Este documento presenta información sobre el contenido de la asignatura de Matemáticas Discretas para el segundo bimestre. Incluye conceptos sobre manipulación de relaciones, cierres, árboles y recorridos en árboles, y lenguajes. Se definen relaciones como intersección, unión e inversa y se muestran ejemplos. También se explican los cierres reflexivo, simétrico y transitivo y el algoritmo de Warshall para calcular la cerradura transitiva. Finalmente, se introducen conceptos sobre árboles como prop

1. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR
SEDE IBARRA
ESCUELA DE INGENIERIA
MATEMÁTICAS DISCRETAS
Ing. Carpio Pineda
DOCENTE

2. MATEMÁTICAS DISCRETAS
II BIMESTRE
 Contenido:
o MANIPULACIÓN DE LAS RELACIONES
o CERRADURAS
o ÁRBOLES Y RECORRIDOS EN LOS ÁRBOLES
o LENGUAJES

3. MANIPULACIÓN DE RELACIONES
Sean R y S relación de A en B:
•Relación Complementaria Ř: aŘb  a no R b
•Relación Intersección RS: a(RS)b significa aRb y aSb
•Relación Unión RS: a(RS)b significa aRb o aSb
•Relación Inversa R-1 : (Relación de B en A) b R-1a aRb
Ejemplo:
A = {a, b, c} y B = {1, 2}
AxB = {(a, 1)(a, 2)(b, 1)(b, 2)(c, 1)(c, 2)}
R A en B = {(a, 1)(b, 2)(c, 1)(c, 2)}
S A en B = {(a, 2)(b, 2)(c, 1)}
Ř= {(a, 2)(b, 1)} pares de U que no tenga R
Š= {(a, 1)(b, 1)(c, 2)}  pares de U que no tenga S
RS= {(b, 2)(c, 1)} pares que están e R y S
RS= {(a, 1)(a, 2)(b, 2)(c, 1)(c, 2)} todos los pares que están en R y S
R-1 = {(1, a)(2, b)(1, c)(2, c)} todos los elementos de R invertidos

4. Representación con Matrices:
1 2
a 0 1
MŘ = b 1 0
c 0 0
1 2
a 0 1
M RS = b 1 0
c 0 0
1 2
a 1 1
M RS = b 0 1
c 1 1
a b c
a 1 0 1
M R-1 = b 0 1 1

5. CERRADURAS
Si R es una relación en un conjunto A podría suceder que R careciera de alguna de las
importantes propiedades como, Reflexión, Simétrica o la Transitiva. Si R no pose una
propiedad particular, se podría desear añadir a R pares relacionados hasta obtener una
relación que tuviera la propiedad que se requiere. Naturalmente se desearía añadir el menor
# posible de pares y por ello es necesario encontrar la mas pequeña relación R en A que
contenga R y que posea la proposición deseada. AR1 se le denomina la cerradura de R en
respecto a la propiedad en cuestión.
Cerradura Reflexiva:
1 0 1 1 0 0 0
MR = 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0  Todos (0)
1 0 0
MR v I = 0 1 0 JUNTA(o)
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
= 0 0 1 0
0 0 0 1 MRI=MR v I  Cerradura Reflexiva

6. Cerradura Simétrica:
1 1 1
MR = 0 0 1
1 1 0
Elementos Equidistantes:
MR [0,1]MR [1,0]
MR [1,2]MR [2,1]
MRI v MR-1 = MRI  Cerradura Simétrica
1 0 1 1 1 1
MR-1 = 1 0 1  MR = 1 0 1  Si Cumple
0 0 1 1 1 0

7. ALGORITMO DE WARSHALL
Se inicia Wo = Me y se usa la siguiente ecuación:
Wij(k) = Wij(k-1)  (Wik(k-1) Wkj(k-1)) o ≤ i, j, k ≤ n
Para calcular cada Wk de Wk-1;hasta alcanzar Wn=MR ∞(Cerradura Transitiva)
Procedimiento para el cálculo de Wk de Wk-1:
•Transferir a Wk todos loa unos en Wk-1.
•Enlístese las localidades p1, p2…de la columna k-1 de Wk-1, donde el componente
sea 1.
•Enlístese las localidades q1, q2…de la fila k-1 de Wk-1, donde el componente sea 1.
•Acumular 1 en todas las posiciones pi, qj de Wk.
R = {(a, b)(b, a)(b, c)(c, d)}  Relación no Transitiva

