Este capítulo introduce los conceptos fundamentales del cálculo diferencial e integral. La primera parte se enfoca en el concepto de derivada, explicando su significado geométrico como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. También define el concepto de límite matemáticamente y provee ejemplos para ilustrar su uso. La segunda parte introducirá el concepto de integral.
Trabajo que describe el concepto de integral definida, usos, y explicaciones a detalles de la aplicación de la misma en distintos campos de la ciencia.
El documento describe un experimento para verificar el principio de Arquímedes mediante la medición del peso aparente de cilindros metálicos sumergidos en agua a diferentes profundidades. Se midieron las fuerzas sobre los cilindros usando un sensor y se graficó el peso aparente en función de la profundidad, obteniéndose ecuaciones que permitieron calcular las densidades del agua y los cilindros, con errores menores al 3%.
Este documento describe un experimento sobre fuerzas concurrentes realizado en la Universidad Industrial de Santander. El experimento utilizó una mesa de fuerza, poleas, pesas y otros instrumentos para obtener una fuerza equilibrante para diferentes pesos y ángulos. Los resultados se analizaron utilizando conceptos como fuerzas concurrentes, vectores y equilibrio. El documento también incluye un marco teórico sobre estos conceptos y una descripción de la metodología experimental y los cálculos, resultados y análisis obtenidos.
Este documento discute la importancia del cálculo vectorial para los ingenieros civiles. Explica que el cálculo vectorial proporciona una notación clara para ecuaciones matemáticas y problemas geométricos y físicos, y ayuda a formar imágenes mentales de conceptos. Luego describe algunas aplicaciones del cálculo vectorial en ingeniería civil como diseño de carreteras, donde se usa para determinar la curvatura adecuada.
Este documento presenta conceptos fundamentales de la mecánica de fluidos, incluyendo hidrostática e hidrodinámica. Explica conceptos como presión, densidad, principio de Arquímedes y flotación. También describe cómo funcionan dispositivos como la prensa hidráulica y cómo los submarinos controlan su flotabilidad. La hidrostática estudia los fluidos en reposo y cómo se transmiten y miden las fuerzas sobre objetos sumergidos.
Este documento presenta un análisis de las fuerzas de presión que actúan sobre superficies curvas sumergidas en un fluido. Define conceptos como el centro de presiones, centro de masa y centroide. Explica cómo calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza, así como la fuerza resultante. Además, incluye ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos de fuerzas sobre superficies curvas de diferente geometría.
Texto de ejerciciosresueltos de hidraulica 1 nelameerslide71
Este documento presenta información sobre el autor Dr. Nestor Javier Lanza Mejía, profesor de ingeniería civil en la UNI. Describe su educación y experiencia profesional. También proporciona un prólogo y contenido para un texto sobre ejercicios resueltos de hidráulica, incluyendo propiedades de líquidos, compresibilidad, viscosidad y otros temas. El objetivo es que los estudiantes aprendan conceptos básicos de mecánica de fluidos e hidráulica a través de la solución de problemas.
PROYECTO DE ESTÁTICA-REACCIONES EN UNA VIGARICHARD CULQUE
Las tres oraciones resumen lo siguiente:
1) El documento describe un proyecto de investigación sobre las reacciones en los apoyos de una viga. 2) El objetivo es determinar teórica y experimentalmente las reacciones y comparar los resultados. 3) El marco teórico incluye definiciones de puente, viga, apoyos y ecuaciones de equilibrio para cuerpos rígidos en dos y tres dimensiones.
Trabajo que describe el concepto de integral definida, usos, y explicaciones a detalles de la aplicación de la misma en distintos campos de la ciencia.
El documento describe un experimento para verificar el principio de Arquímedes mediante la medición del peso aparente de cilindros metálicos sumergidos en agua a diferentes profundidades. Se midieron las fuerzas sobre los cilindros usando un sensor y se graficó el peso aparente en función de la profundidad, obteniéndose ecuaciones que permitieron calcular las densidades del agua y los cilindros, con errores menores al 3%.
Este documento describe un experimento sobre fuerzas concurrentes realizado en la Universidad Industrial de Santander. El experimento utilizó una mesa de fuerza, poleas, pesas y otros instrumentos para obtener una fuerza equilibrante para diferentes pesos y ángulos. Los resultados se analizaron utilizando conceptos como fuerzas concurrentes, vectores y equilibrio. El documento también incluye un marco teórico sobre estos conceptos y una descripción de la metodología experimental y los cálculos, resultados y análisis obtenidos.
Este documento discute la importancia del cálculo vectorial para los ingenieros civiles. Explica que el cálculo vectorial proporciona una notación clara para ecuaciones matemáticas y problemas geométricos y físicos, y ayuda a formar imágenes mentales de conceptos. Luego describe algunas aplicaciones del cálculo vectorial en ingeniería civil como diseño de carreteras, donde se usa para determinar la curvatura adecuada.
Este documento presenta conceptos fundamentales de la mecánica de fluidos, incluyendo hidrostática e hidrodinámica. Explica conceptos como presión, densidad, principio de Arquímedes y flotación. También describe cómo funcionan dispositivos como la prensa hidráulica y cómo los submarinos controlan su flotabilidad. La hidrostática estudia los fluidos en reposo y cómo se transmiten y miden las fuerzas sobre objetos sumergidos.
Este documento presenta un análisis de las fuerzas de presión que actúan sobre superficies curvas sumergidas en un fluido. Define conceptos como el centro de presiones, centro de masa y centroide. Explica cómo calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza, así como la fuerza resultante. Además, incluye ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos de fuerzas sobre superficies curvas de diferente geometría.
Texto de ejerciciosresueltos de hidraulica 1 nelameerslide71
Este documento presenta información sobre el autor Dr. Nestor Javier Lanza Mejía, profesor de ingeniería civil en la UNI. Describe su educación y experiencia profesional. También proporciona un prólogo y contenido para un texto sobre ejercicios resueltos de hidráulica, incluyendo propiedades de líquidos, compresibilidad, viscosidad y otros temas. El objetivo es que los estudiantes aprendan conceptos básicos de mecánica de fluidos e hidráulica a través de la solución de problemas.
PROYECTO DE ESTÁTICA-REACCIONES EN UNA VIGARICHARD CULQUE
Las tres oraciones resumen lo siguiente:
1) El documento describe un proyecto de investigación sobre las reacciones en los apoyos de una viga. 2) El objetivo es determinar teórica y experimentalmente las reacciones y comparar los resultados. 3) El marco teórico incluye definiciones de puente, viga, apoyos y ecuaciones de equilibrio para cuerpos rígidos en dos y tres dimensiones.
Trabajo e.e.indeterminadas de_estructura_ii_seccion_virtual_orlando_villarroeldeisy2683
Este documento presenta una introducción a las estructuras estáticamente indeterminadas. Define este tipo de estructuras como aquellas que necesitan más elementos de los necesarios para mantenerse estables, y cuyo análisis requiere métodos adicionales a las ecuaciones de equilibrio. Explica conceptos como grado de indeterminación, equilibrio estático y dinámico, ecuaciones de equilibrio, compatibilidad, y relación fuerza-desplazamiento. Finalmente, describe métodos generales para el análisis de estructuras estáticamente in
Este documento trata sobre la deflexión en vigas. Explica que la deflexión depende del diseño y materiales de la viga, y cómo afecta la flexibilidad y rigidez. Describe dos métodos para calcular la deflexión: el método de doble integración y el método de área de momento. El método de doble integración usa ecuaciones diferenciales e integrales para determinar la deflexión en cualquier punto, mientras que el método de área de momento usa áreas bajo la curva de momento para calcular deflexiones en p
1) El documento describe conceptos clave de la termodinámica como energía interna, energía térmica, calor, capacidad calorífica y la primera ley de la termodinámica.
2) Explica que la primera ley establece que el cambio en la energía interna de un sistema es igual al trabajo realizado sobre el sistema menos el calor transferido.
3) Presenta ejemplos de cálculos termodinámicos como el trabajo realizado por un gas al expandirse y la energía requerida para cambiar hielo a vapor.
