Este documento trata sobre los conceptos de dominio de funciones y límite de funciones. Explica que el dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente para que la función esté definida. Luego, define el dominio específico de funciones polinómicas, racionales, irracionales y logarítmicas. Finalmente, introduce la noción de límite de funciones y cómo se puede calcular el límite cuando la variable independiente tiende a un valor determinado.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de límites y continuidad de funciones. Explica la definición intuitiva y formal de límite de una función en un punto, así como los límites laterales y los límites en el infinito. También cubre las propiedades de los límites, los diferentes tipos de indeterminaciones y cómo resolverlas.
1. El concepto de límite describe el comportamiento de una función cuando su argumento se acerca a un punto o se vuelve extremadamente grande.
2. El límite de una función f(x) cuando x tiende a un número c, denotado limf(x), significa que f(x) puede hacerse arbitrariamente cercano a L al acercar x lo suficiente a c.
3. Un límite puede no estar definido en el punto c al que x se acerca.
1. La solución de la inecuación está dada por el intervalo Cs=(-∞;1/5).
2. El dominio de la función es Df={∀x∈R/x≠0} y la función es impar.
3. La función h(x) no es continua ya que no cumple las condiciones de continuidad.
1. El documento describe diferentes técnicas para derivar funciones algebraicas utilizando la regla general de derivación. 2. Explica cómo derivar constantes, variables independientes, productos de constantes por variables, sumas de funciones, productos y cocientes de funciones. 3. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de derivación.
Este documento presenta varios teoremas sobre derivadas. El Teorema 1 establece que la derivada de una función constante es cero. El Teorema 2 establece que la derivada de la función f(x)=x es igual a 1. El Teorema 3 establece una fórmula para derivar funciones de la forma f(x)=xn. También se presentan teoremas sobre cómo calcular la derivada de sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones. Finalmente, se presenta la regla de la cadena para calcular la derivada de funciones compuestas.
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con los límites de funciones. Define el límite de una función cuando x tiende a un valor a y presenta propiedades como que el límite de una función constante es la constante, el límite de una función identidad es el valor al que tiende x, y el límite de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de sus límites individuales. También incluye ejemplos de cálculo de límites usando estas propiedades.
Este documento introduce el concepto de límite de forma intuitiva a través de ejemplos numéricos. Explica que un límite representa el valor al que se acerca una función cuando su variable independiente tiende a un valor particular. Muestra cómo calcular límites mediante tablas que ilustran cómo la función se aproxima a un valor conforme la variable se acerca a cierto número. También introduce los límites de sucesiones numéricas y explica cómo determinar el valor al que tienden mediante la eliminación de la periodicidad en las expresiones.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de límites y continuidad de funciones. Explica la definición intuitiva y formal de límite de una función en un punto, así como los límites laterales y los límites en el infinito. También cubre las propiedades de los límites, los diferentes tipos de indeterminaciones y cómo resolverlas.
1. El concepto de límite describe el comportamiento de una función cuando su argumento se acerca a un punto o se vuelve extremadamente grande.
2. El límite de una función f(x) cuando x tiende a un número c, denotado limf(x), significa que f(x) puede hacerse arbitrariamente cercano a L al acercar x lo suficiente a c.
3. Un límite puede no estar definido en el punto c al que x se acerca.
1. La solución de la inecuación está dada por el intervalo Cs=(-∞;1/5).
2. El dominio de la función es Df={∀x∈R/x≠0} y la función es impar.
3. La función h(x) no es continua ya que no cumple las condiciones de continuidad.
1. El documento describe diferentes técnicas para derivar funciones algebraicas utilizando la regla general de derivación. 2. Explica cómo derivar constantes, variables independientes, productos de constantes por variables, sumas de funciones, productos y cocientes de funciones. 3. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de derivación.
Este documento presenta varios teoremas sobre derivadas. El Teorema 1 establece que la derivada de una función constante es cero. El Teorema 2 establece que la derivada de la función f(x)=x es igual a 1. El Teorema 3 establece una fórmula para derivar funciones de la forma f(x)=xn. También se presentan teoremas sobre cómo calcular la derivada de sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones. Finalmente, se presenta la regla de la cadena para calcular la derivada de funciones compuestas.
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con los límites de funciones. Define el límite de una función cuando x tiende a un valor a y presenta propiedades como que el límite de una función constante es la constante, el límite de una función identidad es el valor al que tiende x, y el límite de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de sus límites individuales. También incluye ejemplos de cálculo de límites usando estas propiedades.
Este documento introduce el concepto de límite de forma intuitiva a través de ejemplos numéricos. Explica que un límite representa el valor al que se acerca una función cuando su variable independiente tiende a un valor particular. Muestra cómo calcular límites mediante tablas que ilustran cómo la función se aproxima a un valor conforme la variable se acerca a cierto número. También introduce los límites de sucesiones numéricas y explica cómo determinar el valor al que tienden mediante la eliminación de la periodicidad en las expresiones.