8. K=1
a b c d a b c d
a 0 1 0 0 a 0 1 0 0
b 1 0 1 0 b 1 0 1 0
Wo = MR = c 0 0 0 1 W1 = c 0 0 0 1
d 0 0 0 0 d 0 0 0 0
Col Fil
m[1][0] m[0][1]  m[1][1]=1 en (Wk)
m[1][0]  m[0][0]=1
m[0][1] m[1][1]  m[0][1]=1
m[1][2]  m[0][2]=1
m[1][0]  m[1][0]=1
m[1][1] m[1][1]  m[1][1]=1
m[1][2]  m[1][2]=1

9. K=2
a b c d
a 0 1 0 0
b 1 1 1 0 m[0][2]  m[2][3]  m[0][3]=1
W2 = c 0 0 0 1 m[1][2]  m[2][3]  m[1][3]=1
d 0 0 0 0
K=3
a b c d
a 1 1 1 0
b 1 1 1 0 m[0][3]
W3 = c 0 0 0 1 m[1][3]
d 0 0 0 0 m[2][3]
a b c d
a 1 1 1 1
b 1 1 1 1
W4 = c 0 0 0 1  MR∞ Cerradura Transitiva
d 0 0 0 0
R = {(a, a)(a, b)(a, c)(a, d)(b, a)(b, b)(b, c)(b, d)(c, d)}  Relación Transitiva

10. ÁRBOLES
Árbol: Es un grafo conexo y sin circuitos ni lazos.
Ejemplos:
n1: o n6: 6 arboles
n2: o–o n7: 11
n3: o–o–o n9: 47
n4: o–o–o–o n10: 106
n5: o–o–o–o–o etc,...
Un grafo es un árbol  entre cada par de vértices existe un y solo un camino simple.
Bosque: Grafo cuyas componentes conexas no tienen circuitos.
Teorema:
Sea G (V,E) a) G es un árbol
b) Cada par de vértices distintos de V esta conectado por un único camino.
c) G es conexo y toda arista de G es de separación (*Arista de separación es aquella tal que
si el grafo es conexo, al suprimirla se divide en 2 conexos).
d) G no tiene circuitos y |V|=|E|+1
e) G es conexo y |V|=|E|+1
f) G no tiene circuitos pero al añadirle una arista a G se crea un único circuito
Estas son condiciones equivalentes: abcdefa

11. Demostración:
ab Por que por definición es conexo y sin circuitos propios
bc Es conexo por b. Si hubiese más de un camino entre 2 vértices existiría un circuito.
Por definición de árbol esto no puede ocurrir.
cd Por que en circuito no existe separación
|V|=|E|+1
Inducción en |V|: Base de inducción |V|=1 como mínimo 1 vértice v|E|=0 |V|=|E|+1
Paso inductivo: Suponemos que el teorema es cierto para grados con menos de n vértices
(n=|V|), G-{e}=G´
G1=(V1, E1) |V1|<n
G2=(V2, E2) |V2|<n
Por la hipótesis de inducción |V1|=|E1|+1, |V2|=|E2|+1
|V| = |V1|+|V2| = (|E1|+|E2|+1)+1 = |E|+1
de ¿G es conexo ?
Sean G1,G2,...,Gm componente conexa de G, ¿m=1? G1 conexo sin aristas G1 árbol *
|V1|=|E1|+1
Gm......................................... |Vm|=|Em|+1
+ ---------------------
|V|=|E|+m } m=1
la hipótesis |V|=|E|+1 }

