Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica algunos problemas clásicos que pueden modelizarse como problemas de grafos, como el problema del puente de Königsberg y el problema del caballo en el ajedrez. Define conceptos básicos como vértices, aristas, caminos, ciclos y grafos. Distingue entre multigrafos, grafos simples, grafos dirigidos y grafos bipartitos. Finalmente, enuncia el teorema de Euler sobre la existencia de ciclos eulerianos en un multigrafo conexo.
El documento presenta información sobre la teoría de grafos. Introduce los objetivos de estudiar grafos, incluyendo definir y reconocer diferentes tipos de caminos, circuitos, y árboles. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg que inspiró el desarrollo de la teoría de grafos. Define los conceptos básicos de un grafo, incluyendo vértices, aristas, grafos dirigidos y no dirigidos.
Este documento define y explica los conceptos de grafo bipartito y grafo bipartito completo. Un grafo bipartito es aquel cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos de tal forma que cada arista una un vértice de un conjunto con uno del otro. Un grafo bipartito completo es aquel donde cada vértice de un conjunto está conectado a todos los vértices del otro conjunto.
Este documento presenta información sobre grafos y sus propiedades. Explica que un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo que visita cada vértice exactamente una vez. También define lo que es un ciclo euleriano y un grafo bipartito. Resuelve varios ejercicios aplicando estas definiciones y propiedades de los grafos.
Este documento trata sobre la teoría de grafos. Explica las representaciones de grafos mediante matrices de adyacencia y de incidencia, así como el concepto de isomorfismo de grafos. También define qué son grafos planos y explica teoremas como el de Euler y el de Kuratowski para determinar si un grafo es plano o no.
El documento define un grafo como un par formado por un conjunto de vértices y aristas que los unen. Explica que un grafo es regular si todos los vértices tienen el mismo grado, bipartito si los vértices pueden dividirse en dos conjuntos sin aristas internas, y completo si tiene una arista entre cada par de vértices. También introduce la matriz de adyacencia para representar un grafo y define caminos eulerianos y hamiltonianos.
1. El documento presenta 30 preguntas sobre conceptos básicos de teoría de grafos como coloreo, caminos, circuitos, isomorfismo, grafos completos y bipartitos. Cada pregunta tiene 3 opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta.
El documento describe el problema clásico de los puentes de Königsberg y su solución por Euler. Euler modeló el problema usando un grafo y demostró que para que exista un circuito euleriano todos los vértices deben ser de grado par, lo cual no ocurría en el grafo original. También define formalmente los conceptos de grafo euleriano, circuito euleriano y camino euleriano.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica que los grafos se utilizan para modelar situaciones mediante una representación simplificada que considera solo las características relevantes. Define formal e informalmente los conceptos de vértices, aristas y grafos. Luego introduce otras definiciones como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones matriciales de grafos. Finalmente, aborda conceptos como caminos, ciclos, grafos regulares e isomorfismos.
El documento presenta información sobre la teoría de grafos. Introduce los objetivos de estudiar grafos, incluyendo definir y reconocer diferentes tipos de caminos, circuitos, y árboles. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg que inspiró el desarrollo de la teoría de grafos. Define los conceptos básicos de un grafo, incluyendo vértices, aristas, grafos dirigidos y no dirigidos.
Este documento define y explica los conceptos de grafo bipartito y grafo bipartito completo. Un grafo bipartito es aquel cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos de tal forma que cada arista una un vértice de un conjunto con uno del otro. Un grafo bipartito completo es aquel donde cada vértice de un conjunto está conectado a todos los vértices del otro conjunto.
Este documento presenta información sobre grafos y sus propiedades. Explica que un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo que visita cada vértice exactamente una vez. También define lo que es un ciclo euleriano y un grafo bipartito. Resuelve varios ejercicios aplicando estas definiciones y propiedades de los grafos.
Este documento trata sobre la teoría de grafos. Explica las representaciones de grafos mediante matrices de adyacencia y de incidencia, así como el concepto de isomorfismo de grafos. También define qué son grafos planos y explica teoremas como el de Euler y el de Kuratowski para determinar si un grafo es plano o no.
El documento define un grafo como un par formado por un conjunto de vértices y aristas que los unen. Explica que un grafo es regular si todos los vértices tienen el mismo grado, bipartito si los vértices pueden dividirse en dos conjuntos sin aristas internas, y completo si tiene una arista entre cada par de vértices. También introduce la matriz de adyacencia para representar un grafo y define caminos eulerianos y hamiltonianos.
1. El documento presenta 30 preguntas sobre conceptos básicos de teoría de grafos como coloreo, caminos, circuitos, isomorfismo, grafos completos y bipartitos. Cada pregunta tiene 3 opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta.
El documento describe el problema clásico de los puentes de Königsberg y su solución por Euler. Euler modeló el problema usando un grafo y demostró que para que exista un circuito euleriano todos los vértices deben ser de grado par, lo cual no ocurría en el grafo original. También define formalmente los conceptos de grafo euleriano, circuito euleriano y camino euleriano.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica que los grafos se utilizan para modelar situaciones mediante una representación simplificada que considera solo las características relevantes. Define formal e informalmente los conceptos de vértices, aristas y grafos. Luego introduce otras definiciones como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones matriciales de grafos. Finalmente, aborda conceptos como caminos, ciclos, grafos regulares e isomorfismos.
El documento presenta un resumen de los capítulos 1 y 2 de un libro sobre teoría de grafos algorítmica. Introduce conceptos básicos como qué es un grafo, tipos de grafos, y operaciones como unión e intersección. También explica el algoritmo de búsqueda en anchura para encontrar la distancia entre vértices en un grafo conectado.
