Este documento presenta las funciones elementales más comunes y describe sus características principales. Se dividen en polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, funciones arco, funciones definidas a trozos, función valor absoluto, función parte entera y función parte decimal. Para cada tipo de función se explica su dominio, recorrido, gráfica, simetría y monotonía. Se incluyen ejemplos detallados de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logar

1. FUNCIONES ELEMENTALES
Laura Blázquez Chaves
Departamento de Matemáticas
IES Villa de Valdemoro

2. TIPOS DE FUNCIONES
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
Funciones polinómicas
Funciones racionales
Funciones radicales
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
Funciones arco
Funciones definidas a trozos
Función valor absoluto
Función parte entera
Función parte decimal

3. A. FUNCIONES POLINÓMICAS.
Función afín
f ( x ) = ax + b
Estudio
• Su gráfica es una línea recta:
•a = pendiente
•b = ordenada en el origen ( si b = 0 la
recta pasa por el origen de coordenadas y
se llama función lineal)
•Monotonía:
•Si a > 0 la recta es creciente
•Si a < 0 la recta es decreciente
•Si a = 0 la recta es constante
a, b ∈ ℜ

5. A. FUNCIONES POLINÓMICAS.
Función cuadrática
f ( x ) = ax + bx + c
2
Estudio
• Su gráfica es una parábola con
 −b
−b 


• vértice el punto: V  2a , f  2a  


 − b

x=
• eje de simetría la recta:
2a
•Simetría: si b = 0 es par
•Si a > 0 la parábola es convexa y el
vértice es un mínimo.
•Si a < 0 la parábola es cóncava y el
vértice es un máximo
a , b, c ∈ ℜ

6. f ( x ) = ax , a > 0
2

7. f ( x ) = ax 2 , a < 0

9. A. FUNCIONES POLINÓMICAS.
Función de grado >2
f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ......... + a1 x + a0
Estudio
•Dominio:
ℜ
•Recorrido:
Si n es par: una
semirrecta ( − ∞, a ] o
Si n es impar: ℜ
[ a,+∞ )
•Es continua en todo el
dominio.
•Su gráfica es una curva con
un máximo de n-1 extremos
relativos.
ai ∈ ℜ

10. f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , a > 0

11. f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , a < 0

12. Grado 4
Grado 5

13. B. FUNCIONES RACIONALES
Función de proporcionalidad inversa
k
f ( x) =
x
k ∈ℜ
Estudio
• Su gráfica es una hipérbola con asíntotas
en los ejes de coordenadas.
•Dominio: ℜ − { 0}
•Ramas:
•Si k > 0 la hipérbola se sitúa en el primer
y el tercer cuadrantes. Es decreciente en
todo su dominio.
•Si k < 0 la hipérbola se sitúa en el
segundo y cuarto cuadrantes. Es
creciente en todo su dominio.
•Simetría: impar, respecto del origen de
coordenadas

14. k >0

15. k <0

16. B. FUNCIONES RACIONALES
Hipérbolas trasladadas
k
f ( x) =
+b
x−a
La hipérbola se traslada según los
parámetros a y b:
•Traslación horizontal de a unidades.
La asíntota vertical es la recta y = a.
•Traslación vertical de b unidades. La
asíntota horizontal es la recta x = b.
k , a, b ∈ ℜ

18. B. FUNCIONES RACIONALES
k
f ( x) = 2
x
k ∈ℜ
Estudio
•Dominio: ℜ − { 0}
•Asíntotas: en los ejes coordenados.
•Ramas:
•Si k > 0 la hipérbola se sitúa en
el primer y el segundo
cuadrantes.
•Si k < 0 la hipérbola se sitúa en
el tercer y el cuarto cuadrantes.
•Simetría: Par, respecto del eje OY.

20. B.
FUNCIONES RACIONALES
General
P( x)
f ( x) =
Q( x)
Estudio
Dominio todos los números reales
excepto aquellos en los que se anula
el denominador, es decir, Q(x)=0. En
esos puntos puede tener asíntotas
verticales u oblicuas.
También puede presentar asíntotas
horizontales.
Para un mejor estudio de las
asíntotas es necesario el
conocimiento de límites de funciones.