12. ef Suponemos que  un circuito (con k aristas y k vértices) vamos allegar a una contradicción
Pueden suceder 2 casos:
1) k=n , |E|k=n, n=|V| pero por la hipótesis |V|=|E|+1 (|V|>|E|) ????
2) Los n-k vértices restantes necesitan al menos otras n-k aristas que les unan con los demás y quede G
conexo |E| k+(n-k)=n=|V| pero por hipótesis |V|=|E|+1 ?????
fg ¿G es conexo? Si tenemos 2 componentes conexas distintas y añadimos arista no se forma circuito y
se produce una contradicción
• Vemos que si no es conexo podría tener 2 supuestas componentes conexas
• Pero si le añadimos una arista no se crea un circuito, por lo tanto G tendrá que ser conexo
Árbol Generado - Subgrafo conexo de G que tiene los mismos vértices que G y no tiene circuitos
Otra def: Un árbol generado de G es un árbol T=(V´,E´) subgrafo de G y tal que V´=V
Un árbol generado se puede crear de 2 modos:
1) Suprimir aristas que no sean de separación
2) Partiendo de los vértices coger aquellas aristas de forma que no creamos ningún circuito
Para calcular el árbol de peso mínimo existen 2 algoritmos:
Kruskal: Se van cogiendo las aristas de menor peso hasta conseguir un árbol de peso mínimo
Prim: Consiste en ir borrando las aristas de mayor peso posible y que no sean aristas de separación.
Puede haber más de un árbol generado de peso mínimo, pero todos deben tener el mismo peso.

13. Árbol arraigado o enraizado: Es un árbol con un vértice distinguido llamado raíz.
Si le quitan la raíz quedan árboles arraigados con raíz T1,T2,..., en este tipo de árbol los
vértices se llaman nodos.
Se llama hijo de un nodo, al vértice adyacente que esta más alejado de la raíz que el nodo del
que es hijo. Los nodos sin hijos se llaman hojas.
Un árbol es n-ario cuando todos los nodos excepto los terminales tienen a lo sumo n hijos.
Ej(n=2 binario)
Árbol arraigado ordenado: árbol arraigado cuyos subárboles también son árboles
arraigados ordenados.
Nivel de un vértice: El número de aristas que le separan de la raíz. La raíz tienen nivel 0.
Altura de un árbol: Máximo nivel de sus vértices.
Sea A un conjunto finito sea T una relación en A se dice entonces que T es un árbol si existe
una trayectoria única en T de V0 a cualquier otro vértice en A pero ninguna trayectoria de V0
hacia si mismo.
Teorema: Sea (T,Vo) un árbol arraigado entonces;
a)No existe Ciclos en T.
b) Vo Es la única raíz en T.
c) Cada vértice en T,diferente a Vo tiene una entrada y Vo no tiene entrada.
Teorema: Sea (T,Vo) un árbol arraigado sobre un conjunto A entonces;
a)T es irreflexiva.
b) T es asimetrica.
c) Si (a,b) € T y (b,c) V  T entonces (a,c) V T,  la a,b y c en A

14. Ejemplo de Árbol de Expresiones:
2+3^2-(3+4*2^3/8-2)

15. LENGUAJES
Un lenguaje es una especificación completa.
Esta compuesta de tres objetos:
1.- Deberá existir un conjunto S que conste de toda las palabras que puedan
considerarse, que forman parte del lenguaje.
2.- Deberá asignarse un subconjunto de S como el conjunto de oraciones
construidas adecuadamente en el lenguaje.
3.- Se deberá determinar cuales de esas oraciones construidas adecuadamente
tienen significado y cual es el significado.
Sea S=Todas las palabras del castellano.
“El sonido azul silencioso se sentó bajo la montaña.
S= Todos los enteros,+,-,*,/,()
((3-2)+(4*7)/9)
G <x, n, p, s>
X= Símbolos terminales.
N= Símbolos auxiliares o no terminales.
P= reglas de producción.
S= Axioma inicial.
X={a, b}
N={V, w}

16. V aw
P V a
W bw
W b S:V
Notación BNF:
1.- A los símbolos no terminales los encerramos < >.
2.- remplazamos por ::=
3.- Si varias reglas pasa por un símbolo no terminal escribimos en una sola separada por:
| < V >::= a<w> |a
Diagrama Sintáctico
•Los símbolos terminales los encerramos:
•Los símbolos no Terminales los encerramos :

17. Ejemplo: