ACERTIJO DE CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS. Por JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA, crea y desarrolla ACERTIJO: «CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS». Esta actividad de aprendizaje lúdico que implica de cálculo aritmético y motricidad fina, promueve los pensamientos lógico y creativo; ya que contempla procesos mentales de: PERCEPCIÓN, ATENCIÓN, MEMORIA, IMAGINACIÓN, PERSPICACIA, LÓGICA LINGUISTICA, VISO-ESPACIAL, INFERENCIA, ETCÉTERA. Didácticamente, es una actividad de aprendizaje transversal que integra áreas de: Matemáticas, Neurociencias, Arte, Lenguaje y comunicación, etcétera.
3. Introducción de conjunción
Si se tienen dos premisas
• Se sabe que ambas son ciertas
Entonces la conjunción de ambas es una
conclusión válida
Ejemplo:
P
Q
(P & Q)
4. Introducción de disyunción
Si se tiene una premisa
• Se sabe que es cierta
Entonces la disyunción de esa premisa con cualquier otra
es una conclusión válida.
En general:
• Introducción de disyunción a la derecha
• Introducción de disyunción a la izquierda
5. Introducción de condicionales
Se tiene una o más premisas
• Se sabe que son verdaderas
Se puede asumir una diferente como condición de las existentes
• Si la que se asume es falsa igual se tiene consecuente
verdadero
Ejemplo
P
Q
(N (P & Q))
7. Eliminación de condicional
• Se tiene una implicación
• Se sabe que es verdadera
• Y se tiene como premisa el antecedente
• Entonces el consecuente es verdadero
• Ejemplo
(P Q)
P
Q
8. Eliminación de conjunción
Teniendo una conjunción
Los dos conyuntos son verdaderos
Cualquiera de los dos es una conclusión válida
Ejemplo
T&M
T
O bien
T &M
M
9. Eliminación de disyunción
Teniendo una disyunción.
Los dos disyuntos tiene que llegar a la misma conclusion.
Observar los ámbitos donde se asume.
Ejemplo:
11. Introducción de Negación
Diagrama de Fitch
1. (P Q) Premisa
2. (P ~Q) Premisa
3. P Se asume
4. Q E: 1, 3
5. ~Q E: 2, 3
6. I: 4, 5
7. ~P ~I: 6
El símbolo
se llama Falsum
También le llamaremos absurdo
12. Eliminación de negación
Es la misma regla que la introducción
Comparación:
Eliminación de negación
a1. ~φ Se asume
…
p1.
c. φ ~E: p1
Introducción de negación
a1. φ Se asume
…
p1.
c. ~φ ~I: p1
15. Conmutatividad
El orden de los conyuntos no altera la conjunción.
El orden de los disyuntos no altera la disyunción.
p1. (φ & ψ)
…
c. (ψ & φ) Conm&: p1
p1. (φ v ψ)
…
c. (ψ v φ) Conmv: p1
16. Asociatividad
Aplica solo a conjunciones y disyunciones.
Ejemplo:
p1. ((φ & ψ) & ρ)
…
c. (φ & (ψ & ρ)) AsocR&: p1
p1. (φ & (ψ & ρ))
…
c. ((φ & ψ) & ρ) AsocL&: p1
p1. (φ v (ψ v ρ))
…
c. ((φ v ψ) v ρ) AsocLv: p1
p1. ((φ v ψ) v ρ)
…
c. (φ v (ψ v ρ)) AsocRv: p1
17. Idempotencia
Aplicaciones repetidas de operaciones no cambia el resultado. Se
mantiene igual.
