Este documento presenta una colección de fórmulas y ejercicios resueltos para prepararse para la Prueba de Selección Universitaria (PSU) en Chile. Incluye fórmulas y ejemplos de porcentajes, interés, proporcionalidad, probabilidad, ecuaciones, funciones cuadráticas y más. El autor espera que este material sirva como último repaso antes de rendir la PSU.
Este documento resume conceptos fundamentales de matemáticas para la PSU, incluyendo números y proporcionalidad, álgebra y funciones. Explica reglas de divisibilidad, grados de polinomios, productos notables, factorización de trinomios, números primos y compuestos, razones y proporciones directas e inversas, funciones y sus elementos, y conceptos básicos de geometría como ángulos y triángulos.
Este documento presenta definiciones y propiedades de funciones. Introduce conceptos como dominio, rango, función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Explica funciones notables como lineal, cuadrática, cúbica y valor absoluto. Finalmente, propone ejercicios sobre estas nociones.
de
la
división:
1) El documento presenta el Teorema del Resto y sus reglas para determinar el resto de la división de polinomios.
2) Se demuestra el teorema a través de la identidad fundamental de la división y se presentan dos casos de división de polinomios.
3) Se plantean varios ejemplos resueltos para ilustrar la aplicación del teorema en la determinación del resto de divisiones polinómicas.
El documento resume conceptos y fórmulas matemáticas importantes para la Prueba de Selección Universitaria, incluyendo el orden de operaciones, números en potencias de diez, fracciones, álgebra, geometría y trigonometría. Explica temas como factorización de polinomios, ecuaciones de rectas, congruencia y semejanza de triángulos, y teoremas de la circunferencia.
Este documento presenta un modelo oficial de la prueba de matemáticas para el proceso de admisión 2010 de la Universidad de Chile. El modelo contiene 70 preguntas sobre diferentes temas matemáticos y está diseñado para que los estudiantes practiquen con una prueba similar a la real. El documento también explica cómo se analizarán las preguntas en publicaciones futuras.
Resumen formulas en Matemática para bachillerato 2015 Danny GonzAlva
Este documento presenta información sobre elementos de la circunferencia, tipos de circunferencias, propiedades del círculo, fórmulas de polígonos, funciones trigonométricas y características de figuras sólidas. También resume conceptos clave de funciones como dominio, codominio, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, y tipos de funciones como lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y su representación gráfica.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra, incluyendo términos algebraicos, grado de términos y expresiones, y operaciones con expresiones algebraicas. También introduce monomios, binomios, trinomios y polinomios, y explica cómo reducir términos semejantes. Finalmente, incluye ejercicios para que el lector aplique estos conceptos.
Este documento resume conceptos fundamentales de matemáticas para la PSU, incluyendo números y proporcionalidad, álgebra y funciones. Explica reglas de divisibilidad, grados de polinomios, productos notables, factorización de trinomios, números primos y compuestos, razones y proporciones directas e inversas, funciones y sus elementos, y conceptos básicos de geometría como ángulos y triángulos.
Este documento presenta definiciones y propiedades de funciones. Introduce conceptos como dominio, rango, función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Explica funciones notables como lineal, cuadrática, cúbica y valor absoluto. Finalmente, propone ejercicios sobre estas nociones.
de
la
división:
1) El documento presenta el Teorema del Resto y sus reglas para determinar el resto de la división de polinomios.
2) Se demuestra el teorema a través de la identidad fundamental de la división y se presentan dos casos de división de polinomios.
3) Se plantean varios ejemplos resueltos para ilustrar la aplicación del teorema en la determinación del resto de divisiones polinómicas.
El documento resume conceptos y fórmulas matemáticas importantes para la Prueba de Selección Universitaria, incluyendo el orden de operaciones, números en potencias de diez, fracciones, álgebra, geometría y trigonometría. Explica temas como factorización de polinomios, ecuaciones de rectas, congruencia y semejanza de triángulos, y teoremas de la circunferencia.
Este documento presenta un modelo oficial de la prueba de matemáticas para el proceso de admisión 2010 de la Universidad de Chile. El modelo contiene 70 preguntas sobre diferentes temas matemáticos y está diseñado para que los estudiantes practiquen con una prueba similar a la real. El documento también explica cómo se analizarán las preguntas en publicaciones futuras.
Resumen formulas en Matemática para bachillerato 2015 Danny GonzAlva
Este documento presenta información sobre elementos de la circunferencia, tipos de circunferencias, propiedades del círculo, fórmulas de polígonos, funciones trigonométricas y características de figuras sólidas. También resume conceptos clave de funciones como dominio, codominio, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, y tipos de funciones como lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y su representación gráfica.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra, incluyendo términos algebraicos, grado de términos y expresiones, y operaciones con expresiones algebraicas. También introduce monomios, binomios, trinomios y polinomios, y explica cómo reducir términos semejantes. Finalmente, incluye ejercicios para que el lector aplique estos conceptos.
El documento presenta un problema geométrico sobre una circunferencia de radio 12 cm. Se piden:
1) Calcular la longitud de los segmentos AB y OP.