Este documento describe el problema clásico de los siete puentes de Königsberg, que dio origen a la teoría de grafos. El problema consistía en determinar si era posible recorrer todos los puentes de la ciudad pasando una sola vez por cada uno. Euler resolvió el problema mediante la abstracción de los detalles de la ciudad en una representación gráfica, donde los vértices representaban las tierras y las aristas los puentes. Determinó que no era posible realizar el recorrido debido a que los vértices tenían grados impares. Est
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos y sus aplicaciones. Los grafos permiten modelar relaciones entre elementos que interactúan. Se definen grafos como conjuntos de nodos y aristas, y se explican conceptos como caminos, ciclos, grado de nodos, y diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, ponderados y bipartitos. También se introducen teoremas importantes como los de Euler y Hamilton para encontrar caminos y ciclos especiales en grafos.
Este documento resume conceptos clave sobre grafos bipartitos, grafos bipartitos completos, isomorfismo de grafos y subgrafos. Define un grafo bipartito como uno que puede dividirse en dos partes de tal forma que una parte solo se conecta a la otra. Un grafo bipartito completo es uno donde cada vértice de una parte se conecta a todos los de la otra. Dos grafos son isomorfos si preservan las relaciones de adyacencia. Un subgrafo es un grafo formado por un subconjunto de vértices y aristas de un grafo mayor.
Este documento presenta las soluciones a un ejercicio propuesto sobre grafos. Incluye determinar la matriz de adyacencia y de incidencia de un grafo, y si es conexo, simple, regular, completo, hamiltoniano o euleriano. También incluye demostrar cadenas, ciclos, árbol generador y subgrafo parcial del grafo dado.
Este documento trata sobre diferentes temas relacionados con grafos y árboles. Explica cómo se pueden representar grafos mediante matrices de adyacencia y de incidencia. Luego, define qué son los grafos eulerianos y hamiltonianos, y cómo se diferencian. Finalmente, define qué son los árboles y algunas de sus aplicaciones, como encontrar el camino más corto entre nodos y evitar redundancias en bases de datos.
Los grafos son unas herramientas indispensables y muy útiles en el mundo de las matemáticas. Vamos a ver su origen con los puentes de Koenigsberg, su definición formal de forma geométrica y de forma algebraica y cómo trabajar con algunos de los resultados clásicos más importantes de la teoría de grafos
1. El documento trata sobre grafos y sus propiedades. Explica conceptos como matriz de adyacencia, pseudografo, multigrafo, camino hamiltoniano, ciclo hamiltoniano, grafo euleriano y grafo bipartito. Resuelve 14 ejercicios prácticos sobre estas propiedades aplicando definiciones, teoremas y algoritmos de teoría de grafos.
1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos, incluyendo dibujar grafos y sus matrices de adyacencia, encontrar caminos y circuitos en grafos, y determinar si grafos cumplen propiedades como ser eulerianos o hamiltonianos.
2) También incluye ejercicios sobre grafos dirigidos, ponderados y completos, y sobre aplicar el algoritmo de Dijkstra para encontrar el camino más corto en un grafo.
3) El último ejercicio pide explicar para qué sirve el algoritmo de Dijkstra y cómo funcion
Este documento contiene información sobre árboles y grafos. Define conceptos como grafo, subgrafo, grado de un vértice, y tipos de grafos como grafos simples, conexos, dirigidos y no dirigidos. También define árboles, árboles de expansión mínimos, y formas de realizar recorridos en árboles como preorden, posorden e inorden. Finalmente, incluye tareas relacionadas con grafos y árboles como determinar caminos, circuitos de Euler, matrices de adyacencia e inc
El documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica conceptos básicos como grafos dirigidos y no dirigidos, representaciones comunes como matrices de adyacencia, y elementos clave como vértices, aristas, caminos y ciclos. También define y describe varios tipos de grafos especiales como grafos completos, ciclos y ruedas.
Este documento define y explica los conceptos básicos de los grafos, incluyendo vértices, aristas, caminos, ciclos, árboles y diferentes tipos de grafos. Describe las representaciones matriciales de grafos como la matriz de incidencia y la matriz de adyacencia. También cubre temas como grafos dirigidos, lazos, grafos ponderados y multígrafos.
Este documento presenta información sobre grafos. Define conceptos clave como vértices, aristas, grado de un vértice, caminos, ciclos y más. También describe tres estructuras de datos comúnmente usadas para representar grafos: lista de aristas, lista de adyacencia y matriz de adyacencia. Explica las operaciones básicas de cada una y su complejidad temporal.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica conceptos básicos como vértices, aristas, tipos de grafos (dirigidos, no dirigidos, ponderados, etc.), grados de vértices, caminos, ciclos, algoritmos como el de Dijkstra. Finalmente, muestra algunas aplicaciones de los grafos en proyectos, sistemas de transporte y contabilidad.
El documento describe la teoría de grafos, que estudia las propiedades de estructuras formadas por vértices y aristas. La teoría de grafos tiene aplicaciones en diversos campos como informática, ingeniería y ciencias sociales. Algunos problemas importantes en la teoría de grafos incluyen encontrar ciclos hamiltonianos, determinar si un grafo es plano y realizar la coloración de grafos.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos, incluyendo aristas, vértices, caminos, clasificaciones de grafos como dirigidos y no dirigidos, grafos Eulerianos, conexos, árboles y bosques. También cubre la representación de grafos en programas, dígrafos, grados, ciclos y aplicaciones de los grafos.
Este documento describe el problema del cartero chino y algoritmos para resolverlo de forma óptima. El problema consiste en encontrar la ruta más corta para un cartero que debe entregar correspondencia en todas las calles de una ciudad y regresar a la oficina central. Se presentan teoremas y algoritmos como el de Edmonds para encontrar cadenas eulerianas que representan la ruta óptima. También se incluyen ejemplos y propuestas para diseñar una aplicación que resuelva este problema.
