − 2 2 Envolvente Ejemplo El mismo sistema anterior en el cual m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m, cuando parte del reposo desde el origen de coordenadas y existe una fuerza de excitaci´n F = 0,5 cos (3t) . Por lo tanto la o ecuaci´n diferencial que describe el movimiento sera o   d2x  x (0) = 0  1 5 + 4 x = 5 cos (3t) =⇒ x (t) = cos(2t) − cos(3t) ≡ 2 sen t sen t dt2  dx  2 2 dt t=0 = 0 homog´nea e inhomog´nea e envolvente 4.1.2. Resonancia = ω0 En el caso que la frecuencia de la fuerza de excitaci´n coincida con la frecuencia natural del sistema, o se tiene d2 x 2 F0 2 + ω0 x = F0 cos (ω0 t) =⇒ x (t) = C1 cos (ω0 t) + C2 sen (ω0 t) + t sen (ω0 t) dt 2mω0 envolvente Ejemplo El sistema anterior (m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m), cuando parte del reposo desde el origen de coordenadas y existe una fuerza de excitaci´n F = 0,5 cos (2t) . Por lo tanto la ecuaci´n diferencial o o que describe el movimiento sera   d 2x  x (0) = 0  5t 2 + 4 x = 5 cos (2t) ∧ =⇒ x(t) = sen (2t) dt  dx  4 dt t=0 =0 7
  • 8. Figura 5: Oscilador arm´nico forzado. N´tese la envolvente de la funci´n o o o 4.2. Oscilaciones Forzadas amortiguadas En este caso µ = 0 y por lo tanto d2 x dx 2 F0 2 + 2µ + ω0 x = cos ( t) dt dt m la cual tendr´ como soluci´n a o √ √ 2 2 − µ+ 2 µ2 −ω0 t − µ− 2 µ2 −ω0 t F0 ω0 − cos ( t) + 2µ sen ( t) x (t) = C1 e + C2 e + m 2 ω0 − 2 2 + (2µ )2 una vez m´s se puede convertir en a √ √ 2 − µ+ µ2 −ω0 t − µ− 2 µ2 −ω0 t F0 cos ( t − ζ) x (t) = C1 e + C2 e + m 2 2 soluci´n homog´ne ≡r´gimen transitorio o e e 2 ω0 − + (2µ )2 soluci´n inhomog´nea ≡ r´gimen estacionario o e e donde 2 ω0 − 2 2µ cos (ζ) = y sen (ζ) = 2 ω0 − 2 2 + (2µ )2 2 ω0 − 2 2 + (2µ )2 Es claro que el t´rmino homog´neo en todos sus casos (sobreamortiguado, cr´ e e ıtico y subamortiguado) tiende a cero, por ello se considera un t´rmino transitorio, no as´ el t´rmino inhomog´neo que permanece e ı e e oscilando. En t´rminos F´ e ısico se pude decir que el t´rmino transitorio representa la disipaci´n de la e o energ´ inicial que se le provee al sistema a trav´s de la posici´n y la velocidad inicial de lanzamiento. ıa e o Esta energ´ inicial se expresa a trav´s de las condiciones iniciales se disipa. Si no existiera disipaci´n ıa e o 8
  • 9. Figura 6: Oscilador arm´nico forzado con o 2 = ω0 N´tese el fen´meno de resonancia o o esta energ´ inicial permanecer´ por siempre en el sistema. Finalmente el t´rmino inhomog´neo, a ıa ıa e e trav´s de la fuerza de excitaci´n, impone el movimiento al sistema. N´tese adem´s que el termino e o o a inhomog´neo nunca se hace infinito, ni siquiera para el caso para el cual tiene un m´ximo y es aquel e a en el cual la frecuencia de excitaci´n coincide con la frecuencia natural del sistema. o 1 Ejemplo En un circuito RLC, cuyos componentes son L = 1 henry, R = 40 ohmios y C = 40000 faradios, se le aplica un tensi´n de V = 24 voltios. Determine el comportamiento de la carga y la o intensidad de corriente en el circuito. La ecuaci´n diferencial que