2) Determinar el área de la superficie sombreada entre la circunferencia, las rectas tangentes en A y B, y la recta OP.
El documento presenta los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Explica que un sistema de ecuaciones está formado por dos ecuaciones de primer grado con las mismas dos incógnitas. Presenta métodos para resolver sistemas de ecuaciones tanto gráficamente como algebraicamente, y analiza las posibles soluciones de un sistema. Por último, muestra ejemplos de aplicaciones de sistemas de ecuaciones a problemas de la vida real.
Este documento describe los números racionales, incluyendo fracciones propias e impropias, igualdad entre números racionales, adición, sustracción, multiplicación y división de números racionales, relaciones de orden entre números racionales, y números decimales.
Este documento presenta un índice de 14 temas sobre álgebra de segundo año de secundaria. Los temas incluyen teoría de exponentes, expresiones algebraicas, polinomios, operaciones con expresiones algebraicas, productos notables, división algebraica, cocientes notables, factorización, fracciones algebraicas, relaciones binarias, teoría de ecuaciones, inecuaciones, funciones y misceláneas. Cada tema contiene objetivos, desarrollo de conceptos y ejercicios de práctica.
Este documento presenta los axiomas y teoremas fundamentales del álgebra, incluyendo los axiomas de los números reales, teoría de exponentes, ecuaciones de primer grado y ecuaciones exponenciales. Explica las operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división, y proporciona observaciones sobre fracciones y potenciación.
El documento presenta conceptos sobre desigualdades, inecuaciones de primer grado con una incógnita y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Define propiedades de las desigualdades, ejemplos de inecuaciones y sistemas de inecuaciones, y cómo determinar el conjunto solución. También incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta el solucionario de un examen de matemáticas con 20 problemas resueltos. Los problemas abarcan temas como conjuntos numéricos, fracciones, potencias y raíces. Cada problema contiene los pasos para llegar a la solución correcta.
Nuevos exámenes de prepa actualizados, validos en todo el país en el plan de 33 materias De la SEP son las nuevas versiones, ya están actualizados.
actualizamos el material cada mes
Contáctame a este correo
examenesprepa@live.com.mx
whatsapp 55 91038543
R.m. 4to.grado-teoría de exponentes-polinomios-logaritmoLuis Cañedo Cortez
1. El documento presenta información sobre exponentes, radicación y polinomios. Incluye definiciones, teoremas y ejemplos sobre potenciación, raíces y diferentes tipos de expresiones algebraicas.
2. También explica conceptos como grado de polinomios, términos semejantes, y polinomios especiales como los mónicos y ordenados.
3. Finalmente, proporciona una serie de ejercicios para practicar los diferentes temas cubiertos.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra de polinomios, incluyendo evaluación de expresiones algebraicas, reducción de términos semejantes, uso de paréntesis, operaciones con polinomios como adición, multiplicación y factorización, y fracciones algebraicas. Contiene ejemplos ilustrativos de cada concepto y guías para la resolución de problemas relacionados con expresiones algebraicas.
Este documento contiene información sobre una prueba de bachillerato en matemáticas aplicada en setiembre de 2014. Incluye instrucciones para los estudiantes sobre cómo completar la prueba, así como notas generales sobre convenciones matemáticas usadas. La prueba consta de 60 ítems de selección única y la hoja de respuestas debe llenarse con bolígrafo de tinta azul o negra.
El documento presenta una serie de ejercicios de cálculo integral correspondientes a un examen de matemáticas de 2o de bachillerato. Incluye 8 ejercicios que van desde encontrar la función primitiva de una función dada hasta calcular el área delimitada por diferentes funciones. El profesor explica brevemente cada ejercicio y proporciona la resolución detallada.
2 ecuaciones e inecuaciones con valor absolutoGino León
El documento trata sobre ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Explica cómo aplicar propiedades de las desigualdades y el valor absoluto para resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, así como ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. También analiza expresiones matemáticas, su simbología y propiedades para resolver dichos tipos de problemas.
Este documento presenta los axiomas y propiedades fundamentales de los números reales, incluyendo las operaciones de adición, multiplicación, división y relaciones de orden. También describe las propiedades de las fracciones y ecuaciones de primer y segundo grado, proporcionando las definiciones y reglas necesarias para trabajar con estos conceptos numéricos básicos.
Funciones y Ecuaciones De Segundo Gradoguest391f5a
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y funciones cuadráticas. Explica que una ecuación de segundo grado es de la forma ax2 + bx + c = 0, y cómo calcular sus soluciones o raíces. Luego introduce la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, describiendo su gráfica en forma de parábola y conceptos como concavidad, ceros, vértice, eje de simetría y discriminante. Finalmente incluye ejemplos para practicar estos conceptos.
Este documento contiene 33 problemas matemáticos de diferentes temas como álgebra, funciones, sistemas de ecuaciones y geometría. Los problemas incluyen cálculos, comparaciones, determinación de dominios, recorridos e intersecciones con ejes. El objetivo es que el estudiante resuelva cada problema y seleccione la alternativa correcta.