El documento describe cómo los antiguos griegos utilizaron el método de exhausion para determinar fórmulas para áreas de regiones delimitadas por cónicas. El método involucra aproximar el área entre un polígono inscrito y uno circunscrito, donde a medida que el número de lados aumenta, las aproximaciones se acercan más al área real. También define las antiderivadas e integrales indefinidas y distingue entre integrales definidas e indefinidas.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Incluye ejercicios de cálculo de límites, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta información sobre derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como sobre asíntotas de funciones.
El documento presenta conceptos básicos sobre límites de funciones. Introduce la definición formal de límite y algunos ejemplos ilustrativos. Luego establece propiedades algebraicas para calcular límites de sumas, diferencias, productos, cocientes y potencias de funciones. Finalmente, explica cómo calcular límites de funciones polinómicas y racionales.
Este documento introduce el concepto de límite matemático y provee ejemplos para ilustrar cómo calcular límites. Define formalmente el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular. Explica cómo analizar formas indeterminadas y aplicar identidades para evaluar límites. Finalmente, analiza la continuidad de funciones en su dominio.
1. El documento presenta una serie de ejercicios sobre derivadas que incluyen calcular derivadas de funciones, estudiar monotonicidad, extremos relativos, puntos de inflexión, asíntotas y representar funciones gráficamente.
2. También incluye calcular ecuaciones de rectas tangentes a funciones en puntos dados y determinar valores para que funciones tengan ciertas propiedades.
3. Los ejercicios abarcan temas fundamentales sobre derivadas como calcular derivadas, estudiar funciones, representar gráficamente funciones y calcular rect
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
1) La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente en un punto.
2) Se explican las notaciones y definiciones matemáticas para calcular la derivada.
3) Se presentan ejemplos de cálculo de derivadas de funciones algebraicas y compuestas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas. Define la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica cómo calcular la pendiente de las rectas secante y tangente. Luego, presenta reglas para derivar funciones como constantes, potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente, aplica estas reglas a ejemplos numéricos.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. En la primera sección, se calculan límites de funciones racionales cuando el denominador se hace cero. Luego, se analiza la continuidad de cuatro funciones mediante su representación gráfica. Más adelante, se comprueba que una función se aproxima a una recta cuando x tiende a infinito. Finalmente, se calculan varios límites de funciones racionales, polinómicas y trigonométricas en diferentes puntos.
ALGEBRA SUPERIOR MÓDULO I - Funciones y LimitesDaniel Vliegen
Un libro corto y sencillo que aborda la introducción a la álgebra superior por las funciones, racionales, irracionales, trigonometricas y exponenciales y logaritmicas. Se trata de reconocer los puntos de discontinuidad de una función.
Como tratar un problema de limite cuando hay indeterminación. Limite por la derecha y por la izquierda
El libro contiene muchos ejemplos de calculo de funciones y de limites. Limites aplicadas a la funciones exponenciales y trigonométricas.
Este documento presenta un resumen de diferentes métodos para calcular integrales indefinidas, incluyendo tablas de integrales inmediatas, propiedades de la integral indefinida, integración por cambio de variable, integración por partes, integración trigonométrica por sustitución, integración de fracciones parciales y fórmulas de reducción. También presenta el segundo teorema fundamental del cálculo. El documento está dirigido a estudiantes de matemáticas y tiene como objetivo proporcionar una guía sobre cómo calcular diferentes tipos
Interpolacion actividad 4 larry gutierrez 7573674Larry Gutierrez
Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica. Explica la interpolación lineal y cuadrática, la forma normal y de Lagrange del polinomio de interpolación, y cómo calcular los coeficientes usando la tabla de diferencias divididas. También cubre la evaluación del polinomio, el error de interpolación y alternativas como los mínimos cuadrados y splines.
Este documento describe métodos de aproximación funcional y de interpolación. Explica que las funciones complejas se pueden aproximar con funciones analíticas más simples como polinomios. Detalla dos métodos de aproximación polinomial: el de ajuste exacto y el de mínimos cuadrados. También presenta el método de interpolación polinomial de Lagrange para aproximar funciones desconocidas dadas en forma tabular.
El documento presenta 4 ejemplos de funciones racionales y analiza su continuidad y tipo de discontinuidades en puntos donde anula el denominador. El primer ejemplo muestra una discontinuidad evitable. El segundo y tercer ejemplo presentan discontinuidades salto infinito. El cuarto ejemplo analiza discontinuidades salto infinito en dos puntos y tiene una asíntota horizontal.
Este documento trata sobre interpolación y aproximación polinomial. Explica que los polinomios son útiles para aproximar funciones continuas debido al teorema de Weierstrass. Describe dos métodos de interpolación polinomial: el método de Lagrange y el método de Newton. El método de Lagrange usa una fórmula general para determinar un polinomio que pasa por puntos de datos específicos. También analiza el error asociado con el polinomio de interpolación de Lagrange.