Este documento presenta los resultados de un experimento de laboratorio que tuvo como objetivo comprobar experimentalmente el Teorema de Bernoulli. El experimento utilizó un banco hidráulico con piezómetros en diferentes puntos para medir la presión de un fluido en movimiento y verificar que la suma de las energías cinética, potencial y de presión se mantiene constante a lo largo de una línea de corriente, tal como lo predice el Teorema de Bernoulli. Las conclusiones del experimento validaron las predicciones teóricas del teorema.
Armaduras, tipos, clasificaciones, aplicaciones en la Ingeniería, Ecuacionesbrayan_jose
El documento describe diferentes tipos de armaduras utilizadas en ingeniería civil. Explica armaduras planas, armaduras especiales, y varios tipos específicos como armaduras Howe, Warren, Pratt y Fink. También describe el método de nudos y el método de secciones para analizar armaduras y determinar las fuerzas que actúan en sus miembros.
Este documento discute la compresibilidad de los fluidos. Explica que los líquidos se consideran incompresibles para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, aunque todos los fluidos son realmente compresibles. Los gases son muy compresibles y muestran cambios significativos en la densidad a velocidades cercanas al sonido, mientras que se requieren altas presiones para comprimir notablemente los líquidos.
Este documento trata sobre la dinámica de fluidos. Explica que un fluido es cualquier material que no es sólido y que puede fluir, como los líquidos y gases. Describe las diferencias entre flujo laminar y turbulento, y las ecuaciones de continuidad y Bernoulli, que describen el comportamiento de los fluidos en movimiento. También resume investigaciones sobre proyectos de irrigación en Perú.
1) El documento contrasta las propiedades de ductilidad y fragilidad en materiales. La ductilidad permite una gran deformación antes de la ruptura, mientras que los materiales frágiles se rompen fácilmente con poca deformación. 2) Describe las características de las fracturas dúctiles y frágiles, así como los ensayos como la tracción y fatiga para evaluar las propiedades de los materiales. 3) Proporciona ejemplos de materiales dúctiles como el cobre y el acero, y materiales frágiles como
El documento explica cómo calcular el área bajo una curva utilizando integrales. Describe los pasos para calcular el área limitada por una función, incluyendo hallar los puntos de corte con el eje x, calcular una primitiva de la función, y sumar las diferencias entre los valores de la primitiva en los puntos de corte. Proporciona ejemplos de cálculos de áreas para funciones como parábolas, rectas y cúbicas.
César Vallejo nació en 1892 en Perú en el seno de una familia con raíces españolas e indígenas. Fue el menor de 12 hermanos y creció en la pobreza pero con el calor del hogar. Estudió en la Universidad de Trujillo donde participó en clubes políticos y trabajó como profesor cuando no pudo pagar sus estudios. Se graduó en 1915 con una maestría en literatura española y estudió derecho hasta 1917 cuando se mudó a Lima con su novia.
Este informe describe tres experimentos realizados para visualizar superficies equipotenciales con diferentes arreglos de electrodos. Se midió el potencial eléctrico en varios puntos y se graficaron las líneas equipotenciales correspondientes para placas paralelas, pines con igual carga y un pin dentro de un anillo. Los resultados mostraron líneas equipotenciales paralelas para placas paralelas, curvas para pines y radiales para la configuración de pin-anillo, lo que está de acuerdo con la teoría de campos el
Este documento presenta diferentes métodos para sumar fuerzas concurrentes, incluyendo métodos gráficos como el paralelogramo, triángulo y polígono, y métodos analíticos como el trigonométrico y de componentes. Explica conceptos clave como sistema de fuerzas concurrentes, suma y resta de vectores, y equilibrio de partículas. Además, describe la metodología para aplicar cada método gráfico.
Resumen de Movimiento Uniforme en Canales y TuberiasLuis Morales
Este documento presenta las ecuaciones fundamentales para describir el movimiento de fluidos en canales y tuberías. Describe el movimiento uniforme y las ecuaciones para la velocidad media en canales muy anchos y tuberías, tanto para flujos laminares como turbulentos. También presenta las ecuaciones para el esfuerzo de corte en el fondo y las relaciones entre la pendiente, el radio hidráulico y la rugosidad.
Las derivadas parciales son las derivadas de una función de varias variables con respecto a cada una de las variables, manteniendo las demás como constantes. Se definen las derivadas parciales de una función z = f(x, y) como la derivada de z con respecto a x considerando y como constante, y la derivada de z con respecto a y considerando x como constante. El documento explica el cálculo de las derivadas parciales de primer y segundo orden para funciones de dos y tres variables.
Explicación sencilla de cómo descomponer fuerzas en componentes rectangulares y cómo obtener la fuerza resultante de varias fuerzas que actúan sobre una partícula
Este documento describe la ecuación general de la energía, que permite resolver problemas de flujo que involucran pérdidas y ganancias de energía. Se define la potencia requerida por las bombas en términos de la energía transferida y la velocidad de flujo de peso. También se explica el número de Reynolds y cómo se utiliza para clasificar los regímenes de flujo laminar, crítico y turbulento. Finalmente, se describen las ecuaciones para calcular el factor de fricción y las pérdidas de presión debido a la fricción en
Este documento presenta información sobre fuerzas y equilibrio de partículas. Explica conceptos como fuerzas externas e internas, sistemas de fuerzas, equilibrio en dos y tres dimensiones, y cómo resolver problemas de equilibrio mediante el uso de diagramas de cuerpo libre y la aplicación de las leyes de Newton. También incluye ejemplos resueltos que ilustran estos conceptos.
Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con diagramas de fuerza cortante y momento flector en vigas. El problema 5.8 determina que el momento flector máximo de una viga simétrica con cargas puntuales es PL/2. El problema 5.10 encuentra que para que la fuerza cortante sea cero en el punto medio de una viga con carga trapezoidal, la relación a/L debe ser 0,25. El problema 5.11 plantea las ecuaciones de fuerza cortante y momento flector para una viga con cargas puntual
El documento describe los diferentes tipos de columnas según su longitud y relación de esbeltez, así como las ecuaciones para calcular la carga crítica de pandeo. Explica que para columnas cortas la falla ocurre por cedencia, mientras que para columnas largas la ecuación de Euler predice con precisión la carga crítica. También analiza el efecto de la excentricidad de la carga y proporciona fórmulas alternativas como la de Johnson para columnas de longitud intermedia.
El documento describe la teoría del salto hidráulico y los diferentes tipos de saltos que pueden ocurrir en canales. Explica que un salto hidráulico ocurre cuando el flujo pasa repentinamente de un régimen de flujo supercrítico a uno subcrítico, lo que causa una pérdida de energía. Los tipos de salto se clasifican según el número de Froude del flujo aguas arriba y van desde saltos ondulatorios hasta saltos fuertes, dependiendo del valor de Froude. También se explican concept
Este capítulo presenta los conceptos básicos de cálculo diferencial e integral. La primera parte introduce el concepto de derivada como la tasa de cambio de una función y su significado geométrico como la pendiente de la recta tangente. La segunda parte trata el concepto de integral. Además, se explica la relación entre derivadas e integrales a través de un importante teorema. El capítulo concluye explicando reglas para derivar funciones básicas y propiedades de derivadas.
Derivadas e integrales apunte para principiantesFrancisco Gomez
Este capítulo presenta los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral. La primera parte introduce el concepto de derivada como la tasa de cambio de una función. La derivada representa la pendiente de la recta tangente al gráfico de una función. La segunda parte introduce el concepto de integral como la suma de áreas infinitesimales bajo la curva de una función.