Este documento presenta 32 problemas de matemáticas que involucran conceptos como ecuaciones cuadráticas, funciones cuadráticas, funciones lineales, funciones exponenciales y logarítmicas. Cada problema viene acompañado de 3 o 4 opciones de respuesta.
El texto trata sobre el rayo láser, explicando que es el producto de una reacción en cadena donde los fotones chocan con otros fotones producidos por moléculas de luz emitidas por un cristal de rubí. Describe también las características de la luz láser como su gran intensidad, monocromatismo y carácter direccional. Menciona algunos usos comunes del láser como en discos compactos, impresoras y lectores de códigos de barra.
Este documento presenta las claves de corrección y explicaciones para 20 preguntas sobre números enteros y racionales. Proporciona la alternativa correcta, la subunidad temática, habilidad evaluada y una breve explicación para cada pregunta. El objetivo es ayudar a los estudiantes a reforzar su comprensión de este tema y resolver cualquier duda con la ayuda de su profesor.
El documento presenta información sobre conceptos matemáticos como adición, sustracción, multiplicación y división. Explica las propiedades y definiciones de cada operación, así como temas complementarios como determinar el número de cifras de un producto o cociente. En particular, señala que no se puede determinar anticipadamente el sentido de una desigualdad cuando ambos lados son desigualdades contrarias sin conocer previamente los valores de cada número.
Este resumen trata sobre un examen de matemáticas que contiene 12 preguntas con sus respectivas resoluciones. La mayoría de las preguntas involucran conceptos de álgebra lineal, funciones, teoría de números y sistemas de ecuaciones. El documento proporciona las respuestas correctas a cada pregunta y explica brevemente los pasos para llegar a dichas respuestas.
Este documento presenta las leyes y definiciones básicas relacionadas con exponentes y radicación. Explica conceptos como potenciación, exponente, base, raíz, grado de un monomio y polinomio, entre otros. Además, incluye ejemplos y ejercicios para practicar la aplicación de estas nociones algebraicas.
El documento presenta un problema geométrico sobre una circunferencia de radio 12 cm. Se piden:
1) Calcular la longitud de los segmentos AB y OP.
2) Determinar el área de la superficie sombreada entre la circunferencia, las rectas tangentes en A y B, y la recta OP.
El documento presenta los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Explica que un sistema de ecuaciones está formado por dos ecuaciones de primer grado con las mismas dos incógnitas. Presenta métodos para resolver sistemas de ecuaciones tanto gráficamente como algebraicamente, y analiza las posibles soluciones de un sistema. Por último, muestra ejemplos de aplicaciones de sistemas de ecuaciones a problemas de la vida real.
Este documento describe los números racionales, incluyendo fracciones propias e impropias, igualdad entre números racionales, adición, sustracción, multiplicación y división de números racionales, relaciones de orden entre números racionales, y números decimales.
Este documento presenta un índice de 14 temas sobre álgebra de segundo año de secundaria. Los temas incluyen teoría de exponentes, expresiones algebraicas, polinomios, operaciones con expresiones algebraicas, productos notables, división algebraica, cocientes notables, factorización, fracciones algebraicas, relaciones binarias, teoría de ecuaciones, inecuaciones, funciones y misceláneas. Cada tema contiene objetivos, desarrollo de conceptos y ejercicios de práctica.
Este documento presenta los axiomas y teoremas fundamentales del álgebra, incluyendo los axiomas de los números reales, teoría de exponentes, ecuaciones de primer grado y ecuaciones exponenciales. Explica las operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división, y proporciona observaciones sobre fracciones y potenciación.
El documento presenta conceptos sobre desigualdades, inecuaciones de primer grado con una incógnita y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Define propiedades de las desigualdades, ejemplos de inecuaciones y sistemas de inecuaciones, y cómo determinar el conjunto solución. También incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta el solucionario de un examen de matemáticas con 20 problemas resueltos. Los problemas abarcan temas como conjuntos numéricos, fracciones, potencias y raíces. Cada problema contiene los pasos para llegar a la solución correcta.
Nuevos exámenes de prepa actualizados, validos en todo el país en el plan de 33 materias De la SEP son las nuevas versiones, ya están actualizados.
actualizamos el material cada mes
Contáctame a este correo
examenesprepa@live.com.mx
whatsapp 55 91038543
R.m. 4to.grado-teoría de exponentes-polinomios-logaritmoLuis Cañedo Cortez
1. El documento presenta información sobre exponentes, radicación y polinomios. Incluye definiciones, teoremas y ejemplos sobre potenciación, raíces y diferentes tipos de expresiones algebraicas.
2. También explica conceptos como grado de polinomios, términos semejantes, y polinomios especiales como los mónicos y ordenados.
3. Finalmente, proporciona una serie de ejercicios para practicar los diferentes temas cubiertos.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra de polinomios, incluyendo evaluación de expresiones algebraicas, reducción de términos semejantes, uso de paréntesis, operaciones con polinomios como adición, multiplicación y factorización, y fracciones algebraicas. Contiene ejemplos ilustrativos de cada concepto y guías para la resolución de problemas relacionados con expresiones algebraicas.