Este documento presenta una guía de ejercicios de cálculo para estudiantes de matemáticas en la Universidad Nacional Autónoma de Honduras. Incluye 78 ejercicios que cubren conceptos como límites, derivadas y gráficas de funciones. Los ejercicios piden calcular límites de funciones, construir gráficas que cumplan con ciertas condiciones, y aplicar reglas de límites como la suma, diferencia, producto y cociente de funciones. El documento también incluye teoremas sobre límites que serán
Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones. Define qué significa que una variable tiende a un número y presenta las notaciones para expresar límites. Explica cómo calcular límites en diferentes casos como cuando la función está definida o no en el punto, o cuando los límites laterales coinciden o no. También cubre cálculos de límites para funciones polinómicas, racionales e irracionales.
Este documento trata sobre la integral indefinida y sus aplicaciones. Explica conceptos como la integral indefinida, fórmulas básicas de integración, técnicas de integración como el método de sustitución y aplicaciones de la integral indefinida en problemas reales. Incluye ejemplos de cálculo de integrales indefinidas y ejercicios de aplicación de las fórmulas.
Este documento presenta 10 ejercicios de cálculo sobre límites de funciones. Los ejercicios incluyen calcular límites sustituyendo valores, factorizando funciones para evitar indeterminaciones, y demostrar propiedades de límites como la continuidad y el comportamiento al infinito usando definiciones. El documento guía al estudiante en resolver diferentes tipos de ejercicios sobre límites.
El documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad de funciones. Explica que un límite describe cómo se comporta una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular, sin alcanzarlo. Para que un límite exista, los valores de la función deben tender al mismo valor tanto cuando la variable se aproxima desde la izquierda como desde la derecha. También presenta diferentes reglas para calcular límites de funciones algebraicas, racionales y polinómicas.
Este documento presenta información sobre límites de funciones. Introduce el concepto de límite de una función y cómo evaluar el comportamiento de una función cuando el valor de la variable independiente se aproxima a un número particular. Explica límites laterales, límites al infinito y límites infinitos. Proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar los diferentes tipos de límites.
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1. El documento presenta una serie de ejercicios sobre derivadas que incluyen calcular derivadas de funciones, estudiar monotonicidad, extremos relativos, puntos de inflexión, asíntotas y representar funciones gráficamente.
2. También incluye calcular ecuaciones de rectas tangentes a funciones en puntos dados y determinar valores para que funciones tengan ciertas propiedades.
3. Los ejercicios abarcan temas fundamentales sobre derivadas como calcular derivadas, estudiar funciones, representar gráficamente funciones y calcular rect
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
1) La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente en un punto.
2) Se explican las notaciones y definiciones matemáticas para calcular la derivada.
3) Se presentan ejemplos de cálculo de derivadas de funciones algebraicas y compuestas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas. Define la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica cómo calcular la pendiente de las rectas secante y tangente. Luego, presenta reglas para derivar funciones como constantes, potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente, aplica estas reglas a ejemplos numéricos.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. En la primera sección, se calculan límites de funciones racionales cuando el denominador se hace cero. Luego, se analiza la continuidad de cuatro funciones mediante su representación gráfica. Más adelante, se comprueba que una función se aproxima a una recta cuando x tiende a infinito. Finalmente, se calculan varios límites de funciones racionales, polinómicas y trigonométricas en diferentes puntos.
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Un libro corto y sencillo que aborda la introducción a la álgebra superior por las funciones, racionales, irracionales, trigonometricas y exponenciales y logaritmicas. Se trata de reconocer los puntos de discontinuidad de una función.
Como tratar un problema de limite cuando hay indeterminación. Limite por la derecha y por la izquierda
El libro contiene muchos ejemplos de calculo de funciones y de limites. Limites aplicadas a la funciones exponenciales y trigonométricas.
Este documento presenta un resumen de diferentes métodos para calcular integrales indefinidas, incluyendo tablas de integrales inmediatas, propiedades de la integral indefinida, integración por cambio de variable, integración por partes, integración trigonométrica por sustitución, integración de fracciones parciales y fórmulas de reducción. También presenta el segundo teorema fundamental del cálculo. El documento está dirigido a estudiantes de matemáticas y tiene como objetivo proporcionar una guía sobre cómo calcular diferentes tipos
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Este documento describe métodos de aproximación funcional y de interpolación. Explica que las funciones complejas se pueden aproximar con funciones analíticas más simples como polinomios. Detalla dos métodos de aproximación polinomial: el de ajuste exacto y el de mínimos cuadrados. También presenta el método de interpolación polinomial de Lagrange para aproximar funciones desconocidas dadas en forma tabular.
