1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ESCUELA DE INGENIERIA
MATEMATICA II
LIMBER RODRIGUEZ
APLICACIONES DE INTEGRALES DEFINIDAS
Las aplicaciones de la Integral Definida al calculo de longitudes, superficies, volúmenes
y fundamentalmente problemas físicos (dinámica, calor, electromagnetismo etc.) son
infinitas. Veremos los principios generales que guían las aplicaciones practicas.
Partiremos de la igualdad siguiente: (Ver Calculus de E. Lines pag. 400)
b n
b a
Si f(x) es continua en a, b entonces f(x) lim f( i
).
a 1 n
n
a x0 x 1 ...... b xn
xi 1 i
x i
En la formula anterior se esta trabajand o con una equipartic ión, es decir que todos los
b-a
intervalos (x i -1 x i ) tienen la misma longitud,
n
Sin mucho esfuerzo podemos pasar a una partición con intervalos de longitud cualquiera y
construir una formula mas utilizable , de la siguiente manera :
b n n
f ( x ) dx lim f( i
)( x i xi 1 ) lim f( i
). x i siendo xi ( xi xi 1 )
a 1 1
n
Todavía podemos hacerla mas practica sustituyen do el incomodo i
, que es un punto cualquiera
del intervalo (x i x i 1 ) , por uno de los extremos, por ejemplo el el x i . En definitiva nos
quedarà :
b n
f ( x ) dx lim f ( xi ) xi
a i 1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Pasamos a las aplicaciones practicas
Los problemas siempre se podrán esquematiz ar de la siguiente manera :
Queremos calcular una cantidad C. La dividimos en pedacitos c i de manera que
C c1 c2 ... cn ci luego se tratará de encontrar algun valo r aproximado de
_
cada c i , llamemos ci a dicho valor aproximado . Por supuesto que trataremo s de que el
_
error ci ci sea muy pequeño, es decir que el orden del infinitesi mo debe ser mayor
_
que el del infinitesi mo c i .
_
Si encontramo s ahora una variable x y una función f(x) de manera que c i tome la forma
_ _
ci f(x i ) x i resultará : C ci f(x i ) x i
Problema 1 Calculo del volumen de una pirámide
Primeramente recordaremos (una
consecuencia de Thales) que las secciones de hi
área Si , paralelas a la base de área S, se
encuentran en relación proporcional con los
cuadrados de las altura desde el vértice , hi y
H respectivamente. Si
H
Es decir
2
Si hi
2
S H
S
Ahora dividimos el volumen total V en
secciones vi por lo que:
V vi . El volumen v i entre dos secciones
vi paralelas a la base, es el de un tronco de cono
de bases S i y S i -1 . Si la distancia hi
entre ellas es lo suficiente mente pequeña,
ambas superficie s pueden considerar se iguales
y por lo tanto el volumen v i sera igual a la
superficie de una de ellas por la altura
_ 2
S .h i
Es decir v i vi S i . hi 2
hi
H
H
3
H
S .h i
2 H
S .h
2
S .h 1
Por lo tanto V lim 2
hi 2
dh S .H
H H 2 3
0
xi 0
0
3H 0

3. Problema 2 Cálculo de la longitud de un arco de curva B
Consideremos la función f(x) y queremos
A
calcular la longitud de la curva entre los
puntos de abscisas x=a y x=b. C
La longitud L que queremos calcular la
podemos cortar en pequeños arcos de la
siguiente manera:
L l1 l2 l3 .... ln
a x 0 .... x i -1
x i
... b xn
El arco l i que va desde el punto A al punto B puede sustituirse por el Segmento AB y
este puede calcularse fácilmente usando Pitagoras ya que la base es la diferencia de
abscisas y la altura la diferencia de valores funcionales.
2 2
AB ( xi xi 1 ) ( f ( xi ) f ( x i 1 ))
Pero aplicando el Teorema de Valor Medio (Lagrange) resulta que :
f(x i ) f ( xi 1 ) f ( c )( x i x i 1 ) con c (x i -1 , x i ) , es decir que :
2 2 2 2
AB (x i xi 1 ) f ( c )( x i xi 1 ) 1 f ( c ) .( x i xi 1 )
luego :
2
L 1 f ( x ) .( x i xi 1 )
b
2 2
L lim 1 f ( x ) .( x i xi 1 ) 1 f ( x ) .dx
a
Problema 3 Cálculo de un volumen de revolución
f ( xi 1 )
Consideremos una función f(x) y su f(x)
gráfico girando alrededor del eje ox ,
queremos calcular el volumen
engendrado por dicha curva al girar a b
alrededor de ox y comprendido entre los a b
planos perpendiculares a ox que pasan
por x=a y x=b
f ( xi )
Consideramos ahora una partición del intervalo [ab] y el disco (tronco de
cono) comprendido entre los planos perpendiculares a ox que pasan por x i 1 y x i .
Los radios de las “tapas” de dicho tronco de cono son f ( x i 1 ) y f(x i ) .
El volumen total V lo podemos considerar como una suma de éstas secciones.
V v1 v2 ... vn
Cada v i es el volumen de un tronco de cono como el pintado en la figura, pero si
consideramos que la partición tiene suficientes puntos, los troncos de cono se convierten
en discos cilíndricos (ya que las dos tapas son aproximadamente iguales) y el volumen
v i de estos discos es muy fácil de calcular.