Este documento trata sobre grafos y conceptos relacionados. Define tipos de grafos como no dirigidos, dirigidos y valorados. Explica conceptos básicos como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones como matrices y listas de adyacencia. También cubre subgrafos, grafos complementarios, caminos, componentes conexas, grafos bipartitos, recorridos eulerianos y hamiltonianos e isomorfismo de grafos.
Este documento define lo que son los grafos y describe algunos tipos de grafos como los grafos dirigidos, no dirigidos, eulerianos y hamiltonianos. También cubre representaciones de grafos como matrices de adyacencia y de incidencia, y aplicaciones de grafos como modelado de redes de transporte y proyectos.
I1M2010-T22: Algoritmos sobre grafos en HaskellJosé A. Alonso
Se especifica el tipo abstracto de datos de las grafos, se presentan 2 implementaciones en Haskell del TAD y se estudia los algoritmos de recorrido en profundidad y en anchura y el algoritmo de Prim.
Este es el tema 22 del curso de introducción a Haskell. El código y los restantes temas se encuentran en http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-10/temas.html
Este documento trata sobre la teoría de grafos. Define un grafo como un conjunto de vértices y aristas que los conectan. Explica conceptos básicos como vértices, aristas, grado de un vértice, subgrafos y más. También cubre clasificaciones de grafos como dirigidos, no dirigidos, pesados y otros. Finalmente, introduce algoritmos como búsqueda en profundidad y anchura.
Este documento presenta información sobre grafos isomorfos y árboles. Define grafos isomorfos como aquellos que tienen la misma estructura de conexión entre vértices a pesar de posibles diferencias en la posición de los vértices. También define árboles como un tipo especial de grafo no dirigido sin ciclos.
El documento presenta un resumen de los capítulos 1 y 2 de un libro sobre teoría de grafos algorítmica. Introduce conceptos básicos como qué es un grafo, tipos de grafos, y operaciones como unión e intersección. También explica el algoritmo de búsqueda en anchura para encontrar la distancia entre vértices en un grafo conectado.
Este documento describe el problema clásico de los siete puentes de Königsberg, que dio origen a la teoría de grafos. El problema consistía en determinar si era posible recorrer todos los puentes de la ciudad pasando una sola vez por cada uno. Euler resolvió el problema mediante la abstracción de los detalles de la ciudad en una representación gráfica, donde los vértices representaban las tierras y las aristas los puentes. Determinó que no era posible realizar el recorrido debido a que los vértices tenían grados impares. Est
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos y sus aplicaciones. Los grafos permiten modelar relaciones entre elementos que interactúan. Se definen grafos como conjuntos de nodos y aristas, y se explican conceptos como caminos, ciclos, grado de nodos, y diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, ponderados y bipartitos. También se introducen teoremas importantes como los de Euler y Hamilton para encontrar caminos y ciclos especiales en grafos.
Este documento resume conceptos clave sobre grafos bipartitos, grafos bipartitos completos, isomorfismo de grafos y subgrafos. Define un grafo bipartito como uno que puede dividirse en dos partes de tal forma que una parte solo se conecta a la otra. Un grafo bipartito completo es uno donde cada vértice de una parte se conecta a todos los de la otra. Dos grafos son isomorfos si preservan las relaciones de adyacencia. Un subgrafo es un grafo formado por un subconjunto de vértices y aristas de un grafo mayor.
Este documento presenta las soluciones a un ejercicio propuesto sobre grafos. Incluye determinar la matriz de adyacencia y de incidencia de un grafo, y si es conexo, simple, regular, completo, hamiltoniano o euleriano. También incluye demostrar cadenas, ciclos, árbol generador y subgrafo parcial del grafo dado.
Este documento trata sobre diferentes temas relacionados con grafos y árboles. Explica cómo se pueden representar grafos mediante matrices de adyacencia y de incidencia. Luego, define qué son los grafos eulerianos y hamiltonianos, y cómo se diferencian. Finalmente, define qué son los árboles y algunas de sus aplicaciones, como encontrar el camino más corto entre nodos y evitar redundancias en bases de datos.
Los grafos son unas herramientas indispensables y muy útiles en el mundo de las matemáticas. Vamos a ver su origen con los puentes de Koenigsberg, su definición formal de forma geométrica y de forma algebraica y cómo trabajar con algunos de los resultados clásicos más importantes de la teoría de grafos
1. El documento trata sobre grafos y sus propiedades. Explica conceptos como matriz de adyacencia, pseudografo, multigrafo, camino hamiltoniano, ciclo hamiltoniano, grafo euleriano y grafo bipartito. Resuelve 14 ejercicios prácticos sobre estas propiedades aplicando definiciones, teoremas y algoritmos de teoría de grafos.
1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos, incluyendo dibujar grafos y sus matrices de adyacencia, encontrar caminos y circuitos en grafos, y determinar si grafos cumplen propiedades como ser eulerianos o hamiltonianos.
2) También incluye ejercicios sobre grafos dirigidos, ponderados y completos, y sobre aplicar el algoritmo de Dijkstra para encontrar el camino más corto en un grafo.
3) El último ejercicio pide explicar para qué sirve el algoritmo de Dijkstra y cómo funcion
Este documento contiene información sobre árboles y grafos. Define conceptos como grafo, subgrafo, grado de un vértice, y tipos de grafos como grafos simples, conexos, dirigidos y no dirigidos. También define árboles, árboles de expansión mínimos, y formas de realizar recorridos en árboles como preorden, posorden e inorden. Finalmente, incluye tareas relacionadas con grafos y árboles como determinar caminos, circuitos de Euler, matrices de adyacencia e inc
El documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica conceptos básicos como grafos dirigidos y no dirigidos, representaciones comunes como matrices de adyacencia, y elementos clave como vértices, aristas, caminos y ciclos. También define y describe varios tipos de grafos especiales como grafos completos, ciclos y ruedas.
