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Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021.
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04RG-2021-UNTELS-V.ACAD
SUPERFICIES EN EL ESPACIO
MATEMÁTICA III
Roberto Navarro Pareja

INTRODUCCIÓN
En topología, una botella de Klein es una
superficie no orientada cerrada que no tiene
ni interior ni exterior.
Fue concebida por el matemático alemán
Cristian Félix Klein, de donde se deriva el
nombre.
Se puede obtener una representación
tridimensional de una botella de Klein
introduciendo el extremo delgado de una
botella o de un matraz a través de uno de los
lados del recipiente y uniéndolo a la base.
Hay que recalcar que dicha representación no
es una Botella de Klein. Físicamente puede
ser realizada solo en un espacio de cuatro
dimensiones, puesto que debe pasar a través
de si misma son la presencia de un hoyo.
Botella de Klein

AGENDA
❖Superficies en el espacio.
❖Gráfica de una superficie.
❖Superficies cuádricas, cilíndricas y
cónicas.
❖Coordenadas: cilíndricas y
esféricas.

LOGRO
Al finalizar la sesión el
estudiante será capaz de realizar
e identificar las diferentes
gráficas de superficies en el
espacio de forma correcta.

Paraboloide
Cilindro Hiperboloide de una Hoja
Esfera
Elipsoides
Hiperboloide de dos Hojas
ALGUNAS APLICACIONES DE
LAS SUPERFICIES

SUPERFICIES EN EL ESPACIO
Una superficie es la representación gráfica del conjunto no vacío
de puntos (x, y, z) que satisfacen una ecuación en 3 variables
𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝟎

SUPERFICIES CUÁDRICAS
Llamaremos superficies cuádricas a toda ecuación de segundo
grado en las variables x, y, z que tiene la forma:
Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz +Gx + Hy + Iz + J = 0
donde A, B, C, D, E, F, G, H, I, J son constantes, y por los
menos una es diferente de cero.
Hay seis tipos básicos de superficies cuádricas: elipsoide,
hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono
elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.

DISCUSIÓN DE LA GRÁFICA DE LA
ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE
Para construir la gráfica de una superficie consideremos la
siguiente discusión, mediante los siguientes pasos:
1) Intersección con los ejes coordenados.
2) Trazas sobre los planos coordenados.
3) Simetrías con respecto a los planos coordenados, ejes
coordenados y el origen.
4) Secciones transversales o secciones paralelas a los planos
coordenados.
5) Extensión de la superficie.
6) Construcción de la superficie.

Discutir y hacer la gráfica de la superficie cuya ecuación es:
x² + y² - z² = 1
Ejemplo

ESTUDIO DE LAS PRINCIPALES
SUPERFICIES CUÁDRICAS

SUPERFICIES CILÍNDRICAS
Si C es una curva en un plano y L es una recta no paralela al
plano, entonces el conjunto de todos los puntos (x, y, z) generado
al mover una línea que recorra a C paralela a L se denomina
cilindro. La curva C recibe el nombre de directriz del cilindro.
Así, una ecuación de una curva en un plano de coordenadas,
cuando se consideran tres dimensiones, es una ecuación de un
cilindro perpendicular a ese plano de coordenadas.
La recta en movimiento
sobre C paralela a L genera
un cilindro

Sea la curva C definida por 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐1 en el plano xy y una
colección de líneas rojas llamado bastidor que representa
diversas posiciones de una línea generadora que recorre a C
mientras se mueve paralela al eje z.
Bastidor del cilindro
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐1
SUPERFICIES CILÍNDRICAS

Ejemplos
Cilindro con bastidor paralelo al eje z Cilindro con bastidor paralelo al eje x
Cilindro con bastidor paralelo al eje y Cilindro con bastidor paralelo al eje z

SUPERFICIES CÓNICAS
Llamaremos superficie cónica a la superficie que es generada
por una recta que se mueve de tal manera que siempre pasa
por una curva plana dada fija y por un punto fijo que no esta
contenido en el plano de la curva fija dada.
La recta móvil se llama generatriz y la curva fija dada directriz
y el punto fijo se llama vértice de la superficie cónica.
El vértice divide a la superficie cónica en dos porciones cada
una de los cuales se llama hoja o rama de la superficie cónica.

