El documento describe tres geometrías no euclidianas: la geometría hiperbólica, en la que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor que 180°; la geometría elíptica, en la que todas las rectas que pasan por un punto externo a una recta la intersectan; y la geometría esférica, usada en navegación y astronomía, donde las líneas más cortas entre dos puntos son las geodésicas.

1. Geometría
hiperbólica, elíptica y
esférica

2. La geometría plana es una parte de la
geometría que trata de aquellos
elementos cuyos puntos están contenidos
en un plano.

3. La geometría euclidiana es aquella que estudia
las propiedades del plano y el espacio
tridimensional.
En ocasiones, se considera que la geometría
euclidiana es sinónimo de geometría plana.

4. ° Por dos puntos pasa una única recta.
Los cinco postulados de Euclides:Los cinco postulados de Euclides:
° Un segmento rectilíneo puede ser prolongado
infinitamente.

5. ° Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una
única circunferencia.
° Todos los ángulos rectos son iguales.

6. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos
internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos
rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el
que están los ángulos menores que dos rectos.

7. Geometrías no euclidianas
Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea,
a cualquier forma de geometría cuyos postulados y
propiedades difieren en algún punto de los establecidos
por Euclides en su obra “Los Elementos”.

8. El desarrollo de las geometrías no euclídeas se
gestaron en sus comienzos con el objetivo de
construir modelos explícitos en los que no se
cumpliera el quinto postulado de Euclides.

9. En esta geometría, dada una recta r y un punto P externo
a r, hay por lo menos dos rectas distintas que pasan por P
las cuales no intersectan a r, por lo que el quinto postulado
de Euclides, de las paralelas, resulta falso.
Geometría Hiperbólica

11. En la geometría hiperbólica la suma de los ángulos interiores
de un triángulo es siempre menor de 180°, siendo la
diferencia proporcional al área del triángulo.

12. Fórmula de Lambert
π-(α +β +δ) = C. A αβδ

13. Geometría Elíptica
En esta geometría, dada una recta r y un punto P
externo a r, todas las rectas que pasan por P
intersectan a r, por lo que el quinto postulado de
Euclides, de las paralelas, resulta falso.

14. Al igual que la geometría euclidiana y la geometría
hiperbólica es un modelo de geometría de curvatura
constante, siendo la diferencia entre estos tres
modelos el valor de la curvatura:

15. ° La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y
tiene curvatura cero.
° La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados
de Euclides y tiene curvatura negativa.
° La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de
Euclides y tiene curvatura positiva.

16. En esta geometría, dada una recta r y un punto P
externo a r, hay infinitas rectas distintas que pasan
por P las cuáles no intersectan a r, por lo que el
quinto postulado de Euclides, de las paralelas, resulta
falso.
Geometría Esférica

17. Dos usos prácticos de los principios
de esta geometría son la navegación
y la astronomía.

18. En esta geometría se define a la
línea como “la trayectoria más
corta entre dos puntos” y se llaman
geodésicas.

19. La fórmula más importante es la del área del triángulo
esférico.
Llamamos ABC al un triángulo esférico, sobre una esfera
de radio uno, deduciremos que el área es
A (ABC)=A+B+C-π.

22. A modo de conclusión…
Debemos decir que estas geometrías sin cumplir con
todos los postulados de Euclides planteados en los
Elementos son tan consistentes como la geometría
euclídea misma.

23. • Carnevale, Paola
• Silvero, Macarena
4to. Prof. Matemática 2010