Este documento define y explica los conceptos básicos de los grafos, incluyendo vértices, aristas, caminos, ciclos, árboles y diferentes tipos de grafos. Describe las representaciones matriciales de grafos como la matriz de incidencia y la matriz de adyacencia. También cubre temas como grafos dirigidos, lazos, grafos ponderados y multígrafos.
Este documento presenta información sobre grafos. Define conceptos clave como vértices, aristas, grado de un vértice, caminos, ciclos y más. También describe tres estructuras de datos comúnmente usadas para representar grafos: lista de aristas, lista de adyacencia y matriz de adyacencia. Explica las operaciones básicas de cada una y su complejidad temporal.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica conceptos básicos como vértices, aristas, tipos de grafos (dirigidos, no dirigidos, ponderados, etc.), grados de vértices, caminos, ciclos, algoritmos como el de Dijkstra. Finalmente, muestra algunas aplicaciones de los grafos en proyectos, sistemas de transporte y contabilidad.
El documento describe la teoría de grafos, que estudia las propiedades de estructuras formadas por vértices y aristas. La teoría de grafos tiene aplicaciones en diversos campos como informática, ingeniería y ciencias sociales. Algunos problemas importantes en la teoría de grafos incluyen encontrar ciclos hamiltonianos, determinar si un grafo es plano y realizar la coloración de grafos.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos, incluyendo aristas, vértices, caminos, clasificaciones de grafos como dirigidos y no dirigidos, grafos Eulerianos, conexos, árboles y bosques. También cubre la representación de grafos en programas, dígrafos, grados, ciclos y aplicaciones de los grafos.
Este documento describe el problema del cartero chino y algoritmos para resolverlo de forma óptima. El problema consiste en encontrar la ruta más corta para un cartero que debe entregar correspondencia en todas las calles de una ciudad y regresar a la oficina central. Se presentan teoremas y algoritmos como el de Edmonds para encontrar cadenas eulerianas que representan la ruta óptima. También se incluyen ejemplos y propuestas para diseñar una aplicación que resuelva este problema.
Este documento trata sobre grafos y conceptos relacionados. Define tipos de grafos como no dirigidos, dirigidos y valorados. Explica conceptos básicos como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones como matrices y listas de adyacencia. También cubre subgrafos, grafos complementarios, caminos, componentes conexas, grafos bipartitos, recorridos eulerianos y hamiltonianos e isomorfismo de grafos.
Este documento define lo que son los grafos y describe algunos tipos de grafos como los grafos dirigidos, no dirigidos, eulerianos y hamiltonianos. También cubre representaciones de grafos como matrices de adyacencia y de incidencia, y aplicaciones de grafos como modelado de redes de transporte y proyectos.
I1M2010-T22: Algoritmos sobre grafos en HaskellJosé A. Alonso
Se especifica el tipo abstracto de datos de las grafos, se presentan 2 implementaciones en Haskell del TAD y se estudia los algoritmos de recorrido en profundidad y en anchura y el algoritmo de Prim.
Este es el tema 22 del curso de introducción a Haskell. El código y los restantes temas se encuentran en http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-10/temas.html
Este documento trata sobre la teoría de grafos. Define un grafo como un conjunto de vértices y aristas que los conectan. Explica conceptos básicos como vértices, aristas, grado de un vértice, subgrafos y más. También cubre clasificaciones de grafos como dirigidos, no dirigidos, pesados y otros. Finalmente, introduce algoritmos como búsqueda en profundidad y anchura.
Este documento presenta información sobre grafos isomorfos y árboles. Define grafos isomorfos como aquellos que tienen la misma estructura de conexión entre vértices a pesar de posibles diferencias en la posición de los vértices. También define árboles como un tipo especial de grafo no dirigido sin ciclos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de grafos, incluyendo definiciones de grafos, vértices, aristas y tipos de grafos. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg y cómo se resolvió utilizando la teoría de grafos. También cubre temas como matrices de adyacencia e incidencia, isomorfismo de grafos, ciclos de Euler y Hamilton. Finalmente, incluye ejercicios para identificar elementos en grafos.
El documento presenta la resolución de varios ejercicios sobre grafos. En el primer ejercicio, se explica que para dibujar un grafo sin levantar el lápiz y sin repetir aristas, debe tener dos vértices impares o todos pares. En el segundo, se concluye que los grafos completos son hamiltonianos pero no eulerianos ni bipartitos. El tercero indica que dos grafos no son isomorfos si sus vértices no coinciden en grado. Finalmente, se analizan las propiedades de conectividad, eulerianidad y mult
El documento presenta 13 problemas relacionados con grafos. En general, los problemas definen un grafo o matriz de adyacencia y hacen una pregunta sobre las propiedades del grafo. Las soluciones analizan las propiedades del grafo definido (como grados de vértices, caminos, ciclos, etc.) y determinan cuál de las opciones de respuesta es correcta basándose en la teoría de grafos.
1. El documento habla sobre la teoría de grafos, que surgió del problema de los siete puentes de Königsberg estudiado por Euler. 2. Define conceptos básicos de grafos como nodos, aristas, dirigidos/no dirigidos, y métodos para representar y analizar grafos. 3. Explica algoritmos comunes para encontrar caminos y árboles de costo mínimo en grafos.
El documento introduce la teoría de grafos y sus conceptos fundamentales. Explica que un grafo consiste en un conjunto de nodos unidos por aristas o segmentos. Presenta diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, no dirigidos, regulares, bipartitos, conexos y árboles. También define conceptos clave como camino, valencia, lazo y ramas paralelas. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de los grafos como la modelización de circuitos y rutas de transporte público.
