Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de las integrales. Explica que las integrales son la operación inversa de la derivación y que fueron desarrolladas por matemáticos como Newton y Leibniz. También resume las propiedades clave de las integrales definidas e indefinidas, incluyendo los teoremas fundamentales del cálculo y cómo se pueden usar las integrales para calcular áreas y volúmenes. Finalmente, proporciona algunos ejemplos ilustrativos de cálculo de integrales.
El documento resume la historia del cálculo integral desde Arquímedes hasta Euler. Explica que Arquímedes obtuvo resultados importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. Más tarde, Newton, Leibniz y Barrow descubrieron la relación entre la derivada y la integral definida. Posteriormente, Euler desarrolló los métodos de integración indefinida hasta su forma actual.
El documento proporciona instrucciones sobre cómo realizar integrales definidas e indefinidas. Explica que una integral definida calcula el área bajo una curva entre dos límites, mientras que una integral indefinida encuentra una función primitiva. A continuación, detalla los pasos para resolver cada tipo de integral y proporciona ejemplos ilustrativos.
Este documento trata sobre las integrales racionales. Brevemente introduce el concepto de integral, historia del cálculo integral y tipos de integrales racionales. Luego explica cómo calcular integrales racionales dependiendo de si el numerador es mayor, menor o igual al grado del denominador, incluyendo ejemplos. Finalmente, resume algunos tipos básicos de integrales racionales y cómo resolverlas.
Este documento trata sobre geometría plana y contiene las siguientes secciones principales: 1) ángulos opuestos por el vértice y ángulos alternos, 2) definición de figura plana, polígono y triángulo, 3) teoremas sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo y ángulos opuestos, y 4) resolución de triángulos utilizando funciones trigonométricas y teorema de Pitágoras. El documento proporciona ejemplos y ejercicios resueltos
Este documento presenta información sobre el cálculo integral, incluyendo diferentes métodos para calcular el área bajo una curva como la suma de Riemann y la integral definida. También discute conceptos como la notación sumatoria, propiedades de las integrales definidas y teoremas de existencia relacionados con la integración.
Enseñar a encontrar derivadas de funciones trigonométricas inversas.
Estas laminas sirvieron como apoyo didáctico para la elaboración del vídeo correspondiente a las "derivadas de funciones trigonométricas inversas" contenidos en el SEED.
El documento resume el Teorema del Valor Medio de cálculo. Este teorema establece que si una función es derivable en un intervalo cerrado, existe un número c en el intervalo tal que la tasa de cambio de la función en c es igual a la tasa de cambio promedio en todo el intervalo. El documento explica la definición formal del teorema y provee un ejemplo para ilustrar cómo se aplica.
El documento describe el método para encontrar la intersección entre dos planos. Primero, se encuentra el plano de canto de uno de los planos para hallar el segmento de intersección. Luego, este segmento se proyecta en las vistas principales para obtener la línea de intersección. Finalmente, se determina la visibilidad de los planos aplicando la regla de visibilidad de rectas cruzadas en ambas vistas principales.
El documento resume la historia del cálculo integral desde Arquímedes hasta Euler. Explica que Arquímedes obtuvo resultados importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. Más tarde, Newton, Leibniz y Barrow descubrieron la relación entre la derivada y la integral definida. Posteriormente, Euler desarrolló los métodos de integración indefinida hasta su forma actual.
El documento proporciona instrucciones sobre cómo realizar integrales definidas e indefinidas. Explica que una integral definida calcula el área bajo una curva entre dos límites, mientras que una integral indefinida encuentra una función primitiva. A continuación, detalla los pasos para resolver cada tipo de integral y proporciona ejemplos ilustrativos.
Este documento trata sobre las integrales racionales. Brevemente introduce el concepto de integral, historia del cálculo integral y tipos de integrales racionales. Luego explica cómo calcular integrales racionales dependiendo de si el numerador es mayor, menor o igual al grado del denominador, incluyendo ejemplos. Finalmente, resume algunos tipos básicos de integrales racionales y cómo resolverlas.
Este documento trata sobre geometría plana y contiene las siguientes secciones principales: 1) ángulos opuestos por el vértice y ángulos alternos, 2) definición de figura plana, polígono y triángulo, 3) teoremas sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo y ángulos opuestos, y 4) resolución de triángulos utilizando funciones trigonométricas y teorema de Pitágoras. El documento proporciona ejemplos y ejercicios resueltos
Este documento presenta información sobre el cálculo integral, incluyendo diferentes métodos para calcular el área bajo una curva como la suma de Riemann y la integral definida. También discute conceptos como la notación sumatoria, propiedades de las integrales definidas y teoremas de existencia relacionados con la integración.
Enseñar a encontrar derivadas de funciones trigonométricas inversas.
Estas laminas sirvieron como apoyo didáctico para la elaboración del vídeo correspondiente a las "derivadas de funciones trigonométricas inversas" contenidos en el SEED.
El documento resume el Teorema del Valor Medio de cálculo. Este teorema establece que si una función es derivable en un intervalo cerrado, existe un número c en el intervalo tal que la tasa de cambio de la función en c es igual a la tasa de cambio promedio en todo el intervalo. El documento explica la definición formal del teorema y provee un ejemplo para ilustrar cómo se aplica.
El documento describe el método para encontrar la intersección entre dos planos. Primero, se encuentra el plano de canto de uno de los planos para hallar el segmento de intersección. Luego, este segmento se proyecta en las vistas principales para obtener la línea de intersección. Finalmente, se determina la visibilidad de los planos aplicando la regla de visibilidad de rectas cruzadas en ambas vistas principales.
Interior, exterior y frontera de un conjuntowalexander03
1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con el interior, exterior y frontera de subconjuntos en espacios topológicos. 2) El interior de un subconjunto A es el conjunto de puntos interiores a A, es decir, puntos para los cuales existe una vecindad contenida en A. 3) La frontera de un subconjunto A es el conjunto de puntos que no están ni en el interior ni en el exterior de A.
El documento introduce el concepto de integral definida como el área delimitada entre la gráfica de una función y los ejes. Explica que la integral representa la suma de áreas de regiones delimitadas al dividir el intervalo en partes más pequeñas. También presenta algunas propiedades como que la integral definida es el límite de la suma de áreas al disminuir el tamaño de las partes, y provee ejemplos para ilustrar el concepto.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre cálculo integral. Explica que las integrales se desarrollaron originalmente para calcular áreas bajo curvas. Define la integral definida como un límite de suma que representa un número, y la integral indefinida como el conjunto de primitivas de una función. También establece el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual vincula la derivada de una función área con la función original. Finalmente, aplica estas ideas para calcular el área de una región delimitada por una curva y una recta tangente.
Este documento explica el concepto de integral en matemáticas. Brevemente describe la historia del desarrollo del cálculo integral desde la antigua Grecia hasta su formulación moderna en los siglos XVI-XVII. Define la integral como la suma de áreas infinitesimales bajo una curva, y distingue entre la integral indefinida y la integral definida. Finalmente, menciona algunas aplicaciones comunes como el cálculo de áreas, volúmenes y en ciencias e ingeniería.
Este documento explica las derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son derivadas de funciones de varias variables respecto a una variable manteniendo las otras constantes. Las derivadas de orden superior son derivadas a partir de la segunda derivada en adelante. El documento también describe cómo calcular derivadas parciales de segundo y tercer orden, y las reglas para encontrar derivadas de funciones.
Este documento presenta una introducción a los números complejos. Explica la clasificación de los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. También describe el origen histórico de los números complejos y las diferentes formas de representarlos, como forma binómica, representación vectorial, polar y matricial. Finalmente, discute brevemente la relación entre las matemáticas y el desarrollo social a lo largo de la historia.
Este documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas inversas y las funciones hiperbólicas. Explica las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente como las inversas de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente. También describe las gráficas y propiedades de las funciones hiperbólicas como el seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. Finalmente, cubre la derivación e integración de ambos tipos de funciones
Aplicación de la integral definida en la arquitectura. Propiedades de las int...Sara Castañeda Mendoza
Este documento explica conceptos fundamentales sobre la integral. La integral es una suma infinita de áreas pequeñas que representa el área total bajo una curva. Se usa para calcular áreas, volúmenes y propiedades físicas. Los arquitectos aplican las integrales para diseñar edificios con formas complejas y calcular áreas y volúmenes irregulares.
Este documento describe el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales. El método de Euler involucra aproximar la solución gráfica de una ecuación diferencial calculando las tangentes a la curva solución en un punto inicial y aproximando los siguientes valores de la solución mediante segmentos de rectas secuenciales. El documento explica los pasos del método, incluyendo establecer las condiciones iniciales, dividir el intervalo en pasos, calcular la tangente en cada paso, y tabular y graficar los resultados.
El documento describe diferentes tipos de superficies cuádricas representadas por ecuaciones de segundo grado. Explica que una esfera, elipsoide, hiperboloide de una hoja y cilindro elíptico son ejemplos de superficies cuádricas y analiza las propiedades geométricas de cada una. También analiza cómo estas superficies se intersectan con los planos coordenados.
La concavidad de una función depende de si su derivada primera es creciente o decreciente en un intervalo. Una función es cóncava hacia arriba si su derivada primera es creciente, y es cóncava hacia abajo si su derivada primera es decreciente. Para determinar los intervalos de concavidad, se encuentran los valores donde la segunda derivada es cero o no es continua, y se evalúa el signo de la segunda derivada en números de prueba de cada intervalo.
El documento introduce el concepto de derivada. Explica que la derivada surge de querer encontrar la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, lo que llevó al análisis de rectas secantes que se acercan cada vez más a dicho punto. Finalmente, la derivada se define como el límite de la pendiente de estas rectas secantes a medida que se acercan a la tangente, representando así la pendiente de la recta tangente.
Aplicacion del calculo diferencial en la vida diariaJulio René
El documento describe varias aplicaciones del cálculo diferencial en campos como la ingeniería, contabilidad, estadística, química y física. Se usa para encontrar máximos y mínimos, calcular probabilidades, reducir costos, modelar crecimiento poblacional y partes mecánicas, y en el desarrollo de chips y circuitos integrados. También se aplica para calcular velocidad, aceleración y variación de funciones.
1) El documento presenta los objetivos y bibliografía para desarrollar el tema de la integral doble en el curso de Análisis Matemático II. 2) Se define la integral doble y se explican conceptos como partición de regiones y suma de Riemann. 3) Se describen propiedades de la integral doble y métodos para calcularla, incluyendo la reducción a integrales sucesivas para dominios rectangulares.
Las 3 personas más importantes en la evolución del cálculo diferencial y sus contribuciones fueron: 1) Isaac Newton, quien constituyó una teoría coherente del cálculo infinitesimal y explicó los movimientos celestes a través de la gravedad. 2) Gottfried Leibniz, quien introdujo notaciones como el símbolo integral y la letra "d" para diferenciales. 3) Augustin Cauchy, quien le dio al cálculo diferencial la forma actual y fue pionero en análisis y teoría de grupos.
Informe sobre ecuaciones diferenciales de primer ordenSnape1
El documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales de primer orden lineales. Explica que este tipo de ecuaciones pueden escribirse como dy/dx P(x)y = Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones. La solución general es y = e^-∫P(x)dx (∫Q(x)e^∫P(x)dx dx). Luego, resuelve 4 ejercicios de aplicación de esta fórmula para encontrar la solución de diferentes ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.
Este documento presenta la información sobre una práctica de topografía realizada por un grupo de estudiantes utilizando el método de triangulación. El objetivo principal fue realizar un levantamiento topográfico de un sector mediante triangulación para determinar distancias. El grupo usó instrumentos como teodolito, mira, brújula y estacas. Explica conceptos clave como triangulación, compensación de ángulos y cálculo de distancias.
El documento describe diferentes técnicas para graficar funciones a partir de una función original, incluyendo desplazamientos horizontales y verticales, reflexiones sobre los ejes x e y, y compresiones o alargamientos verticales u horizontales modificando la función original mediante sumas, restas o multiplicación con constantes.
El documento trata sobre el cálculo integral. Brevemente describe su historia y precursores como Arquímedes, Descartes, Newton y Leibniz. Explica que el cálculo integral y la derivación son procesos inversos según el teorema fundamental del cálculo. También define conceptos como la integral definida, indefinida, y métodos para calcularlas como la suma de Riemann y la integración por partes.
Interior, exterior y frontera de un conjuntowalexander03
1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con el interior, exterior y frontera de subconjuntos en espacios topológicos. 2) El interior de un subconjunto A es el conjunto de puntos interiores a A, es decir, puntos para los cuales existe una vecindad contenida en A. 3) La frontera de un subconjunto A es el conjunto de puntos que no están ni en el interior ni en el exterior de A.
El documento introduce el concepto de integral definida como el área delimitada entre la gráfica de una función y los ejes. Explica que la integral representa la suma de áreas de regiones delimitadas al dividir el intervalo en partes más pequeñas. También presenta algunas propiedades como que la integral definida es el límite de la suma de áreas al disminuir el tamaño de las partes, y provee ejemplos para ilustrar el concepto.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre cálculo integral. Explica que las integrales se desarrollaron originalmente para calcular áreas bajo curvas. Define la integral definida como un límite de suma que representa un número, y la integral indefinida como el conjunto de primitivas de una función. También establece el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual vincula la derivada de una función área con la función original. Finalmente, aplica estas ideas para calcular el área de una región delimitada por una curva y una recta tangente.
Este documento explica el concepto de integral en matemáticas. Brevemente describe la historia del desarrollo del cálculo integral desde la antigua Grecia hasta su formulación moderna en los siglos XVI-XVII. Define la integral como la suma de áreas infinitesimales bajo una curva, y distingue entre la integral indefinida y la integral definida. Finalmente, menciona algunas aplicaciones comunes como el cálculo de áreas, volúmenes y en ciencias e ingeniería.
Este documento explica las derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son derivadas de funciones de varias variables respecto a una variable manteniendo las otras constantes. Las derivadas de orden superior son derivadas a partir de la segunda derivada en adelante. El documento también describe cómo calcular derivadas parciales de segundo y tercer orden, y las reglas para encontrar derivadas de funciones.
Este documento presenta una introducción a los números complejos. Explica la clasificación de los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. También describe el origen histórico de los números complejos y las diferentes formas de representarlos, como forma binómica, representación vectorial, polar y matricial. Finalmente, discute brevemente la relación entre las matemáticas y el desarrollo social a lo largo de la historia.
Este documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas inversas y las funciones hiperbólicas. Explica las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente como las inversas de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente. También describe las gráficas y propiedades de las funciones hiperbólicas como el seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. Finalmente, cubre la derivación e integración de ambos tipos de funciones
Aplicación de la integral definida en la arquitectura. Propiedades de las int...Sara Castañeda Mendoza
Este documento explica conceptos fundamentales sobre la integral. La integral es una suma infinita de áreas pequeñas que representa el área total bajo una curva. Se usa para calcular áreas, volúmenes y propiedades físicas. Los arquitectos aplican las integrales para diseñar edificios con formas complejas y calcular áreas y volúmenes irregulares.
Este documento describe el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales. El método de Euler involucra aproximar la solución gráfica de una ecuación diferencial calculando las tangentes a la curva solución en un punto inicial y aproximando los siguientes valores de la solución mediante segmentos de rectas secuenciales. El documento explica los pasos del método, incluyendo establecer las condiciones iniciales, dividir el intervalo en pasos, calcular la tangente en cada paso, y tabular y graficar los resultados.
El documento describe diferentes tipos de superficies cuádricas representadas por ecuaciones de segundo grado. Explica que una esfera, elipsoide, hiperboloide de una hoja y cilindro elíptico son ejemplos de superficies cuádricas y analiza las propiedades geométricas de cada una. También analiza cómo estas superficies se intersectan con los planos coordenados.
La concavidad de una función depende de si su derivada primera es creciente o decreciente en un intervalo. Una función es cóncava hacia arriba si su derivada primera es creciente, y es cóncava hacia abajo si su derivada primera es decreciente. Para determinar los intervalos de concavidad, se encuentran los valores donde la segunda derivada es cero o no es continua, y se evalúa el signo de la segunda derivada en números de prueba de cada intervalo.
El documento introduce el concepto de derivada. Explica que la derivada surge de querer encontrar la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, lo que llevó al análisis de rectas secantes que se acercan cada vez más a dicho punto. Finalmente, la derivada se define como el límite de la pendiente de estas rectas secantes a medida que se acercan a la tangente, representando así la pendiente de la recta tangente.
Aplicacion del calculo diferencial en la vida diariaJulio René
El documento describe varias aplicaciones del cálculo diferencial en campos como la ingeniería, contabilidad, estadística, química y física. Se usa para encontrar máximos y mínimos, calcular probabilidades, reducir costos, modelar crecimiento poblacional y partes mecánicas, y en el desarrollo de chips y circuitos integrados. También se aplica para calcular velocidad, aceleración y variación de funciones.
1) El documento presenta los objetivos y bibliografía para desarrollar el tema de la integral doble en el curso de Análisis Matemático II. 2) Se define la integral doble y se explican conceptos como partición de regiones y suma de Riemann. 3) Se describen propiedades de la integral doble y métodos para calcularla, incluyendo la reducción a integrales sucesivas para dominios rectangulares.
Las 3 personas más importantes en la evolución del cálculo diferencial y sus contribuciones fueron: 1) Isaac Newton, quien constituyó una teoría coherente del cálculo infinitesimal y explicó los movimientos celestes a través de la gravedad. 2) Gottfried Leibniz, quien introdujo notaciones como el símbolo integral y la letra "d" para diferenciales. 3) Augustin Cauchy, quien le dio al cálculo diferencial la forma actual y fue pionero en análisis y teoría de grupos.
Informe sobre ecuaciones diferenciales de primer ordenSnape1
El documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales de primer orden lineales. Explica que este tipo de ecuaciones pueden escribirse como dy/dx P(x)y = Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones. La solución general es y = e^-∫P(x)dx (∫Q(x)e^∫P(x)dx dx). Luego, resuelve 4 ejercicios de aplicación de esta fórmula para encontrar la solución de diferentes ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.
Este documento presenta la información sobre una práctica de topografía realizada por un grupo de estudiantes utilizando el método de triangulación. El objetivo principal fue realizar un levantamiento topográfico de un sector mediante triangulación para determinar distancias. El grupo usó instrumentos como teodolito, mira, brújula y estacas. Explica conceptos clave como triangulación, compensación de ángulos y cálculo de distancias.
El documento describe diferentes técnicas para graficar funciones a partir de una función original, incluyendo desplazamientos horizontales y verticales, reflexiones sobre los ejes x e y, y compresiones o alargamientos verticales u horizontales modificando la función original mediante sumas, restas o multiplicación con constantes.
El documento trata sobre el cálculo integral. Brevemente describe su historia y precursores como Arquímedes, Descartes, Newton y Leibniz. Explica que el cálculo integral y la derivación son procesos inversos según el teorema fundamental del cálculo. También define conceptos como la integral definida, indefinida, y métodos para calcularlas como la suma de Riemann y la integración por partes.
El documento explica la relación entre la derivada y la integral. La derivada surge del concepto de pendiente tangencial, mientras que la integral surge de la necesidad de calcular áreas. La integral de una función es su antiderivada, ya que al derivar la función integral se obtiene la función original.
Este documento explica los conceptos básicos de la antiderivación o integración indefinida. Define la antiderivada como la función inversa de la derivada, y explica que mientras una función solo tiene una derivada, tiene muchas antiderivadas que difieren solo en una constante. También describe la notación de la integral indefinida y algunas técnicas básicas de integración como la integración por partes y el cambio de variable.
Los procesos geométricos y de cálculo permiten manipular con mayor precisión el diseño para llegar a resultados óptimos. Su aplicación se centra en edificios con formas amorfas donde calcular el área es complejo, implementando integrales definidas que representan el área limitada por la gráfica de una función. Estos proyectos se encuentran comúnmente en edificios con formas irregulares.
Este documento presenta un marco conceptual sobre el cálculo integral, en particular la integral indefinida. En el Capítulo I, introduce conceptos como la integral, la integral indefinida, fórmulas básicas de integración y ejemplos de aplicación. En el Capítulo II aplicará la integral indefinida a problemas económicos como costo, ingreso y utilidad. Finalmente, el Capítulo III presentará conclusiones y recomendaciones.
El documento trata sobre las matemáticas en la ingeniería. Explica que el cálculo se deriva de la geometría griega y fue utilizado por Demócrito, Eudoxo y Arquímedes. Luego introduce conceptos como las derivadas parciales, que son útiles para determinar la velocidad de cambio de una función de varias variables con respecto a una variable en particular. Finalmente, detalla algunas aplicaciones de las derivadas parciales y las integrales múltiples en ingeniería, física y otras áreas.
Este documento trata sobre el cálculo integral. Explica que el cálculo integral estudia el proceso de integración o antiderivación y que se usa principalmente en física, ingeniería y para calcular áreas y volúmenes. También menciona que el cálculo integral fue desarrollado originalmente por matemáticos como Arquímedes y Newton, y que el Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivación e integración son procesos inversos.
Este documento describe conceptos básicos sobre primitivas e integrales indefinidas. Explica que una función G(x) es una primitiva de f(x) si G'(x)=f(x). También cubre propiedades de las primitivas como que se diferencian en una constante, y propiedades de la integral indefinida como que puede separarse funciones y constantes. Finalmente, presenta métodos para calcular integrales como integrales inmediatas, integración por partes e integración por sustitución.
El documento explica cómo las funciones de oferta y demanda se utilizan para relacionar la cantidad de un producto con su precio. La función de oferta es creciente, ya que a mayor precio, mayor cantidad se ofrece. La función de demanda es decreciente, ya que a mayor precio, menor cantidad se demanda. El equilibrio de mercado ocurre donde se intersectan las curvas de oferta y demanda. El excedente del consumidor y del productor se pueden calcular como áreas entre las curvas y el precio de equilibrio usando integrales definidas.
Este documento explica cómo calcular integrales de potencias pares e impares de funciones seno y coseno mediante la aplicación de identidades trigonométricas y la técnica de sustitución. Para potencias pares, se reemplazan funciones como sen2x y cos4x por sus identidades correspondientes antes de integrar. Para potencias impares, se aplican propiedades de potenciación para separar la integral en partes más simples de integrar. El documento provee ejemplos detallados de cada caso.
Este documento presenta información sobre la aplicación de derivadas e integrales en la asignatura de Matemáticas para Tecnologías de la Información. Explica las reglas básicas para calcular derivadas de funciones constantes, potencias, productos, cocientes y raíces. También cubre las derivadas de funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente, así como funciones logarítmicas e integrales. El documento está dirigido a estudiantes de ingeniería en tecnologías de la información y comunicación.
Integración de potencias de funciones trigonométricasAndres Mendoza
Formulario de integración de potencias de funciones trigonométricas, para apoyo en Cálculo II, o Cálculo Integral; elaborado por Andrés Giovanni Jiménez Mendoza, Matemático.
El documento resume el teorema fundamental del cálculo. Establece que la derivación e integración son operaciones inversas, de modo que la integral de la derivada de una función continua es igual a la función. También introduce conceptos como funciones primitivas, sumas de Riemann e integración como cálculo de áreas.
Este documento presenta cinco ejercicios de cálculo integral aplicados al cálculo de áreas. Cada ejercicio contiene la solución paso a paso para encontrar el área limitada por una curva y una línea, el área bajo una curva, o el área encerrada por varias funciones a través de la integración.
Este documento presenta el programa de estudios para la asignatura de Cálculo Integral perteneciente al campo disciplinar de Matemáticas. Se explica que el objetivo es desarrollar competencias matemáticas que permitan analizar fenómenos cualitativa y cuantitativamente. El programa se distribuye en cuatro bloques que abordan aplicaciones de la integral en estimaciones de errores, cálculo de primitivas, área bajo la curva y resolución de problemas.
El documento presenta una serie de problemas matemáticos resueltos por un estudiante de arquitectura. El objetivo era practicar operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones aplicadas a problemas cotidianos. Algunos de los problemas involucraban cantidades de dinero, metros de tela, naranjas u otros artículos. El estudiante demostró haber aprendido a identificar el tipo de operación requerida y aplicarla correctamente para resolver cada problema planteado.
1) La tabla resume las reglas de integración de funciones comunes como sen(x), cos(x), e^(x), entre otras.
2) Se describen métodos para integrar fracciones racionales con raíces reales múltiples o complejas simples.
3) También incluye una tabla de identidades trigonométricas útiles para realizar transformaciones antes de integrar.
This document outlines 15 integration theorems with examples, including:
1) Integrating a with respect to x equals ax + c
2) Integrating sec^2(x) with respect to x equals tan(x) + c
3) Integrating csc^2(x) with respect to x equals -cot(x) + c
Este documento presenta una guía didáctica para la asignatura de Cálculo Integral. Explica que la asignatura forma parte del grupo disciplinario físico-matemático y tiene como objetivo preparar a los estudiantes para sus estudios superiores. Describe los contenidos temáticos de la asignatura, las estrategias de enseñanza y aprendizaje, y el sistema de evaluación. Además, explica la importancia del cálculo integral y cómo desarrolla habilidades de pensamiento en los estudiantes.
Este documento describe la historia y desarrollo del concepto matemático de integral. Explica que la primera definición formal de integral fue dada por Cauchy en el siglo XIX, aunque el cálculo integral se había estado utilizando antes para calcular áreas y volúmenes de forma intuitiva. También introduce el concepto de integral de Riemann, que aproxima el área de una región dividiéndola en rectángulos, y define la suma de Riemann como la suma de las áreas de estos rectángulos.
1) El cálculo integral se remonta a Arquímedes y surgió para calcular áreas y volúmenes, relacionándose con la derivada hace dos siglos.
2) Consiste en encontrar la función cuya derivada es otra dada, siendo operaciones inversas.
3) Existen métodos como el cambio de variable, integración por partes y sustituciones para calcular integrales indefinidas.
El documento explica conceptos básicos sobre integrales definidas e indefinidas. Resume los métodos para calcular integrales como la descomposición en sumandos, el cambio de variable, la integración por partes y la descomposición de fracciones racionales. Justifica la importancia de las matemáticas aplicadas para carreras administrativas, económicas y contables.
Este documento trata sobre el concepto de integral definida en matemáticas. Explica que una integral es la suma de infinitos sumandos infinitesimales y que se utiliza principalmente para calcular áreas y volúmenes. Además, presenta algunos objetivos del cálculo integral como calcular áreas de regiones, integrales definidas e integrales múltiples. Finalmente, introduce conceptos como la integral de Riemann y el teorema fundamental del cálculo.
Este documento resume los conceptos clave de la integral definida. En particular, se define la integral definida como el área delimitada por una curva, los ejes y los límites del intervalo. Se describen propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales, y que cambiar los límites cambia el signo. Finalmente, se introduce la noción de integral de Riemann para funciones acotadas.
El documento explica el concepto de integral. Define la integral como una operación que encuentra el área bajo una curva entre dos puntos. La integral indefinida encuentra una familia de funciones resultado, mientras que la integral definida da como resultado un número que representa el área en un intervalo específico. Las integrales se usan principalmente para estudiar cambios de velocidad, áreas y probabilidad.
Este documento trata sobre el cálculo integral y su función en la ciencia. Explica que la integral puede verse como la suma de infinitos elementos infinitesimales y que se utiliza para calcular áreas, volúmenes y otras magnitudes. También describe cómo calcular el área entre dos curvas mediante la suma de las áreas de rectángulos de anchura fija y altura igual a la diferencia entre las funciones que definen las curvas.
El documento presenta un cuadernillo de apuntes sobre cálculo integral. Introduce el teorema fundamental del cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Explica cómo aproximar el área bajo una curva mediante sumas de Riemann y define la integral definida. Finalmente, describe propiedades clave como la existencia de funciones primitivas y cómo calcular integrales definidas mediante el teorema fundamental.