4. El volumen del disco será: vi
2
vi 2 f ( x i ).( x i xi 1 ) por lo tanto el volumen
f ( xi )
total será :
b
2
V 2 f ( x i ).( x i xi 1 )
a
b b
2 2
V lim 2 f ( x i )( x i xi 1 ) 2 f ( x ) dx
a a
Problema 4 Cálculo de una superficie de revolución
Es análogo al problema anterior pero lo que se debe sumar es la superficie lateral de los
discos.-
Problema 5 Aplicaciones en física – Calculo de la Energía Cinética
Vamos a considerar un cuerpo que se
desliza sobre una superficie sin
rozamiento y al cual se le aplica una F
fuerza F .
Recordamos que el trabajo realizado por una fuerza es :
Wi F i .desplazami ento F .( x i xi 1 )
Ademas sabemos que F m. siendo la aceleració n y m la masa del cuerpo sobre el
cual se aplica la fuerza.
Por otra parte se sabe que la aceleració n esta relacionad a con la velocidad de la siguiente manera
v v x
v v. v recordando que la velocidad v es igua a
t x t
Re sumiendo
W Fi . x i mv .v . x i W lim m.v. v . x i
xn
1 2 1 2
W m .v .v .dx mv ( x n ) mv ( x 0 )
x0
2 2
Si consideram os ahora que el espacio inicial x 0 0 resultará :
1 2
W mv (1) . Esta última relación nos da todo el trabajo realizado por la fuerza
2
F , que por el principio de conservaci ón de la energia sera igual a la Energía Cinetica del cuerpo
Problema 6 Cálculo del Momento de Inercia de un cuerpo
v
La velocidad de una partícula P de un cuerpo rígido que
P
gira alrededor del punto o viene dada como: w
v= r.w siendo r el radio de giro y w la velocidad angular
o

5. La energía cinética de una partícula de masa m será por tanto:
1 2 1 2 2
m .v m .r . w . La energía total del cuerpo es la suma de las energias anteriores de
2 2
1 2 2
todas las particulas Ec m .r . w pero como en un cuerpo rígido la velocidad
2
angular es la misma para todas las particulas , será :
1 2 2
Ec mr w (2)
2
2
Definimos ahora Momento de Inercia I como I mr
sustituyen do el Momento I en la relación (1) resulta :
1 2
Ec .I.w (3) se observa que esta relación es formalment e igual
2
a la relación (1) . En la relación (3) el Momento de Inercia I se comporta como la masa en la
relación (1)
Normalmente se necesita calcular en numerosos problemas de mecánica, la energía
necesaria para mover un cuerpo rígido alrededor de un cierto eje. Para un cuerpo que no
está formado de masas puntuales aisladas, sino que es una distribución continua de
2
materia, la suma expresada en la definición de momento de Inercia, I m. r , ha de
calcularse por los métodos del calculo integral. Veremos a continuación como se calcula
el Momento de Inercia de un cuerpo cilindro macizo homogéneo respecto a su eje de
simetría.
r
Sea L la longitud del cilindro y R su radio
1 2 2 r
Sabemos que E c m .r . w .
2
Los elementos de masa m vamos a elegirlos
como cilindros de espesor r y de largo igual al
L
largo del cilindro. El volumen total de uno de
éstos cilindros será:
V 2 r . r . L por lo tanto la masa total del
cilindro será igual al volumen por la densidad
es decir m . V .2 r . r .L
En definitiva:
1
R
2 2
Ec .2 r . r . L .r . w
2
1 2 3
w 2 .. L . r . r
2
1 2 3
Finalmente tomando limites resulta Ec w .2 . . L r dr
2

6. 3
Para el Momento de Inercia resulta la expresión I 2 . .L r dr