El documento describe el problema clásico de los puentes de Königsberg y su solución por Euler. Euler modeló el problema usando un grafo y demostró que para que exista un circuito euleriano todos los vértices deben ser de grado par, lo cual no ocurría en el grafo original. También define formalmente los conceptos de grafo euleriano, circuito euleriano y camino euleriano.

1. Elementos Discretos
Facultad de Ciencias y Tecnología
Departamento de Computación
Teoría de Grafos:
Grafos Eulerianos
Teoría de Grafos
Unidad Académica Elementos Discretos

2. Problema de los Puentes de Königsberg:
Los Puentes de Königsberg:
Problema de
los Puentes de Königsberg (populosa y rica ciudad de la Prusia Oriental), nombre
Königsberg
antiguo de la actual ciudad de Kaliningrado (Rusia).
La solución de
Euler
Definición de
Grafo
Euleriano
El río Pregel atraviesa la ciudad y existen 2 islas en el medio del río,
Teorema del
Circuito
conectadas entre sí y con las márgenes del río, a través de 7 puentes.
Euleriano
Demostración
del Teorema
Corolario del
Camino
Euleriano
Teoría de Grafos
Unidad Académica Elementos Discretos

3. Problema de los Puentes de Königsberg:
Los Puentes de Königsberg:
Problema de
los Puentes de Protagonistas de uno de los problemas de los matemáticos del siglo
Königsberg
XVIII.
La solución de
Euler
Definición de
Grafo
Euleriano
Teorema del
Circuito
Euleriano
Demostración
del Teorema
Corolario del
Camino
Problema:
Euleriano ¿Es posible partir de un punto de la ciudad y recorrer cada puente
una sola vez regresando al punto de partida.?
Teoría de Grafos
Unidad Académica Elementos Discretos

4. La solución de Euler:
Euler:
Problema de
los Puentes de En 1736, el matematico suizo Leonhard Euler
Königsberg
modelo el problema usando un grafo G = (V, A)
La solución de
donde:
Euler V = {las islas y las dos márgenes del río} y
A = {los puentes} 1707 - 1783
Definición de
Grafo
Euleriano margen 1
G = (V, A)
isla 1 isla 2
Teorema del
Circuito
Euleriano margen 2
Demostración
Problema:
del Teorema ¿Existirá un circuito en el grafo G que recorra todos los arcos una
sola vez?
Corolario del
Camino
Euleriano Respuesta:
Euler demostró que no existe dicho circuito.
Teoría de Grafos
Unidad Académica Elementos Discretos

5. La solución de Euler:
Euler:
Problema de
los Puentes de Para que existiera el circuito buscado, todos los vértices de G debían
Königsberg
ser de grado par (en este caso todos son de grado impar).
La solución de
Euler 3
G = (V, A)
Definición de 5 3
Grafo
Euleriano
3
Teorema del
Circuito Construcción de puentes:
Euleriano
Si se construyeran dos puentes el problema tendría solución
Demostración afirmativa.
del Teorema 4
G = (V, A)
Corolario del
Camino 6 4
Euleriano
4
Teoría de Grafos
Unidad Académica Elementos Discretos