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN
DE LA SUPERFICIE CÓNICA
Consideremos la ecuación de la directriz en uno de los planos
coordenados, por ejemplo en el plano YZ, cuya ecuación es:
( , ) 0
:
0
F y z
D
x
=


=

Con vértice en 𝑉0 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN
DE LA SUPERFICIE CÓNICA
Como 𝑃′(𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′
) pertenece a la directriz, por lo tanto lo
satisface es decir:
𝐷: ቊ
𝐹(𝑦′, 𝑧′) = 0
𝑥′ = 0
La ecuación de la generatriz que pasa por V y P' es dado por.
De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar los parámetros x', y',
z' se obtiene la ecuación de la superficie cónica.
0 0 0
0 0 0
:
' ' '
x x y y z z
G
x x y y z z
− − −
= =
− − −

Hallar la ecuación de la superficie cónica cuya directriz es la
elipse 4x² + z² = 1 a y = 4 y cuyo vértice es el punto V(l, 1, 3).
Ejemplo

COORDENADAS CILÍNDRICAS
En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el
espacio se representa por medio de una terna ordenada (𝑟, 𝜃, 𝑧).
1) (𝑟, 𝜃) es una representación polar de la proyección de P en
el plano xy.
2) 𝑧 es la distancia dirigida de (𝑟, 𝜃) a P.

Cilíndricas a
rectangulares:
𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽,
𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽,
𝒛 = 𝒛
Rectangulares a
cilíndricas:
𝒓𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
𝒕𝒂𝒈𝜽 =
𝒚
𝒙
𝒛 = 𝒛
Al punto (0, 0, 0)
se le llama el
polo.
COORDENADAS CILÍNDRICAS

Conversión de coordenadas
rectangulares a coordenadas
cilíndricas
Convertir el punto 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (1, 3, 2)
a coordenadas cilíndricas.
Conversión de coordenadas
cilíndricas a coordenadas
rectangulares
Convertir el punto 𝑟, 𝜃, 𝑧 = 4,
5𝜋
6
, 3
a coordenadas rectangulares.
Ejemplo:

En un sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio se
representa por medio de una terna ordenada (𝜌, 𝜃, 𝜙).
1. Es la distancia entre P y el origen, 𝜌 ≥ 0.
2. 𝜃 es el mismo ángulo utilizado en coordenadas cilíndricas para 𝑟 ≥ 0.
3. 𝜙 es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de recta 𝑂𝑃,
0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋.
Observemos que 𝜌 y 𝜙, son no negativas.
COORDENADAS ESFÉRICAS

COORDENADAS ESFÉRICAS
Esféricas a rectangulares:
𝒙 = 𝝆𝒔𝒆𝒏𝝓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒚 = 𝝆𝒔𝒆𝒏𝝓𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒛 = 𝝆𝒄𝒐𝒔𝝓
Rectangulares a esféricas:
𝝆𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒕𝒂𝒈𝜽 =
𝒚
𝒙
𝝓 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
𝒛
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐

Hallar una ecuación en coordenadas esféricas para la superficie
representada por cada una de las ecuaciones rectangulares.
2 2 2
a) Cono: x y z
+ =
2 2 2
b) Esfera: 4 0
x y z z
+ + − =
Ejemplo:

TRABAJO GRUPAL
En equipos de cuatro estudiantes, desarrollamos las actividades
propuestas en la hoja de ejercicios – semana 6 señalado por el
docente.

REFLEXIONANDO SOBRE LO
APRENDIDO
❑ ¿Qué tipo de problemas cotidianos se podrían resolver aplicando
las superficies en tu carrera profesional?
❑ ¿Qué dificultades se presentaron en el desarrollo de este tema?
❑ ¿De qué manera resolví las dificultades encontradas?,
❑ ¿Qué he aprendido en esta sesión?

BIBLIOGRAFÍA
• Stewart, J. (2013). “Cálculo de Varias Variables: Trascendentes
Tempranas”. Cengage Learning.
• Marsden, E. y Tromba, A. (1991). “Cálculo Vectorial”. USA.
Addison-Wesley Iberoamericana.
• Pita, C. (1995). “Cálculo Vectorial”. México. Prentice Hall
Hispanoamericana, S.A.
• Larson, R., Edwards, B. (2010). ”Cálculo 2 de Varias Variables”.
9na Edición. México. Mc Graw-Hill.

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