23. C. FUNCIONES RADICALES
f ( x ) = n g ( x)
Estudio
•Dominio:
•Si n es par: el intervalo en
el que g ( x) ≥ 0
•Si n es impar: ℜ
•Monotonía: Creciente en
todo su dominio
n∈ N

24. n par

25. n impar

26. D. FUNCIONES EXPONENCIALES
f ( x) = a
x
a ∈ ℜ, a > 0, a ≠ 1
Estudio
•Dominio: ℜ
•Recorrido: ( 0,+∞ )
•Como a0 = 1, la función pasa siempre
por el punto (0,1).
•Como a1 = a, la función pasa siempre
por el punto (1,a).
•Monotonía:
•Si a>1: creciente.
•Si 0<a<1: decreciente.
•Asíntotas: asíntota horizontal en y = 0.

27. Si a>1
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16

29. Si 0<a<1
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
16
8
4
2
1
1/2
1/4
1/8
1/16

31. E. FUNCIONES LOGARÍTMICAS
f ( x) = log a x
Estudio
•Dominio: ( 0,+∞ )
•Recorrido: ℜ
•Como loga1 = 0, la función pasa
siempre por el punto (1,0).
•Como logaa = 1, la función pasa
siempre por el punto (a,1).
•Monotonía:
•Si a>1: creciente.
•Si 0<a<1: decreciente.
•Asíntotas: asíntota vertical en x = 0.
a ∈ ℜ, a > 0, a ≠ 1

32. Si a>1
x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
y
-3
-2
-1
0
1
2
3

34. Si a<1
x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
y
3
2
1
0
-1
-2
-3

36. La función exponencial y la función logarítmica son inversas, por
lo tanto, sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del
primer y tercer cuadrantes.

37. Simetría de las funciones inversas si a<1

38. F. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función seno
f ( x) = sin x
ℜ
sin( x) = sin( x + 2kπ ), k ∈ Z
[ 0,2π ]
x es un ángulo medido en radianes
[ − 1,1]
 π   3π

 0,  ∪  ,2π 
 2  2

 π 3π 
 , 
2 2 
π 
 ,1
2 
 3π

 ,−1
 2


39. Función seno: transformaciones
Traslaciones verticales

40. Función seno: transformaciones
Dilataciones y contracciones

41. Función seno: transformaciones
Traslaciones horizontales

42. F. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función coseno
f ( x) = cos x
ℜ
cos( x) = cos( x + 2kπ ), k ∈ Z
[ 0,2π ]
[ − 1,1]
( π ,2π )
( 0, π )
( 0,1)
( π ,−1)

43. F. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función tangente
π

ℜ −  + kπ , k ∈ Z
2

tan( x) = tan( x + kπ ), k ∈ Z
[ − π ,π ]
ℜ
x=
π
+ kπ , k ∈ Z
2

44. G. FUNCIONES ARCO
Función arcoseno
f ( x) = arcsin x
Definición Si f(x) es una función, debe haber una única imagen para cada x,
real. Es decir, aunque hay infinitos ángulos cuyo seno es un número dado y,
debemos elegir sólo uno para definir la función. Por convenio se elige
 π π
el ángulo x ∈ − , 
 2 2
Estudio
•Dominio: D( f ) = [ − 1,1]
 π π
Im( f ) = − , 
• Recorrido:
 2 2
•Simetría: impar.
•Monotonía: Creciente en su dominio
•Curvatura:
Cóncava en
Convexa en
( − 1,0)
(0,1)

45. y = arcsin x
x
-1
-√3/2
-√2/2
-1/2
0
1/2
√2/2
√3/2
1
y
-π/2≈-1,57
-π/3≈-1,05
-π/4≈-0,79
-π/6≈-0,52
0
π/6≈0,52
π/4≈0,79
π/3≈1,05
π/2≈1,57

46. Funciones inversas: seno y arcoseno
y = arcsin x ⇒ sin y = x
−1
f ( x) = arcsin x ⇒ f ( x) = sin x

47. G. FUNCIONES ARCO
Función arcocoseno
f ( x) = arccos x
Definición: Igual que para el arcsinx restringimos el dominio de definición. Por
convenio se elige el ángulo x ∈ [ 0, π ]
Estudio
•Dominio:
• Recorrido:
D ( f ) = [ − 1,1]
Im( f ) = [ 0, π ]
•Simetría: no hay
•Monotonía: Decreciente en su
dominio
•Curvatura:
Cóncava en
(0,1)
Convexa en ( − 1,0)

48. y = arccos x
x
y
-1
π≈3,14
-√3/2 5π/6≈2,62
-√2/2 3π/4≈2,36
-1/2 2π/3≈2,09
0
π/2≈1,57
1/2
π/3≈1,05
√2/2 π/4≈0,79
√3/2 π/6≈0,52
1
0