Trabajo e.e.indeterminadas de_estructura_ii_seccion_virtual_orlando_villarroeldeisy2683
Este documento presenta una introducción a las estructuras estáticamente indeterminadas. Define este tipo de estructuras como aquellas que necesitan más elementos de los necesarios para mantenerse estables, y cuyo análisis requiere métodos adicionales a las ecuaciones de equilibrio. Explica conceptos como grado de indeterminación, equilibrio estático y dinámico, ecuaciones de equilibrio, compatibilidad, y relación fuerza-desplazamiento. Finalmente, describe métodos generales para el análisis de estructuras estáticamente in
Este documento trata sobre la deflexión en vigas. Explica que la deflexión depende del diseño y materiales de la viga, y cómo afecta la flexibilidad y rigidez. Describe dos métodos para calcular la deflexión: el método de doble integración y el método de área de momento. El método de doble integración usa ecuaciones diferenciales e integrales para determinar la deflexión en cualquier punto, mientras que el método de área de momento usa áreas bajo la curva de momento para calcular deflexiones en p
1) El documento describe conceptos clave de la termodinámica como energía interna, energía térmica, calor, capacidad calorífica y la primera ley de la termodinámica.
2) Explica que la primera ley establece que el cambio en la energía interna de un sistema es igual al trabajo realizado sobre el sistema menos el calor transferido.
3) Presenta ejemplos de cálculos termodinámicos como el trabajo realizado por un gas al expandirse y la energía requerida para cambiar hielo a vapor.
Este documento presenta los resultados de un experimento de laboratorio que tuvo como objetivo comprobar experimentalmente el Teorema de Bernoulli. El experimento utilizó un banco hidráulico con piezómetros en diferentes puntos para medir la presión de un fluido en movimiento y verificar que la suma de las energías cinética, potencial y de presión se mantiene constante a lo largo de una línea de corriente, tal como lo predice el Teorema de Bernoulli. Las conclusiones del experimento validaron las predicciones teóricas del teorema.
Armaduras, tipos, clasificaciones, aplicaciones en la Ingeniería, Ecuacionesbrayan_jose
El documento describe diferentes tipos de armaduras utilizadas en ingeniería civil. Explica armaduras planas, armaduras especiales, y varios tipos específicos como armaduras Howe, Warren, Pratt y Fink. También describe el método de nudos y el método de secciones para analizar armaduras y determinar las fuerzas que actúan en sus miembros.
Este documento discute la compresibilidad de los fluidos. Explica que los líquidos se consideran incompresibles para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, aunque todos los fluidos son realmente compresibles. Los gases son muy compresibles y muestran cambios significativos en la densidad a velocidades cercanas al sonido, mientras que se requieren altas presiones para comprimir notablemente los líquidos.
Este documento trata sobre la dinámica de fluidos. Explica que un fluido es cualquier material que no es sólido y que puede fluir, como los líquidos y gases. Describe las diferencias entre flujo laminar y turbulento, y las ecuaciones de continuidad y Bernoulli, que describen el comportamiento de los fluidos en movimiento. También resume investigaciones sobre proyectos de irrigación en Perú.
1) El documento contrasta las propiedades de ductilidad y fragilidad en materiales. La ductilidad permite una gran deformación antes de la ruptura, mientras que los materiales frágiles se rompen fácilmente con poca deformación. 2) Describe las características de las fracturas dúctiles y frágiles, así como los ensayos como la tracción y fatiga para evaluar las propiedades de los materiales. 3) Proporciona ejemplos de materiales dúctiles como el cobre y el acero, y materiales frágiles como
El documento explica cómo calcular el área bajo una curva utilizando integrales. Describe los pasos para calcular el área limitada por una función, incluyendo hallar los puntos de corte con el eje x, calcular una primitiva de la función, y sumar las diferencias entre los valores de la primitiva en los puntos de corte. Proporciona ejemplos de cálculos de áreas para funciones como parábolas, rectas y cúbicas.
César Vallejo nació en 1892 en Perú en el seno de una familia con raíces españolas e indígenas. Fue el menor de 12 hermanos y creció en la pobreza pero con el calor del hogar. Estudió en la Universidad de Trujillo donde participó en clubes políticos y trabajó como profesor cuando no pudo pagar sus estudios. Se graduó en 1915 con una maestría en literatura española y estudió derecho hasta 1917 cuando se mudó a Lima con su novia.
Este informe describe tres experimentos realizados para visualizar superficies equipotenciales con diferentes arreglos de electrodos. Se midió el potencial eléctrico en varios puntos y se graficaron las líneas equipotenciales correspondientes para placas paralelas, pines con igual carga y un pin dentro de un anillo. Los resultados mostraron líneas equipotenciales paralelas para placas paralelas, curvas para pines y radiales para la configuración de pin-anillo, lo que está de acuerdo con la teoría de campos el
Este documento presenta diferentes métodos para sumar fuerzas concurrentes, incluyendo métodos gráficos como el paralelogramo, triángulo y polígono, y métodos analíticos como el trigonométrico y de componentes. Explica conceptos clave como sistema de fuerzas concurrentes, suma y resta de vectores, y equilibrio de partículas. Además, describe la metodología para aplicar cada método gráfico.
Resumen de Movimiento Uniforme en Canales y TuberiasLuis Morales
Este documento presenta las ecuaciones fundamentales para describir el movimiento de fluidos en canales y tuberías. Describe el movimiento uniforme y las ecuaciones para la velocidad media en canales muy anchos y tuberías, tanto para flujos laminares como turbulentos. También presenta las ecuaciones para el esfuerzo de corte en el fondo y las relaciones entre la pendiente, el radio hidráulico y la rugosidad.
Las derivadas parciales son las derivadas de una función de varias variables con respecto a cada una de las variables, manteniendo las demás como constantes. Se definen las derivadas parciales de una función z = f(x, y) como la derivada de z con respecto a x considerando y como constante, y la derivada de z con respecto a y considerando x como constante. El documento explica el cálculo de las derivadas parciales de primer y segundo orden para funciones de dos y tres variables.
Explicación sencilla de cómo descomponer fuerzas en componentes rectangulares y cómo obtener la fuerza resultante de varias fuerzas que actúan sobre una partícula
Este documento describe la ecuación general de la energía, que permite resolver problemas de flujo que involucran pérdidas y ganancias de energía. Se define la potencia requerida por las bombas en términos de la energía transferida y la velocidad de flujo de peso. También se explica el número de Reynolds y cómo se utiliza para clasificar los regímenes de flujo laminar, crítico y turbulento. Finalmente, se describen las ecuaciones para calcular el factor de fricción y las pérdidas de presión debido a la fricción en
Este documento presenta información sobre fuerzas y equilibrio de partículas. Explica conceptos como fuerzas externas e internas, sistemas de fuerzas, equilibrio en dos y tres dimensiones, y cómo resolver problemas de equilibrio mediante el uso de diagramas de cuerpo libre y la aplicación de las leyes de Newton. También incluye ejemplos resueltos que ilustran estos conceptos.
Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con diagramas de fuerza cortante y momento flector en vigas. El problema 5.8 determina que el momento flector máximo de una viga simétrica con cargas puntuales es PL/2. El problema 5.10 encuentra que para que la fuerza cortante sea cero en el punto medio de una viga con carga trapezoidal, la relación a/L debe ser 0,25. El problema 5.11 plantea las ecuaciones de fuerza cortante y momento flector para una viga con cargas puntual
El documento describe los diferentes tipos de columnas según su longitud y relación de esbeltez, así como las ecuaciones para calcular la carga crítica de pandeo. Explica que para columnas cortas la falla ocurre por cedencia, mientras que para columnas largas la ecuación de Euler predice con precisión la carga crítica. También analiza el efecto de la excentricidad de la carga y proporciona fórmulas alternativas como la de Johnson para columnas de longitud intermedia.
El documento describe la teoría del salto hidráulico y los diferentes tipos de saltos que pueden ocurrir en canales. Explica que un salto hidráulico ocurre cuando el flujo pasa repentinamente de un régimen de flujo supercrítico a uno subcrítico, lo que causa una pérdida de energía. Los tipos de salto se clasifican según el número de Froude del flujo aguas arriba y van desde saltos ondulatorios hasta saltos fuertes, dependiendo del valor de Froude. También se explican concept
Este capítulo presenta los conceptos básicos de cálculo diferencial e integral. La primera parte introduce el concepto de derivada como la tasa de cambio de una función y su significado geométrico como la pendiente de la recta tangente. La segunda parte trata el concepto de integral. Además, se explica la relación entre derivadas e integrales a través de un importante teorema. El capítulo concluye explicando reglas para derivar funciones básicas y propiedades de derivadas.
Derivadas e integrales apunte para principiantesFrancisco Gomez
Este capítulo presenta los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral. La primera parte introduce el concepto de derivada como la tasa de cambio de una función. La derivada representa la pendiente de la recta tangente al gráfico de una función. La segunda parte introduce el concepto de integral como la suma de áreas infinitesimales bajo la curva de una función.
1) La derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función y permite estudiar su crecimiento, máximos y mínimos.
2) Para encontrar extremos locales de una función derivable, se analiza cuando su derivada es cero y el signo de su segunda derivada.
3) La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente en ese punto de la curva gráfica de la función.
1) El documento habla sobre conceptos básicos de cálculo diferencial como derivación, incrementos, derivadas y su interpretación geométrica.
2) Explica que la derivada de una función es el límite de la razón entre el incremento de la función y el incremento de la variable independiente a medida que este último se acerca a cero.
3) También presenta la regla general para calcular derivadas paso a paso.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos del capítulo sobre derivación de funciones de una variable en cálculo. Explica la definición formal de derivada como el límite de la razón del cambio en la función dividido por el cambio en la variable independiente a medida que este último se acerca a cero. También describe la interpretación geométrica de la derivada en términos de la pendiente de la tangente a la curva representativa de la función.
Este documento presenta un resumen de los primeros cuatro capítulos de un libro de cálculo. El capítulo 1 introduce conceptos básicos como variables, funciones, límites y continuidad. El capítulo 2 explica la derivación y cómo medir el cambio en una función. El capítulo 3 presenta reglas para derivar funciones algebraicas como sumas, productos y constantes. El capítulo 4 continúa explicando reglas para derivar funciones más complejas.
1) La derivada de una función indica la pendiente de la recta tangente en un punto y mide la tasa de cambio de la función.
2) Existen reglas para calcular derivadas de funciones como sumas, productos, cocientes y compuestas.
3) Las derivadas tienen aplicaciones como encontrar máximos y mínimos o analizar cambios en funciones económicas como costos y beneficios.
1) La derivada de una función indica la pendiente de la recta tangente en un punto y representa la tasa de cambio de la función. 2) Existen reglas para calcular derivadas de funciones como sumas, productos, cocientes y compuestas. 3) Las derivadas tienen aplicaciones como encontrar máximos y mínimos o analizar cambios en la economía a través del costo y el ingreso marginal.
Materia de investigación de Gran Vill Rafael potes
Este documento presenta un resumen de varios capítulos sobre cálculo diferencial. Introduce conceptos como variables, funciones, límites, derivadas, reglas para derivar funciones algebraicas y funciones implícitas. Explica temas como derivar constantes, variables, sumas, productos y potencias de funciones, así como interpretar geométricamente las derivadas.
Este documento explica los conceptos fundamentales de las sumatorias y las integrales definidas. Una sumatoria indica la suma de una serie de términos algebraicos entre un límite inferior y superior, denotados por sigma. El área bajo una curva puede aproximarse dividiéndola en rectángulos, y al tomar más rectángulos la aproximación es mejor. La integral definida es el límite de la suma de Riemann, y representa el área exacta bajo la curva. Los teoremas fundamentales del cálculo establecen que la derivada de una integral
Este documento introduce el concepto de derivadas, su historia y aplicaciones. Explica cómo las derivadas permiten resolver problemas de variación y movimiento. Luego define la tasa de variación media e instantánea de una función en un intervalo. Finalmente, cubre cómo calcular la derivada de funciones simples y las reglas básicas de derivación y su interpretación geométrica como pendiente de la tangente.
Este documento introduce conceptos clave del cálculo diferencial e integral de funciones reales de varias variables, incluyendo límites, derivadas parciales, gradiente, divergencia y rotacional. Explica definiciones, teoremas y propiedades con ejemplos para facilitar la comprensión de estos temas fundamentales. En conclusión, destaca la importancia de estas herramientas matemáticas para resolver problemas que involucran magnitudes como velocidad y aceleración media.
Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, funciones derivadas, derivabilidad y continuidad. Explica la definición de derivada como un límite, su interpretación geométrica como pendiente de la tangente y su uso en física para medir velocidad y otros ritmos de cambio. También cubre reglas para derivar funciones, derivadas sucesivas, derivabilidad de funciones definidas a trozos y el vínculo entre derivabilidad y continuidad.
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencialdanis_garcia
La derivada de una función mide la tasa de cambio de la función con respecto a cambios en su variable independiente. La derivada en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la curva de la función en ese punto. Las derivadas tienen muchas aplicaciones importantes en física, química, economía y otras áreas.
Este documento presenta un resumen de tres clases sobre funciones dictadas por la Mg. Hellen Terreros Navarro. La primera clase trata sobre la paridad de funciones y cómo identificar si una función es par o impar. La segunda clase cubre funciones periódicas y sus características. La tercera clase analiza funciones monótonas y cómo determinar si una función es creciente o decreciente. El documento proporciona ejemplos y demostraciones para ilustrar los conceptos.
1) El documento explica conceptos fundamentales sobre límites y continuidad de funciones, incluyendo definiciones de límite, continuidad y discontinuidad. 2) También presenta derivadas parciales de primer y segundo orden de funciones de varias variables, y cómo calcular diferenciales. 3) El documento utiliza ejemplos para ilustrar estos conceptos clave sobre funciones.
Este documento presenta conceptos básicos de cálculo diferencial como funciones, continuidad, límites, derivadas e interpretación geométrica de la derivada. También aborda temas como máximos y mínimos, monotonía y concavidad que son aplicaciones importantes de la derivada. El cálculo diferencial ha sido fundamental para el progreso de las matemáticas, la física y la ingeniería al proporcionar herramientas para modelar y resolver problemas.
El documento resume los conceptos fundamentales de cálculo diferencial, incluyendo la definición de incremento, derivada y reglas para derivar funciones. Explica que la derivada de una función es el límite de la razón entre el incremento de la función y el incremento de la variable independiente a medida que este último tiende a cero. También describe la interpretación geométrica de la derivada en términos de la tangente a una curva.
1. Cap´
ıtulo 4
Derivadas e Integrales
4.1. Introducci´n a la derivaci´n
o o
En este cap´ ıtulo presentaremos los conceptos m´s b´sicos del c´lculo diferencial e
a a a
integral. Este cap´ıtulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata con
el concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral.
Adem´s, se ver´ el nexo que existe entre ambos conceptos a trav´s de un muy importante
a a e
teorema.
4.1.1. Derivada de una funci´n
o
Si tuvi´semos que definir a la derivada de una funci´n en pocas palabras, dir´
e o ıamos
que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funci´n nos dice, de
o
alguna manera, cu´nto cambia la funci´n(variable dependiente) a medida que cambia la
a o
variable independiente. La derivada de una funci´n nos dir´ si una funci´n crece o decrece
o a o
r´pidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funci´n, mejor
a o
comenzaremos describiendo el significado geom´trico que tiene, para luego definirla m´s
e a
correctamente.
Significado geom´trico de la derivada
e
Consideremos una funci´n lineal como f (x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de la
o
recta descrita por esta funci´n es constante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de
o
esta funci´n es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta funci´n es constante
o o
para todo x y vale m.
Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funci´n cuadr´tica f (x) = x2 . Cu´l es la
o a a
tasa de crecimiento de esta funci´n. Al graficar esta funci´n(una par´bola) nos damos
o o a
cuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos del
origen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta funci´n crece y crece cada vez m´s r´pido.
o a a
¿Como poder medir m´s cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los
a
siguientes dos puntos de la par´bola:
a
P1 (1, f (1)) = P1 (1, 1)
2. 112 Derivadas e Integrales
P2 (2, f (2)) = P2 (2, 4)
Una buena manera de medir cuanto cambia la funci´n f (x) al ir de x = 1 a x = 2 es
o
calcular la pendiente de la recta que une los puntos (1, 1) y (2, 4). Dicha pendiente vale:
4−1
m= =3
2−1
Esta pendiente representa la tasa de crecimiento ”promedio”de la funci´n al ir de x = 1
o
a x = 2 ya que la funci´n crecer´ m´s lentamente cerca de x = 1 y m´s r´pidamente
o a a a a
cerca de x = 2. ¿Como poder saber, de mejor manera cuanto crece f (x) cerca de x = 1.
