Se muestra una descripcion d elos métdos mas simples de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden como ecuaciones separables y metodo de factor integrante. al final se anexan un par de palicaciones sobre ley de enfriamiento y moviemiento en medio resistente.
1. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Rubén Darío Lara Escobar1
1Unidad de Ciencias Básicas
Universidad Católica de Manizales
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 1/49
2. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Contenidos
1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ecuaciones Lineales
2 Ecauciones Lineales
Ecuaciones Variables Separables
3 Método del factor Integrante
Método del factor Integrante
4 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Ejemplos de Aplicaciones Sencillas
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 2/49
3. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Contenidos
1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ecuaciones Lineales
2 Ecauciones Lineales
Ecuaciones Variables Separables
3 Método del factor Integrante
Método del factor Integrante
4 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Ejemplos de Aplicaciones Sencillas
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 3/49
4. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones Lineales y Forma Estándar
Una Ecuación Diferencial lineal de la forma general:
y = f(x, y) (1)
Para la cual una solución y(x) es una función diferenciable que
satisface la ecuación diferencial. El objetivo es ahora desarrollar
métodos para hallar las soluciones y(x).
En general es clave resaltar que no existe un método para
resolver todas las eccuaciones de primer orden, más bien se
describen varios métodos que se utilizan para diferentes
subclases de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 4/49
5. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuación Lineal
una ecuación diferenecial de la forma:
a(x)y + b(x)y = C(x) (2)
se denomina una ecuación diferencial lineal de primer orden.
Se le llama de ésta forma debido a que es lineal en y; es decir,
es analogo de la ecuación lineal ax1 + by1 = c.
Las funcionesa(x), b(x), C(x) pueden ser constantes y además
si C(x) = 0 la ecuación es Homogenea.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 5/49
6. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Forma Estándar
La ecuación (2) sin perdida de generalidad se puede expresar de
la forma:
y + p(x)y = q(x) (3)
Esta forma se denomina Forma Estándar o Canónica
En la ecuación (3) la forma más simple se da cuando las
funciones p(x) = a; q(x) = b donde a y b son constantes reales,
tomando la forma y + ay = b la cual se puede expresar asi:
y = −ay + b (4)
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 6/49
7. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Modelos asociados a la ecuación dy
dx = −ay + b
La ecuación (4) se utiliza para modelar varios fenómenos físicos
como:
Modelo de difusión-concentración de temperatura.
Modelo de problemas de Mezclas.
Modelo de decrecimeinto y cuentas bancarias.
Modelo de moviemiento de objetos.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 7/49
8. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución de la Ecuación dy
dx = −ay + b
La solución de la ecuación dy
dx = −ay + b viene dada por:
dy/dx
y − (b
a)
= −a
Donde a = 0, y y = b
a. usando Integración obetenemos:
ln |y − (
b
a
)| = −a + C
De donde se obtiene la solucón general:
y = (b/a) + ce−ax
Este método usualmente se conoce como: separación de
variables.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 8/49
9. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ejemplo
Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación
y − 2y = 0
Primero reescribimos la ecuación anterior como
dy
dx
= 2y
Asumimos que y = 0, y dividimos la ecuación por y:
1
y
dy
dx
= 2
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 9/49
10. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ejemplo Conti.
multiplicacmos en ambos lados por el diferencial dx :
dy
y
= 2dx
Usando la integración, sabemos que las antiderivadas solo
dieren en una constante c. (Teorema del Valor Medio)
dy
y
= 2 dx
o
|y| = e2x+C
= ec
e2x
= C1e2x
Donde C1 = ec es una constate arbitraria diferente de cero.
Finalmente la solución general es:
y(x) = C1e2x
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 10/49
11. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Contenidos
1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ecuaciones Lineales
2 Ecauciones Lineales
Ecuaciones Variables Separables
3 Método del factor Integrante
Método del factor Integrante
4 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Ejemplos de Aplicaciones Sencillas
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 11/49
12. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones Separables
Las ecuaciones de variables separables son un caso especial de
la ecuación de la forma estándar y + p(x)y = q(x).