Este documento contiene información sobre una prueba de bachillerato en matemáticas aplicada en setiembre de 2014. Incluye instrucciones para los estudiantes sobre cómo completar la prueba, así como notas generales sobre convenciones matemáticas usadas. La prueba consta de 60 ítems de selección única y la hoja de respuestas debe llenarse con bolígrafo de tinta azul o negra.
El documento presenta una serie de ejercicios de cálculo integral correspondientes a un examen de matemáticas de 2o de bachillerato. Incluye 8 ejercicios que van desde encontrar la función primitiva de una función dada hasta calcular el área delimitada por diferentes funciones. El profesor explica brevemente cada ejercicio y proporciona la resolución detallada.
2 ecuaciones e inecuaciones con valor absolutoGino León
El documento trata sobre ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Explica cómo aplicar propiedades de las desigualdades y el valor absoluto para resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, así como ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. También analiza expresiones matemáticas, su simbología y propiedades para resolver dichos tipos de problemas.
Este documento presenta los axiomas y propiedades fundamentales de los números reales, incluyendo las operaciones de adición, multiplicación, división y relaciones de orden. También describe las propiedades de las fracciones y ecuaciones de primer y segundo grado, proporcionando las definiciones y reglas necesarias para trabajar con estos conceptos numéricos básicos.
Funciones y Ecuaciones De Segundo Gradoguest391f5a
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y funciones cuadráticas. Explica que una ecuación de segundo grado es de la forma ax2 + bx + c = 0, y cómo calcular sus soluciones o raíces. Luego introduce la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, describiendo su gráfica en forma de parábola y conceptos como concavidad, ceros, vértice, eje de simetría y discriminante. Finalmente incluye ejemplos para practicar estos conceptos.
Este documento contiene 33 problemas matemáticos de diferentes temas como álgebra, funciones, sistemas de ecuaciones y geometría. Los problemas incluyen cálculos, comparaciones, determinación de dominios, recorridos e intersecciones con ejes. El objetivo es que el estudiante resuelva cada problema y seleccione la alternativa correcta.
Este documento presenta 32 problemas de matemáticas que involucran conceptos como ecuaciones cuadráticas, funciones cuadráticas, funciones lineales, funciones exponenciales y logarítmicas. Cada problema viene acompañado de 3 o 4 opciones de respuesta.
El texto trata sobre el rayo láser, explicando que es el producto de una reacción en cadena donde los fotones chocan con otros fotones producidos por moléculas de luz emitidas por un cristal de rubí. Describe también las características de la luz láser como su gran intensidad, monocromatismo y carácter direccional. Menciona algunos usos comunes del láser como en discos compactos, impresoras y lectores de códigos de barra.
Este documento presenta las claves de corrección y explicaciones para 20 preguntas sobre números enteros y racionales. Proporciona la alternativa correcta, la subunidad temática, habilidad evaluada y una breve explicación para cada pregunta. El objetivo es ayudar a los estudiantes a reforzar su comprensión de este tema y resolver cualquier duda con la ayuda de su profesor.
El documento presenta información sobre conceptos matemáticos como adición, sustracción, multiplicación y división. Explica las propiedades y definiciones de cada operación, así como temas complementarios como determinar el número de cifras de un producto o cociente. En particular, señala que no se puede determinar anticipadamente el sentido de una desigualdad cuando ambos lados son desigualdades contrarias sin conocer previamente los valores de cada número.
Este resumen trata sobre un examen de matemáticas que contiene 12 preguntas con sus respectivas resoluciones. La mayoría de las preguntas involucran conceptos de álgebra lineal, funciones, teoría de números y sistemas de ecuaciones. El documento proporciona las respuestas correctas a cada pregunta y explica brevemente los pasos para llegar a dichas respuestas.
Este documento presenta las leyes y definiciones básicas relacionadas con exponentes y radicación. Explica conceptos como potenciación, exponente, base, raíz, grado de un monomio y polinomio, entre otros. Además, incluye ejemplos y ejercicios para practicar la aplicación de estas nociones algebraicas.
Este documento contiene 30 preguntas de matemáticas para un examen final de quinto grado de secundaria. Las preguntas cubren una variedad de temas matemáticos como probabilidad, estadística, álgebra, geometría y cálculo. El examen evalúa la comprensión de los estudiantes y su habilidad para resolver problemas matemáticos complejos.
Este documento presenta varios problemas de álgebra que involucran expresiones algebraicas, ecuaciones polinomiales, desigualdades e inecuaciones. Los problemas van desde calcular valores numéricos hasta resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. El documento provee una guía práctica para trabajar con diferentes conceptos algebraicos.
El documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Explica que un sistema de ecuaciones está formado por dos ecuaciones de primer grado con las mismas dos incógnitas. Presenta métodos para resolver sistemas de ecuaciones de forma gráfica y algebraica, como sustitución y reducción. También analiza las posibles soluciones de un sistema y ofrece ejemplos de aplicaciones de sistemas de ecuaciones a problemas.