describe el comportamiento del sistema o d2 Q (t) dQ (t) 1 d2 Q (t) dQ (t) 1 L 2 +R + Q = E (t) ⇒ 2 + 40 + 40000 Q (t) = dt dt C dt dt 2 d2 I (t) dI (t) 1 dE (t) d2 I (t) dI (t) L 2 +R + I (t) = ⇒ + 40 + 40000 I (t) = 0 dt dt C dt dt2 dt tomando en cuenta las condiciones iniciales tendremos como soluci´n o   √ √ √ Q (0) = 10−4   Q(t) = 1 + e−20t 47 11 sin 1160t + 7 cos 1160t    8000 2640000 8000 ⇒   √ √ √ I (0) = dQ dt = 10−2    I (t) = dQ = e−20t 1 cos 1160t − 37 11 sin 1160t t=0 dt 100 6600 Si en vez de un tensi´n constante de 0,5 V. la fuente de tensi´n es sinusoidal de la forma E (t) = o o 9
  • 10. Figura 7: Carga en runci´n del tiempo en un circuito RLC sometido a un voltage constante. N´tese o o que el sistema alcanza el r´gimen estacionario cercano a los 0,3 sg e 1 2 cos (180t) voltios las ecuaciones se transforman en d2 Q dQ 1 dQ + 40 + 40000 Q = cos (180t) con Q (0) = 10−4 ∧ I (0) = = 10−2 dt2 dt 2 dt t=0 d2 I dI 2 + 40 + 40000 I = −90 sin (180t) dt dt con sus correspondientes soluciones a las condiciones iniciales del sistema √ 1 −20t 293 11 √ 91 √ 9 19 Q(t) = e sin 60 11t + cos 60 11t − cos (180t) + sin (180t) 1000 30140 685 274 548 √ 1 −20t 103 √ 2461 11 √ 81 171 I(t) = e cos 60 11t − sin 60 11t + sin (180t) + cos (180t) 100 274 3014 137 274 Por analog´ con el caso mec´nico procedemos a identificar cantidades ıa a  2µ = R  L V0 1 ⇒A= = √ 2 1  1 2 2+ R 2 2 4 − 78400 2 + 1600000000 ω0 = LC L LC − L con ello se puede ver la funcionalidad de la amplitud con la frecuencia excitatriz 5. Movimiento alrededor de un punto de equilibrio La fuerza el´stica F = −k x m´s all´ de ser el caso m´s simple, representa la primera aproximaci´n a a a a o al movimiento alrededor de un punto de equilibrio estable. Si recordamos que para una fuerza que 10
  • 11. Figura 8: Intensidad en un circuito RLC sometido a un voltage constante. derive de un potencial dV d 1 k x2 F =− ⇒ F = −k x = − 2 dx dx mas aun, un punto de equilibrio estable se define aquel en el cual no existen fuerzas externas, vale decir dV F |x=x0 = 0 ⇒− =0 dx x=x0 por lo cual, dado un potencial de una fuerza arbitraria siempre podemos expandirlo en series de Taylor alrededor de un punto de equilibrio x = x0 dV 1 d2 V 1 d3 V V (x) = v (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + (x − x0 )3 ··· dx x=x0 2! dx2 x=x0 3! dx3 x=x0 =0 As´ en general, alrededor de un punto de equilibrio x = x0 la primera aproximaci´n de una funci´n ı, o o 1 2 d2 V 1 2 potencial seraV (x) ≈ 2! (x − x0 ) dx2 ≈ 2 k (x − x0 ) . As´ un potencial de la forma ı, x=x0 1 35 50 V (x) = x6 − 2x5 + x4 − x3 + 12x2 6 4 3 Soluci´n: x5 − 10x4 + 35x3 − 50x2 + 24x Soluci´n: que genera una fuerza o o dV (x) F =− = − x5 − 10x4 + 35x3 − 50x2 + 24x dx tendr´ dos puntos de equilibrio x = 0 y x = 4. En torno a x = 0 se podr´ aproximar con un potencial a a parab´lico o ˜ 1 d2 V (x) V (x) = (x − x0 )2 = 12x2 2! dx2 x=x0 11