Si reescrbimos la ecuación anterior en la forma:
y = dy/dx = f(x, y) donde f(x, y) = g(x)/h(y).
Y escribimos además p(y) = 1/h(y) se tiene que una ecuación
diferencial de primer orden es separable si se puede escribir
como:
dy
dx
= g(x)p(y) =
g(x)
h(y)
(5)
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 12/49
13. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución de Ecuaciones Separables
para resolver ecuaciones separables se sigue el método siguiente:
Si multiplicamos por h(y) en ambos lados de la ecuación (5)
tenemos
h(y)dy = g(x)dx
Luego integramso en ambos lados y obtenemos:
h(y)dy = g(x)dx
H(y) = G(x) + C
Donde H(y) es una antiderivada de h(y) y G(x) es una
antiderivada de g(x); C es una constante arbitraria.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 13/49
14. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ejemplos
Ejemplo
Hallar la solución de las ecuaciones diferenciales:
y =
−x
y
(6a)
y =
1
xy3
(6b)
y =
x3
y2
(6c)
xy = y − 1 (6d)
xy + y = y2
(6e)
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 14/49
15. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Contenidos
1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ecuaciones Lineales
2 Ecauciones Lineales
Ecuaciones Variables Separables
3 Método del factor Integrante
Método del factor Integrante
4 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Ejemplos de Aplicaciones Sencillas
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 15/49
16. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Factor Integrante
consideremos la ecuación diferencial y + ay = b, si tomamos
a = r y b = k hemos visto que la solución esta dada por
y = (b/a) + ce−ax ; sin embargo, de acuerdo a los cambios
anteriores, la solución tomaría la forma
y = (k/r) + ce−rx
. Consideremos ahora el siguiente:
Ejemplo
Hallar un método general para resolver la ecuación diferencial
y − ry = k; r = 0.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 16/49
17. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución al Ejemplo
En primer lugar observamos si la ecuación se halla en su forma
estándar y + p(x)y = q(x); donde p(x) = −r y q(x) = k.
Consideremos la función
µ(x) = e −rdx
= e−rx
Ahora la solución general se consigue multiplicando la ecuación
diferencial por el factor µ(x)
µ(x)y − µ(x)ry = µ(x)k
La solución general es determinada por:
y =
1
e−rx
( e−rx
kdx) = erx
(
−k
r
e−rx
+ C) = (k/r) + ce−rx
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 17/49
18. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ejercicio y Solución
Ejercicio
Utilizar el método anterior para hallar la solución de la ecuación
diferencial:
xy − 2y = x5
Solución
en general el método se puede resumir en los siguientes pasos:
Reescribir la ecuación en la forma estándar
Calcular e p(x)dx
Multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial por
e p(x)dx; (Factor Integrante)
Integrar, despejar y(x)
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 18/49
19. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución
Paso 1: Reescribir la ecuación en forma estándar
Recordemos que la forma estándar es la ecuación
y + p(x)y = q(x)
.