El documento presenta los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Explica que un sistema de ecuaciones está formado por dos ecuaciones de primer grado con las mismas dos incógnitas. Presenta métodos para resolver sistemas tanto gráficamente como algebraicamente, como sustitución y reducción. Además, analiza las posibles soluciones de un sistema y ofrece ejemplos de aplicaciones de los sistemas de ecuaciones a problemas.
1. El documento proporciona instrucciones para resolver una prueba de selección múltiple que consta de 60 ítems. Se especifican los materiales permitidos y se describen los pasos a seguir para marcar las respuestas.
2. Entre las instrucciones se encuentra verificar que el folleto contenga los 60 ítems, leer cada ítem cuidadosamente, marcar una única respuesta por ítem en la hoja de respuestas y no dejar ítems sin responder.
3. Solo una opción es la respuesta correcta por cada ítem y no se permite
Este documento contiene una prueba de matemáticas para el programa Bachillerato por Madurez Suficiente. La prueba contiene 60 ítems de selección múltiple sobre temas como álgebra, funciones, geometría y trigonometría. El objetivo es evaluar los conocimientos matemáticos de los estudiantes que desean obtener el título de bachiller mediante este programa.
1. El documento presenta diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo el método del factor común, agrupación de términos, identidades, aspa simple, reducción a diferencia de cuadrados y divisores binomios.
2. Se definen fracciones algebraicas como propia, impropia, homogénea y compleja.
3. Se explican conceptos como el mínimo común múltiplo y máximo común divisor para polinomios factorizados.
1. El documento presenta 20 preguntas de álgebra de diferentes niveles de dificultad. Las preguntas incluyen temas como ecuaciones polinomiales, expresiones algebraicas y división de polinomios.
2. Las preguntas van desde operaciones básicas con polinomios hasta problemas más complejos que involucran raíces, progresiones aritméticas y conjuntos solución de ecuaciones paramétricas.
3. El documento provee una variedad de ejercicios de álgebra para practicar diferentes conceptos y niveles de d
Este documento presenta información sobre fracciones algebraicas, incluyendo cómo simplificar, multiplicar, dividir, sumar y restar este tipo de expresiones. Explica que una fracción algebraica es una expresión de la forma P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. Luego detalla los pasos para simplificar, multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones algebraicas, proporcionando ejemplos para ilustrar cada operación.
Este documento presenta un examen final de matemáticas para un curso de nivelación en la Universidad Técnica Estatal de Quevedo. El examen contiene 46 preguntas de opción múltiple sobre temas como álgebra, funciones, geometría, trigonometría y ecuaciones. El examen evalúa los conocimientos y habilidades matemáticas fundamentales de los estudiantes.
Este documento presenta varios problemas de álgebra que involucran exponentes, polinomios, productos notables y división de polinomios. El documento contiene 28 problemas con sus respectivas opciones de respuesta para que los estudiantes las resuelvan como parte de un seminario de álgebra.
Este documento contiene instrucciones para un examen de matemáticas que consta de 70 preguntas. Se indica que las figuras no están necesariamente a escala y que los estudiantes tienen 2 horas y 15 minutos para completarlo. También se proporciona una lista de símbolos matemáticos que los estudiantes pueden consultar.
Este documento presenta un manual sobre fracciones parciales. Explica cuatro casos de fracciones parciales dependiendo del grado del numerador y denominador. Incluye ejemplos para ilustrar cómo resolver fracciones parciales de cada caso mediante la factorización del denominador y la determinación de constantes. También contiene ejercicios resueltos paso a paso como aplicación de los métodos.
Este documento presenta un manual sobre fracciones parciales. Explica cuatro casos de fracciones parciales dependiendo del grado del numerador y denominador. Incluye ejemplos para ilustrar cómo resolver fracciones parciales de cada caso mediante la factorización del denominador y la determinación de constantes. También contiene ejercicios resueltos paso a paso como aplicación de los métodos.
Este documento presenta las soluciones a 12 preguntas de un examen de matemáticas. Cada pregunta contiene la resolución del problema propuesto mostrando los pasos matemáticos. Al final se indica la respuesta correcta de cada pregunta.
Este documento presenta un desafío matemático sobre factorización de expresiones algebraicas para estudiantes de 1o medio. Contiene instrucciones generales, 20 preguntas de selección múltiple sobre diferentes tipos de factorización (inicial, intermedio, avanzado), y un desarrollo final sobre factorizar una expresión polinómica. El objetivo es evaluar la capacidad de los estudiantes para factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
1. Danny Perich C.
FORMULARIO PSU
He preparado este formulario como una última actividad para realizar antes
de enfrentar la Prueba de Selección Universitaria P.S.U.
En él se encuentran la mayoría de las fórmulas a utilizar en la Prueba y para
una mayor comprensión de sus aplicaciones, he agregado a algunas de ellas
ejercicios resueltos, optando especialmente por aquellos que han salido en los
ensayos oficiales publicados por el DEMRE.