  • 12. Figura 9: Carga en funci´n del tiempo en un circuito RLC sometido a un voltage sinusoidal V (t) = o 1 2 cos (180t) . N´tese el r´gimen transitorio (0 ≤ t o e 0,17) y estacionario (t 0,17) . tal y como se observa gr´ficamente a 6. P´ndulo Simple con desplazamiento finito. e El caso t´ ıpico de esta aproximaci´n lo constituye el p´ndulo simple: una masa m, empotrada a o e una varilla, de masa despreciable y de longitud L. La varilla se desplaza un ´ngulo θ de la vertical y a se suelta. La Figura (13) muestra el diagrama de cuerpo libre del P´ndulo F´ e ısico. Desde la ancestral f´ ısica general, a´n en secundaria, era proverbial resolver este problema suponiendo ´ngulos peque˜os. u a n En esas tempranas ´pocas de nuestro conocimiento de F´ e ısica era limitado y m´s limitado a´n era a u nuestra capacidad para resolver ecuaciones diferenciales. A este “problema” se le conoce con el p´ndulo e f´ ısico. Como siempre, aproximar es un arte y exploremos este arte. Como norma general tendremos que se debe aproximar al final. Pero no siempre. Si suponemos un cuerpo de masa constante, m, las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento no pueden ser otras que aquellas que provengan de las ecuaciones de Newton − −− −−→− − −→ − − → − − − − −−→ −− d mv(t) −→ − F (r(t), v(t), t) = = m a(t) = m (ar ur + aθ uθ ) , ˆ ˆ (1) externas dt Es bueno recordar que hay que expresar la aceleraci´n en un sistema de coordenadas m´viles o o (ˆ r , uθ ). Esto es u ˆ dˆ r u dθ (t) dθ (t) ˙ ur = cos (θ)ˆ+ sen (θ) ˆ ˆ ı  =⇒ = (− sen (θ)ˆ+ cos (θ) ˆ) ı  = uθ = θ (t) uθ ˆ ˆ dt dt dt dˆ θ u dθ (t) dθ (t) ˙ uθ = − sen (θ)ˆ+ cos (θ) ˆ =⇒ ˆ ı  = − (cos (θ)ˆ+ sen (θ) ˆ) ı  =− ur = −θ (t) ur ˆ ˆ dt dt dt 12
  • 13. Figura 10: Intensidad de corriente en un circuito RLC sometido a un voltage sinusoidal V (t) = 1 2 cos (180t) con lo cual d (r (t) ur ) ˆ ˙ r (t) = r (t) ur ˆ =⇒ v (t) = = r (t) ur + r (t) θ (t) uθ ˙ ˆ ˆ dt y ˙ ˆ ˙ d r (t) ur + r (t) θ (t) uθ ˆ a (t) = = ¨ ˙ ˆ ˙ ˙ ¨ r (t) − r (t) θ2 (t) ur + 2r (t) θ (t) + r (t) θ (t) uθ ˆ dt es claro que si r (t) = L = cte =⇒r (t) = v (t) = r (t) = a (t) = 0 ˙ ¨ d (Lˆ r ) u ˙ r (t) = Lˆ r u =⇒ v (t) = = Lθ (t) uθ ˆ dt y ˙ d Lθ (t) uθ ˆ 2 a (t) = = ˙ −L θ (t) ¨ ur + Lθ (t) uθ ˆ ˆ dt As´ y para este caso particular, las ecuaciones de Newton quedan como ı,  ˙  m ar ≡ −mLθ2 (t) = −T + mg cos (θ) m a = T + m g =⇒ (2)  ¨ m aθ = mLθ (t) = −mg sen (θ) . El caso que todos nos aprendimos de memoria, proviene de la suposici´n θ ≈ sen (θ) o 1 que implica:  ˙  mLθ2 (t) = −T + mg m a = T + m g =⇒ (3)  ¨ mLθ (t) = −mgθ. 13
  • 14. Figura 11: Amplitud como funci´n de la frecuencia excitatriz. N´tese el m´ximo de la amplitud cuando o o a el sistema entra en resonancia, i.e. = ω0 con lo cual, ahora, en este curso, sabemos que lo podemos integrar inmediatamente. Si suponemos que ˙ parte del reposo: θ (0) = 0 y θ (0) = θ0 ¨ g g g Lθ (t) = −gθ (t) =⇒θ (t) = C1 sen t + C2 cos t =⇒θ (t) = θ0 cos t L L L y el per´ ıodo puede ser integrado ˙ ¨ g ˙ ˙ g ˙ g 2 θ (t) θ (t) = − θ (t) θ (t) =⇒Etotal ∝ cte = θ (t)2 + 2 θ (t)2 =⇒θ (t) = θ − θ2 (4) L L L 0 que no es otra cosa que la energ´ total del sistema. Por