Este documento contiene información sobre árboles y grafos. Define conceptos como grafo, subgrafo, grado de un vértice, y tipos de grafos como grafos simples, conexos, dirigidos y no dirigidos. También define árboles, árboles de expansión mínimos, y formas de realizar recorridos en árboles como preorden, posorden e inorden. Finalmente, incluye tareas relacionadas con grafos y árboles como determinar caminos, circuitos de Euler, matrices de adyacencia e inc

1. Ingeniería en Tecnologías de la Información y comunicación.
Árboles y Grafos III UNIDAD
Erick Leonardo Ruiz Sànchez
Grupo TI71M
5 de Diciembre del 2013

2. Cuestionario de Grafos:
1.- Defina el concepto de grafo:
Conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de
pares de vértices, llamados aristas que pueden ser orientados o no.
Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los
vértices) conectados por líneas (las aristas). Es una pareja de conjuntos G =
(V,A), donde V es el conjunto de vértices, y A es el conjunto de aristas, este
último es un conjunto de pares de la forma (u,v) tal que
, tal que
. Para simplificar, notaremos la arista (a,b) como ab.
En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no
son relevantes, sólo importa a qué vértices están unidas. La posición de los
vértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un dibujo más claro.
2.- Investigue y defina al menos 5 tipos de grafos:
Grafo simple:Si a lo sumo sólo 1 arista une dos vértices cualesquiera. Esto es
equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices
específicos.
Un grafo que no es simple se denomina Multigráfica o Gráfo múltiple.
Grafos conexos:
Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es
decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible
dese a hacia b.
Un grafo es fuertemente conexo si cada par de vértices está conectado por al
menos dos caminos disjuntos; es decir; es conexo y no existe un vértice tal que
al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.
Grafo no dirigido
Está formado por un conjunto de vértices y aristas donde éstas últimas no
tienen dirección.
e = (v,w) o (w,v)
Grafo dirigido u Orientado

3. En algunos casos es necesario asignar un sentido a las aristas, por ejemplo, si
se quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus direcciones
únicas. El conjunto de aristas será ahora un subconjunto de todos los posibles
pares ordenados de vértices, con (a, b) ≠ (b, a).
Formado por un conjunto de vértices y aristas donde las últimas tienen
dirección.
e = (v,w) ≠ (w,v)
Grafo completo.
Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de
vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los
une.
El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente
el grafo completo de n vértices.
, siendo
3.- ¿Qué es un sub grafo?
Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyos conjuntos de vértices y aristas
son subconjuntos de los de G. Se dice que un grafo Gcontiene a otro grafo H
si algún subgrafo de G es H o es isomorfo a H (dependiendo de las
necesidades de la situación).
4.- ¿Cuáles son los grafos de un solo vértice?
Son los que se considera la característica de "grado" (positivo o negativo) de
un vértice v y como la cantidad de aristas que llegan o salen de él; para el
caso de grafos no orientados, el grado de un vértice es simplemente la
cantidad de aristas incidentes a este vértice.
5.- ¿Qué es un vértice en un grafo?
Es la unidad fundamental de la que están formados los grafos. Un grafo no
dirigido está formado por un conjunto de vértices y un conjunto

4. de aristas (pares no ordenados de vértices), mientras que un grafo dirigido está
compuesto por un conjunto de vértices y un conjunto de arcos (pares
ordenados de vértices).
6.- ¿Qué es una arista en un grafo?
En teoría
de
grafos,
dos vértices de un grafo.
una arista corresponde
a
una relación entre
Para caracterizar un grafo G son suficientes únicamente el conjunto de todas
sus aristas, comúnmente denotado con la letra E (del término en inglés edge),
junto con el conjunto de sus vértices, denotado por V. Así, dicho grafo se puede
representar como G(V,E), o bien G = (V,E).
Un vértice es incidente a una arista si pertenece a ésta, o en otras palabras, si
está conectado a otro vértice (o a él mismo) a través de ella.
7.- ¿Cómo se determina el grado de un grafo?
El grado de un vértice en un grafo es el número de aristas incidentes a él.
Un vértice aislado es un vértice con grado cero; esto es, un vértice que no es
punto final de ninguna arista. Un vértice hoja es un vértice con grado uno. En
un grafo dirigido, se puede distinguir entre grado de salida ("outdegree",
número de aristas que salen del vértice) y grado de entrada ("indegree",
número de aristas que llegan al vértice); un vértice fuente es un vértice con
grado de entrada cero, mientras que un vértice hundido es un vértice con
grado de salida cero.
+
B
8.- ¿Cuándo se considera un grado (+) en un grafo?
Cuando Sale.
C
D
A
(-)
E
F