El documento presenta 4 ejemplos de funciones racionales y analiza su continuidad y tipo de discontinuidades en puntos donde anula el denominador. El primer ejemplo muestra una discontinuidad evitable. El segundo y tercer ejemplo presentan discontinuidades salto infinito. El cuarto ejemplo analiza discontinuidades salto infinito en dos puntos y tiene una asíntota horizontal.
Este documento trata sobre interpolación y aproximación polinomial. Explica que los polinomios son útiles para aproximar funciones continuas debido al teorema de Weierstrass. Describe dos métodos de interpolación polinomial: el método de Lagrange y el método de Newton. El método de Lagrange usa una fórmula general para determinar un polinomio que pasa por puntos de datos específicos. También analiza el error asociado con el polinomio de interpolación de Lagrange.
Este documento presenta una guía de ejercicios de cálculo para estudiantes de matemáticas en la Universidad Nacional Autónoma de Honduras. Incluye 78 ejercicios que cubren conceptos como límites, derivadas y gráficas de funciones. Los ejercicios piden calcular límites de funciones, construir gráficas que cumplan con ciertas condiciones, y aplicar reglas de límites como la suma, diferencia, producto y cociente de funciones. El documento también incluye teoremas sobre límites que serán
Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones. Define qué significa que una variable tiende a un número y presenta las notaciones para expresar límites. Explica cómo calcular límites en diferentes casos como cuando la función está definida o no en el punto, o cuando los límites laterales coinciden o no. También cubre cálculos de límites para funciones polinómicas, racionales e irracionales.
Este documento trata sobre la integral indefinida y sus aplicaciones. Explica conceptos como la integral indefinida, fórmulas básicas de integración, técnicas de integración como el método de sustitución y aplicaciones de la integral indefinida en problemas reales. Incluye ejemplos de cálculo de integrales indefinidas y ejercicios de aplicación de las fórmulas.
Este documento presenta 10 ejercicios de cálculo sobre límites de funciones. Los ejercicios incluyen calcular límites sustituyendo valores, factorizando funciones para evitar indeterminaciones, y demostrar propiedades de límites como la continuidad y el comportamiento al infinito usando definiciones. El documento guía al estudiante en resolver diferentes tipos de ejercicios sobre límites.
El documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad de funciones. Explica que un límite describe cómo se comporta una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular, sin alcanzarlo. Para que un límite exista, los valores de la función deben tender al mismo valor tanto cuando la variable se aproxima desde la izquierda como desde la derecha. También presenta diferentes reglas para calcular límites de funciones algebraicas, racionales y polinómicas.
Este documento presenta información sobre límites de funciones. Introduce el concepto de límite de una función y cómo evaluar el comportamiento de una función cuando el valor de la variable independiente se aproxima a un número particular. Explica límites laterales, límites al infinito y límites infinitos. Proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar los diferentes tipos de límites.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales del análisis matemático I, incluyendo la introducción a los límites, definición de límite, cálculo de límites algebraicos y trigonométricos, y definición de continuidad. También incluye una bibliografía de 5 libros de referencia sobre el tema.
El documento presenta una introducción a la teoría de límites en cálculo diferencial e integral. Explica conceptos fundamentales como variables, constantes, intervalos y funciones de una variable. Luego, introduce la noción de límite y continuidad, y describe diversos teoremas y propiedades de límites como límites de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales. Finalmente, aborda temas como límites infinitos, límites particulares, formas de levantar indeterminaciones y ejemplos de cálculo de límites.
Este documento trata sobre límites al infinito y algunos teoremas y propiedades relacionados con ellos. Explica qué es un límite al infinito y cómo se representa, y analiza casos como límites de funciones polinómicas, racionales y algunos ejemplos numéricos.
1) El documento presenta conceptos sobre límites y continuidad de funciones, incluyendo definiciones intuitivas y formales de límite de una función en un punto, límites laterales, y tipos de indeterminaciones. 2) Explica cómo determinar si una función tiene límite en un punto evaluando su comportamiento cuando la variable independiente se acerca al punto desde ambos lados. 3) Describe diferentes comportamientos de funciones al aproximarse a números o infinito, como límites finitos, infinitos o inexistentes.
1) El documento introduce el concepto de límite de una función en un punto y provee ejemplos numéricos para calcular el límite de la función lineal f(x)=2x+1 cuando x tiende a 3.
2) Explica la definición informal de un límite de una función y que este existe cuando los valores de la función pueden aproximarse arbitrariamente a un valor L al acercar x a un valor c.
3) Presenta conceptos como límites laterales, propiedades de límites, y límites infinitos.
Límite de una Función: Introducción, Definiciónjesusalarcon29
El documento introduce el concepto de límite de una función y provee ejemplos para ilustrar la definición formal de límite utilizando los valores ε y δ. Explica cómo determinar el límite de funciones racionales al aproximar el valor de la variable independiente x al número dado y comprobar que el valor de la función se aproxima a un único número real L.
i) El concepto de límite describe el comportamiento de una función cuando su argumento se acerca a algún punto o se vuelve extremadamente grande.
ii) El límite de una función f en un punto c, denotado limf(x), significa que f(x) puede hacerse arbitrariamente cercano a L al acercar x suficientemente a c.
iii) Un límite puede no estar definido en el punto c, pero sí en sus alrededores.