lo tanto sabemos que en el instante inicial, si ıa soltamos la masa desde un ´ngulo θ0 , la energ´ total es puramente potencial. Es decir a ıa 1 Etotal = Epotencial = mgL (1 − cos (θ0 )) = 2mgL sen2 θ0 (5) 2 por otro lado, de la ecuaci´n (4) podemos obtener el per´ o ıodo de oscilaci´n para el P´ndulo F´ o e ısico linealizado: ˙ g 2 1 θ ω = θ (t) = θ − θ2 =⇒T = arctan L 0 g 2 − θ2 θ0 L Este caso tambi´n se conoce con el nombre de oscilador arm´nico simple o p´ndulo f´ e o e ısico linealizado. Igualmente podemos analizar el caso de general del p´ndulo amortiguado forzado linealizado. Vale decir, e una masa, m,atada a una varilla sin masa de longitud L,y que oscila, inmersa en un fluido que la frena 14
  • 15. Figura 12: Aproximaci´n por una par´bola en torno a x = 0 o a el movimiento de la masa con una fuerza, −η v (t) y que adicionalmente est´ excitada por una fuerza a exterior F (t) = F0 cos ( t) . Recordamos que en este caso la ecuaci´n en la direcci´n tangente (ˆ θ ), es o o u d2 θ (t) dθ (t) d2 θ (t) dθ (t) 2 F0 mL +η + mg θ (t) = F0 cos ( t) =⇒ + 2µ + ω0 θ (t) = cos ( t) dt2 dt dt2 dt mL η g donde, por costumbre, hemos rebautizado las constantes tales que µ = y ω0 = . 2mL L Por lo tanto, su soluci´n tendr´ la forma o a √ √ 2 − µ+ µ2 −ω0 t 2 − µ− µ2 −ω0 t F0 cos ( t − ζ) θ (t) = C1 e + C2 e + mL 2 2 soluci´n homog´ne ≡r´gimen transitorio o e e 2 ω0 − + (2µ )2 soluci´n inhomog´nea ≡ r´gimen estacionario o e e donde 2 ω0 − 2 2µ cos (ζ) = y sen (ζ) = 2 ω0 − 2 2 + (2µ )2 2 ω0 − 2 2 + (2µ )2 Hemos aprendido que dependiendo del valor de los coeficientes de la ecuaci´n caracter´ o ıstica del P´ndulo F´ e ısico amortiguado libre (F0 = 0) se derivan tres casos posibles: Subamortiguado: µ2 − ω0 < 0 2 Sobreamortiguado: µ2 − ω0 > 0 2 ıtico µ2 − ω0 = 0 Cr´ 2 15
  • 16. Figura 13: Diagrama de Cuerpo Libre, del P´ndulo F´ e ısico En el caso del P´ndulo F´ e ısico amortiguado forzado (F0 = 0) la f´ ısica se hace mucho m´s rica y a 2 pueden ocurrir fen´menos de resonancia cuando ω0 − 2 + (2µ )2 → 0. o 2 Es interesante considerar los gr´ficos tanto de la evoluci´n del sistema en el espacio directo: θ (t) a o ˙ vs t; como la evoluci´n del sistema en el espacio de fases ω = θ (t) vs θ (t) . Las figuras (16) y (18) o muestran la primera de estas evoluciones, es decir, la evoluci´n del ´ngulo en el espacio directo. Las o a figuras (17) y (19) muestran la evoluci´n del sistema en el espacio de fases. Es claro de la ecuaci´n o o ˙ ˙ (4), en la cual aparece ω = θ (t) = θ (θ (t)) ,que las curvas en el diagrama de fase tanto para el caso libre (figura (15)) como para los de los casos amortiguados (figuras (17) y (19)) corresponden a curvas de misma energ´ En el caso del P´ndulo F´ ıa. e ısico linealizado libre, corresponden a curvas de energ´ ıa constante. en los otros casos el sistema va disipando energ´ debido al coeficiente de amortiguaci´n. ıa o N´tese que la disipaci´n obliga al sistema a evolucionar al punto de equilibrio siguiendo trayectorias o o espirales en el espacio de