F´cil. Consideremos un punto m´s cercano que P2 al punto P1 . A decir, consideremos el
a a
punto
P3 (1,5, f (1,5)) = P3 (1,5, 2,25)
Repitiendo el c´lculo para la pendiente promedio entre los puntos P1 y P3 , encontramos
a
que:
2,25 − 1 1,25
m= = = 2,5
1,5 − 1 0,5
Notemos que al ir considerando un punto, llamado Pk , cada vez m´s cercano a P1 , la
a
recta que une P1 con Pk se asemeja cada vez m´s con la recta tangente a P1 . Decimos
a
que en el l´
ımite, la recta que une los puntos P1 y Pk es la recta tangente a la curva en P1 .
4
3
recta tangente
a y=x2 en P1
2
1
P1
-2 -1 1 2
´
Definicion 1 (geometrica de derivada) La derivada de una funci´n f (x) en x◦ se
o
define como la pendiente de la recta tangente al gr´fico de f (x) en el punto (x◦ , f (x◦ )).
a
4.1.2. Noci´n de l´
o ımite
Entender el concepto de l´ımite es fundamental en cualquier curso serio de c´lculo.
a
Sin ir m´s all´, la derivada es un l´
a a ımite. Pero, ¿ qu´ es un l´
e ımite ? Al estudiar series
ya introducimos, sin darnos cuenta, la noci´n de l´
o ımite. Por ejemplo, consideremos la
siguiente suma :
1 1 1 1
Sn = + + + · · · + n
2 4 8 2
¿Qu´ pasaba si n crec´ al infinito? Esta suma se transformaba en una serie geom´trica
e ıa e
cuyo valor sabemos que es 1. Matem´ticamente, esto se expresa como:
a
l´ Sn = 1
ım
n→∞
3. 4.1 Introducci´n a la derivaci´n
o o 113
x f(x)
±1 0.8415
± 0.5 0.9589
± 0.1 0.9983
± 0.05 0.9996
± 0.01 0.9999
Este es un caso particular de l´
ımite.
De modo m´s general, decimos que el l´
a ımite de una funci´n f (x) cuando x tiende a a es
o
L, si al acercarnos a x=a podemos hacer que f(x) se acerque a L tanto como queramos.
Esto se anota matem´ticamente as´
a ı:
l´ f (x) = L
ım
x→a
Nota: No es necesario que f (a) exista o este definido para que l´ x→a f (x) exista.
ım
Ejemplo 4.1.1 Sea c una constante cualquiera, entonces
l´ c = c
ım
x→a
l´ c · x = c · a
ım
x→a
Ejemplo 4.1.2
1
l´
ım =0
x→∞ x
Si bien es cierto el valor de 1/x para cualquier x real es distinto de 0, podemos hacer
que 1/x se acerque a cero tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente
grandes.
Ejemplo 4.1.3
sin(x)
l´
ım =1
x→0 x
En el ejemplo anterior, justificamos el valor del l´
ımite pero no dimos una demostraci´n
o
rigurosa de su valor porque en parte no contamos con la teor´ completa. Justificaremos
ıa
el valor del ultimo l´
´ ımite con ayuda de una calculadora aunque debemos decir que esto
no constituye una demostraci´n en s´
o ı.
A partir de esta tabla observamos claramente que existe una tendencia por parte de
f (x) = sin(x) a acercarse a 1 a medida que x se acerca a 0.
x
Propiedades de linealidad del l´
ımite :
l´ cf (x) = c l´ f (x)
ım ım
x→a x→a
l´ [f (x) + g(x)] = l´ f (x) + l´ g(x)
ım ım ım
x→a x→a x→a
4. 114 Derivadas e Integrales
Ejemplo 4.1.4 Sea :
x2 − 1
f (x) =
x−1
Calcular el valor de:
l´ f (x)
ım
x→1
Soluci´n : El valor de f (1) no esta definido ya que tras una simple evaluaci´n obten-
o o
emos:
0
f (1) =
0
Pero notemos que :
(x + 1)(x − 1)
f (x) = = x + 1 ,x = 1
x−1
Entonces:
l´ f (x) = l´ x + 1 = 2
ım ım
x→1 x→1
Definicion 2 (formal de derivada) La derivada de una funci´n f (x) evaluada en
o
un punto x◦ se define como:
f (x◦ + h) − f (x◦ )
l´
ım
h→0 h
Otra definici´n equivalente de la misma derivada es la siguiente :
o
f (x) − f (x◦ )
l´
ım
x→x◦ x − x◦
Notaci´n :
o
La derivada de y = f (x) en x◦ se denota por:
dy
= f (x◦ )
dx x◦
Ejemplo 4.1.5 Calculemos la derivada de f (x) = x2 evaluada en x = x◦
d 2 (x◦ + h)2 − x2◦
(x ) = l´
ım
dx x◦ h→0 h
x2 + 2x◦ h + h2 − x2
ım ◦
= l´ ◦
h→0 h
(2x◦ h + h2 )
= l´
ım
h→0 h
= l´ (2x◦ + h)
ım
h→0
= 2x◦
5. 4.1 Introducci´n a la derivaci´n
o o 115
Hemos definido la derivada de una funci´n en un punto cualquiera x◦ . Entonces,
o
ahora es natural querer considerar o construir la siguiente funci´n:
o
´
Definicion 3 (de la funcion derivada) La funci´n derivada (de otra funci´n) se
o o
define punto a punto como sigue:
f (x + h) − f (x)
f (x) = l´
ım
h→0 h
Hagamos notar que no hemos dicho nada acerca de si h puede tomar solo valores positivos
o no al irse acerc´ndose a cero en el l´
a ımite. Esto nos lleva a definir dos clases distintas de
derivadas (y de l´ımites). Si h en 3 tiende a cero tomando solo valores positivos, entonces
la derivada se denomina derivada por la derecha. A su vez, si h tiende a cero tomando
solo valores negativos, entonces la derivada se denomina derivada por la izquierda. Para
que una funci´n se diga derivable en un punto, debe estar definida su derivada por la
o
izquierda y su derivada por la derecha en ese punto y ambas deben ser iguales. Para que
una funci´n se diga derivable, debe ser derivable en todo punto. No todas las funciones
o
son derivables.
Ejemplo 4.1.6 Consideremos la funci´n f (x) = |x|. Esta funci´n no es derivable porque
o o
para x = 0 su derivada por la izquierda es distinta a su derivada por la derecha. De
hecho, en x = 0 la derivadas por la izquierda y por la derecha de f (x) valen −1 y 1
respectivamente.
Ejemplo 4.1.7 La funci´n derivada de la funci´n f (x) = x2 es:
o o
f (x) = 2x
Demostraci´n: Directa a partir de la definici´n de funci´n derivada y del ejemplo 4.1.5.
o o o
Notaci´n : La derivada de la derivada de una funci´n, o simplemente la segunda
o o
derivada de una funci´n, se anota como sigue:
o
d d d2
f (x) = f (x) = f (x)
dx dx dx2
´
De igual modo, podemos hablar de la derivada n-esima de una funci´n f (x). Esta debe
o
entenderse como una funci´n proveniente de f (x) despu´s de haberla derivado n veces
o e
seguidas.
6. 116 Derivadas e Integrales
4.2. Reglas importantes para derivar
Como el lector ya deber´ poseer una comprensi´n b´sica del significado de la funci´n
ıa o a o
derivada, a continuaci´n enunciaremos una serie de reglas pr´cticas para derivar las
o a
funciones m´s importantes. No abordaremos las demostraciones te´ricas de estas reglas
a o
no porque sea dif´
ıciles sino simplemente porque no deseamos extendernos demasiado.