Para esto multiplicamos la ecuación xy − 2y = x5 por el factor
1/x; tomando la sigueinte forma
y −
2
x
y = x4
La cual se encuentra en la forma estándar con p(x) = −2
x y
q(x) = x4.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 19/49
20. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución
Paso 2: Calcular e p(x)dx
En efecto, si p(x) = −2
x , entonces:
e p(x)dx
= e−2 dx
x
De donde
e−2 dx
x = e−2 ln |x|
= x−2
Ya que
e−2 ln |x|
= eln |x|−2
= x−2
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 20/49
21. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución
Paso 3: Multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial por
e p(x)dx
Si multiplicamos ambos lados de la ecuación diferencial en
forma estándar por x−2 tenemos:
(x−2
)y −
2
x
(x−2
)y = (x−2
)x4
de donde tenemos:
x−2
y − 2x−3
y = x2
Observemos ahora que usando la regla del producto para las
derivadas, el lado izquierdo se convierte en:
(x−2
y) = x2
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 21/49
22. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución
Paso 4: Integrar, despejar y(x)
Si integramos ambos lados de la ecuación diferencial
(x−2y) = x2 tenemos:
(x−2
y) = x2
dx
De donde obtenemos:
x−2
y =
x3
3
+ C(∗)
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 22/49
23. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución
Paso 4: Despejar y(x)
La ecuación (∗) anterior es la solución general dada por:
y = Cx2
+
x5
3
La cual es una familia innita de soluciones que dependen
del parámetro C.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 23/49
24. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ejercicios
Halle la solución general de las ED usando el método del factor
integrante-
y − 3y = e2x
y + tan (x)y = sin 2x
y + xy = x3
dx
dt + x = e2t
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 24/49
25. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Justicación del Método del factor Integrante
Para entender la justicación del método volvemos a la
ecuación en forma estándar
y + p(x)y = q(x)
para determinar el factor integrante multiplicamos la ecuación
anterior por una función µ(x) y tenemos:
µ(x)y + µ(x)p(x)y = µ(x)q(x)(∗∗)
La clave ahora esta en observar que el lado izquierdo es la
derivada del prouducto µ(x)y.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 25/49
26. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Justicación del Método del factor Integrante
Nos detenemos un instante y observamos que la derivada del
producto permite que:
dµ(x)
dx
= µ(x)p(x)
Despejando tenemos que:
dµ(x)/dx
µ(x)
= p(x)
y esto conduce a:
ln µ(x) = p(x)dx + K
y así obtenemos la función que buscamos:
µ(x) = e p(x)dx
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 26/49
27. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Justicación del Método del factor Integrante
Si volvemos a la ecuación (∗∗), observamos que:
[µ(x)y] = µ(x)q(x)
tenemos:
µ(x)y = µ(x)q(x)dx + c
Donde c es una constante arbitraria y despejando y:
y =
1
µ(x)
[ µ(x)q(x)dx + c]
En general no siempre se puede hallar la solución de la integral
por medio de funciones elementales.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 27/49
28. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ejercicios II
Halle la solución general de las siguientes ecuaciones
diferenciales usando el método del factor integrante
1 (x2 + 1)y − 2xy = x3 + x
2 x2y + 4xy = 2
x
3 y − x2y = 4x2
4 y − 11y = 4e6x
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 28/49
29. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Contenidos
1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ecuaciones Lineales
2 Ecauciones Lineales
Ecuaciones Variables Separables
3 Método del factor Integrante
Método del factor Integrante
4 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Ejemplos de Aplicaciones Sencillas
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 29/49
30. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ley de Galileo
Ejemplo
Galileo (1546 − 1642) realizó experimentos para determinar que
la aceleración de un cuerpo que cae en el vacío cerca de la
supercie de la tierra es constante. Dado que la aceleración es
el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, tenemos:
dv
dt
= −g; (Ley de Galileo)
Donde v es la velocidad del movil, y g es la aceleración de la
gravedad. Consideremos el instante t0 donde la velocidad es v0,
entonces integrando tenemos que:
dv =
t
t0
−gdt
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 30/49
31. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
2da
Ley de Newton
Ley de caída Libre de Galileo
De la ecuación anterior tenemos:
v(t) = v0 − g(t − t0)
Ejemplo
Si suponemos ahora que el cuerpo no cae en el vacío, es decir el
aire, por ejemplo, será un medio que resite el moviemiento del
cuerpo; generando una fuerza de fricción que se opone al
movimiento. De acuerdo a la 2da Ley de Newton tenemos que:
m
dv
dt
= f; Segunda ley de Newton
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 31/49
32. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
2da
Ley de Newton
Segunda Ley de Newton
Consideremos la aceleración de la gravedad ag y la fuerza de
fricción del medio (aire) fr tenemos que f = ag + fr. Por lo
tanto:
m
dv
dt
= f = −mg − ρv
donde ρ es la constante positiva conocida como coeciente de
fricción. Analogamente
dv
dt
= −g −
ρ
m
v
Si la ponemos en forma estándar
dv
dt
+
ρ
m
v = −g
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 32/49
33. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución de la ED Estándar
Sol. Por Factor Integrante
Observamos que q(x) = −g y p(x) = ρ
m ; por lo tanto
µ(x) = e
ρ
m
dt
de donde la solución viene dada por:
v(t) = ce− ρ
m
t
−
mg
ρ
(∗)
Si en el instante t0 la velocidad es v0 hallamos la constante c y
tenemos
v0 = ce− ρ
m
t0
−
mg
ρ
Si despejamos c y reemplazamos en (∗)
v(t) = (v0 +
mg
ρ
)e− ρ
m
(t−t0)
−
mg
ρ
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 33/49
34. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Caída Libre de un Cuerpo
Ejemplo
Un objeto que pesa 4kg cae desde una gran altura partiendo del
reposo. Si el aire ejerce una resistencia de 1
2v donde v es la
velocidad en m/s. Hallar la velocidad v(t) y la distancia
recorrida y(t) a los t segundos.