fases. Claramente m´s r´pidamente en el caso sobreamortiguado que en el a a subamortiguado. Tambi´n sabemos que para el caso cr´ e ıtico (µ2 − ω0 = 0) el tiempo de evoluci´n del 2 o sistema hasta llegar al punto de equilibrio ser´ menor que en cualquiera de los casos sobreamortiguados. a Dejamos al lector la comprobaci´n de esta ultima afirmaci´n. o ´ o Hemos aprendido que dependiendo del valor de los coeficientes de la ecuaci´n caracter´ o ıstica del P´ndulo F´ e ısico amortiguado libre (F0 = 0) se derivan tres casos posibles: Ahora bien, la situaci´n que nos interesa simular es la del p´ndulo f´ o e ısico para los casos en los cuales los ´ngulos de oscilaci´n no necesariamente sean peque˜os. a o n Denominaremos p´ndulo libre al caso en el cual no recurriremos a ninguna aproximaci´n respecto e o al ´ngulo de oscilaci´n. Recordemos que para este caso partimos de la ecuaci´n (2) en la direcci´n a o o o tangente. Es decir g ˙ θ (t)2 g ¨ Lθ (t) = −g sen (θ) ˙ ¨ =⇒ θ (t) θ (t) = − ˙ sen θ (t) θ (t) =⇒ Etotal ∝ cte = − cos θ (t) L 2 L 16
  • 17. Figura 14: Evoluci´n θ (t) vs t del P´ndulo F´ √ o e ısico libre, para distintos valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5, 40, 7, 8. Figura 15: Digrama de Fase para el Oscilador Arm´nico Simple. N´tese que el punto de equilibrio es o o el origen de coordenadas. 17
  • 18. g Figura 16: Evoluci´n θ (t) vs t del P´ndulo Simple, Subamortiguado ( = 4; µ = 0, 5) libre,para o e √ L distintos valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5, 40, 7, 8. g o ˙ Figura 17: Evoluci´n θ (t) vs θ (t) del P´ndulo F´ e ısico Subamortiguado libre ( = 4; µ = 0, 5) en √ L el Espacio de Fases para distintos valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5, 40, 7, 8. N´tese que la o disipaci´n lleva irremediablemente al sistema al punto de equilibrio, vale decir al origen de coordenadas o del espacio de fases. 18
  • 19. g Figura 18: Evoluci´n θ (t) vs t del P´ndulo F´ o e ısico Sobreamortiguado ( = 4; µ = 3, 5) libre,para √ L distintos valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5, 40, 7, 8. g Figura 19: F´ısico Sobreamortiguado libre ( = 4; µ = 3, 5) en el Espacio de Fases para distintos valores √ L de la velocidad inicial V0 = 3, 5, 40, 7, 8. N´tese que la disipaci´n lleva irremediablemente al sistema o o al punto de equilibrio, vale decir al origen de coordenadas del espacio de fases. 19
  • 20. Figura 20: Diagrama de Fase para el P´ndulo F´ e ısico. Al igual que en la ecuaci´n en la direcci´n tangente linealizada (4), nos encontramos con la Energ´ o o ıa total del sistema. Con lo cual Es f´cil despejar θ a ˙ (t) = θ (θ (t)) y construir los diagramas de fases del ˙ sistema. Otra vez, las l´ ıneas del diagrama de fase ser´n l´ a ıneas de la misma energ´ As´ podemos graficar ıa. ı ˙ 2g θ (t) = ± C + cos (θ (t)) (6) L g para distintos valores de la constante C = 4, 01; 4, 1; 6; 8; 10; 20 y para el caso = 4. La Figura (20) L representa el diagrama de fase para estos casos. Las curvas cerradas (aquellas que tienen