4.2.1. Derivadas de funciones b´sicas
a
y(x) = k ⇒ y (x) = 0
y(x) = mx ⇒ y (x) = m
n
y(x) = x ⇒ y (x) = nxn−1
y(x) = ex ⇒ y (x) = ex
y(x) = ax ⇒ y (x) = ax ln a
y(x) = ln x ⇒ y (x) = 1/x
y(x) = sin x ⇒ y (x) = cos x
y(x) = cos x ⇒ y (x) = − sin x
4.2.2. Propiedades de linealidad de la derivada
Sea c una constante cualquiera, entonces:
y(x) = cf (x) ⇒ y (x) = cf (x)
y(x) = f (x) ± g(x) ⇒ y (x) = f (x) ± g (x)
Derivada de un producto de funciones
La derivada de una producto de funciones es como sigue:
d d d
[f (x) · g(x)] = f (x) · g(x) + f (x) · g(x)
dx dx dx
Ejemplo 4.2.1 Calcular la derivada de f (x) = x sin(x).
d d d
[x · sin(x)] = x · sin(x) + x · sin(x) = sin(x) + x cos(x)
dx dx dx
Derivada de un cuociente de funciones
d d
d f (x)
= dx f (x) · g(x) − f (x) dx g(x)
dx g(x) [g(x)]2
7. 4.2 Reglas importantes para derivar 117
Ejemplo 4.2.2 Calcular la derivada de f (x) = tan(x)
d d
d
tan(x) =
d sin(x)
= dx sin(x) · cos(x) − sin(x) dx cos(x) = cos(x) · cos(x) − sin(x) [− sin(x)]
dx dx cos(x) [cos(x)]2 [cos(x)]2
cos2 (x) + sin2 (x) 1
= 2 (x)
= = sec2 (x)
cos cos2 (x)
Derivada de una composici´n de funciones. Regla de la cadena
o
d d d
g(f (x)) = g(x) · f (x)
dx dx f (x) dx
Ejemplo 4.2.3 Calcular la derivada de sin(x2 )
d d d 2
sin(x2 ) = sin(x) · x = cos(x2 ) · 2x
dx dx x2 dx
Ejercicio 4.2.1 Verificar que las funciones y(x) = sin(wx) e y(x) = cos(wx) satisfacen
la ecuaci´n diferencial:
o
y(x) + w2 y(x) = 0 (4.1)
Concluir que la funci´n :
o
y(x) = A sin wx + B cos wx
donde A y B son constantes arbitrarias, tambi´n satisface la ecuaci´n 4.1. Se dice que
e o
la funci´n y(x) es la soluci´n general de la ecuaci´n 4.1
o o o
Nota: La ecuaci´n diferencial 4.1 es muy importante. en general, este tipo de ecuaciones
o
llevan el nombre de ecuaciones diferenciales. Una ecuaci´n diferencial es una ecuaci´n
o o
en donde figura una funci´n f (x) junto con algunas de sus derivadas. En este tipo de
o
ecuaciones, la soluci´n no es un valor real como en una ecuaci´n algebraica, sino que la
o o
soluci´n de la ecuaci´n es una funci´n !.
o o o
8. 118 Derivadas e Integrales
4.2.3. Aplicaciones de la derivada
En esta secci´n abordaremos algunas aplicaciones b´sicas de la derivada en algunos
o a
problemas de matem´ticas y f´
a ısica.
Ejemplo 4.2.4 Calcular la ecuaci´n de la recta tangente a la curva descrita por la
o
funci´n f (x) = x3 + 3x2 − 5 en el punto de abcisa x = 1.
o
Soluci´n : Sabemos que la pendiente de dicha recta es igual a:
o
d 3
m = (x + 3x2 − 5)
dx x=1
2
= 3x + 6x
x=1
= 3+6
= 9
Ahora conocemos la pendiente de la recta. Solo basta conocer un punto de la recta para
poder determinar la ecuaci´n punto-pendiente de la recta. Sabemos que un punto de la
o
recta corresponde a (1, f (1)).
f (1) = 1 + 3 − 5 = −1
Entonces, la ecuaci´n de la recta buscada es :
o
y + 1 = 9(x − 1)
4.2.4. Cinem´tica en una dimensi´n
a o
La cinem´tica se encarga de describir, con el uso de las matem´ticas, el movimiento
a a
de los cuerpos. Para tal efecto, las medidas de distancia y de tiempo son esenciales.
Consideraremos un mundo de una dimensi´n(espacial),en donde se necesita una sola
o
coordenada para describir la posici´n de un cuerpo en el espacio. Si queremos saber
o
en donde se encuentra un cuerpo, debemos medir su distancia con respecto a alg´n u
origen arbitrario que supondremos inm´vil. Pero si el cuerpo se halla en movimiento, la
o
distancia entre este cuerpo y el origen var´ con respecto al tiempo.
ıa
Definicion 4 La velocidad es la tasa de cambio de la posici´n de un m´vil con respecto
o o
al tiempo. M´s precisamente, supongamos que contamos con una funci´n x(t) que nos
a o
entrega la posici´n de un m´vil con respecto a un punto fijo O en funci´n del tiempo.
o o o
Entonces, llamamos velocidad instant´nea del m´vil (con respecto a O) a:
a o
d
v(t) = x(t)
dt
Definicion 5 La aceleraci´n es la tasa de cambio de la velocidad de un m´vil con
o o
respecto al tiempo. M´s precisamente, supongamos que contamos con una funci´n v(t)
a o
9. 4.2 Reglas importantes para derivar 119
que nos entrega la velocidad de un m´vil en funci´n del tiempo. Entonces, llamamos
o o
aceleraci´n instant´nea del m´vil a:
o a o
d d2
a(t) = v(t) = 2 x(t)
dt dt
Ejemplo 4.2.5 Calcula la velocidad y aceleraci´n de un m´vil cuya posici´n est´ de-
o o o a
scrita por :
x(t) = 5t2 + 12t + 3
Soluci´n :
o
v(t) = x (t) = (5t2 + 12t + 3) = (5t2 ) + (12t) + (3) = 10t + 12
a(t) = v (t) = (10t + 12) = (10t) + (12) = 10
4.2.5. Optimizaci´n en una variable
o
Una de las aplicaciones del c´lculo diferencial o de derivadas es encontrar los puntos
a
en donde una funci´n alcanza valores m´ximos o m´
o a ınimos. Geom´tricamente, es f´cil ver
e a
que la pendiente de la recta tangente a esos puntos es cero. Por lo tanto, si una funci´n
o
alcanza un valor m´ximo o m´
a ınimo en un punto, entonces la derivada de la funci´n en
o
ese punto deber´ ser nula.
a
Ejemplo 4.2.6 Calcular el valor m´ınimo de f (x) = x2 + 8x − 1.
Soluci´n: Calculemos la derivada de f (x):
o
f (x) = 2x + 8
Ahora impongamos que f (x) = 0:
f ‘(x) = 2x + 8 = 0 ⇒ x=4
f (4) = 42 + 8 · 4 − 1 = 47
El valor m´
ınimo de f (x) es 47.
Observaciones:
Que una funci´n tenga un punto extremo (un m´ximo o un m´
o a ınimo) en un punto implica
que la derivada de la funci´n en ese punto es cero, pero la afirmaci´n rec´
o o ıproca no es
cierta: que la derivada de una funci´n se anule en un punto no implica que la funci´n
o o
tenga un punto extremo en ese punto.
Ejemplo 4.2.7 Consideremos la funci´n f (x) = x3 :
o
⇒ f (x) = 3x2 = 0 ⇒ x=0
La derivada de f (x) = x3 en x = 0 vale cero, pero la funci´n NO tiene un valor extremo
o
en ese punto.
10. 120 Derivadas e Integrales
20
10
-10 -5 5 10
-10
-20
Para saber mejor que sucede con una funci´n f (x) en un punto x = a donde su derivada
o
se anula (f (a) = 0), calculamos la segunda derivada de la funci´n y la evaluamos en ese
o
punto.