Figura : Caída Libre de un Cuerpo
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 34/49
35. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución
Solución
Si tomamos la dirección positiva hacia abajo, la Segunda Ley de
Newton toma la forma:
m
dv
dt
= f = F1 − F2
Donde m = w
g = 4
10 = 2
5; F1 = 4; F2 = 1
2v. Obtenemso la ED.
2
5
dv
dt
= 4 −
1
2
v
Cuya soluciones son (si y(0) = 0):
v(t) = 8(e
5
4
t
− 1); y, y(t) =
32
5
e
5
4
t
− 8t −
32
5
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 35/49
36. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ley de Enfriamiento
Ley de Enfriamiento de Newton
La tasa de cambio de la temperatura con respecto al tiempo
T(t), dT
dt , de un cuerpo inmerso en un medio de temperatura
Tm es proporcional a la diferencia de temperatura entre el
cuerpo y el medio, es decir:
dT
dt
= −k(T − Tm)
Siempre y cuando k 0 es la constante de proporcionalidad.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 36/49
37. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ley de Enfriamiento de Newton
Ejemplo
Un cuerpo se enfría en un recinto con aire a temperatura
constante Tm = 20◦C. Si la temperatura del cuerpo cambia de
100◦C a 60◦ en 20 minutos, determine que tanto tiempo debe
transcurrir para que la temperatura caiga hasta 30◦.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 37/49
38. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ley de Enfriamiento
La Ley de Enfriamiento de Newton requiere que:
dT
dt
= −k(T − Tm); (Variables Separables)
La solución general es:
dT
(T − Tm)
= −k dt + C ⇒ ln |T − Tm| = −kt + ln C
por lo tanto
T = Tm + Ce−kt
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 38/49
39. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Cont. Solución
En el tiempo t = 0, T = 100◦C:
100 = 20 + Ce−k∗0
= 20 + C ⇒ C = 80
En el tiempo t = 20, T = 60◦C:
60 = 20 + Ce−k∗20
⇒ k = −
1
20
ln
60 − 20
80
= 0,03466
. Por tanto
T = 20 + 80e−k0,03466t
⇒ t = −
1
0,03466
ln
T − 20
80
Cuando T = 30
t = −
1
0,03466
ln
30 − 20
80
= 60min.