Este documento trata sobre los conceptos de límites de funciones cuando la variable tiende al infinito o a un punto. Explica cómo calcular límites de funciones polinómicas y racionales cuando la variable tiende a infinito, así como límites laterales y continuidad de funciones en un punto. También introduce el concepto de asíntota horizontal y vertical y cómo representar gráficamente límites infinitos. El documento contiene varios ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento introduce los conceptos de límite y derivada, que son fundamentales en cálculo. Explica que un límite representa el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un valor particular. Luego define la derivada de una función como la tasa de cambio de dicha función con respecto a la variable independiente y presenta diferentes formas de notarla. Finalmente, muestra cómo calcular derivadas usando la definición formal de límite.
Este documento presenta conceptos básicos sobre límites y continuidad de funciones. Introduce las definiciones de dominio, recorrido y límite de una función en un punto de forma intuitiva y formal. Explica propiedades de los límites como la unicidad y el cálculo de límites simples. Finalmente, clasifica los tipos de indeterminaciones y cómo resolverlas.
Este documento trata sobre los límites al infinito y los límites infinitos de funciones. Explica que cuando el denominador de una función tiende a infinito y el numerador tiende a cero, el límite de la función es cero. También indica que cuando el denominador tiende a cero pero el numerador tiende a un número distinto de cero, el límite es infinito. Proporciona ejemplos y procedimientos para evaluar límites al infinito de funciones racionales.
Este documento explica el concepto matemático de límite. Define el límite como la tendencia de una sucesión o función cuando sus parámetros se acercan a un valor determinado. Presenta la definición formal de límite y proporciona ejemplos de cómo calcular límites utilizando esta definición. También cubre conceptos como límites laterales, límites de polinomios y funciones racionales, y formas indeterminadas como 0/0.
Este documento trata sobre los límites de funciones. Explica las definiciones de límite y límite de una función, así como el proceso de cálculo de límites. También presenta reglas para calcular límites, como la regla de la suma, la resta, el producto y la división. Además, cubre tipos de indeterminación como 0/0 y cómo resolver límites con polinomios y fracciones racionales.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas en números reales. Explica conceptos como dominio, rango, funciones especiales como constante, identidad, lineal, cuadrática, raíz, valor absoluto, máximo entero y signo. También incluye ejemplos y propiedades de estas funciones.
1) El documento describe métodos de aproximación funcional e interpolación numérica para determinar funciones a partir de datos discretos. 2) Explica el método de interpolación lineal y polinomios de grado superior, incluyendo polinomios de Newton y Lagrange. 3) El método de Lagrange determina coeficientes para una combinación lineal de funciones basadas en los puntos de datos, permitiendo aproximar valores intermedios.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Introduce el concepto de función racional como una función que se expresa como el cociente de dos polinomios. Explica cómo graficar funciones racionales y determinar sus asíntotas. También cubre operaciones como suma, resta, multiplicación y división de funciones racionales. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar conceptos como evaluación, simplificación y operaciones con funciones racionales.
Este documento trata sobre los límites de funciones. Explica conceptos como límite intuitivo, notación de límite, límites básicos, propiedades de límites, cálculo de límites determinados e indeterminados, límites laterales e infinitos. Incluye ejemplos y problemas para calcular diferentes tipos de límites.
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2. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Se define dominio de una función como el conjunto de valores que puede tomar la
variable independiente (x), para que la función esté definida.
DOMINIO DE FUNCIONES POLINÓMICAS: ( axn + bxn – 1 + …….. + cx + d)
El dominio de una función polinómicas son todos los números
reales: )(xDomf
DOMINIO DE FUNCIONES RACIONALES:
)(
)(
)(
xg
xf
xh
Donde f(x) y g(x) son funciones polinómicas
El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos
valores de la variable independiente que hacen que el denominador se anule:
0)(/)( xgxxDomh
2
3. DOMINIO DE FUNCIONES IRRACIONALES: )()( xfxh
El dominio de una función irracional son todos los números reales excepto
aquellos valores de la variable independiente que hacen que el radicando sea
negativo:
0)(/)( xfxxDomh
DOMINIO DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS: f(x)logh(x) a
El dominio de una función logarítmica son todos los números reales excepto
aquellos valores de la variable independiente que hacen que el argumento del
logaritmo sea menor o igual que 0:
0)(/)( xfxxDomh
DOMINIO DE FUNCIONES EXPONENCIALES DE BASE > 0: )(xf
ah(x)
El dominio de una función exponencial de base > 0, coincide con el domino de
la función que se encuentra en el exponente.