Este documento trata sobre funciones trascendentes y funciones trigonométricas. Explica que las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas, e incluyen funciones exponenciales, trigonométricas, logarítmicas e hiperbólicas. Luego describe las funciones trigonométricas más comunes como seno, coseno y tangente, y provee una tabla con su dominio, rango y período. Finalmente, ofrece ejemplos de gráficas de funciones trascendentes como exponenciales, cosecante
Este documento presenta un laboratorio sobre cálculo integral realizado por varios estudiantes. El laboratorio analiza diferentes métodos para calcular integrales como sustitución, partes y sustitución trigonométrica. También aplica integrales a problemas de física como el movimiento de una pelota y el área entre curvas. Los estudiantes comparan los métodos manuales con el software Wolfram Alpha y concluyen que cada método es útil para diferentes tipos de problemas.
El documento presenta información sobre el tema de las derivadas en ingeniería de sistemas II. Los objetivos generales son analizar los conceptos básicos de la derivada y las reglas para calcular derivadas y sus aplicaciones. Los objetivos específicos son explorar conceptos y procedimientos asociados con derivadas y describir métodos para calcular derivadas y comparar resultados optimizando los procedimientos. Se incluyen definiciones de derivada, historia, conceptos, aplicaciones y ejemplos.
Este documento trata sobre funciones trascendentes y funciones trigonométricas. Explica que las funciones trascendentes incluyen funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas. Luego describe las funciones trigonométricas más comunes como seno, coseno y tangente, y provee una tabla con su dominio, rango y período. Finalmente, presenta gráficas y definiciones de funciones trascendentes como cosecante, cotangente y exponencial.
Este documento trata sobre la derivada y el cálculo integral. Explica brevemente la historia del cálculo integral desde Arquímedes hasta su desarrollo completo en el siglo XVIII. También define conceptos como la derivada, integral definida e indefinida, y métodos para calcular la integral como la suma de Riemann e integración por partes.
El documento presenta una breve historia del cálculo integral. Explica que la integración se remonta al antiguo Egipto, pero que fue formalizada en el siglo XVII por Newton y Leibniz con el descubrimiento del teorema fundamental del cálculo. Este teorema establece una conexión entre la integración y la derivación y permitió resolver una clase más amplia de problemas.
214124322 aplicación e importancia de las funciones exponenciales,Crismar Mendoza
1) Las funciones son un concepto importante en matemáticas que permite relacionar magnitudes y calcular valores desconocidos.
2) Existen diferentes tipos de funciones como funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas y hiperbólicas.
3) Las funciones se aplican en el diseño de estructuras como la Torre Eiffel y la Torre de Shújov.
Este documento presenta conceptos clave del cálculo integral, incluyendo la medida aproximada de figuras amorfas, la suma de Riemann, la definición de integral definida, el teorema fundamental de cálculo y el cálculo de integrales definidas e impropias. Explica cómo la integración puede usarse para estimar el área bajo una curva y describe métodos como la suma de Riemann para aproximar este cálculo.
Este documento trata sobre la importancia del cálculo matemático en diferentes ramas como la contabilidad, economía y estadística. Explica cómo el cálculo diferencial, integral, series numéricas y otras ramas matemáticas se aplican a problemas financieros, de optimización y modelado contable. Finalmente concluye que las habilidades matemáticas son esenciales para la contabilidad y economía modernas dado que permiten el desarrollo de modelos que sustentan los registros y análisis financieros.
La integración o anti derivada es el proceso matemático inverso a la derivaciónWilselys Perdomo
La integración o anti derivada es fundamental en ingeniería para maximizar o minimizar valores y obtener productos de alto estándar. Una integral representa el conjunto de primitivas de una función y se utiliza en el cálculo de áreas, en aplicaciones de la mecánica y en ramas de la ingeniería como determinar la diferencia entre oferta y demanda o funciones de costos y producción. Las integrales definidas también son indispensables para mejorar cosas existentes o crear nuevas y se aplican en el desarrollo de software, creación de hardware y manejo de datos, así
Este documento describe la aplicación e importancia de varias funciones matemáticas como las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas y su uso en el diseño de obras civiles. Explica brevemente el concepto de función y tipos de variables. Luego detalla las funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas e hiperbólicas. Finalmente, describe cómo se aplicaron funciones exponenciales en el diseño de la Torre Eiffel y la Torre Shújov.
funciones exponenciales y su aplicacion en el diseño de obras civiles
Integrales
1. Informática Básica 2011-2012
2. Integrales
Competencias
El estudiante:
- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
- Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
- Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
- Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,
analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
tecnologías de la información y la comunicación.
- Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
- Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
- Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno y argumenta su pertinencia.
- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
Introducción a la unidad
Dos caminos que han ido separados a lo largo de la historia de las matemáticas, tras más
de 20 siglos, se unen, en lo que englobaremos como cálculo integral, gracias a los trabajos
de Barrow, Newton y Leibniz (creadores del cálculo infinitesimal).
Uno de los caminos, la búsqueda de fórmulas que permitieran calcular la superficie de
recintos planos, se remonta a los matemáticos griegos.
El otro camino nace para dar continuidad al concepto de derivada, buscando una
operación recíproca
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2. Informática Básica 2011-2012
Sinopsis
Integración
Teoría Historia Notación Definiciones Propiedades Teoremas
2.1. Integración
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente
en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma
de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas
en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la
matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de
regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac
Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de
Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la
derivación y la integración son procesos inversos.
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3. Informática Básica 2011-2012
2.2. Objetivos
Área de una región plana
Integrales indefinidas
Integrales definidas
Integrales impropias
Integrales múltiples (dobles o triples)
Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
Métodos de integración
Teorema fundamental del cálculo
Volumen de un sólido de revolución
2.3. Teoría
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas
verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función
F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida,
mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos
autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo
XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma
independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una
función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y
las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones
en ciencia e ingeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que
aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales.