5. 9.- ¿Cuándo se considera un grado (-) en un grafo?
C
(+)
D
A
(-)
E
F
Tarea # 2: Complete el cuadro con la información solicitada.
Tipo de
Grafo
Grafo
Simple
Definición
Grafo simple. o
simplemente graf
o es aquel que
acepta una sola
una arista
uniendo dos
vértices
cualesquiera.
Esto es
equivalente a
decir que una
arista cualquiera
es la única que
une dos vértices
específicos. Es la
definición
estándar de un
grafo.
Imagen

6. Grafos
Conexos
En teoría de grafos,
un grafo se
dice conexo si, para
cualquier par
de vértices a y b en
G, existe al menos
una trayectoria (una
sucesión de vértices
adyacentes que no
repita vértices)
de a ab.
Grafo no
dirigido
Está formado por un
conjunto de vértices
y aristas donde éstas
últimas no tienen
dirección.
e = (v,w) o (w,v)
Grafo
En algunos casos es
Dirigido u necesario asignar un
Orientado sentido a las aristas,
por ejemplo, si se
quiere representar la
red de las calles de
una ciudad con sus
direcciones únicas.
El
conjunto
de
aristas será ahora un
subconjunto
de
todos los posibles
pares ordenados de
vértices, con (a, b) ≠
(b, a).
Formado por un
conjunto de vértices
y aristas donde las
últimas
tienen

7. dirección.
e = (v,w) ≠ (w,v).
Grafo no
simple
Es un grafo no
dirigido que tiene
lazos
y
lados
paralelos.
Se denomina lazo a
aquella arista que
converge
en
el
mismo vértice
Aristas paralelas son
aquellas aristas que
convergen en el
mismo par de
vértices
Grafo
Ponderad
o
Se presentan los
pesos de cada arista
y
se
puede
determinar
la
longitud de una ruta,
que es la suma de
todos los pesos de
las aristas.
Grafo
Completo
Un
grafo
es
completo si existen
aristas
uniendo
todos
los
pares
posibles de vértices.
Es decir, todo par de
vértices (a, b) debe
tener una arista e
que los une.
El conjunto de los
grafos completos es
denominado

8. usualmente
siendo
completo
vértices.
Grafo de
Similitud
,
el grafo
de
n
Son aquellos grafos
de los que se puede
derivar subgrafos
Tarea # 3: De los sig. Grafos determinar grado + y grado –
-
0
0
+
0
+
0
+
0
0
Tarea #4: De los sig. Grafos determinar El camino o trayectoria
0

9. 1
1
2
3
4
2
3
4
5
6
7
5
1,2,3,4,5,6,7
1,3,4,5,6,7
1,2,3,4,5
1,3,2,4,5,6,7
1,3,2,1,4,5
1,3,5,7
1,4,5
1,3,4,7
1,2,5,7
1,2,4,6,7
1,2,3,5,7
1,2,5,6,7
1,2,5
Tarea # 5: En los siguientes grafos determine los vértices y trace un
circuito de Euler.
a)

10. a
b
a,b,c,e,b,d,c,a
c
d
e
b) Un cartero tiene que repartir sus cartas en la red de calles representada por
el grafo de la figura 5.20. Para realizar el reparto, el cartero debe empezar y
terminar en la estafeta de correos que se encuentra en el vértice i. Teniendo en
cuenta que todos los vértices tienen grado par, el cartero sabe que puede
efectuar el reparto sin recorrer dos veces la misma calle, construyendo para
ello un ciclo de Euler..
I, j, m, n, a, b, c, d, e, f, g, h, a, m, l, k, j, h,i

11. Tarea # 6: Encuentre el ciclo de Hamilton en los siguientes grafos
B
A
A
C
B
G
A
D
D
C
H
F
E
F
E
I
H
G
A,B,C,D,H,L,KG,F,J,I,E,A
No tiene solución
Tarea # 7: Encuentre la Matriz de
Adyacencia del siguiente grafo.
J
K
B
D
A
C
C
Tarea # 8: De la siguiente Matriz Adyacente encontrar el
grafo correspondiente
B
D
A
C
L

12. Tarea # 9: Encuentre la Matriz de Incidencia del siguiente grafo
A
e1
B
e2
e11
e3
e5
G
e9
e10
e4
D
F
e7
e8
E
C
e6

13. ÁRBOLES
TAREA # 1. CUESTIONARIO
1.- ¿Qué es un árbol?
Un árbol es un grafo simple en el cual existe un único camino entre cada par de
vértice.
2.- ¿Para qué se usan en computación los árboles?
La computación hace uso de los árboles ampliamente
Son útiles para organizar y relacionar datos en una base de datos y otras
aplicaciones, así mismo en la estructura jerárquica de las carpetas.
3.- ¿Qué es un árbol libre?
Es un grafo no dirigido acíclico conexo, aquel donde no se especifica un vértice
raíz.
4.- Dibuja un árbol libre de 10 nodos