Idempotencia de conjunción.
p1. φ
…
c. (φ & φ) Idem&I: p1
p1. (φ & φ)
…
c. φ Idem&E: p1
Idempotencia de disyunción.
p1. φ
…
c. (φ v φ) IdemvI: p1
p1. (φ v φ)
…
c. φ IdemvE: p1
18. Distributividad
Conjunción respecto de disyunción
p1. (φ & (ψ v ρ))
…
c. ((φ & ψ) v (φ & ρ)) Distr&: p1
p1. ((φ & ψ) v (φ & ρ))
…
c. (φ & (ψ v ρ)) Distr&C: p1
Disyunción respecto de conjunción
p1. (φ v (ψ & ρ))
…
c. ((φ v ψ) & (φ v ρ)) Distrv: p1
p1. ((φ v ψ) & (φ v ρ))
…
c. (φ v (ψ & ρ)) DistrvC: p1
19. Silogismo Disyuntivo
Dada una disyunción
Sabiendo que un disyunto es falso
El otro debe ser verdadero
p1. (φ v ψ)
p2. ~φ
…
c. ψ DSR: p1, p2
p1. (φ v ψ)
p2. ~ψ
…
c. φ DSL: p1, p2
Silogismo: Argumento con exactamente 2 premisas
20. El Corte
Se tienen dos disyunciones y un par de disyuntos en contradicción.
p1. (φ v ψ)
p2. (~φ v ρ)
…
c. (ψ v ρ) Corte: p1, p2
21. Leyes de Morgan
La negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones y
viceversa.
p1. ~(φ & ψ)
…
c. (~φ v ~ψ) DeM: p1
p1. (~φ v ~ψ)
…
c. ~(φ & ψ) DeM: p1
La negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones y
vicersa.
p1. ~(φ v ψ)
…
c. (~φ & ~ψ) DeM: p1
p1. (~φ & ~ψ)
…
c. ~(φ v ψ) DeM: p1
23. Modus Tollens
Teniendo una condicional
Se tiene la negación del consecuente
Se sabe que el consecuente es falso
Se concluye la falsedad del antecedente
p1. (φ ψ)
p2. ~ψ
c. ~φ MT: p1, p2
Modus Tollens
Silogismo que niega
24. Transposición
Si se tiene un condicional
Se sabe que la negación del consecuente implica
la negación del antecedente
p1. (φ ψ)
…
c. (~ψ ~φ) Trans: p1
Transitividad
Conocido como silogismo hipotético.
p1. (φ ψ)
p2. (ψ ρ)
c. (φ ρ) HS: p1, p2
25. Exportar e importar
Exportar
Sacar de… (sacar del antecedente)
p1. ((φ & ψ) ρ)
c. (φ (ψ ρ)) Expt: p1
Importar
Traer a… (traer al antecedente)
p1. (φ (ψ ρ))
c. ((φ & ψ) ρ) Impt: p1
26. Definición de condicional
Un condicional es equivalente a
p1. (φ ψ)
c. (~φ v ψ) Def E: p1
También la disyunción es equivalente a un
condicional
p1. (~φ v ψ)
c. (φ ψ) Def I: p1
27. Condicional negado
El mismo caso que el anterior pero con el
condicional negado
p1. ~(φ ψ)
c. (φ & ~ψ) ~ E: p1
p1. (φ & ~ψ)
c. ~(φ ψ) ~ I: p1
28. Reglas derivadas para bicondicionales
Eliminación de Bicondicional
Izquierda
p1. (φ ψ)
p2. ψ
c. φ EL: p1, p2
Derecha
p1. (φ ψ)
p2. φ
c. Ψ ER: p1, p2
29. Introducción de bicondicional
Asumiendo antecedentes
a1. φ Se asume
…
p1. ψ
a2. ψ Se asume
…
p2. φ
c. (φ ψ) I: p1, p2
Con dos premisas
p1. φ
p2. ψ
c. (φ ψ) I: p1, p2
32. Eliminación de cuantificador
existencial ( x)
• Forma general:
• Condiciones:
• es una variable
• no ocurre en φ
• no ocurre en ψ
• no ocurre “libre” en ninguna fórmula asumida de la que p2 dependa.
Ejemplo:
33. Introducción de cuantificador
universal ( x)
• Forma general
• Condiciones:
• es una variable
• no ocurre “libre” en ( υ)φ
• no ocurre “libre” en ninguna premisa o fórmula asumida de la
que p1 dependa
Ejemplo:
44. Ley de Identidad
Todo individuo es idéntico a sí mismo
1.
2. a = a =I
No Discernibilidad de Idénticos
Si dos individuos son idénticos
Cualquier cosa verdadera de uno es
verdadera para el otro
1. P(s) Premisa
2. s = m Premisa
3. P(m) =E: 1, 2