La geometría no euclidiana fue desarrollada en el siglo XIX por matemáticos como Lobachevsky, Bolyai y Riemann, quienes propusieron sistemas alternativos al de Euclides al permitir más de una línea paralela por punto o triángulos con suma de ángulos menor a 180 grados. Más adelante, Riemann sugirió geometrías en superficies curvas que influyeron en artistas del siglo XX como los cubistas.

1. Geometría No Euclidianas
Bilma Monterrosa
Jesús Monterroza

2. Historia de la Geometría No Euclidiana
• La geometría no euclidiana es
llamada así por su oposición a uno
de los postulados del sistema
deductivo de Euclides, desarrollado
en sus Elementos de Geometría. Se
trata del quinto postulado, que
formula la imposibilidad de que por
un punto exterior a una recta pueda
ser trazada más de una paralela a
dicha recta.

3. • En la segunda década del siglo XIX, más en concreto
alrededor de 1824, Carl Friedrich Gauss concluyó que
debían ser posibles geometrías alternativas a la de
Euclides.
• Pese a ello, y como señala Henderson, “Gauss nunca
publicó sus pensamientos sobre geometría no euclidiana,
y por eso el honor de su descubrimiento oficial ha sido
dado a Nikolai Ivanovich Lobachevski, ruso, y János Bolyai,
húngaro, que separadamente formularon el primer
sistema de geometría no euclidiana” .
• Por lo que al primero respecta, ha de señalarse que
Lobachevsky publicó “On the Principles of Geometry” en
el Kazan Messenger, describiendo la “geometría
imaginaria” que, desde 1826, había desarrollado.
• Por su parte, Bolyai publicó en 1832 “Absolute Science of
Space”, apareciendo como un apéndice al tratado
matemático de su padre titulado Tentamen. No obstante,
Bolyai había completado su manuscrito hacia 1829.

4. • Así pues, una alternativa consistente al sistema de
Euclides comienza a ser formulada. Lobachevsky y
Bolyai optaron por la misma alternativa al citado
quinto postulado de Euclides: a través de un
punto exterior a una recta dada puede ser
dibujada más de una línea que no corte la recta
dada. Existen infinito número de líneas que,
aunque se aproximen a la recta dada, como se
extienden hasta el infinito, nunca se
intersectarán. Similarmente, la suma de los
ángulos de un triángulo será menos de los 180º
de la geometría euclidiana.
• La consistencia lógica de la alternativa de
Lobatchevsky la ha subrayado Poincaré al afirmar
que sus proposiciones “no tienen ninguna
relación con las de Euclides, pero no están menos
lógicamente ligadas unas con otras” .

5. • Un primer problema planteado por estas
iniciales geometrías alternativas al sistema
euclidiano era el de su visualización, problema
que durará algunas décadas. Henderson apunta
que “la visualización de esas propiedades de la
geometría Lobachevsky-Bolyai fue
grandemente facilitada en 1868 cuando el
matemático italiano Eugenio Beltrami propuso
la ‘pseudoesfera’ como un modelo parcial para
este tipo de geometría no euclidiana”. Esta
introducción de Beltrami fue indicio del interés
por parte de los matemáticos hacia este tema,
lo que ha de unirse a que Gauss ganó prestigio
en la década de los 60, dando a su vez prestigio
a la geometría no euclidiana. Con ello, este tipo
de geometría captó la atención de una joven
generación de matemáticos, que la
desarrollaron más.

6. • Entre la citada joven generación ha de destacarse a Bernhard Riemann. En
1867, se publicó una conferencia que éste había pronunciado años atrás
en la Universidad de Göttingen (titulada “Über die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde liegen”), y en la que sugería la idea de un tipo
más importante de geometría no euclidiana, distinguiendo entre espacio
ilimitado y espacio infinito.
• Según Henderson, “en la superficie de una esfera el espacio sería ilimitado
y sí finito, y la esfera, de hecho, es el modelo más fácilmente entendible
para la geometría no euclidiana implicada por Riemann. Una vez que el
espacio es finito y una línea no puede ser extendida indefinidamente (…),
es posible establecer que ninguna línea puede ser dibujada paralela a una
línea dada. Este principio es fácilmente aparente en la geometría de la
esfera donde ‘líneas’ son definidas como grandes círculos y todas se
encontrarán en los ‘polos’ de la esfera”.

7. • De este modo, Riemann proponía una
geometría en superficies de curvatura
positiva constante, justo lo opuesto a la
geometría de Lobachevsky-Bolyai se
superficies de curvatura negativa constante.
• Además, Riemann sugirió una geometría en
superficies de curvatura variable, en la que el
movimiento de una figura cambiaría su
tamaño y sus propiedades.
• Dicha deformabilidad de figuras en
movimiento muestra su carácter no
euclidiano en el hecho de que “aunque
Euclides no había postulado formalmente la
indeformabilidad de figuras en movimiento,
su asunción es esencial para sus sistema”.

8. • Las figuras, negado el principio de indeformabilidad,
pueden retorcerse al ser movidas. Este hecho será
central en el análisis de la obra de Marcel Duchamp.
No en vano, fue este tipo tardío de geometría no
euclidiana el que sería de gran interés para artistas
de principios del siglo XX, tales como los cubistas y
Marcel Duchamp. Por otra parte, ha de mencionarse
la fundamental característica no euclidiana del
continuo espacio-tiempo de Einstein: su curvatura,
variable de un lugar a otro, es causada por la
materia, distribuida en dicho continuo. Comprobada
la falibilidad de Euclides, surge un espacio curvo que
invalida la perspectiva lineal que había dominado
desde el Renacimiento. Al tiempo, dicha falibilidad
“podía sólo sumarse al reconocimiento creciente en
el siglo XIX de la naturaleza relativa de las ‘verdades’
matemáticas o científicas que el hombre puede
descubrir” .

9. Bibliografía
• Recuperado de:
https://elblogdejuanjo.wordpress.com/2007/06/11/la-geometria-no-
euclidiana-y-la-geometria-de-n-dimensiones/