los valores de a ´ngulos y velocidades acotadas) representan oscilaciones del sistema, mientras que las curvas abiertas (aquellas en las cuales las velocidades est´n acotadas pero no as´ el valor del ´ngulo) representan a ı a que el sistema rota. N´tese que el sistema presenta puntos de equilibrio inestable para θ (t) ≈ ±nπ o con n = 0, 1, 2. Lo cual era de esperarse por cuanto corresponde al ´ngulo en el cual el sistema a varilla-masa se encuentran verticalmente dispuestos y el peso y la tensi´n son colineales y se anulan o moment´neamente. a Otro enfoque, quiz´ m´s intuitivo para resolver este problema, pudo haber sido el an´lisis energ´tico. a a a e Para ello sabemos que, por ser un sistema conservativo, la energ´ total viene definida por ıa 1 ˙ 1 ˙ θ (t) Etotal = mL2 θ (t)2 + mgL (1 − cos (θ (t))) ≡ mL2 θ (t)2 + 2mgL sen2 2 2 2 Energ´ Potencial ıa Energ´ Cin´tica ıa e por consiguiente ˙ 2Etotal 4g θ (t) g θm´x a θ (t) θ (t) = ± − sen2 ≡ ±2 sen2 − sen2 (7) mL2 L 2 L 2 2 20
  • 21. donde hemos sustituido Etotal = 2mL sen2 θm´x con θm´x el ´ngulo m´ximo que alcanza el P´ndulo 2 a a a a e F´ ısico, por cuanto en ese punto la energ´a total es puramente potencial. N´tese que ese ´ngulo no ı´ o a necesariamente es el ´ngulo inicial, debido a que la velocidad incial puede ser distinta de cero. a La ecuaci´n (7) es claramente integrable por separaci´n de variables y conduce a encontrar la o o expresi´n para el per´ o ıodo: θ(t) 1 L dθ t= con − π ≤ θ (t) ≤ π y θ0 = θ (0) 2 g θ0 g θm´x θ sen2 2 a − sen2 2 L La integral anterior, puede ser transformada en otra que aparece en las tablas integrales, si hacemos sen( θ ) sen β = θm´x , con lo cual 2 a sen 2  θ   sen 2   sen β =   θm´x   sen 2 a L ζ(t) dβ  t= donde   (8) g ζ(0) θm´x   θ(t) 1− sen2 a sen2 β   sen 2 2  ζ (t) = arcsin       sen θm´x a 2 π Es claro que el recorrido entre ζ (0) = 0 =⇒ θ = 0 a θ = θm´x =⇒ ζ (t) = representa un cuarto a 2 del per´ ıdo, por consiguiente el per´ ıodo total del P´ndulo F´ e ısico ser´: a π L 2 dβ T =4 g 0 θm´x 1 − sen2 2 a sen2 β 6.0.1. Disgresi´n El´ o ıptica En este punto haremos una disgresi´n respecto a las integrales el´ o ıpticas, su clasificaci´n y algunas o de sus propiedades. En general encontrar´n en la bibliograf´a que las integrales el´ a ı´ ıpticas se dividen en Integrales El´ ıpticas de Primera Especie ϕ x dβ dt F (ϕα) = ⇐⇒ F (x|m) = con 0 ≤ m ≤ 1 0 1− sen2 α sen2 β 0 (1 − t2 ) (1 − mt2 ) π las cuales, para el caso particular ϕ = o x = 1, se puede reacomodar como una Integral El´ ıptica 2 de Primera Especie Completa π 1 2 dβ dt K (m) = ≡ con 0 ≤ m ≤ 1 (9) 0 1 − m sen2 β 0 (1 − t2 ) (1 − mt2 ) 21