Espero que este material sirva como un último repaso antes de rendir la
PSU, que se implementará con el conocimiento que has adquirido tras 4 años de
estudio en la enseñanza media.
Porcentaje:
100
a
%a =
a% del b% de c= c
ba
⋅⋅
100100
Sugerencia: Siempre que resuelvas un ejercicio de porcentaje y obtengan un
resultado, vuelve a leer lo que te preguntan para que no te equivoques al
responder por algo que no te estaban consultando. (Esto en muy común en %)
*** Ejercicio PSU ***
En un curso de 32 alumnos 8 de ellos faltaron a clases. ¿Qué porcentaje asistió?
A) 75% B) 25% C) 24% D) 0,25% E) 0,75%
Lo típico es que se plantee que
x
%
al
al 100
8
32
= obteniéndose para x = 25%, que obviamente está en las alternativas,
pero que no es lo que preguntan, ¡cuidado! La alternativa correcta es A ya que se
pregunta por el porcentaje de asistencia.
Interés simple
C = K·(1 + nr), donde K es el capital inicial, n los períodos, C capital acumulado y r
la tasa de interés simple.
Interés compuesto
C = K·(1 + i)n
donde K es el capital inicial, n los períodos, C capital acumulado e i la
tasa de interés compuesto.
*** Ejercicio PSU ***
¿A qué % anual se colocaron $ 75.000 que en 24 días han producido $ 250?
a) 1% b) 2% c) 3% d) 4% e) 5%
Considerando que el tiempo está dado en días, debemos resolver el producto
36.000 por 250 y el producto 75.000 por 24. Luego se efectúa la división entre
ambos lo que determina el porcentaje anual. La alternativa E es la correcta.
www.sectormatematica.cl
2. Danny Perich C.
Proporcionalidad Directa:
k
b
a
=
Proporcionalidad Inversa:
a · b = k
Para ambos casos, k recibe el nombre de constante de proporcionalidad.
*** Ejercicio PSU ***
y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8,
entonces y =
A)
2
1
B)
4
1
C) 2 D) 4 E) 9
Como y es inversamente proporcional al cuadrado de x, entonces y·x2
= k
reemplazando se obtiene 16·12
= k, de donde k = 16. Entonces si x = 8, resulta
y·82
= 16, o sea 64y=16 de donde
4
1
64
16
==y . Alternativa B.
Cuadrado del Binomio:
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
*** Ejercicio PSU ***
Si y , entonces a · b =2
)ba(n += 2
)ba(p −=
A)
2
pn −
B)
4
44
pn −
C)
4
22
pn −
D)
4
pn −
E) 4(n – p)
222
2 baba)ba(n ++=+=
222
2 baba)ba(p +−=−=
n – p = a2
+ 2ab + b2
– (a2
– 2ab + b2
) = a2
+ 2ab + b2
– a2
+ 2ab - b2
O sea n – p = 4ab
De donde
4
pn
ab
−
= . Alternativa D
Suma por Diferencia:
(a + b)(a – b) = a2
– ab + ab – b2
= a2
– b2
FACTORIZAR
Un polinomio cuyos términos tienen un factor común.
mx - my + mz = m( x - y + z )
Un trinomio cuadrado perfecto.
a2
2ab + b± 2
=(a ± b)2
www.sectormatematica.cl
3. Danny Perich C.
Factorización de la diferencia de dos cuadrados
a2
- b2
= (a + b)(a - b).
Factorizar un trinomio de la forma x2
+ mx + n.
x2
+ (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
*** Ejercicio PSU ***
¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresión
algebraica ?20x6x2 2
−−
I) 2
II) (x – 5)
III) (x + 2)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
Generalmente los alumnos responden la alternativa A, ya que se dan cuenta que
todos los términos del trinomio son múltiplos de 2, pero no consideran que se
puede factorizar y obtener que:
)x)(x()xx(xx 52210322062 22
−+=−−=−− . Por lo tanto la alternativa correcta es
E.
ECUACION DE LA RECTA
Forma General: ax + by + c = 0
Forma Principal: y = mx + n
En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la
pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.
Pendiente dado dos puntos
12
12
xx
yy
m
−
−
=
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
−
−
=
−
−
Ecuación de la recta dado punto-pendiente
y - y1 = m(x - x1)
Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares
Paralelas
L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2; n1 distinto a n2
www.sectormatematica.cl
4. Danny Perich C.
Coincidentes
L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2
Perpendiculares
L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 ⊥ L2 sí y sólo si m1· m2 = -1
*** Ejercicio PSU ***
1. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-4) y que es paralela con la
recta x+5y–3=0, es:
a) –x+y+5=0 b) x+5y+19=0 c) x+y+3=0 d) –5x+y+9=0 e) x+5y+21=0
Al despejar y de la recta dada se obtiene
5
3 x
y
−
= , o sea la pendiente es –1/5.