Se necesitan entonces 60 − 20 = 40 minutos para que la
temperatura caiga a 30◦.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 39/49
40. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Problema de Mezclas
Ley de Mezclas
En los problemas de mezclas se desea calcular la cantidad de
una sustancia x(t) que hay en un recipiente en cualquier
instante t. La tasa de cambio de la sustancia presente en la
mezcla satisface la relación
dx
dt
= R1 − R2
Donde
R1 = Tasa de entrada de la sustancia
R2 = Tasa de Salida de la sustancia
Estas cantidades se denen por
R1 = q1c1; yR2 = q2c2
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 40/49
41. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Mezclas
Si q1 = velocidad del fujo entrante, c1 = concentración de la
sustancia en la entrada; q2 = velocidad del ujo saliente; c2 =
concentración de la salida x
V Donde x = x(t) y V = V (t) son
la cantidad de sustancia presente y el volumen en el tiempo t,
respectivamente tenemos:
1 q1 = q2 el volumen es constante
2 q1 q2 el volumen aumenta
3 q1 q2 el volumen disminuye
El volumen V = V0 + (∆q)t, donde ∆q = q1 − q2
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 41/49
42. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Mezclas
Ejemplo
Un tanque con capacidad de 400 litros contiene inicialmente 200
litros de una mezcla de sal y agua (salmuera) con 30 gramos de
sal disueltos. Le entra una solución con 1 gramo de sal por litro
a una tasa de 4l/min; la mezcla se mantiene uniforme mediante
agitación y de él sale a una tasa de 2l/m. Calcule la cantidad de
gramos de sal que hay en el tanque al momento de desbordarse.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 42/49
43. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución
El modelo de la ecuación diferencial es
dA
dt
= R1 − R2
Donde R1 = (4l/m)(1gr/min) = 4gr/min;
R2 = (2l/min)(Agr/l) = 2Agr/min y V es el volumen del
tanque en el instante t. Además la ganancia de volumen en el
tanque es 2l/min, por tanto:
tf =
Diferencia de Volumen
Ganancia de Flujo
=
200
2
min = 100
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 43/49
44. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Solución
Al sustituir R1 y R2 tenemos la ED:
dA
dt
= 4 −
A
t + 100
; donde A(0) = 30
Resolviendo la ED:
A(t) = 2(t + 100) +
C
t + 100
; 0 ≤ t ≥ 100
C = −17000 Luego
A(t) = 2(t + 100) +
−17000
t + 100
La cantidad de agua al desbordarse es A(100) = 315
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 44/49
45. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Bala a Través de un Blanco
Bala a Través de un Blanco
Una bala se dispara perpendicularmente a un blanco con una
velocidad inicial de v0 = 100m/s. cuando la bala atraviesa el
blanco, su velocidad es v1 = 80m/s. Si el ancho del blanco es
b = 0,1m y la fuerza del resistencia del blanco sobre la bala es
proporcional al cuadarado de la velocidad de la bala. R = βv2.
Determine el tiempo T que demora la bala en travesar el blanco.
Figura : Gráco del Problema
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 45/49
46. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Bala a Través de un Blanco
Aplicando la ley de Newton tenemos:
→ ma = F : mdv
dt = −βv2 (variables separables) La solución
general esta dada por:
−
dv
v2
=
β
m
dt + C =⇒
1
v
= kt + C
donde k = β
m y la constante C se calcula con las condiciones
iniciales t = 0, v = v0. Así C = 1
v0
. Por lo tanto
1
v
= kt +
1
v0
=⇒ v =
dx
dt
=
1
kt + 1
v0
(7)
la cual se puede integrar directamente.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 46/49
47. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Bala a Través de un Blanco
Integrando con respecto a t
x =
1
k
ln kt +
1
v0
+ C1 (8)
donde C1 es una constante que se detremina por la condicón
inicial t = 0, x = 0 y toma el valor C1 = −1
k ln 1
v0
por tanto
x =
1
k
ln kt +
1
v0
−
1
k
ln
1
v0
(9)
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 47/49
48. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Ecuaciones
Lineales
Ecauciones
Lineales
Ecuaciones
Variables
Separables
Método del
factor
Integrante
Método del
factor
Integrante
Aplicaciones
de las
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer
Orden
Bala a Través de un Blanco
de la ecuación (7), t = T, v = v1
→
1
v1
= kT +
1
v0
(10)
y de la ecuación (9) t = T; x = b :
b =
1
k
ln kt +
1
v0
−
1
k
ln
1
v0
=⇒ k =
1
b
ln
v0
v1
Usando la ecuacón (10)
T =
1
k
1
v1
−
1
v0
= b
1
v1
− 1
v0
ln v0
v1
= 0,1 ×
1
80 − 1
100
ln 100
80
= 0,000819s
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 48/49
49. Ecuaciones
Diferenciales
Rubén Darío
Lara Escobar
Apéndice
Lecturas Re-
comendadas
Lecturas Recomendadas I
Mesa, F.; Martínez, A.; González,J.(2012).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Ed. ECOE EDICIONES
Boyce, W.; Diprima, R.(2009).
Elementary Dierential Equations and Boundary Value
Problems.
John Wiley and sons, Inc. Ninth edition.
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 49/49