El documento describe los conceptos básicos de los grafos. Define un grafo como un conjunto de vértices unidos por aristas que representan relaciones binarias. Explica que un grafo se representa gráficamente como puntos unidos por líneas y consta de un conjunto de vértices y otro de aristas. Además, introduce conceptos como caminos, circuitos, grado de un vértice y valencia de un grafo.
Este documento presenta 24 ejercicios sobre elementos básicos de geometría como puntos, líneas, planos y ángulos. Explica conceptos como puntos coplanares y no coplanares, líneas y planos que pasan por puntos dados, ángulos suplementarios y complementarios, y relaciones entre segmentos y ángulos. También incluye demostraciones geométricas sobre relaciones entre puntos, líneas y ángulos.
El documento describe el plano coordenado y cómo se usa para relacionar la geometría y el álgebra. El plano coordenado permite trazar gráficas de ecuaciones algebraicas y ver la relación entre las variables. Se explica cómo cualquier punto en el plano puede identificarse mediante un par ordenado de números que indican su posición en los ejes x e y.
Este documento resume diferentes conceptos relacionados con grafos, incluyendo definiciones de grafos dirigidos y no dirigidos, representaciones de grafos como lista de adyacencia y matriz de adyacencia, y tipos de grafos como grafos regulares, bipartitos, completos y conexos. También explica operaciones básicas como insertar y eliminar vértices y aristas, y presenta pseudocódigo para los algoritmos de Floyd-Warshall y Dijkstra.
Este documento define los conceptos básicos de los grafos, incluyendo los tipos de grafos (simples, multígrafos, dirigidos), componentes de un grafo (vértices, aristas), y propiedades como el número de vértices y aristas. También define caminos eulerianos, ciclos eulerianos, grafos eulerianos, caminos hamiltonianos, ciclos hamiltonianos, y grafos hamiltonianos. Además, introduce conceptos de grafos planos y el teorema de Kuratowski, así como árboles y bosques.
El documento describe los conceptos fundamentales de la geometría analítica de las rectas. Explica que René Descartes introdujo la geometría analítica para representar objetos geométricos como puntos y líneas mediante ecuaciones algebraicas. Las rectas paralelas a los ejes x e y se representan por ecuaciones de primer grado muy simples. Para rectas no paralelas a los ejes, existen dos formas de obtener su ecuación: la forma pendiente-punto y la forma punto-punto.
Este documento describe los grafos eulerianos y sus propiedades. Brevemente:
1. Un grafo es euleriano si existe un camino que recorre todas sus aristas de forma consecutiva y sin repetirlas.
2. Un grafo conexo tiene un circuito euleriano si y solo si todos sus vértices son de grado par.
3. Un grafo conexo tiene una cola euleriana si y solo si no tiene vértices de grado impar o tiene un único par de vértices de grado impar.
La teoría de grafos se aplica en problemas de computación, investigación de operaciones, electrónica, códigos y física. Un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que los unen. Problemas como encontrar caminos eulerianos o hamiltonianos en un grafo se han estudiado y tienen aplicaciones prácticas. Los grafos también se usan en administración de proyectos, ciencias sociales y biología.
El documento describe diferentes tipos de funciones reales de variable real, incluyendo funciones algebraicas como funciones polinómicas, racionales y radicales, funciones trascendentes como trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, y funciones especiales como el valor absoluto y las funciones a trozos. Se detalla especialmente las funciones polinómicas, lineales y constantes, definiendo sus características y cómo representarlas gráficamente.
El documento explica qué son los grafos. Los grafos son estructuras matemáticas que representan relaciones binarias entre objetos mediante nodos (vértices) y líneas (aristas) que los conectan. Se utilizan para modelar diversos problemas como redes de transporte, organización de tareas, y relaciones sociales. Existen diferentes tipos de grafos como dirigidos, no dirigidos, ponderados y etiquetados.
Breve introducción a la Teoría de Grafos conocimiento y aplicando conocmientos básicos de rutas y ciclos de Euler, puestes de Konigsberg y Teoremas de aplicación.
Este documento presenta diferentes formas de representar grafos, incluyendo listas de aristas, matrices de adyacencia y matrices de incidencia. Explica las ventajas y desventajas de cada representación, así como conceptos clave de teoría de grafos como caminos, circuitos, grafos conexos y más.
Este documento describe el problema histórico de los siete puentes de Königsberg y cómo Leonhard Euler lo resolvió utilizando un enfoque gráfico. El problema involucraba determinar si era posible cruzar cada uno de los siete puentes que atravesaban un río en Königsberg solo una vez. Euler modeló la situación como un grafo y demostró matemáticamente que no era posible realizar el recorrido debido a que los vértices no cumplían con las condiciones necesarias para la existencia de un ciclo euleriano o
1. Grafos Apunte 1 1
Introduccion
CURSO SOBRE TEORIA DE GRAFOS
Contenido
Apunte 1 – Introduccion
Apunte 2 – Arboles
Apunte 3 – Mas sobre arboles
Apunte 4 – Caminos en un grafo
Apunte 5 – Flujo en un grafo
Apunte 6 – Conectividad
Anexo a 6 – Teorema de Menger
Apunte 7 – Planaridad
Anexo a 7 – Teorema de Kuratowski
Apunte 8 - Colorabilidad
Marzo 2007
2. Grafos Apunte 1 2
Introduccion
1. Ejemplos de Problemas
2. Definiciones
3. Algunos Teoremas
4. Optimizacion Combinatoria
1. Ejemplos de problemas
1.1 El ciclo euleriano
La ciudad de Königsberg esta atravesada por un rio que tiene 2 islas y 7 puentes como
muestra la figura 1. Se pregunta si es posible partir del sector A y, haciendo una
caminata, pasar por cada puente una sola vez volviendo al punto de partida. En el
grafo de la figura 2 el problema se traduce en partir de A y recorrer las 7 ramas sin
repertir ninguna y volver a A (ciclo euleriano). Este problema fue encarado por Euler
en 1736 y es el origen de la teoria de grafos.
figura 1 figura 2
A
A
C
C
A D D
B
B
1.2 El ciclo hamiltoniano.
A un dodecaedro, cuerpo solido regular con doce caras pentagonales, se la ha quitado
una cara y se lo ha äplastado en el plano como muestra la figura 3
figura 3
Imaginemos a los vertices de esta figura como ciudades y a las aristas como tramos de
caminos entre dos ciudades. Se pregunta si hay un camino formado de tramos que
partiendo de una ciudad visite todas las ciudades una sola vez volviendo a la ciudad de
partida (ciclo hamiltoniano)
1.3 Coloreado de mapas
3. Grafos Apunte 1 3
Introduccion
La figura 4 muestra un mapa con 4 districtos A, B, C y D. Se trata de pintar cada
districto con un color de forma que dos regiones con un borde comun (que no sea un
punto) tengan distintos colores y queremos hacer esto usando un minimo numero de
colores. La figura 5 muestra un grafo homeomorfo al mapa, en el sentido que los
vertices del grafo se corresponden con las regiones del mapa y dos vertices estan
conectados por una rama cuando las regiones correspondientes tienen un borde comun.
El problema se traduce en el grafo a minimizar el numero de colores al asignar un
color a cada vertice de forma que cualquier rama tenga extremos de distinto color.
figura 4 figura 5
B A
1
A
D B
C C
D
1.4 El recorrido del cartero
Imaginemos un grafo que representa el mapa de las calles de un barrio. Una calle va
de una esquina a la otra. En una esquina esta ubicada una oficina de correos. Un
cartero sale de la oficina de correos y tiene que recorrer todas las calles y volver a la
oficina. Se plantea el problema de un recorrido que minimice el numero de calles.que
esta obligado a recorrer mas de una vez.
1.5 El problema del caballo en el juego de ajedrez
Consideremos un tablero de ajedrez. y un caballo. Se pregunta si es posible que el
caballo parta de un casillero y visite todos los otros 63 casilleros una solo vez
volviendo al punto inicial. (ciclo hamiltoniano)
1.6 El problema de cruzar el rio
Tenemos 3 misioneros y 3 canibales y un bote para cruzar el rio. El bote tiene
capacidad para 2 personas a lo sumo. Se trata que los 6 individuos cruzen el rio de
forma que en ningun momento haya mas canibales que misioneros en cualquiera de
los dos margenes del rio. Indiquemos con (i,j) el hecho que haya i misioneros y j
canibales en un dado margen. Entonces (i,j)→(i-1, j-1) significa una posible
transicion, es decir, cruzan el rio un misionero y un canibal. A continuacion (i-1, j-1)
→(i, j-1) significa que volvio el misionero solo. Imaginemos que dibujamos todos los
pares (i,j) como puntos en el plano (i≥j) y unimos por flechas los pares que representan
transiciones posibles. Se trata de hallar un sucesion de flechas consecutivas que parta
de (3,3) y termine en (0,0)
2. Definiciones
2.1 Multigrafo
Sea E={a,b,c,...} un cjto de elementos que llamamos ramas y V= {A,B,C,...} un cjto
de elementos que llamamos vertices. Una asignacion de cada rama a un par de vertices
lo llamamos un multigrafo. Por ejemplo, la figura 2 muestra un multigrafo
E= { a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 } (los puentes)
V= { A , B , C , D } (los districtos)
4. Grafos Apunte 1 4
Introduccion
a1→(A,B) a5→ (A,D)
a2→(A,B) a6→ (B,D)
a3→(B,C) a7→ (C,D)
a4→(B,C)
Un camino es una sucesion alternada de vertices y ramas u1, e1, u2, e2, u3, ..., un, en, en+1
tales que ei=(ui, ui+1) y ei ≠ ei+1 (1≤i ≤ n)
a d
figura 6 b
A B
c
c
La figura muestra un grafo con dos vertices A y B y 4 ramas a, b , c y d (a y d son
rulos) Un posible camino es AaAbBdB que une A y B. .Un camino se dice cerrado o
ciclo si el vertice inicial coincide con el final, por ejemplo, AcBbA. Un camino se dice
euleriano si pasa por todos las ramas una y sola una vez, p.ejemplo, AaAbBdBcA es
un ciclo euleriano. Un multigrafo se dice conexo si para todo par de vertices existe un
camino que los une. El grado de un vertice es el numero de ramas que inciden sobre
el. En el multigrafo de figura 6 A y B tienen grado 4.
Teorema (Euler)
Un multigrafo conexo tiene un ciclo euleriano sii todos sus vertices tienen grado par.
Demostracion: Ver mas abajo.
2.2 grafo (simple)
Un grafo es un multigrafo que tiene a lo sumo una rama entre dos vertices y no tiene
rulos. Los conceptos de camino, ciclo, euleriano, conexo y grado coinciden con los
mas arriba definidos. Ademas decimos que un camino o ciclo es hamiltoniano si pasa
por todos los vertices una y solo una vez.. Si un par de puntos tiene una rama que los
une decimos que son adyacentes,
Un grafo G lo representamos mediante (V,E) donde V es el conjunto de vertices y
E⊂VxV es el cjto de ramas.Si un grafo tiene V=n vertices el maximo numero de
n n(n −1)
ramas es E≤ =
2 . Asi, un grafo con 4 vertices tiene a la sumo 6 ramas.
2
Al grafo que tiene 4 vertices y 6 ramas lo designamos con K4. La figura 7 muestra una
representacion de K4 (izquierda)
figura 7
K4 K4 – (2,3) K4 – {1}
3
1
2
4
5. Grafos Apunte 1 5
Introduccion
Un subgrafo se obtiene de un grafo restandole parte de sus elementos. Por ejemplo si
a K4 le restamos la rama (2,3) obtenemos el subgrafo del medio de la figura 7 y si le
restamos el vertice 1 resulta el subgrafo de la derecha
Un grafo es bipartito si V esta dividido en 2 partes no vacias U y W y E⊂UxW. Si
m=U y n=W entonces el maximo numero de ramas es mxn. Si tiene mxn ramas
entonces el grafo bipartito se dice completo y se escribe Km n . En la figura 8
(izquierda) representamos K2 3
figura 8
K2 3 Arbol
Un arbol es una grafo conexo que no tiene ciclos. Tambien se puede caracterizar un
arbol diciendo que desde cualquier vertice hay un solo camino para llegar a otro
vertice. Un arbol es un grafo bipartito conexo.
2.3 grafo dirigido o digrafo
Un grafo dirigido o digrafo es un conjunto de vertices tambien llamados nodos V y
un subconjunto E de pares de vertices de V llamados arcos donde el par se
considerada dirigido, es decir, si A∈V y B∈V entonces (A,B) y (B,A) son arcos
distintos. Si (A,B) es un arco entonces llamamos a A la cola y a B la punta de (A,B),
Si V = n entonces el maximo numero de arcos que el digrafo puede tener es n(n-1).
Un camino dirigido en un grafo G dirigido es una sucesion de vertices tal que si xn y
xn+1 son dos vertices sucesivos entonces (xn , xn+1) es arco del grafo. Un camino es una
sucesion de vertices tal que si xn y xn+1 son vertices sucesivos entonces (xn , xn+1) o (xn+1
, xn ) pertenece a E. Un digrafo es fuertemente conexo si cualquier par de vertices se
puede unir por un camino dirigido
.
figura 9: Un digrafo fuertemente conexo
6. Grafos Apunte 1 6
Introduccion
Observacion : Hemos hablado de multigrafos, grafos simples y digrafos. Cuando
digamos grafo a secas significa que nos referimos a un grafo simple.
3. Algunos teoremas
3.1 Teorema (Euler, 1736)
Un multigrafo conexo G tiene un ciclo euleriano sii sus vertices tienen grado par.
Demostracion
La condicion que los vertices sean pares es necesaria.
En efecto, imaginemos que existe un camino euleriano C y una rama cualquiera v que
incide en un vertice A entonces tiene que haber otra rama w incidente en A que
continua el camino. Esto muestra que el grado de A es mayor o igual que 2. Si hubiera
otra rama x de C que incide en A debe existir otra rama z incidente en A, etc.
La condicion es suficiente.
Bosquejamos la idea de la demostracion con un ejemplo. Sea el grafo de la figura 10.
Partiendo de a dibujamos un ciclo C1 como en la figura 10 a. En este ciclo buscamos
un vertice con ramas incidentes no usadas como b en fig 10 b y dibujamos un ciclo C2
partiendo de b. Ahora buscamos un vertice c este ciclo C2 con ramas incidentes no
usadas. Partiendo de c dibujamos un tercer ciclo C3 como en la figura 10 c.
figura 10 figura 10a
C1
a
figura 10b figura 10c
b
C2
c
Ahora dibujamos un ciclo euleriano de la siguiente manera. Partiendo de a
comenzamos a trazar C1 hasta llegar a b. A continuacion, empezamos a trazar C2 hasta
llegar a c. A continuacion trazamos C3 hasta retornar c. Desde c vamos a b
completando C2. Desde b vamos a a completando C1.▼
3.2 Teorema
Sea G = (V,E) un grafo. entonces ∑grado(v) = 2 E
v∈V
(1)
Demostracion
Por induccion. sobre el numero de ramas. Si (1) es cierto suprimiendo una rama de G.
digamos la rama (x,y) entonces al agregar esa rama el grado de x e y aumentan en 1.
y el segundo miembro de (1) aumenta en 2. Por otra parte si el grafo tiene una sola
rama el teorema es obvio.▼ .
7. Grafos Apunte 1 7
Introduccion
Corolario
El numero de vertices impares de un grafo es par.
Demostracion
Sea P el cjto de vertices pares e I el de vertices impares. Tenemos
∑grado(v) + ∑grado(v) = 2E
v∈P v∈I
La pra suma es par y el sgdo miembro es par por tanto la sgda suma es par▼
3.3 Teorema
En un grafo hay dos vertices que tienen el mismo grado.
Demostracion
Sea n el numero de vertices. El grado(v) puede ser 0 o a lo sumo n-1. Si hay dos o mas
vertices de grado 0 entonces el teorema es cierto. Por lo tanto consideremos 2 casos 1)
no hay ningun vertice de grado 0. Como los n vertices tienen posibles grados1,2,...,n-1
por el principio de los casilleros hay dos vertices con el mismo grado 2) Hay un solo
vertice de grado 0. Entonces los n-1 vertices restantes tienen posibles grados 1,2,...,n-
2. Concluimos que el teorema es cierto tambien en este caso.▼
3.4 Teorema
Sea G conexo. G es bipartito sii todos sus ciclos tienen un numero par de ramas
Demostracion
Ejercicio.▼
Corolario
El teorema es cierto aunque G no sea conexo. Basta considerar el toerema aplicado a
cada “componente conexa” de G,
Observacion
Recordamos que en un grafo un camino cerrado (ciclo) que pasa por todo vertice una y
solo una vez se llama ciclo hamiltoniano. Mientras que para un ciclo euleriano existe
una simple condicion necesaria y suficiente para que exista un ciclo euleriano solo se
conocen condiciones suficientes para la existencia de ciclos hamiltonianos. Por
ejemplo, Kn tiene un ciclo hamiltoniano. De hecho tiene (n-1)! ciclos hamiltonianos.
Los siguientes 2 teoremas dan condiciones suficientes pero menos exigentes.
3.5 Teorema (Redei, 1934)
Sea G un grafo dirigido tal que si u y v son vertices se tiene que u→v o bien v→u.
Este grafo se llama un torneo (*). En un torneo con n vertices existe un camino
hamiltoniano, es decir, existen vi’s tales que v1 → v2 →...→ vn
Demostracion
Por induccion. Supongamos tener el camino v1→v2→...vi→vi+1→...vn. Sea z distinto de
estos n vertices. Si para algún i=1,2,...,n-1 se tuviera vi→z→vi+1 podemos extender el
camino a n+1 vertices. Quedan 2 casos
1) v1←z con lo cual podemos extender el camino asi z → v1→v2→...vi→vi+1→...vn
2) v1→z, v2→z,...,vn-1→z, vn→z. Pero vn→z permite extender el camino por la
derecha.▼
8. Grafos Apunte 1 8
Introduccion
(*) Considere n jugadores de tenis que participan de un torneo. Si u le gana a v
escribimos u→v (no hay empate). El teorema dice que los jugadores pueden
ordenarse en una sucesion de forma que para 2 jugadores sucesivos, el primero gana al
segundo.
3.6 Teorema (Ore, 1960)
Si en un grafo con n(≥3) vertices se tiene que para todo par u,v de vertices no
adyacentes deg u +deg v ≥ n entonces G tiene un ciclo hamiltoniano.
Demostracion
Por contradicción. Supongamos que G no fuera hamiltoniano y satisface deg(x)
+deg(y)≥n si x e y no son adyacentes. Podemos agregar mas ramas y la condicion se
satisfacira a fortiori. Por lo tanto hay un G no halmitoniano tal que si agrego una rama
mas es hamiltoniano y que satisface la condicion. Sea un tal G. Sea x e y no
adyacentes en G. Entonces G+(x,y) es hamiltoniano y, por lo tanto contiene un path
hamiltoniano x=v1,v2, ...,vi,vi+1 ,...,vn-1,vn=y. Ahora los pares v1vi+1 y vivn no pueden ser
ambos adyacentes porque tendriamos un ciclo hamiltoniano en G (ver figura)
vi vi+1
asi que debemos tener a1,i+1+ ai,n ≤1 (donde aij=1 si vi y vj son adyacentes y 0 si no).
Tenemos que deg(x)+deg(y)=
n −1 n −1 n −1 n− 2 n− 2 n− 2 n− 2
∑ a1i + ∑ ain = 1 + ∑ a1i + ∑ ain + 1 = 2 + ∑ a1i + 1 + ∑ ain = 2 + ∑ a1i +1 + ain ≤ n − 1
i= 2 i= 2 i= 3 i= 2 i= 2 i= 2 1= 2
▼
Corolario (Dirac)
Si para todo vertice v en el grafo G con n vertices se tiene grado(v)≥n/2 entonces
existe un ciclo hamiltoniano.
4. Optimizacion Combinatoria
En los siguientes problemas suponemos tener un grafo G=(V,E) y un numero c(e)
asignado a cada e∈E
4.1 El problema del viajante
Interpretamos cada vertice del grafo completo G como una ciudad y cada rama (u,v)
como un tramo de ruta que conecta las ciudades u y v. Interpretamos c(u,v) como la
distancia entre u y v. Imaginamos un viajante que parte de una ciudad cualquiera y
visita las restantes pasando una vez por cada una y volviendo a la ciudad de partida.
Llamemos C al circuito que realiza. El problema consiste en hallar un C tal que la
distancia total de los tramos que integran C sea minima. En otros terminos, dado un
grafo completo G= (V,E) con una funcion c:E→R hallar un ciclo hamiltoniano de
minimo “costo”. Observamos que hay (n-1)! ciclos hamiltonianos (n=V ). Resolver
este problema por enumeracion significa generar las (n-1)! permutaciones y sumar el
costo de cada una para elegir la minima. Esto es imposible para una computadora si n
9. Grafos Apunte 1 9
Introduccion
es grande, p. ej., n≥50. No se conoce ningun “algoritmo eficiente” para resolver este
problema. Como ejemplo de un problema practico de este tipo imaginemos n items
que deben ser procesados en secuencia por una maquina y supongamos que se pierde
un tiempo c(i,j) al pasar del item i al item j. El problema consiste en hallar una
permutacion de los n items que resulte en un tiempo total perdido minimo.
4.2 Minimo costo de un arbol
Sea G0 un grafo conexo con un costo asignado a sus ramas. Si G0 tiene algun ciclo le
sacamos una rama al ciclo y nos queda otro grafo conexo G1. Si G1 tiene un ciclo
repetimos la operacion y seguimos asi hasta tener un grafo conexo T sin ciclos, es
decir, un arbol. Se trata de hallar un arbol T de minimo costo. Podemos interpretar el
problema de la siguiente manera. Los vertices son plataformas de bombeo de petroleo
en el mar y la rama es una canieria que conecta dos estaciones. Se trata de instalar una
red de canierias que interconecte las estaciones a costo minimo. Este problema se
resuelve eficientemente mediante el algoritmo de Kruskal como veremos mas
adelante.
4.3 El camino mas corto
Sea G= (V,E) un grafo dirigido con un costo definido en sus arcos. Sean S y T dos
nodos de V. El problema consiste en hallar un camino dirigido de s a t de minimo
costo. La figura muestra un ejemplo. En general, mostraremos mas adelante que
existen algoritmos eficientes para resolver este problema. Este problema sirve como
subrutina de muchos algoritmos.
2 5 7
12 7
15
1 6 4 3
S T
1 4 7 8 10 9
2
3 3 7 15
4
3 6