)()( xDomfxDomh
3
4. Determine el dominio de:
b) 1)( 2
xxf
c) 4
1
)( 2
x
xf
d) 5
1
)(
x
xf
a) 1)( xxf
Ejercicios:
4
5. Alguna vez ha estado Usted en un
estacionamiento en el que puede
“aproximarse” al automóvil de enfrente,
pero no quiere tocarlo ni golpearlo. Esta
noción de estar cada vez más cerca de
algo, pero sin tocarlo, es muy importante
en matemáticas y en la cual está
involucrada el concepto de Límite, en el
que descansa el fundamento del cálculo.
Noción de Límite
5
6. Cuando una variable “se aproxima” a
un valor particular, examinaremos el
efecto que tiene sobre los valores de
la función.
Noción de Límite
6
8. Gráfica de un acercamiento por derecha
Matemáticamente: x 3+
Gráficamente:
Cuando x se aproxima a 3 por medio
de valores mayores que el 3, se dice
que x se aproxima a 3 por la derecha
3
5
x
8
9. Matemáticamente: x 3-
Gráficamente:
Cuando x se aproxima a 3 por medio de
valores menores que el 3, se dice que x se
aproxima a 3 por la izquierda
3
5
x
Gráfica de un acercamiento por la izquierda
9
13. Nótese que para que el límite exista,
cuando la variable tiende a un número “a”
(en nuestro ejemplo a = 3) tanto por la
izquierda como por la derecha, la función
tiende a adoptar un único valor “L” (en
nuestro ejemplo L = 5)
Condición para la existencia del límite
13
14. ¡ Importante !
No es lo mismo decir “ x es igual a tres” ,
que decir “ x tiende a tres ”
14
15. ¿qué ocurre con el valor de f(x)
cuando x 3 en esta grafica?
3
5
7
x x
15
16. Condición para la existencia del límite
Nótese que cuando x tiende a 3 por la
izquierda, la función tiende al valor de 5.
Mientras que si x tiende a 3 por derecha, la
función tiende al valor de 7
En este caso se dice que el límite de f(x)
cuando x tiende a 3, no existe
16
19. En ambos casos la información apunta a la
misma conclusión: los valores de f(x) se
aproxima a 4 cuando los valores de x se
aproximan a 2. Este comportamiento se denota
por:
4
2
42
2
x
x
Limx
2x
4x
)x(f
2
Y se lee “ límite de la función en 2 es 4”
19
20. Definición
Una función f tiene límite L cuando x tiende a
“a” por cualquier lado (derecha o izquierda);
y se escribe:
LxfLim
ax
)(
Si todos los valores f(x) para f se encuentran
cerca de L para todos los valores que se
encuentran arbitrariamente cerca, pero que no
son iguales a “a”.
20
21. Conclusión
LxfLím
ax
)( si y solo si :
LxfLímxfLím
axax
)()(
Nótese que para que el límite de una
función (en un valor de a) exista, no es
necesario que la función esté definida en
este valor de a.
21
22. Si para cada , existe un correspondiente ,
tal que
Dada una función f(x) definida en un entorno de
Excepto posiblemente en
Decimos que el límite de la función cuando x tiende a
Definición formal de limite
22
24. Ejemplo:
1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo que
a) Utilizando una figura, para ε = 0.01, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ
entonces | f (x) – 5 | < 0.01
b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una δ > 0 tal que si
0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01
Solución:
5)(lím
3
xf
x
f (x) =4 x - 7
5.01
4.99
5
3
x1 x2 24
25. Solución a)
4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 – 7 = 5.01
Como 3 – 2.9975 = 0.0025
Y 3.0025 – 3 = 0.0025
Se elige δ = 0.0025, de tal forma que
0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) – 5 | < 0.01 Lo cual es verdadero.
25
26. Solución b)
Para toda ε > 0 y δ > 0, se debe cumplir que:
Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x – 7, ε = 0.01
Entonces:
0 < | x - 3 | < δ si y sólo si | (4x – 7) - 5 | < 0.01
Tomando la segunda ecuación:
| (4x – 7) - 5 | < 0.01
| 4x – 7 - 5 | < 0.01
| 4x – 12 | < 0.01
| 4 (x – 3 ) | < 0.01
| 4 | | x – 3 | < 0.01
4 | x – 3 | < 0.01
𝟎 < 𝒙 − 𝒂 < 𝜹 ↔ 𝒇(𝒙) − 𝑳 < 𝜺
𝑥 − 3 <
0.01
4
26
27. ¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho?
Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es
V = p62h = 36ph
¿Con qué precisión se debe medir h para
medir 1 L(1000 cm3) con un error no
mayor de 1% (10 cm3)?
