Axioma de las paralelas: historia y fundamento

1. AXIOMA DE LAS
PARALELAS
MUAD MOHAND, LORIÉN PALACÍN,
ALEJANDRO SIMAL, PABLO MARTÍN, RAÚL PÉREZ

2. INTRODUCCIÓN
El axioma de las paralelas es el último
de los Postulados de Euclides.
Durante dos milenios se dudó de su
condición de axioma.
Tras resolverse, nacieron varias
geometrías basadas en negarlo o
alterarlo.

3. ÍNDICE
1. ¿Quién fue Euclides?
2. Postulados de Euclides
3. Geometría euclidiana
4. El quinto postulado: ¿Axioma o teorema?
5. Geometrías no euclidianas

4. EUCLIDES
● ca. 325 a.C.-ca. 265 a. C.
● Lo poco que se sabe de su vida es que vivió en
Alejandría.
● No se sabe si existió o fué un equipo que tomó el
nombre de un personaje histórico.
● Escribió la obra Elementos recopilando la
matemática básica de su época.
● En esta se encuentran los cinco axiomas que dan
lugar a la geometría euclidiana.

5. LOS 4 PRIMEROS POSTULADOS
1. Dos puntos distintos cualesquiera determinan un segmento de recta.
1. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
1. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.
1. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

6. EL QUINTO POSTULADO
Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos
del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos rectas
prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el
que
están los ángulos menores que dos rectos

7. ENUNCIADO EQUIVALENTES
● La suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de las medidas de dos
ángulos rectos.
● Las rectas paralelas son equidistantes.
● Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por
todos ellos.
● Por un punto exterior a una recta dada sólo cabe trazar una paralela.
● Se puede construir un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada.

8. GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Es el tipo de geometría que se construye con los 5
postulados de Euclides.
Geométricamente la identificamos con un plano.
En ocasiones también se usa este término para englobar
geometrías de dimensiones superiores con propiedades
similares.

9. PROPIEDADES
● El teorema de Pitágoras se cumple.
● La suma de los Ángulos en un triángulo es de 180º.
● Dos rectas paralelas nunca se intersectan.
● La menor distancia entre dos puntos es una línea recta

10. Según la curvatura se pueden distinguir las distintas geometrías:
¿Qué es esto de la curvatura?
Hay varios tipos de curvatura: Curvatura lineal o Curvatura superficial
Elíptica
Hiperbólica
Euclidiana

11. ¿AXIOMA O TEOREMA?
Por más de dos milenios se intentó demostrar que que se podía deducir lógicamente de los otros
cuatro.
Fue primero intentado por matemáticos árabes, y más tarde por el italiano Girolamo Saccheri,
intentando llegar a un absurdo, pero ninguno consiguió demostrarlo
La resolución del problema llegó 22 siglos después de su enunciación.Podemos negar el quinto
postulado de dos formas: por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela o pasa más de
una.
Desde el punto de vista lógico no hay ninguna contradicción en suponer esto y al hacerlo aparecen
otras geometrías totalmente consistentes: las geometrias no euclideas.

12. GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS.
Al demostrar que el V postulado es independiente de los otros
cuatro se llegan a varias conclusiones:
1. Existe la posibilidad de que existan geometrías en las que
este postulado podía no cumplirse.
2. Se puede suponer que por un punto exterior a una recta
puedan pasar más de una paralela a la recta, o ninguna.

13. GEOMETRÍA ELÍPTICA.
1. También se conoce como la geometría de Riemann.
2. Satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura
positiva.
3. Se basa en que dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta
que pase por el punto y sea paralela a la recta dada.
4. La geometría esférica es el modelo más simple de la geometría elíptica.

14. PROPIEDADES
● La suma de los ángulos interiores de un triángulo es
mayor a 180 grados.
● El teorema de Pitágoras falla en geometría elíptica.Por
ejemplo, en el triángulo con los tres lados con la misma
longitud no cumplen .
● El resultado pitagórico se recupera en el límite de
pequeños triángulos.
● La relación entre la circunferencia de un círculo y su
área es menor que en la geometría euclidiana.
Geometría elíptica

15. GEOMETRÍA HIPERBÓLICA
Esta geometría es también conocida como lobachevskiana.
La geometría hiperbólica es un modelo de geometría que satisface
sólo los cuatro primeros postulados de la geometría euclídea.
Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de
la geometria euclidia siguen siendo válidos en la geometría
hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las
paralelas.
Se trata de un modelo de curvatura constante y tiene curvatura
negativa.

16. ● Dada una recta y un punto externo a la recta, hay por lo
menos dos rectas distintas que pasan por el punto las
cuales no intersectan la recta.
● En la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de
cualquier triángulo es siempre menor de 180°, siendo la
diferencia proporcional al área del triángulo.
● Por un punto exterior a una recta hiperbólica pasan una
infinidad de rectas hiperbólicas paralelas.
PROPIEDADES

17. APLICACIONES
● Estas geometrías no euclidianas tienen un gran número de aplicaciones.
● La geometría hiperbólica es crucial para la teoría de la Relatividad de
Einstein para explicar la curvatura del espacio-tiempo y se utiliza también
en el campo de la topografía.
● La geometría esférica tiene importantes aplicaciones prácticas en la
navegación y la astronomía; la distancia más corta entre dos puntos sobre
una esfera es el círculo máximo que los une, así que aviones y barcos siguen
esta ruta para ir de un punto a otro, y no lo que parecería una línea recta.

18. BIBLIOGRAFÍA
● Google Imágenes
● Euclides - Wikipedia, la enciclopedia libre
● Quinto postulado de Euclides - Wikipedia, la enciclopedia libre
● Geometría hiperbólica - Wikipedia, la enciclopedia libre
● Geometría diferencial - Wikipedia, la enciclopedia libre
● Geometría euclidiana - Wikipedia, la enciclopedia libre