  • 22. Integrales El´ ıpticas de Segunda Especie ϕ x 1 − mt2 E (ϕα) = 1 − sen2 α sen2 βdβ ⇐⇒ E (x|m) = dt con 0 ≤ m ≤ 1 0 0 (1 − t2 ) π y si ϕ = o x = 1, entonces se obtiene una Integral El´ ıptica de Segunda Especie Completa 2 π 1 1 − mt2 E (m) = 2 1 − m sen2 βdβ ≡ dt con 0 ≤ m ≤ 1 0 0 (1 − t2 ) Adicionalmente, y tambi´n sin perder generalidad, dado que 0 ≤ m ≤ 1, el denominador de la e integral el´ ıptica K (m) de la ecuaci´n (9) y equivalentemente de la ecuaci´n (8) puede ser expandido o o en series de potencias. Con lo cual 1 1 3 5 35 =1+ sen2 βm + sen4 β 2 m2 + sen6 β 3 m3 + sen8 β 4 m4 + · · · 1− m sen2 β 2 8 16 128 1 1 1 1·3 = π 1+ sen2 β m + sen4 β m2 + 1 − m sen2 β 2 2 2·4 1·3·5 + sen6 β m3 + O m4 2·4·6 ∞ 1 (2n − 1)!! n = m sen2n β 1− m sen2 β (2n)!! n=0 y siendo una serie uniformemente convergente puede ser integrada t´rmino a t´rmino como e e π π ∞ ∞ π 2 dβ 2 dβ (2n − 1)!! n (2n − 1)!! n 2 sen2n β dβ K (m) = = m sen2n β = m 0 1 − m sen2 β 0 (2n)!! (2n)!! 0 n=0 n=0 ∞ ∞ 2 (2n − 1)!! n (2n − 1)!! π π (2n − 1)!! K (m) = m · = mn (2n)!! (2n)!! 2 2 (2n)!! n=0 n=0 Del mismo modo se obtiene para las integrales el´ ıpticas completas de segunda especie que π ∞ 2 2 π (2n − 1)!! mn E (m) = 1 − m sen2 βdβ = 1− 0 2 (2n)!! 2n − 1 n=1 Finalmente podemos mencionar la relaci´n de “recurrencia” de Legendre para las Integrales El´ o ıpticas completas. Ella es π E (m) K (1 − m) + E (1 − m) K (m) − K (m) K (1 − m) = 2 22
  • 23. Las integrales el´ ıpticas de primera y segunda especie, incompletas y completa deben resolverse num´ri- e camente y tradicionalmente est´n tabuladas en algunas tablas integrales 1 . En nuestros d´as tambi´n a ı´ e pueden ser resueltas num´ricamente utilizando comandos de manipuladores simb´licos e o 2. 6.0.2. ¿ Cu´n buena es la aproximaci´n lineal ? a o Utilizando la expansi´n en serie de la Integral El´ o ıptica completa de primera especie (8) del p´ndulo e f´ ısico, tendremos que se cumple π L 2 dβ L π θm´x a T =4 =4 F sen2 =⇒ g 0 θm´x g 2 2 1− sen2 2 a sen2 β ∞ 2 2n L (2n − 1)!! θm´x a T = 2π sen g (2n)!! 2 n=0 θm´x 1 1 3 1 5 7 2π L m´s a´n, dado que sen a u 2 a = 2 θm´x a − 48 θm´x a + 3840 θm´x a + O θm´x y que T0 = a = 2π g ω0 tendremos ∞ 2 2n L (2n − 1)!! 1 1 3 1 5 7 T = 2π θm´x − θm´x + a a θ a + O θm´x =⇒ g (2n)!! 2 48 3840 m´x a n=0 1 2 11 4 T ≈ T0 1 + θm´x + a θ a 16 3072 m´x y si realizamos un estimado de las correcciones al problema lineal que conlleva esta expansi´n veremos o π que a´n para ´ngulos θm´x = u a a las correcciones son del orden de un p´ ırrico 4 %, con lo cual la 4 aproximaci´n lineal resulta bien razonable. Para ´ngulos θm´x o a a 1 las correcciones comienzan a ser significativas y todo este esfuerzo de integraci´n empieza a tener sentido. La siguiente tabla da una o idea m´s clara de este cambio en el per´ a ıodo del p´nulo y los errores relativos porcentuales respecto e 2π al per´ıodo del p´ndulo f´ e ısico linealizado T0 = ,cuando se consider´n distintos valores del ´ngulo a a ω0 m´ximo, θm´x a a 2π π π π π π 2π T0 = = 2,83845 θm´x = a θm´x = a θm´x = a θm´x = a θm´x = a θm´x = a ω0 12 6 4 3 2 3 T 2,85066 2,88786 2,95191 3,04617 3,35034 3,89685 |T − T0 | = 100 0,42821 1,71109 3,84368 6,81916 15,2786 37,1283 T 1 Abramowitz, M. y Stegun I.A (1964) Handbook of Mathematical Functions Dover, New York 2 En el caso de MAPLEV se puede proceder directamente evaluando num´ricamente la integral (8) a trav´s del comando e e evalf(int(...)) o mediante la funci´n de biblioteca EllipticF(z,k) donde z= β es al argumento del seno y k= sen θ2 o 0 el par´metro (consulte la ayuda de MAPLE para m´s detalles). a a 23