49. Funciones inversas: coseno y arcocoseno
y = arccos x ⇒ cos y = x
f ( x) = arccos x ⇒ f −1 ( x) = cos x

50. G. FUNCIONES ARCO
Función arcotangente
f ( x) = arctan x
Definición: Igual que para el
arcsinx restringimos el
dominio de definición. Por
convenio se elige el ángulo
 π π
x ∈ − , 
 2 2
D( f ) = ℜ
 π π
Im( f ) = − , 
 2 2
y=−
(0,+ )
∞
( − ∞,0)
π
π
,y=
2
2

51. y = arctan x
x
-√3
-1
-1/√3
0
1/√3
1
√3
y
-π/3≈-1,05
π/4≈0,79
-π/6≈-0,52
0
π/6≈0,52
π/4≈0,79
π/3≈1,05

52. Funciones inversas: tangente y arcotangente
y = arctan x ⇒ tan y = x
f ( x) = arctan x ⇒ f −1 ( x) = tan x

53. H. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Definición: “Una función definida a trozos es aquella
cuyo dominio está dividido en intervalos disjuntos,
de forma que en cada intervalo la función viene dada
por expresiones matemáticas distintas”.
Para dibujar las funciones a trozos tendremos que
representar cada una de las partes de las que está compuesta
teniendo en cuenta, además, que solo tienen validez en el
intervalo en el que están definidas.

54. Ejemplo 1:
2

si
x<0

x

f ( x) =  −3 x + 6
si 0 ≤ x ≤ 3
 x 2 − 8 x + 12 si
x>3



55. TRAMO I

56. TRAMO II

57. TRAMO III

59. Ejemplo 2:

−2
si
x < −4

 2
f ( x) = − x − 5 x − 4 si − 4 ≤ x ≤ 1
 −3 −8
si
x >1
 x −1


60. f ( x) = { − 2 si
TRAMO I
x<4

61. {
f ( x) = − x 2 − 5 x − 4 si − 4 ≤ x ≤ 1
TRAMO II

62.  −3
f ( x) = 
− 8 si
 x −1
TRAMO III
x >1

64. I. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
f ( x) = x
Se denomina así la
función que a cada
número real hace
corresponder su valor
absoluto.
Se puede expresar también
como una función definida a
trozos
Estudio
•Recorrido:
Puesto que el valor absoluto de un
número es siempre positivo el recorrido
de una función con valor absoluto
+
estará incluido en los ℜ .
− x si
f ( x) = 
 x si
x<0
x≥0

66. I. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
De un polinomio
f ( x) = P ( x)
A trozos:
− P ( x) si
f ( x) = 
 P ( x) si
P( x) < 0
P( x) ≥ 0
Para establecer los intervalos en los que P(x) tiene signo
negativo hay que resolver la ecuación P(x)=0 y estudiar el
signo de P en cada uno de los intervalos en los que queda
dividida la recta real.
Para dibujar su gráfica, se dibuja normalmente y después se
hace la simetría respecto del eje horizontal en aquellos
tramos en los que la función sea negativa.

67. Ejemplo
f ( x) = x − 8 x + 12
2
Para expresar la función a trozos se buscan las raíces del polinomio P.
P ( x) = x 2 − 8 x + 12 = 0
x1 = 2, x2 = 6
Se estudia el signo de P en cada intervalo de la recta real.
 x 2 − 8 x + 12
si
x<2

2
f ( x) = − ( x − 8 x + 12 ) si 2 ≤ x < 4
 x 2 − 8 x + 12
si
4≤ x


68. La gráfica sería:

69. J. FUNCIÓN PARTE ENTERA
f ( x) = E [ x ]
Se denomina así la
función de ecuación
f(x)=E[x], que a cada
número real hace
corresponder el
mayor número
entero que es menor
o igual que él.
Se puede expresar también
como una función definida a
trozos
...
− 1

0

f ( x) =  1
2

3

...
si − 1 ≤ x < 0
si
0 ≤ x <1
si
si
1≤ x < 2
2≤ x<3
si
3≤ x < 4

70. f(x)=E[x]

71. K. FUNCIÓN PARTE DECIMAL
f ( x) = Dec[ x ]
...
 x +1

 x

f ( x) =  x − 1
x − 2

f ( x) = Dec[ x ] = x − E [ x ]
x − 3

Se puede expresar también
...
como una función definida a
Se denomina así la
función de ecuación
f(x)=Dec[x], que a
cada número real
hace corresponder su
parte decimal.
Analíticamente:
trozos
si − 1 ≤ x < 0
si
0 ≤ x <1
si
si
1≤ x < 2
2≤ x<3
si
3≤ x < 4