Entonces la recta pedida también pendiente -1/5 por ser paralelas y como pasa por
el punto (1,-4) queda determinada por )1(
5
1
4 −−=+ xy que al resolver resulta
x+5y+19=0. Alternativa B es correcta.
2. Determinar el valor de K para que las rectas y + 3 = Kx y 2x = -4K – y sean
perpendiculares.
a) K = 3/4 b) K = 1/2 c) K = -1/2 d) K = –4/3 e) K = -2
Se despeja y de ambas ecuaciones. Luego y = Kx-3 ; y = -2x-4K. Se multiplican
las pendientes de cada recta igualando a -1, ya que deben ser perpendiculares,
obteniéndose K·(-2) = -1. Luego K=1/2. La alternativa B es la correcta.
Cálculo de probabilidades
PosiblesCasos
FavorablesCasos
)A(P =
1=+ )A(P)A(P , siendo )A(P la probabilidad de que no ocurra el suceso A.
*** Ejercicio PSU ***
Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cuál es la probabilidad de
que el suceso no ocurra?
A) 0,45
B) 0,55
C) 0,65
D) -0,45
E) -0,55
0,45 + )A(P = 1, entonces )A(P = 1 – 0,45 = 0,55. Alternativa B.
www.sectormatematica.cl
5. Danny Perich C.
PROBABILIDAD TOTAL
Probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos.
)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪
Si los eventos son excluyentes (A ∩ B = φ), la probabilidad de que se produzca A o
B es:
)B(P)A(P)BA(P +=∪
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Probabilidad que se den simultáneamente dos sucesos:
)A/B(P)A(P)BA(P ⋅=∩
Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del suceso A, se dice que son
eventos independientes. En este caso se da que:
)B(P)A(P)BA(P •=∩
*** Ejercicio PSU ***
1. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas.
Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes.
a) 1/100 b) 1/5 c) 1/130 d) 23/130 e) 1/20
La probabilidad de obtener un rey en la primera sacada es 4/40 y luego de extraer
otro rey, sin devolución, es 3/39, , por lo tanto la probabilidad total es
130
1
13
1
10
1
39
3
40
4
=⋅=⋅ . La alternativa C es correcta.
2. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas
negras; mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se
elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola
extraída sea blanca?
a) 6/5 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/5 e) 4/5
Para obtener la probabilidad pedida se debe efectuar la siguiente operación
5
3
5
4
2
1
5
2
2
1
=⋅+⋅ , donde el 1/2 corresponde a la probabilidad de elegir una de las
urnas, el 2/5, de sacar una bola blanca de la primera urna y el 4/5 de sacar una
bola blanca de la segunda urna. Alternativa correcta: D.
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
nmnm
aa·a +
=
nmnm
aa:a −
=
10
=a ; a≠0
n
n
a
a
1
=−
, considerar que
nn
a
b
b
a
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
www.sectormatematica.cl
6. Danny Perich C.
( ) mnnm
aa =
*** Ejercicio PSU ***
=
+
−
−−
1
11
5
43
A)
35
12
B)
12
35
C)
5
7
D)
7
5
E)
12
5
12
35
5
1
12
7
5
1
12
34
5
1
4
1
3
1
5
43
1
11
==
+
=
+
=
+
−
−−
Alternativa B.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Producto y división de raíces
Del mismo índice:
nnn
abba =⋅
n
n
n
b
a
b
a
=
De distinto índice
mnmn
baba
11
⋅=⋅
Raíz de una raíz
mnm n
aa =
*** Ejercicio PSU ***
=
3
2
2
A) 3
4 B) 3
2 C) 6
8 D) 6
2 E) 1
33
1
6
2
6
13
6
1
2
1
6
1
2
1
63
22222
2
2
2
2
2
2
=======
−
−
Alternativa B.
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Si ax2 + bx + c = 0, entonces
a2
ac4bb
x
2
−±−
=
www.sectormatematica.cl
7. Danny Perich C.
*** Ejercicio PSU ***
Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x – 1) = 20 son
A) 1 y 20
B) 2 y 20
C) 4 y 5
D) 4 y –5
E) –4 y 5
Se efectúa el producto y se obtiene que x2
– x = 20, o sea x2
– x – 20 = 0.
Entonces
2
91
2
8011 ±
=
+±
=x de donde x1 = 5 y x2 = -4. Alternativa E.
Suma de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:
a
b
xx 21
−
=+
Producto de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:
a
c
xx 21 =⋅
*** Ejercicio PSU ***
Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2
+ 5x + c = 0, ¿cuál es el valor de
c?
A) -24 B) -8 C) -2 D) 2 E)
3
5
Al ser x = 3 una solución, este valor puede ser reemplazado en la ecuación
obteniéndose 32
+ 5·3 + c = 0 de donde c = -9 – 15 = -24. Alternativa A.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
f(x) = ax2
+ bx + c
Concavidad
El coeficiente a indica si las ramas de la parábola se abren hacia arriba (a>0) o
hacia abajo (a<0)
Vértice
Para determinar el vértice es conveniente determinar primero
a
b
x
2
−
= ,
posteriormente se reemplaza el valor obtenido en la función para calcular el valor y.
