El documento habla sobre las integrales definidas. Explica que se originaron para medir áreas bajo curvas y que su desarrollo se dio en el siglo XVII. Luego define la integral definida como el área limitada entre una función, el eje x, y los puntos a y b. También menciona el teorema fundamental de cálculo y algunas propiedades para facilitar el cálculo de integrales. Por último, explica el método de rectángulos para aproximar el área calculando las áreas de rectángulos de altura igual a la función.

1. INTEGRALES DEFINIDAS Ing. Jesús Castillo Machaca

2. Concepto Histórico Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

3. Definición de Integral Definida La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

4. Teorema fundamental La integral definida de ƒ(x) (donde ƒ > 0) de a en b es denotada por:

5. PROPIEDADES FUNDAMENTALES Para facilitar el calculo de una integral definida se usan las siguientes propiedades:

6. PROPIEDADES FUNDAMENTALES

7. PROPIEDADES FUNDAMENTALES

8. Ejemplo:

9. CALCULO DE AREAS POR EL METODO DE RECTANGULOS Se divide el área en segmentos verticales, o rectángulos, con una altura igual al valor de la función en el punto medio para cada Rectángulo. Esta altura es una aproximación valida de la altura promedio de cada rectángulo. El área total bajo la curva puede calcularse al sumarse el área de todos los rectángulos. Esto es, para cada rectángulo, la altura de la función se multiplica por el ancho de este, finalmente se suman las áreas de cada rectángulo existente. Como en el método de cuadricula se pueden hacer mejores aproximaciones refinando los rectángulos. Para poder utilizar la regla del rectángulo, es necesario contar con datos tabulados, en el caso de que no se tengan estos, se puede generar esta tabla de valores usando la función continua que se quiere integrar y evaluar en un intervalo.

10. Por rectángulos inscritos Primero se grafica la función Delimitada por el intervalo [0,2] EJEMPLOS: Hallar el área de la siguiente función f(x) = x 2 4 2 2,25 1,5 1 1 0,25 0,5 0 0 y x

11. Segundo: Se realizan líneas paralelas a la función, como se muestra en la figura

12. Tercero: Se calcula las áreas de los rectángulos A1, A2, A3, A4