1. Si f (a) > 0 entonces f (x) alcanza un valor m´
ınimo ”local”en torno a x = a
2. Si f (a) < 0 entonces f (x) alcanza un valor m´ximo ”local”en torno a x = a
a
3. Si f (a) = 0 entonces no podemos decir nada acerca del comportamiento de f (x)
en torno a x = a
11. 4.3 Introducci´n a la integraci´n
o o 121
4.3. Introducci´n a la integraci´n
o o
Esta secci´n tratar´ de los aspectos b´sicos del c´lculo integral. Pero nuevamente,
o a a a
tal como hicimos con la secci´n de c´lculo diferencial, abordaremos el tema de un mo-
o a
do pr´ctico y no te´rico. Comenzaremos definiendo el concepto de la integral (o inte-
a o
gral definida) y luego introduciremos el concepto de la primitiva (o anti-derivada). La
definici´n de integral definida que presentaremos (tambi´n conocida como integral de
o e
Riemman) no tiene relaci´n alguna con lo que hemos visto de c´lculo diferencial. Las
o a
primitivas, en cambio, tiene directa relaci´n con lo que es el c´lculo diferencial o de
o a
derivadas. Adem´s, veremos que existe un teorema, el Teorema Fundamental del C´lcu-
a a
lo (TFC), que relaciona el concepto de integral con el de primitiva, por lo cual tambi´n
e
se le otorga a esta ultima el nombre de integral indefinida. Calcular una integral puede
´
resultar sumamente dif´ ıcil, pero si la relacionamos con una primitiva a trav´s del TFC,
e
el c´lculo puede ser directo.
a
4.3.1. La integral definida
Consideremos una funci´n f (x). S´lo a modo de ilustraci´n, consideraremos que la
o o o
funci´n f (x) es creciente. Queremos encontrar una manera de calcular el ´rea encerrada
o a
entre la funci´n f (x), el eje x y las rectas x = a y x = b. Para tal efecto hagamos lo
o
siguiente:
Consideremos el intervalo [a, b] de las abscisas. Dividamos el intervalo para [a, b]
en n sub-intervalos m´s peque˜os y de igual tama˜o h = (b − a)/n. El intervalo
a n n
i-´simo resulta ser:
e
[a + h(i − 1), a + hi] donde i ∈ {1, 2, . . . , n}
Dividamos nuestra ´rea en peque˜os rectangulitos de base h y altura f (a + h(i −
a n
1)), i ∈ {1, 2, . . . , n} de tal manera que la suma de las areas de estos rectangulitos
sea un poco inferior al area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos
I− (x).
y
area achurrada
f(a) = I-
a h x
Dividamos nuestra ´rea en peque˜os rectangulitos de base h y altura f (a+hi), i ∈
a n
{1, 2, . . . , n}de tal modo que la suma de las areas de estos rectangulitos sea un poco
superior a la area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos I+ (x).
12. 122 Derivadas e Integrales
y
area achurrada
f(a) = I+
a h x
Si resulta que
l´ I− = l´ I+ = I = ∞
ım ım
h→0 h→0
ımite ”la integral de f (x) a dx entre x=a y x=b se
entonces se denomina a este l´ 2
denota:
b
I= f (x)dx
a
Ejemplo 4.3.1 Calcular la integral de f (x) = x entre x = 0 y x = b.
Soluci´n: Dividamos el intervalo [0,b] en n partes iguales de longitud h = b/n mediante
o
los puntos {0, h, 2h, . . . , b}. Entonces, la integral definida entre x = 0 y x = b es:
b n−1 n
xdx = l´
ım h · ih = l´
ım h · ih
0 h→0 h→0
i=0 i=1
N´tese que hemos expresado la integral como
o
l´ I− (x) y adem´s como l´ I+ (x)
ım a ım
h→0 h→0
Calculemos primero el primer l´
ımite:
n−1 n−1
(n − 1)n (hn)2 hn · h
l´ I− (x) = l´
ım ım h · ih = l´ h2
ım ·i = l´ h2
ım = l´
ım −
h→0 h→0
i=0
h→0
i=0
h→0 2 h→0 2 2
pero como hn = b entonces
b2 bh
l´ I− (x) =
ım l´
ım −
h→0 h→0 2 2
b2
=
2
Queda propuesto al lector verificar que tambi´n se tiene que:
e
b2
l´ I+ (x) =
ım
h→0 2
13. 4.3 Introducci´n a la integraci´n
o o 123
4.3.2. La integral indefinida o primitiva
La derivaci´n puede ser vista como un operador que toma una funci´n f (x) y retorna
o o
su funci´n derivada f (x). ¿Existir´ el proceso inverso? Es decir, ¿existir´ alg´n operador
o a a u
que tome la funci´n f (x) y retorne f (x) ? Este proceso inverso existe y se denomina
o
integraci´n indefinida,c´lculo de primitivas o de anti-derivadas.
o a
Definicion 6 Sea F (x) una funci´n diferenciable con derivada f (x). Sea, adem´s, C
o a
una constante real cualquiera. Entonces se denomina primitiva o integral indefinida de
f (x) a la funci´n F (x) + C. La primitiva de f (x) se anota:
o
f (x)dx = F (x) + C = funci´n que al derivarla entrega f(x)
o
Observaci´n: N´tese que al pedir la primitiva de f (x) se busca una funci´n tal que
o o o
al derivarla entregue f(x). Sabemos, por el enunciado, que la funci´n F (x) cumple con
o
tal condici´n. Pero F (x) no es la unica funci´n que cumple con la condici´n. A decir
o ´ o o
verdad, la funci´n F (x) + C, donde C una constante cualquiera, tambi´n cumple con la
o e
condici´n (ya que la derivada de una constante es cero).
o
4.3.3. Primitivas importantes
kdx = kx + C
xn+1
xn dx = +C
n+1
ex dx = ex + C
ax
ax dx = +C
ln a
1
dx = ln x + C
x
sin xdx = − cos x + C
cos xdx = sin x + C
4.3.4. Propiedades de las primitivas
cf (x)dx = c f (x)dx
[f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx
14. 124 Derivadas e Integrales
Ejemplo 4.3.2
x3 7x6
[x2 − 7x5 + 2 sin x]dx = x2 dx − 7 x5 dx + 2 sin xdx = + − 2 cos x + C
3 6
4.3.5. El Teorema Fundamental del C´lculo (TFC)
a
Si bien las integrales(definidas) y las primitivas se definieron de manera completa-
mente distinta, existe un poderoso teorema que relaciona ambos conceptos. Este teorema
nos permite calcular integrales dif´
ıciles calculando muy f´cilmente una primitiva.
a
´
Teorema 4.3.1 (Fundamental del Calculo) Sea F (x) una funci´n diferenciable
o
con derivada f (x). Es decir, F (x) es una primitiva de f (x). Entonces,
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Notaci´n : Sea F(x) una funci´n. Entonces se utiliza mucho la siguiente notaci´n:
o o o
F (x)|b ≡ F (b) − F (a)
a
Corolario (de la notaci´n)
o
b
f (x)dx = F (x)|b
a
a
Ejemplo 4.3.3 Calcular la integral
5
x2 dx
1
Soluci´n: Si bien esta integral se puede calcular usando sumatorias y tomando el l´
o ımite
(hacerlo como ejercicio), una manera mucho m´s f´cil es hacerlo empleando el TFC.
