1) Las funciones exponenciales fueron inventadas por John Napier y Jobst Bürgi de forma independiente alrededor de 1590. 2) Representan funciones donde la variable independiente está en el exponente y tienen características como dominio en los reales, recorrido positivo y ser siempre crecientes o decrecientes. 3) Tienen aplicaciones en diversas áreas como química, economía, investigaciones policiales y medicina donde se usan para modelar fenómenos que siguen un crecimiento o decaimiento exponencial.

1. Función exponencial
Reseña histórica:
Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier (1550-1617) y Jobst Bürgi (1552-1632) de
manera independiente. Napier, cuyo trabajo tuvo mayor influencia, era un lord escocés, de carácter muy
reservado cuyos vecinos pensaban que tenía un pacto con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy
diferente al nuestro; se basaba en la relación entre secuencias aritméticas y geométricas y no en la actual
como función inversa (recíproca) de las funciones exponenciales. La tablas de Napier, publicadas en 1614,
contenían los llamados logaritmos naturales y eran algo difíciles de usar. Un profesor
londinense, Henry Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus conversaciones, ambos
desarrollaron la idea de los logaritmos comunes y Briggs convirtió las tablas de Napier en las tablas de
logaritmos comunes que fueron publicadas en 1617. Su importancia para el cálculo fue inmediatamente
reconocida y alrededor de 1650 se imprimían en lugares tan lejanos como China. Dichas tablas siguieron
siendo una poderosa herramienta de cálculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo
precio alrededor de 1972, lo que ha disminuido su importancia como instrumento de cálculo, pero no su
importancia teórica. Un efecto colateral de la invención de los logaritmos fue la popularización de la
notación del sistema decimal para los números reales.

2. Características matemáticas:
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente x en el exponente, es decir, son de la forma:
Las características generales de las funciones exponenciales son:
1) El dominio de una función exponencial es R.
2) Su recorrido es (0, +∞) .
3) Son funciones continuas.
4) Como a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1).
La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.
5) Como a1 = a , la función siempre pasa por el punto (1, a).
6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
7) Son siempre concavas.
8) El eje X es una asíntota horizontal.

3. Ejemplos:
Estas características se aprecian mejor con una
representación gráfica como la que aparece al lado izquierdo.
Ambas gráficas son continuas, pasan por el punto (0,1) y tienen
como asíntota horizontal al eje de x. La gráfica color verde
representa una función decreciente, el valor de la base está
entre cero y uno. La gráfica color azul representa una función
creciente, el valor de la base es mayor de uno.
Ejemplo 2: Dibuje la
gráfica de F(x)=2x+1 .
Dominio: (-∞,∞)
Alcance: (1,∞)
Como a=2>1 por lo tanto la gráfica de la función
es creciente en todo su dominio.
Pasa por el punto (0,2), que es el intercepto en
el eje de y, no hay intersecciones en el eje de x.
limx→-∞(2x+1)=1 → y=1 es una asíntota horizontal
por la izquierda

4. Ecuaciones Exponenciales
Al igual que se resuelven las ecuaciones, buscando el valor
de la variable que hace cierta la igualdad. En las ecuaciones
exponenciales se aplica el procedimiento de igualar las bases
para luego igualar los exponentes y finalmente se despeja para
la variable.
Ejemplo 3 :Resuelve la ecuación
exponencial 2x-2 = 16.
Inicialmente se igualan las bases de ambos lados de la
ecuación. En este caso la base común es 2. Se necesita
obtener el exponente de la base 2 que la transforma en
16. Después de pensar un poco notamos que el exponente
correcto de la base 2 es 4. Luego aplicamos la regla, ‘’si
las bases son iguales, los exponentes también son
iguales’’. Finalmente se despeja la variable de la
ecuación.

5. a se denomina base y k, coeficiente de la función
exponencial proviene de que la variable
figura en el exponente.
Analizaremos ahora la función f (x) = a x donde (k =
1)
Para ello graficaremos la siguiente función:
( ) x f x = 2

6. El dominio natural de la función exponencial es el conjunto de los números
Reales
dom( f ) =.
Mientras que la imagen son los reales positivos Im( f ) = > 0 , siendo el eje de las
abscisas
una asíntota2 horizontal.
La función es creciente3 y pasa por el punto (0,1), que es la ordenada al origen.
Al tener asíntota en el eje de las abscisas, la función no tiene raíces.
Qué pasará ahora con la función

7. Aplicación en distintas ramas:
Aplicación química:
Se sabe que la masa de cierto material radioactivo disminuye en función del tiempo (t) según la
función m(t)= 60 . 2-5.t estandom en gramos y t en horas. ¿Después de cuánto tiempo la masa
del material es de 30 gramos?
Aplicación en economía:
Se calcula que el monto del capital, en millones de pesos, que tiene depositado un señor en
el banco, en cualquier momento (t) meses puede ser calculado mediante la función f(t) =
7,5 . 1,02t .
Función: C = C0 ( ½ ) kt, donde C0 es la cantidad inicial de carbono, t es.
el número de años que pasan. si la vida media del carbono 14 es 5730.
años
Aplicaciones en la vida Investigaciones policiales:
Una persona es encontrada Muerta en su Departamento, la Brigada de Homicidios llego a
las 10 de la noche, los datos recogidos por los Detectives fueron temperatura de la
habitación 21ºC (A) , la temperatura del cadáver al ser encontrado fue de 29ºC y una
hora después era 28ºC .Considerando la función: T(t) = A + (B – A ) e –kt
Calcular el valor de K si t = 1
Con el dato anterior Determine la hora en que fue encontrado el cuerpo
Inerte si este tenía una temperatura de 37ºC cuando estaba vivo.

8. Aplicaciones en la vida diaria Caso heroico:
Un joven muy valiente arriesga su vida por salvar a un niño. La radio informa después de una hora el 25%
de la población escucha la noticia, Si el porcentaje de personas que escucha sigue el modelo exponencial:
F(t) = N ( 1 – 10-kt ), k se expresa en porcentaje, t en segundos
Determinar cuánto tiempo trascurre para que el 90% de la población sepa la noticia
Aplicaciones en Medicina:
El contenido en gramos de un medicamento en el organismo humano, después de t horas de
ingerido, se modela de acuerdo a la ecuación:
y = 100x5-0,5t , t ≥ 0
¿Después de cuántas horas de ingerido el medicamento quedan 20 miligramos en él organismo?
¿Cuántos miligramos de medicamento quedan en el organismo después de 4 horas de ingerido?
Las funciones exponenciales son las que tienen más presencia en los fenómenos observables, por lo que
existen diversidad de situaciones cuyo estudio implica el planteamiento de ecuaciones exponenciales o
logarítmicas.
Ejemplo de ello es la escala Rither. En ella se define la magnitud M de un terremoto en función de la
amplitud A de sus ondas superficiales así:M=log A+C donde C =3,3+1,66 logD-logT es una constante que
depende del periodo T de las ondas registradas en el sismógrafo y de la distancia D de éste al epicentro,
en grados angulares. Si quisiésemos saber la amplitud (intensidad) de la onda sísmica tendríamos que
resolver una ecuación logarítmica.

9. Problemas de aplicación y sus soluciones:

13. Integrantes:
- Mujica , Enzo
- Pardini , Matias
- Stanek , Ezequiel
- Ziggiotto , Santiago