  • 24. 6.1. El P´ndulo F´ e ısico: Integraci´n Num´rica o e Tal y como indicamos en la primera secci´n de este proyecto, procedemos a convertir una ecuaci´n o o de segundo orden en un sistema de ecuaciones diferenciales de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. As´ del mismo modo que en la ecuaci´n (??) podremos escribir: ı, o   dθ(t)  = ϕ(t) ¨ θ (t) = −ω0 sen (θ) =⇒ dt  dϕ(t)  = −ω0 sen (θ(t)) dt con lo cual podemos adimencionalizar de dos varias formas, dependiendo de las condiciones iniciales ˜ t ˜ del movimiento. Si adicionalmente hemos adimencionalizado con t = por lo que 0 ≤ t ≤ 1 y tf inal 1 d (·) d (·) ϕ dθ(t) = y, adcionalmente: ϕ = ˜ , con ϕ0 = = 0. De este modo el sistema queda ˜ tf inal dt dt ϕ0 dt t=0 escrito dθ(t) ˜ d θ(t) ˜ d θ(t) = ϕ(t) =⇒ ˜˜ = ϕ0 tf inal ϕ(t) =⇒ ˜˜ = Λ ϕ(t) dt ˜ dt ˜ dt dϕ(t) ˜˜ d ϕ(t) ω 2 tf inal ˜˜ d ϕ(t) = −ω0 sen (θ(t)) =⇒ =− 0 ˜ sen θ(t) =⇒ ˜ = −Γ sen θ(t) dt ˜ dt ϕ0 ˜ dt ˜˜ ˜ ˜ N´tese que las cantidades ϕ(t), θ(t), t, Γ y Λ son adminensionales. Acto seguido procedemos a inte- o grar num´ricamente el sistema de ecuaciones3 . e La figura (21) ilustra la evoluci´ del ´ngulo θ (t) vs t, con 0 ≤ t ≤ 10 del P´ndulo F´ ıon a e ısico, para dθ(t) ˙ distintos valores de la velocidad angular inicial: = θ(t) = ϕ(t) = 3,5, 3,9, 4, 4,1, 4,5. Mientras que dt la figura (22) (y tambi´n la figura (20)) representan la evoluci´n del sistema en el espacio de fases. e o dθ(t) θ (t) vs = ϕ(t). Las curvas cerradas en esta gr´fica corresponden a las curvas oscilantes de la a dt figura (21). Dado que el sistema parte de θ0 = θ (t = 0) y seleccionamos el nivel de energ´a potencialı´ igual a cero all´ cada una de estas curvas representan un valor de la energ´a cin´tica inicial. El caso ı, ı´ e 1 ˙2 Ec = mL2 θ0 = mg2L corresponde a la separatr´ vale decir, la ´rbita que separa las curvas cerradas ız, o 2 de las abierta. Es claro que en este caso le movil “subir´” y alcanzar´ un equilibrio inestable en la a a posici´n vertical. En la figura (21) este caso viene ilustrado por la curva que se convierte en horizontal o ˜ ˜ 0, 25 ≤ t ≤ 0, 5, luego a partir de t ≈ 0, 5, la inexactitud del c´lculo num´rico genera pertubaciones que a e en teor´a no debieran existir. ı´ 1 ˙2 Ec = mL2 θ0 = mg2L 2 3 En MAPLEV podemos integra el sistema de dos maneras distintas. La primera haciendo uso del coman- do dsolve({sysED,CI}, numeric, vars, options) donde sysED es el sistema de ecuaciones diferenciales, CI sus condiciones iniciales. Si necesit´ramos un an´lisis gr´fico es mucho m´s ´til el paquete DEtools. a a a a u 24
  • 25. o e ˜ ˜ ˜ Figura 21: Integraci´n num´rica (θ t vs t, con 0 ≤ t ≤ 10) del P´ndulo F´ e ısico, para distintos valores dθ(t) de la velocidad angular inicial: = ϕ(t) = 3,5, 3,9, 4, 4,1, 4,5. dt Figura 22: Digrama de Fase para el P´ndulo F´ e ısico 25