a a
Sabemos que una primitiva de f (x) = x2 es F (x) = x3 /3 + C. Entonces, seg´n el TFC,
u
5
x2 dx = F (5) − F (1) = (53 /3 + C) − (13 /3 + C) = 125/3 − 1/3 = 124/3
1
15. 4.4 Aplicaciones de la integral 125
4.4. Aplicaciones de la integral
4.4.1. C´lculo de ´reas
a a
Ejemplo 4.4.1 Hallar el ´rea entre las curvas y = x2 + 1 e y = 9 − x2
a
Soluci´n : Grafiquemos ambas funciones:
o
y
8 y=x2+1
6
4
2
y=9-x2
-2 -1 1 2
x
Encontremos los puntos de intersecci´n de ambos gr´ficos:
o a
y = x2 + 1
y = 9 − x2
Resolviendo este sistema, encontramos que:
x2 + 1 = 9 − x2 ⇒ 2x2 = 8 ⇒ x = ±2
Luego, el ´rea entre ambos gr´ficos corresponde a:
a a
2 2 2
[(9 − x2 ) − (x2 + 1)]dx = [8 − 2x2 ]dx = 8dx − 2 2x2 dx
−2 −2 −2 −2
2
x3
= 8 · (2 − (−2)) − 2 = 32 − 2 · [8/3 − (−8/3)] = 32 − 32/3 = 64/3
3 −2
4.4.2. Cinem´tica en una dimensi´n
a o
En la secci´n de derivaci´n ya vimos que la derivada con respecto al tiempo de la
o o
posici´n de un m´vil es su velocidad y que la derivada con respecto al tiempo de la
o o
velocidad de un m´vil es su aceleraci´n. Ahora que conocemos la integrar podemos decir
o o
que:
v(t) = a(t)dt + C1
x(t) = v(t)dt + C2
Las constantes de integraci´n C1 y C2 pueden determinarse conociendo la velocidad y
o
posici´n del m´vil en un instante dado.
o o
Ejemplo 4.4.2 Calcular la posici´n y velocidad de un m´vil sabiendo que a(t) = 2t + 1,
o o
v(0) = 0, x(0) = 3.
Soluci´n : Sabemos que:
o
v(t) = a(t)dt + C1 = [2t + 1]dt + C1 = t2 + t + C1
16. 126 Derivadas e Integrales
Evaluando la condici´n v(0)=0 obtenemos:
o
v(0) = C1 = 0
Por tanto, la velocidad del m´vil es:
o
v(t) = t2 + t
Calculemos ahora su posici´n :
o
x(t) = v(t)dt + C2 = [t2 + t]dt + C2 = t3 /3 + t2 /2 + C2
Evaluando la condici´n x(0) = 3 obtenemos :
o
x(0) = C2 = 3
Por lo tanto, la posici´n del m´vil es:
o o
x(t) = t3 /3 + t2 /2 + 3
17. 4.5 Problemas propuestos 127
4.5. Problemas propuestos
4.5.1. Derivadas y sus aplicaciones
1. Derivar:
a) y = 1 x4 − 2x2
4
b) y = (x2 − 1)(x3 − 5x2 − 7)
c) y = 2 sin x + 3 cos x
d ) y = (x − 1)(x − 3)(x − 5)
e) y = (2x − 1)3
2. Para la siguiente funci´n, analizar crecimiento, m´ximos y m´
o a ınimos.
y = x3 − 9x2 + 20x − 8
Adem´s, determinar todos los puntos de la curva representada por la funci´n an-
a o
terior donde la normal es perpendicular a la recta de ecuaci´n 4x + y = 3.
o
3. Hallar todos los puntos para los cuales la tangente a la curva descrita por la
siguiente funci´n es paralela al eje x :
o
y = x4 − 2x3 + 1
4. Probar que la ecuaci´n de la recta normal a la curva
o
y = 3 − x2
en el punto de abscisa x = a es:
x − 2ay + a(5 − 2a2 ) = 0
y hallar los puntos de la par´bola cuyas normales pasan por el punto (0,2).
a
5. Un autom´vil recorre un camino rectil´
o ıneo, partiendo del reposo en un punto O a
las 9◦◦ hrs, pasa por otro punto A despu´s de una hora y se detiene en un tercer
e
punto B. La distancia s en kil´metros al punto de partida despu´s de t horas de
o e
camino est´ dada por
a
s = 60t2 − 10t3
Hallar :
a) La hora de llegada a B
b) La distancia entre A y B
c) La velocidad media entre A y B
d ) La velocidad m´xima y a qu´ hora la alcanza.
a e
18. 128 Derivadas e Integrales
6. Para la siguiente funci´n, resuelva la ecuaci´n f (x) = 0 y halle el conjunto de
o o
valores para los cuales f (x) es menor o igual que cero.
f (x) = x3 − 2x2 − 4x + 7
7. Un invasor extraterrestre se acercaba al planeta Tierra de manera que su distancia
en kil´metros desde la superficie de la Tierra en el momento t despu´s de ser
o e
descubierto era
s(t) = 50t3 − 300t2 + 4050
Afortunadamente, fue enviado de vuelta al espacio por fuerzas de antigravedad.
a) Halle la velocidad y aceleraci´n del invasor extraterrestre correspondiente al
o
tiempo t.
b) ¿Cu´ndo era su velocidad cero?
a
c) ¿Cu´ndo era su aceleraci´n cero?
a o
d ) ¿En qu´ tiempo se acercaba a la Tierra?
e
e) ¿Cu´ndo se acercaba a tierra con mayor velocidad y cu´l era esa velocidad?
a a
f ) Calcule la menor distancia entre el invasor extraterrestre y la superficie de la
tierra.
g) Encuentre los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad estaba aumen-
tando, y en los cuales la velocidad estaba disminuyendo.
h) Usando lo anterior, grafique el movimiento, en el intervalo t[0, 5]
8. Considere a un atleta que quiere ir desde el punto A hasta el punto B atravesando
los medios I y II como se indican en la figura. En el medio I el atleta se desplaza
con rapidez v1 y en el medio II se desplaza con velocidad v2 . El atleta quiere llegar
del punto A hasta el punto B en el tiempo m´ ınimo. Demuestre que esto lo puede
conseguir siguiendo el camino que se indica en la figura, donde los ´ngulos θ1 y θ2
a
obedecen la ley de Snell:
sin θ1 v1
=
sin θ2 v2
Nota: La luz, de acuerdo al Principio de Fermat de seguir el camino m´s r´pido
a a
entre dos puntos, obedece la ley de Snell al refractarse.
A
θ2 v2
v1 θ2
B
19. 4.5 Problemas propuestos 129
4.5.2. Integrales y sus aplicaciones
1. En cada uno de los casos siguientes hallar y = f (x) y verificar la respuesta por
derivaci´n:
o
dy
a) dx = f (x) = 4x − 3 y f (0) = −9
dy
b) dx = f (x) = 12x2 − 24x + 1 y f (1) = −2
dy
c) dx = f (x) = 3 cos x + 5 sin x y f (0) = 4
dy 2
d) dx = f (x) = 3ex − x y f (1) = 0
2. a) Una part´ ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = 3 − 2t en
metros/segundo. Hallar la funci´n que determina su posici´n s en t´rminos
o o e
de t si para t = 0, s = 4m.
b) Una part´ ıcula se est´ moviendo sobre una recta con aceleraci´n dada por
a o
a(t) = t2 −t en metros/segundo2 . Hallar la funci´n velocidad v(t) y la funci´n
o o
s(t) si s(0) = 0 y s(6) = 12.
3. Calcular:
a)
7
(6 − 2x)dx
−2
b)
1
(x3 − 5x4 )dx
0
c)
π/2
cos t + 2 sin t)dt
0
d)
4 3
dx
1 x
e)
1
8et dt
0
4. Calcular el ´rea limitada por:
a
a) La curva y = x2 − x y el eje x
b) Las curvas y = 4x2 e y = x2 + 3
c) La curva y = sin x y la recta y = x
d ) La curva y = ex , el eje y y la recta y = 4
20. 130 Derivadas e Integrales
5. Una part´ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = t2 − t en m/seg. De-
terminar el desplazamiento durante los primeros 5 segundos. ¿Cu´l es la distancia
a
recorrida en ese intervalo de tiempo?
6. Determinar el ´rea limitada por las curvas:
a
y = 2x2 e y = 12x2 − x
7. Un punto M se mueve sobre una recta con aceleraci´n a(t) = 2t − 4. Cuando t = 0,
o
M est´ en el origen y su velocidad es de 3m/s. Calcular la velocidad de M en cada
a
instante t. Probar que cuando t = 1s el punto M comienza a devolverse al origen
y calcular su distancia al origen en ese instante.