14. 5.- ¿Qué es un árbol de raíz?
Un árbol con raíz, es un árbol que tiene un vértice particular designado como
raíz.
6.- Dibujar un árbol de raíz que tenga 4 niveles y donde se especifiquen los
siguientes conceptos:
a) Hijo de un nodo del 2 nivel=h
b) Padre de un nodo del 4 nivel=h
c) Mencione los ancestros de un nodo del 4 nivel=h,d,b,a
d) Mencione todos los descendientes de un nodo del 3 nivel=h,j,k
e) Mencione los vértices terminales (VT)=j,k,e,i,g
f) Mencione los vértices interiores (VI)=h,d,b,c,f
2
1

15. 3
Un árbol de expansión es un árbol compuesto por todos los vértices y algunas
(posiblemente todas) de las aristas de G. Al ser creado un árbol no existirán
ciclos, además debe existir una ruta entre cada par de vértices.
7.- Defina que es un árbol de expansión mínimo.
Dado un grafo conexo, no dirigido y con pesos en las aristas, un árbol de
expansión mínima es un árbol compuesto por todos los vértices y cuya suma
de sus aristas es la de menor peso.
8.- ¿Cuál es el uso que se les da a los árboles binarios?
En tablas de enrutamiento para los Routers (encuentran la ruta más corta para
la transmisión de datos), en simulaciones en 3D, formatos para compresión de
archivos (jpg, pdf, tiff, etc). Para ordenar los elementos de un arreglo en sentido
ascendente, se debe construir un árbol similar al árbol binario de búsqueda, pero sin
omitir las coincidencias.
9.- ¿Qué es realizar un recorrido en un árbol?

16. Visitar de manera sistemática, solo una vez cada nodo.
10.- Mencione las formas de hacer un recorrido por un árbol y una pequeña
descripción.
RECORRIDO POSTORDEN: Donde el nodo dado se procesa después de
haber procesado recursivamente a sus hijos.
RECORRIDO POR NIVELES: Este recorrido procesa los nodos comenzando
en la raíz y avanzando de forma descendente y de izquierda a derecha.
RECORRIDO PREORDEN: En el que se procesa el nodo y después se
procesan recursivamente sus hijos.
RECORRIDO ENTREORDEN: En este se procesa recursivamente el hijo
izquierdo, luego se procesa el nodo actual y finalmente se procesa
recursivamente el hijo derecho.
TAREA # 2: Sigua las indicaciones según se pida:
2.1.- (a) Convertir el árbol libre a árbol de raíz cuando f sea la raíz.
f
l
n
h
k
e
m
a
b
c
d
g

17. (b) Determinar el nivel y la altura del árbol.
Altura 4
(c) Encontrar el subárbol a partir del vértice e.
e
b
d
c
a
g
2.2.- (a) convierte el árbol libre a árbol de raíz cuando g sea la raíz.
(b)Determinar el nivel y la altura del árbol.
Altura 4
(c) Encontrar el subárbol a partir del vértice h.

18. (d) Encontrar los vértices terminales y los vértices interiores
Terminales (l,f),(i,f),(k,f) y (h,f)
Vertices interiores (i,m),(h,e),(e,a)(e,b),(a,g)(b,c)
m
i
d
g
l
a
k
b
n
aa
g
f
h
e
c
2.2.- (a) convierte el árbol libre a árbol de raíz cuando g sea la raíz.
(b)Determinar el nivel y a altura del árbol.
(c) Encontrar el subárbol a partir del vértice h.
(d) Encontrar los vértices terminales y los vértices interiores

19. 2.3.- (a) Convertir el árbol libre a árbol de
raíz cuando h sea la raíz.
(b)Determinar el nivel y a altura del árbol.
Altura de 3
(c) Encontrar el subárbol a partir del vértice e.
e
c
a
b
d
f
m

20. (d) Encontrar los vértices terminales y los vértices interiores.
Terminales (e,h),(g,h), (k,h).
Interiores (a,c),(b,c),(c,e)(d,e),(m,f),(f,e),(i,g)
l
a
d
g
i
c
h
e
b
f
k
m
TAREA # 3:Resuelva según se indique.
3.1.- De los grafos propuestos obtener el árbol de expansión mínimo
a
4
b
1
W (G) =31
c

21. 7
6
12
d
11
13
8
g
14
e
5
f
3
2
h
2
10
a
4
e
d
2
h
W (G) =7
1
3
3
4
3
2
1
1
3
4
3
2
1
4
2
3
1
5
5
TAREA # 4: Realizar los recorridos de los siguientes arboles según se indica
(a)Recorrido de preorden:A,B,H,I,K,L,M,J,C,D,E,G,F
(b)Recorrido de entreorden:L,K,M,I,H,J,B,A,F,E,G,D,C
(c)Recorrido de postorden:L,M,K,I,J,H,B,F,G,E,D,C,A
A
C
B
H
I
D
E
J
K
F
G
5
f
3
g
1
c
6
j
8
2
1
b
2
I