Para que valores de h se satisface
| V – 1000 | = | 36ph – 1000 | 10
| 36ph – 1000 | 10
–10 36ph – 1000 10
990 36ph 1010
990 /36p h 1010 /36p
8.8 h 8.9
8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1 mm
h
r = 6 cm
Ejemplo:
27
28. Reglas para calcular Límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son
números reales)
1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M 0
6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n
28
29. Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el
límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
29
30. Regla: Para resolver este tipo de indeterminación
0
0
𝑦
∞
∞
, se debe Factorizar tanto
el numerador como denominador y simplificar luego remplazar el limites.
Límites indeterminados
0
2
2
lim
22
2
lim
4
2
lim
2
2
22
2
2
x
x
xx
x
x
x
xxx
4
1
2
1
lim
22
2
lim
4
2
lim
2222
xxx
x
x
x
xxx
22
3
lim
4
3
lim
22
2 xx
x
x
x
xx
22
3
lim
4
3
lim
22
2 xx
x
x
x
xx
existeno
xx
x
x
x
xx
22
3
lim
4
3
lim
222
22323
2 2
1
lim
2
2
lim
2
2
lim
xx
x
x
x
xxx 30
31. Estudio del
x0
lim
sen x
x . Se pone la calculadora en modo Rad para construir las siguientes tablas.
x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,0000001
sen x
x
0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999
x - 0’1 - 0’01 - 0’001 - 0’0001 - 0’00001 - 0’0000001
sen x
x
0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999
Los resultados sugieren que
x0+
lim
sen x
x
=1
Los resultados sugieren que
x0-
lim
sen x
x
=1
En consecuencia:
x0
lim
sen x
x
=1
Límites de funciones trigonométricas
31
32. El
x0
lim
sen x
x geométricamente
- 10 -5 5 10
- 0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• La función no está
definida en 0.
• Pero está definida en
las proximidades del
punto 0
32
33. El Límite fundamental trigonométrico
1
sen
lim
0
0
1cos
lim
0
θ>0 en radianes
33
34. Problema
0
sen 3
lim
6x
x
x
Solución
sen 3 sen 31
Re-escribimos
6 2 3
x x
x x
0
sen
Usamos que lim 1.
2
1
3
3
2
1
6
3
queconcluye,1
3
3
limlimlim 000
x
xsen
x
xsen
se
x
xsen
Como
xxx
34
36. tiempo
(años)
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …
¿ ?
¿ ?
50
t
Entonces: 50)(lim
tf
t
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se
aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
36
El Límite cuando tiende al infinito
36
37. Límites al infinito
Si los valores de la función f (x) tienden al número
L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )
x
f x L
De manera similar, valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim ( )
x
f x M
37
38. y = f (x)
y
y = L
y = M M
L
lim ( )
x
f x L
lim ( )
x
f x M
x
Por ejemplo….
38
39. Sabemos que para n > 0, ,
¿cuál es el valor de los siguientes límites?
n
x
xlim
n
x x
1
lim
n
x x
1
lim
Interrogante . . . . .
39
40. 1
1 1 0
1
1 1 0
( )
n n
n n
m m
m m
a x a x a x a
f x
b x b x b x b
1
1 1 0
1
1 1 0
lim ( ) lim
n n
n n
m
m mx x
m m
m
a x a x a x a
xf x
b x b x b x b
x
Divida el numerador y denominador entre el x
elevado al mayor grado del denominador y calcule el
límite de la nueva expresión:
Resolución:
Límite al infinito para funciones racionales
40 40
42. Una función f(x) es continua en un punto x = a si cumple:
1. Existe f(a)
Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos que la función
es discontinua en x = a
lim
xa f (x) lim
xa
f (x) lim
xa
f (x)2. Existe
lim
xa
f (x)3. Se cumple que f(a) =
Continuidad de una función
42
43. Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función
lim
x2
x21
x2
5
0
f (x) x21
x2
Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2
será una punto de discontinuidad.
Evidentemente no existe f(2)
No se puede
dividir por 0
lim
x2
x21
x2
5
0
Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2
43
44. Veamos la gráfica de la función: f (x) x21
x2
Cuando me acerco a 2-
la función va hacia -∞
Cuando me acerco a 2+
la función va hacia +∞
Aquí tendremos
Una Asíntota vertical
De ecuación x=2
44
45. Veamos el siguiente ejemplo con una función
definida a trozos:
f (x)
5 x2
x26x10 2x5
4x15 x5
Aquí tenemos una recta horizontal,
paralela al eje de abcisas X.
Siempre es continua en su
intervalo de definición.
Aquí tenemos una parábola.
Siempre es continua en su
intervalo de definición.
Aquí tenemos una recta. Siempre
es continua en su intervalo de
definición.
Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y
x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la
continuidad
45
46. Si nos fijamos en la gráfica de esta función
veremos que:
46
47. Veamos algún caso con una discontinuidad del
tipo “Evitable”
f (x) x23x2
x1
Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1
1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
2. lim
x1
x23x2
x1
0
0
lim
x1
x1 x2
x1
lim
x1
x2 1
lim
x1
x23x2
x1
0
0
lim
x1
x1 x2
x1
lim
x1
x2 1
lim
x1
f(x) f(1) que no existe
47
48. Veamos ahora la gráfica de la función
Tenemos un agujero para x = 1
48
51. Definición de una Asíntota
Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y tienden a
infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función.