A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral,
donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se
hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables,
y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos
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del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de
una superficie en el espacio tridimensional.
Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la
geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a
partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de
muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos
modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como
integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.
2.4. Terminología y notación
Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se
calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la
región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración,
se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el
integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración
puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio
abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.
El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el
intervalo [a, b], se escribe
El signo ∫, una "S" alargada, representa la integració n; a y b son el lı́mite inferior y el lı́mite
superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se
tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes
interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse
simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una
representación de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de
Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis no estándar) o como una
cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados
pueden variar la notación ligeramente.
2.5. La Integral
Una forma de ver la operación inversa de la derivación, clásicamente, se realiza de la
siguiente forma:
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Encontrar la función f(x) de la cual derivada es conocida.
Dada la diferencial de la función df(x) encontrar la función f(x)
La función que se pide se le conoce como integral de la diferencial dada y al
procedimiento utilizado para encontrar la integral se le conoce como integración. Al igual
que el símbolo de derivada, el símbolo de integración, cuyo operador nos indicara la
operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgos
históricos hasta llegar a símbolo
Concretamente diremos que
aunque esta relación no es del todo general es correcta y nos será útil para incursionar el
análisis de este concepto.
EJEMPLO
Así por ejemplo podemos tener f1(x)= 3x y con ello f1´(x)dx=3dx por lo que
pero podemos observar que si la función es f2(x)= 3x+5= f1(x)+5 entonces f2´(x)dx=3dx
por lo que
podemos entonces pensar que en general pudimos agregar a f1(x) cualquier constante y
tener el mismo diferencial por lo que una expresión más general a considerar es la
siguiente:
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a la constante c que se agrega se le conoce como constante de integración. A la expresión
anterior se le conoce como integral indefinida.
Retomemos el ejemplo:
que sucede si aplicamos el operador de derivadas en ambos miembros de la expresión:
lo que hace pensar que al aplicar el operador de derivada al operador de Integración
obtenemos la función a integrar. De forma más general tendremos:
Como podemos observar el operador de derivada en una operador inverso al de
integración, hemos concluido esto en base a la expresión anterior. Sin embargo, si el
operador de integral antecede al símbolo de derivada la expresión no siempre será cierta,
y en ocasiones, no siempre podremos obtener una solución.
La integración es la fusión de las diferenciales debajo de una curva definida por una
función matemática.
La integración se relaciona con dos problemas clásicos del Análisis Matemático,
aparentemente no relacionados:
El cálculo de áreas y volúmenes, y la acción que una función de una o varias variables
le aplica a las regiones antes mencionadas.
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La obtención de la primitiva de una función, esto es, aquella cuya derivada es la
función dada, realizando la "operación inversa" a la derivación
Fue gracias a Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes dieron forma al
teorema fundamental del cálculo, que establece la íntima relación en la solución de ambos
problemas. Siendo así, llamase integración definida a la obtención del área bajo una curva,
e integración indefinida a la operación inversa de la derivación. También se denomina
integración a la resolución de una ecuación diferencial, una ecuación en la que la
incógnita es una o varias funciones y sus derivadas.
Utilización de la integral
EJERCICIOS
a) f(x)=x8
b) f(x)=3x
como la integral cumple con la propiedad
entonces
ahora aplicando la fórmula
tendremos:
c) f(x)=x2 +2x+1
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para obtener la integración de este polinomio de segundo orden recordemos que
podemos considerar que el polinomio x2 +2x+1 se puede expresar como una suma de tres
polinomios donde
f(x)=x2 ; g(x)=2x; h(x)=1
es decir, de acuerdo al álgebra de funciones
s(x)= f(x)+g(x)+h(x)
por lo que
donde c= c1+ c2+ c3 esto último pensando a la constante c como una constante general que
engloba a las otras tres, este será un criterio ampliamente utilizado a lo largo de este
curso, en lugar de poner para cada integral una constante como en este caso, solo se
pondrá una solo constante de integración.
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2.6. Integral Definida
[El límite (29) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota
por
La expresión f (x) dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite
inferior, y b, el límite superior.
2.6.1. Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal
[Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por
Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y
Una tal función f (x) se llama primitiva de f (x).
[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a,
b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y
F' = f
..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función
2.6.2. Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal
[Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces
(30)
[Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de
calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y
constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.
Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se
resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral
definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de
cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia
(30) se acostumbra a escribir así:
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Ejemplo:
La igualdad
muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula de
Newton y Leibnitz,
2.6.3. Propiedades de la integral definida
[Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:
1.
2.
3.
, siendo c una constante
4.
5.
, cuando a < c < b
6. Primer teorema del valor medio:
, para al menos un valor x = x0 entre a y b.
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7.
Si , se verifica .
Ejemplos
[1. Sea f (x) = c, una constante, y f (x) = cx; tendremos
2. Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2; tendremos
3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos
2.6.4. Dos propiedades fundamentales de la integral definida
Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen siendo válidas en el
cálculo de integrales definidas:
1. Si K es un número real cualquiera,
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2.7. Integrales trigonométricas.
En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma las cuales
se convierten en integrales racionales mediante la sustitución trigonométrica ,
que es un integral de una función racional.
Ejemplo. Calcular la integral .