6. Definición de Grafo Euleriano:
Definiciones:
Problema de
los Puentes de
Königsberg
Camino euleriano:
Es un camino que recorre todos los arcos del grafo una sola vez.
La solución de
Euler Por lo tanto, es un camino simple que transita por todos los arcos del
grafo.
Definición de
Grafo
Euleriano Circuito euleriano:
Es un camino euleriano, donde el vértice de partida coincide con el
Teorema del
Circuito vértice de llegada.
Euleriano
G = (V, A, ϕ) G1 = (V1, A1, ϕ)
3 e2
4 2 e2
4
Demostración
Ejemplos:
del Teorema
e9 4 e6 2 e6
e1
e10 4 e7
e3 e1
2 e7 e3
e5 e5
Corolario del e11
Camino e8 e8
e4 e4
Euleriano 4 3 4 2
C = (e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e1, e9, e10, e11) C = (e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8)
camino euleriano circuito euleriano
Teoría de Grafos
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7. Definición de Grafo Euleriano:
Grafo Euleriano:
Problema de
los Puentes de Un grafo es euleriano si contiene un camino o un circuito euleriano.
Königsberg
G = (V, A, ϕ) G1 = (V1, A1, ϕ)
La solución de Por lo tanto 3 e2
4 2 e2
4
Euler e9 4 e6 2 e6
e1
e10 4 e7
e3 e1
2 e7 e3
e5 e5
Definición de e11
Grafo e8 e8
e4 e4
Euleriano 4 3 4 2
C = (e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e1, e9, e10, e11) C = (e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8)
camino euleriano circuito euleriano
Teorema del
Circuito
Euleriano
euleriano euleriano
3
G = (V, A)
Demostración
del Teorema 5 3
Corolario del 3
Camino No se puede construir un
Euleriano
camino euleriano
no es euleriano
Teoría de Grafos
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8. Teorema del Circuito Euleriano:
Teorema:
Problema de
los Puentes de Para cualquier grafo G = (V, A).
Königsberg
Si G es conexo y todos sus vértices son de grado par, entonces G
La solución de
tiene un circuito Euleriano.
Euler
Definición de
Grafo
grado par grado impar
Euleriano
Teorema del
Circuito
Euleriano
Demostración
del Teorema
Corolario del
Camino
Euleriano
Teoría de Grafos
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9. Demostración del Teorema:
Demostración:
Problema de
los Puentes de Por inducción y por construcción.
Königsberg
Hipótesis: Tesis:
La solución de Sea G = (V, A) un grafo, tal que: G tiene un circuito
Euler
(i) G es conexo, euleriano
Definición de (ii) G tiene todos sus vértices de grado par
Grafo
Euleriano
Teorema del Observaciones:
Circuito
Euleriano El problema del circuito euleriano radica en los arcos de G, por eso
se va a hacer inducción sobre el número de arcos de G, es decir,
Demostración
del Teorema
sobre |A| = m.
Corolario del La intención es que al ir variando m, si el grafo cumple las hipótesis
Camino
Euleriano del teorema (G es conexo y todos sus arcos son de grado par)
entonces se compruebe que G tiene un circuito euleriano.
Teoría de Grafos
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10. Demostración del Teorema:
Inducción: Colocamos el teorema como la propiedad a probar.
Problema de
los Puentes de P(m): Dado un grafo G = (V, A) con |A| = m.
Königsberg
Si G es conexo y todos los vértices de G son de grado par, entonces
La solución de
G contiene un circuito Euleriano.
Euler
La inducción se hace para |A| ≥ 3
Definición de
Grafo
Euleriano Se descartan los casos |A| = 1 y |A| = 2, porque con esa cantidad
de arcos, los grafos que satisfacen las hipótesis no son simples.
Teorema del
Circuito
Euleriano
Demostración
del Teorema
Corolario del
Camino
Euleriano
no son grafos simples
Teoría de Grafos
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11. Demostración del Teorema:
Inducción: Se usará la forma fuerte de inducción.
Problema de
los Puentes de P(m): Dado un grafo G = (V, A) con |A| = m.
Königsberg
Si G es conexo y todos los vértices de G son de grado par, entonces
La solución de
G contiene un circuito Euleriano.
Euler
Definición de
Caso Base: Probar P(m) para m = 3
Grafo
Euleriano
P(3): Dado un grafo G = (V, A) con |A| = 3.
Si G es conexo y todos los vértices de G son de grado par, entonces
Teorema del G contiene un circuito Euleriano.
Circuito
Euleriano
El grafo G = (V, A) con |A| = 3, que cumple las hipótesis es:
Demostración 2
del Teorema v1 En G existe el siguiente circuito euleriano:
C = (v1, v2, v3, v1)
Corolario del
Camino
Euleriano v3 v2
Por lo tanto, P(3) es verdadero.
2 2
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12. Demostración del Teorema:
Paso Inductivo:
Problema de
los Puentes de
Königsberg
Hipótesis Inductiva:
La solución de
Euler
Asumimos como cierto P(3) ∧ P(4) ∧ ... ∧ P(k-1), es decir,
asumimos que:
Definición de
Grafo
Para cualquier grafo G = (V, A) con |A| < k.
Euleriano Si G es conexo y todos los vértices de G son de grado par, entonces
G contiene un circuito Euleriano.
Teorema del
Circuito
Euleriano
Tesis Inductiva: Debemos probar P(k), es decir:
Demostración
del Teorema
Dado un grafo G = (V, A) con |A| = k.
Si G es conexo y todos los vértices de G son de grado par, entonces
Corolario del G contiene un circuito Euleriano.
Camino
Euleriano
Teoría de Grafos
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13. Demostración del Teorema:
Paso Inductivo: Aquí se usa el Proceso de construcción.
Problema de
los Puentes de
Königsberg
Estrategia:
La solución de Desarrollar la tesis,
Euler
partiendo de su antecedente (hipótesis de la tesis),
Definición de por construcción se hace aparecer la hipótesis inductiva,
Grafo
Euleriano se sustituye y
se trata de llegar al consecuente de la tesis.
Teorema del
Circuito
Euleriano Antecedente de la tesis inductiva Consecuente de la
Sea G = (V, A) un grafo con |A| = k, tal que: Tesis inductiva:
Demostración
del Teorema (i) G es conexo, G tiene un circuito
(ii) G tiene todos sus vértices de grado par euleriano
Corolario del
Camino
Euleriano Asumimos entonces que disponemos de un grafo G = (V, A), con
|A| = k arcos, que es conexo y todos sus vértices son de grado par.
Teoría de Grafos
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14. Demostración del Teorema:
Paso Inductivo: Aquí se usa el Proceso de construcción.
Problema de
los Puentes de
Königsberg
Construcción: Ilustración:
La solución de (1) Conseguir un circuito cualquiera (1)
Euler
en G, denominándolo Cprinc.
Definición de Si Cprinc es euleriano entonces inicio
Grafo la demostración termina
Euleriano
sino continuamos:
G4 G2
Teorema del (2) Quitar de G los arcos del circuito Cpric. (2)
Circuito G3
Se generan una o varias componentes
Euleriano
conexas en G (p ≥ 1).
inicio
G1
Demostración (3) Cada componente conexa cumple que: (3) G5
del Teorema tiene cantidad de arcos menor que k,
es conexa y G4 G2
Corolario del todos sus vértices son de grado par. G3
Camino
Por hipótesis inductiva, cada G1
Euleriano
componente conexa posee un
G5
circuito euleriano.
euleriano
Teoría de Grafos
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15. Demostración del Teorema:
Paso Inductivo: Aquí se usa el Proceso de construcción.
Problema de
los Puentes de
Königsberg
Construcción: Ilustración:
La solución de (4) Escoger p vértices de Cpric: ui , uno (4)
Euler u3 G4 u3 G2
por cada componentes conexas, u4 u2 u4 G3
u2
i ∈ {1, 2, ..., p} u1
inicio
Definición de u1 G1
Grafo en el orden en que fueron visitadas las u5
u5
Euleriano componentes conexas. G5
Teorema del (5) Armar el circuito euleriano de G, (5)
Circuito ensamblando el circuito Cpric con los
Euleriano
circuitos eulerianos de las componentes inicio
conexas, en el orden que son visitadas
Demostración
del Teorema por el circuito Cpric.
Corolario del
Camino
Euleriano
Teoría de Grafos
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16. Corolario del Camino Euleriano:
Corolario:
Problema de
los Puentes de Para cualquier grafo G = (V, A).
Königsberg
Si G es conexo y todos sus vértices son de grado par o exactamente
La solución de
dos son de grado impar, entonces G tiene un camino Euleriano.
Euler
Ejemplo: G = (V, A) 2
Definición de
Grafo
Euleriano 4 4
G = (V, A) G = (V, A)
Teorema del
Circuito 3 3
Euleriano
En G existen exactamente
dos vértices de grado impar,
Demostración entonces
del Teorema
G tiene un camino euleriano
Extraemos un camino Queda componente
Corolario del que inicie en uno de los conexa con un circuito
Camino
Euleriano
vértices de grado impar euleriano.
y que termine en el otro Ensamblando ambos se
vértice de grado impar. obtiene el camino euleriano.
euleriano
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