El documento trata sobre inecuaciones de primer, segundo y mayor grado. Explica cómo resolver inecuaciones de primer grado despejando la x e invirtiendo el sentido de la desigualdad cuando se multiplica o divide por un número negativo. También cubre inecuaciones de segundo grado, analizando en qué tramos de la recta real se cumple o no la desigualdad. Por último, ofrece un ejemplo de factorización de una ecuación de grado mayor que dos mediante el método de Ruffini.

1. TEMA
INECUACIONES
Profesor: Juan Sanmartín
Matemáticas
 Inecuaciones de Primer Grado
 Inecuaciones de Segundo Grado.
 Inecuaciones de Grado Mayor que dos
Recursos subvencionados por el…

2. Primer Grado
0 bax
Al igual que en una ecuación, pasamos las x
para un lado y lo que no tiene x para el otro
La forma de una ecuación de primer grado puede ser de la siguiente:
La solución de una inecuación no va a ser un número concreto, sino un
intervalo, es por lo que, debemos tener en cuenta el primer tema de este
curso.
0 bax0 bax
0 bax
495325392  xxxxx
Ejemplo

3. ¡¡¡ATENCIÓN!!! . Al tener que despejar la x y multiplicar o dividir por un
número negativo, la desigualdad invierte su sentido.
4
1
4
4 


 xxx
444  xxx
En ambos casos tiene que dar
el mismo resultado
1 2 3 4 5
Podemos comprobarlo pasando la x
para el otro lado y el número para el
sitio donde está la x
Solución de la inecuación
 4,

4. Ejemplo
12
52
3
13
3
42 



 xxx
   
12
52
12
134
12
424
12
52
3
13
3
42 









 xxxxxx
12
52
12
412
12
168 



 xxx
45162128  xxx
18
7
x
-3 -2 -1 0 17
18
Solución de la inecuación
718 x







18
7
,
52412168  xxx

5. 4
72
2
2
1 



x
x
x
x
Resuelve
Resolvemos…
728224  xxxx
¡¡¡ATENCIÓN!!! .El signo negativo delante de la fracción, cambia el signo del numerador de la misma.
4
728
4
224
4
72
2
2
1 







xxxxx
x
x
x
4
9
94  xx
-3 -2 -1 0 1
-9
4






 ,
4
9
Solución de la inecuación
Cambiamos el sentido
de la desigualdad
272284  xxxx

6. 01032
 xxEjemplo








10c
3b
1a
Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada
 






2
4093
12
101433 2
x



2
493
x
22
2
4
2
73
11 

 xx
55
2
10
2
73
22 



 xx
Importante, hay que tener en cuenta el signo
01030103 22
 xxxx
Segundo Grado

7. 




5x
2x
2
1
-5 2
6 0 3
01032
 xx
    08101836106366
2
x
Tramo I Tramo II Tramo III
Se cumple
    010100300
2
x
    081099103333
2
x Se cumple
No se cumple
SOLUCIÓN:     ,25, 
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto no es solución de la inecuación
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
Representamos
los puntos en la
recta real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo

8. Ejemplo









1c
4b
4a
Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada
Importante, hay que tener en cuenta el signo
0144 2
 xx
 






8
16164
42
14444
2
x
01440144 22
 xxxx
2
2
4
2
04


x
Obtenemos una única solución al
ser la raíz cero

9. 2x 
2
0 3
Tramo I Tramo II
Se cumple
SOLUCIÓN:  2
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
Representamos
el punto en la
recta real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo0144 2
 xx
    01104040
2
x
    02511236134340
2
x Se cumple
La inecuación se cumple en toda la recta real
menos en 2, ya que en ese punto vale 0

10. 094 2
x
Resuelve la siguiente inecuacióm…
Resolvemos…
4
9
4
92
 xx
2
3
4
9
2 x
2
3
4
9
1 x
La raíz de una fracción es la raíz del numerador entre la raíz del denominador (propiedades
de los radicales)
94094 22
 xx

11. 







2
3
x
2
3
x
2
1
-3
2
3
22 0 2
  079242
2
x
Tramo I Tramo II Tramo III
Se cumple
Se cumple
No se cumple
SOLUCIÓN: 











 ,
2
3
2
3
, 
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
Representamos
los puntos en la
recta real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo
094 2
x
  099040
2
x
  079242
2
x

12. 0123 2
 xxResuelve la siguiente inecuación
Donde…
 






6
1242
32
13422
2
x
6
82 
x La ecuación no tiene solución ya que la raíz negativa no existe.









1c
2b
3a
Como no tenemos punto de inflexión, comprobamos si la desigualdad se cumple o no en toda la recta real.
011230 2
 xxx La inecuación no tiene solución
0123 2
 xx

13. 6
154
4
3
2
52 222




 xxxxxxResuelve
12
3082
12
93
12
30126 222




 xxxxxx
30829330126 222
 xxxxxx
030309812236 222
 xxxxxx
  0130132
 xxxx
00 1  xx
13013 2  xx
Calculamos el m.c.m. para obtener denominador común
El signo negativo cambia la fracción
0132
 xx
Planteamos ahora
la ecuación

14. 




13x
0x
2
1
0 13
1 2 14
    01413111311
2
x
Tramo I Tramo II Tramo III
No se cumple
No se cumple
Se cumple
SOLUCIÓN:  13,0
En el Tramo I NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo III NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
Representamos
los puntos en la
recta real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo0132
 xx
    02226421322
2
x
    01518219614131414
2
x

15. Ecuaciones de grado mayor que 2
01213 234
 xxxx Descomponemos la ecuación
en factores.
041
1233
01211
12111
0121121
1211211
1211311







     043111213 234
 xxxxxxxx
Aplicamos RUFFINI para
factorizar la ecuación
01213 234
 xxxx

16. Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..
    












04
03
01
01
04311
x
x
x
x
xxxx
404
303
101
101
4
3
2
1




xx
xx
xx
xx
Solución
     043111213 234
 xxxxxxxx

17. 4
3
1
1
4
3
2
1




x
x
x
x
+1 +4-1-3
4 2 0
Tramo I Tramo II Tramo III
Tomamos puntos representativos de cada tramo
Tramo IV Tramo V
2 5
        0124124413444
234
x
        018122213222
234
x
        012120013000
234
x
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo II NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación

18.         030122213222
234
x
        0192125513555
234
x
En el Tramo IV NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo V se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
SOLUCIÓN:
      ,11,13, 

19. FIN DE TEMA
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