No todas las funciones tienen asíntotas.
Las asíntotas de una función pueden ser:
Verticales Horizontales Oblicuas
51
55.
)(lim xf
cx
)(lim xf
cx
)(lim xf
cx
La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple
alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:
2
1
lim
2 xx
2
1
lim
2 xx
2
1
)(
x
xf
La recta x = 2 es una asíntota vertical
Asíntotas Verticales
55
56. Asíntotas Horizontales
Lxf
x
)(lim Lxf
x
)(lim
La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:
1
2
)(
x
x
xf
2
1
2
lim
x
x
x
2
1
2
lim
x
x
x
La recta y = 2 es una asíntota horizontal
56
57. a
x
xf
x
)(
lim
a
x
xf
x
)(
lim
baxxf
x
))((lim
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
a)
b) baxxf
x
))((lim
Ejemplo:
1
2
)(
2
x
x
xf
2
2
lim
)(
lim 2
2
xx
x
x
xf
xx
2)2
1
2
(lim))((lim
2
x
x
x
axxf
xx
La recta y = 2x+2 es una asíntota oblicua
Asíntotas oblicuas
57
58. Asíntotas de Funciones Racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de
la función simplificada es igual a 0.
Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del
numerador y denominador.
Asíntotas Verticales
58
59. Asíntota vertical
x = -1
Ejemplo 1: Calcular las Asíntotas Verticales
x
x
xf
22
52
Dada la función
Calculamos los valores de x que
hacen 0 el denominador:
2 + 2x = 0 x = -1
La recta x = -1 es la única
asíntota vertical de la función.
59
60. Primero simplicamos la función.
9
12102
2
2
x
xx
xf
La(s) asíntota(s) aparecen cuando el
denominator (después de simplificar)
es igual a 0.
x – 3 = 0 x = 3
La recta vertical x = 3 es la única
asíntota vertical de esta función.
Ejemplo 2: Calcular las Asíntotas Verticales
Asíntota vertical
x = 3
33
423
9
12102
2
2
xx
xx
x
xx
3
42
x
x
60
61.
6
5
2
xx
x
xg
32
5
6
5
2
xx
x
xx
x
El denominador es igual a 0 cuando
x + 2 = 0 x = -2
o
x - 3 = 0 x = 3
Esta función tiene dos asíntotas
verticales, una x = -2 y la otra x = 3
Ejemplo 3: Calcular las Asíntotas Verticales
Asíntota vertical
x = - 2
Asíntota vertical
x = 3
61
62. Asíntotas Horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes
condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):
El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En
este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.
El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este
caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente
de mayor grado del numerador y b es el del denominador.
Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la
función no tiene asíntota horizontal.
62
63. Ejemplo 4: Calcular las Asíntotas Horizontales
0
27
53
lim 3
2
x
xx
x
27
53
3
2
x
xx
xf
0
27
53
lim 3
2
x
xx
x
Tiene una asíntota horizontal en la recta
y = 0 porque el grado del numerador (2)
es menor que el grado del denominador
(3).
La recta horizontal y = 0 es la
asíntota horizontal.
Asíntota horizontal
y = 0
63
64. Ejemplo 5: Calcular las Asíntotas Horizontales
5
6
975
536
lim 2
2
xx
xx
x
975
536
2
2
xx
xx
xg
El grado del numerador (2) es igual al
grado del denominador (2), luego la recta
y = 6/5 es una asíntota horizontal.
La recta y = 6/5 es la
asíntota horizontal.
Asíntota horizontal
y = 6/5
64
65. Ejemplo 6: Calcular las Asíntotas Horizontales
1
952
2
3
x
xx
xf
No tiene asíntotas horizontales
porque el grado del numerador
es mayor que el grado del
denominador.
65
66. Asíntotas Oblicuas
• Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el grado
del numerador es exactamente una unidad mayor
que el grado del denominador.
66
67. Ejemplo 7: Calcular las Asíntotas Oblicuas
1
952
2
23
xx
xxx
xf
Tiene una asíntota oblicua porque el
grado del numerador (3) es uno más
que el grado del denominador (2).
1
952
lim
)(
lim 23
23
xxx
xxx
x
xf
xx
3
1
943
lim))((lim 2
2
xx
xx
xxf
xx
La recta y = x + 3 es
asíntota oblicua
Asíntota oblicua
y = x + 3
67
68. Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las
funciones:
2
2
2 15
7 10
x x
f x
x x
Vertical: x = -2
Horizontal : y = 1
Oblicua: no tiene
2
2 5 7
3
x x
g x
x
Vertical: x = 3
Horizontal : no tiene
Oblicua: y = 2x +11
Ejercicios:
68