Existen varios tipos de integrales trigonométricas que se pueden racionalizar con cambios
más sencillos. Ellas son las siguientes:
1. , donde , cambio
2. , donde , cambio
3. , donde , cambio
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Ejemplos.
a) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 1. Luego,
que coincide con el resultado obtenido al utilizar la sustitución
b) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 2. Luego,
c) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 3. Luego,
2.8. Integrales por sustitución
Se trata de encontrar una función x=g(t), la cual sustituida por x bajo el signo integral,
convierta la integral dada en otra más sencilla (en la nueva variable t). La sustitución debe
cumplir:
1. Ser derivable con derivada no nula, es decir:
2. Admitir función inversa:
Entonces se tiene que:
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Los tipos más usuales de sustitución y que conducen a los mejores resultados son:
En funciones exponenciales, logarítmicas e inversas de trigonométricas:
Tipo de integral Sustitución Cálculo de
elementos
En funciones trigonométricas:
Para integrales del tipo
Sustitución Cálculo de los
elementos
Si R(sen x, cos x) es impar en sen x
Hacemos cos x=t
Si R(sen x, cos x) es impar en cos x
Hacemos sen x=t
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Si R(sen x, cos x) es par en sen x y
cos x hacemos tg x=t
Si R(sen x, cos x) no cumple
ninguna de las características
anteriores hacemos
En funciones irracionales:
Tipo de integral Sustitución Cálculo de los elementos
con a>0
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con c>0
con r y s
raíces del radicando
(bionomía) si p es entero
siendo s el
denominador de la
fracción p y si (m+1)/n es
entero
siendo s el
denominador de p y si
(m+1)/n+p es entero
2.9. Ejercicios: Integración por Sustitución Trigonométrica
La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen
la forma
, y
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17. Informática Básica 2011-2012
Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e
identidades trigonométricas.
En el caso general la integral a resolver es:
Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, primeramente sacaremos a factor
común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.
De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:
1. a > 0 Λ es decir:
2. a > 0 Λ es decir:
3. a < 0 Λ es decir:
Estos los cambios que hay que realizar según la situación:
1.
2.
3.
La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t, se resuelve y
se deshace el cambio
a)
x = b.sen t t = arcsen (x/b)
dx = b.cos t .dt
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cos t
a.dx b.cos t .dt cos t .dt a.b cos t .dt
.dt
F(x) = a. = = a.
= ∫
=∫ ∫ a.b.∫ ∫
√ b ² - x √ b ² - (b.sen t) √b ² - b ².sen t √ 1 - sen t √ cos t
b
² ² ² ² ²
cos t .dt
= a. ∫ = a. ∫ dt = a.t = a.arcsen (x/b)
cos t
b)
x = √b. t t = x/√b
dx = √b.dt
a.√b.arctg a.√b.arctg
a.dx √b.dt dt a.√b dt
t (x/√b)
F(x) = = a. =
= ∫ = =
∫ ∫ a.√b.∫
b + x b + (√b.t) b+ b.t 1+t
b b b
² ² ² ²
2.10. Ejercicios: Integración Por Partes
Esta es otra técnica que se utiliza para expresar una integral en otra expresión que se
puede determinar más fácilmente.
Consideremos dos funciones f y g derivables en x
Luego, por medio del diferencial de un producto se tiene que:
integrando a ambos lados:
de donde
esta es la fórmula de integración por partes.
Utilizando los diferenciales de las funciones, si entonces , y si
entonces .
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Sustituyendo en la igualdad anterior:
Haciendo una elección apropiada de u y dv, la fórmula anterior expresa la integral en
términos de otra integral , que puede resultar más fácil de integrar.
Si fuera más complicada que la integral dada, probablemente la selección hecha no
ha sido la más adecuada.
Es corriente utilizar el método de integración por partes en integrales del tipo:
así como en las que contienen en su
integrando funciones trigonométricas inversas.
Con los ejemplos siguientes el estudiantes podrá darse una idea de la selección adecuada
de las variables u y dv.
1. si entonces
si dv = dx entonces
v=
para x
Note que sin afectar el resultado final, la constante C de integración puede adjuntarse
cuando se lleva a cabo la última integración, y no cuando se determina v a partir de dv.
En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se
muestra en el siguiente ejemplo:
2.
si entonces
si entonces
Luego:
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ahora
y
Por tanto:
3.
4. si entonces
si entonces v = x
Luego:
5. si entonces
si entonces
Luego:
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2.11. Fórmulas de Integrales
Sean a, k, y C constantes (números reales) y consideremos a u como función y a u' como la
derivada de u.
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Ejercicio 12
2.13. Tareas
a) Resolver las siguientes integrales
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b) Resolver las siguientes integrales
c) Resolver las siguientes integrales exponenciales
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31. Informática Básica 2011-2012
d) Resolver las siguientes integrales
e) Resolver las siguientes integrales
2.14. Lecturas Complementarias
APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Cuando hablamos de integración, nos estamos refiriendo a un concepto fundamental de
las matemáticas avanzadas, especialmente del área del cálculo y del análisis matemático
(cualquiera que esta sea, ya que el área matemática abarca todos los campos del
conocimiento).
Aunque muchas veces no se puede apreciar, las integrales aparecen en muchas
situaciones prácticas. Consideremos como ejemplo el de una alberca (o el del Acuario de
Veracruz, que tiene un túnel redondo), el cual si es rectangular no hay más problema que
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el de calcular su área a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar
fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie
(para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla); pero si es ovalada con un fondo
redondeado, todas estas cantidades piden integrales, ya que se calcularían áreas bajo
curvas.
Otras aplicaciones prácticas se encuentran en áreas como:
ECONOMIA: Coeficientes de desigualdad para la distribución del ingreso en una
población; maximización de la utilidad con respecto al tiempo; superávit del consumidor
y del productor;
PEDAGOGIA: Curvas de aprendizaje
FINANZAS: Valor presente de un ingreso continuo
FISICA Y MECANICA: Área de una región en el plano; área de una región comprendida
entre dos curvas; volúmenes de solidos; cálculo del trabajo y esfuerzo
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