Eje de simetría de la parábola
Corresponde a la recta
a
b
x
2
−
= , paralela al eje y.
Si a>0 y b>0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x.
Si a>0 y b<0 el eje de simetría está a la derecha del eje x.
Si a<0 y b>0 el eje de simetría está a la derecha del eje x.
Si a<0 y b<0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x.
www.sectormatematica.cl
8. Danny Perich C.
Intersección con los ejes
La intersección con el eje y la da el coeficiente c y corresponde al punto (o, c).
La intersección con el eje x está determinada por el valor del discriminante b2
-4ac.
Si b2
-4ac>0, la parábola corta en dos puntos al eje x.
Si b2
-4ac=0, la parábola corta en un punto al eje x.
Si b2
-4ac<0, la parábola no corta al eje x.
TRIGONOMETRÍA
hipotenusa
opuestocateto
sen =α
hipotenusa
adyacentecateto
cos =α
adyacentecateto
opuestocateto
tg =α
opuestocateto
adyacentecateto
ctg =α
adyacentecateto
hipotenusa
sec =α
opuestocateto
hipotenusa
eccos =α
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
1.
α
=α
cos
sec
1
2.
α
=α
sen
eccos
1
3.
α
α
=α
cos
sen
tg
4.
α
α
=α
sen
cos
ctg
5. 122
=α+α cossen
6. α+=α 22
1 tgsec
7. α+=α 22
1 ctgeccos
ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CONOCIDAS
0º 30º 45º 60º 90º
sen 0
2
1
2
2
2
3
1
cos 1
2
3
2
2
2
1
0
tg 0
3
3
1 3 ∞
www.sectormatematica.cl
9. Danny Perich C.
*** Ejercicio PSU ***
En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB=5 cm. y tg =
2
3
, entonces
BC =
B
α
A C
a) 3 cm.
b)
13
15
cm. c)
13
10
cm. d)
2
15
cm.
e) 2 cm.
Como tgα = 3/2 = 3p/2p, se plantea por Pitágoras que de donde2549 22
=+ pp
13
5
=p . Luego
13
15
=BC La alternativa B es correcta.
LOGARITMOS
Logaritmo de base a de un número n
naXnlog x
a =⇔=
Logaritmo del producto de dos números:
log(a⋅b) = loga + logb
Logaritmo del cociente de dos números:
blogalog
b
a
log −=
Logaritmo de una potencia:
alognalog n
⋅=
Logaritmo de una raíz.
alog
n
alogn 1
=
Logaritmo de un número a, en base a.
1=aloga
Cambio de base:
b
x
x
a
a
b
log
log
log =
A base 10
b
x
xb
log
log
log =
www.sectormatematica.cl
10. Danny Perich C.
Valores de algunos logaritmos:
log 1 = 0
log 10 = 1
log 100 = 2
log 1000 = 3
log 0,1 = -1
log 0,01 = -2
log 0,001 = -3
*** Ejercicio PSU ***
Si 2
1
1
=
−
)
x
log( , entonces x vale
A)
100
99
− B) –99 C)
100
99
D)
100
101
− E)
20
19
Si 2
1
1
=
−
)
x
log( , entonces 100
1
1
log)
x
log( =
−
Entonces 100
1
1
=
− x
de donde 1 = 100 – 100x.
Por lo tanto 100x = 99 y x =
100
99
Alternativa C.
www.sectormatematica.cl
11. Danny Perich C.
GEOMETRÍA
Teorema de Thales
Algunas proporciones:
BD
PB
AC
PA
= ;
PD
PB
PC
PA
= ;
CD
PC
AB
PA
= (Esta es la principal)
*** Ejercicio PSU ***
En el ∆ ABC de la figura 13, se sabe que AB = 48 cm, SP = 12 cm, CB//QR//SP y
AP : PR : RB = 1 : 2 : 3, entonces el valor de CB es:
A) 96 cm
B) 72 cm
C) 48 cm
D) 36 cm
E) 24 cm
Como AP:PR:RB = 1:2:3 y AB=48 cm. Entonces AP+2AP+3AP=48; AP=8.
Luego
BC
AB
PS
AP
= reemplazando por los valores correspondientes y despejando CB,
se obtiene que su medida es 72 cm.
Alternativa correcta B.
Teoremas de la circunferencia
1. El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos inscritos que
subtienden el mismo arco.
<AOC = 2<ABC
2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo.
3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
4. Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene medida igual a la mitad
de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.
5. Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los
trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.
www.sectormatematica.cl
12. Danny Perich C.
6. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los
arcos correspondientes.
2
CDAB
AEB
+
=<
7. La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de
los arcos correspondientes.
2
BECD
CAD
−
=<
Proporcionalidad en la circunferencia
Dos cuerdas
PA • PC = PB • PD
Dos secantes
PB • PA = PD • PC.
Una secante y una tangente
PC2
= PB • PA
www.sectormatematica.cl
13. Danny Perich C.
*** Ejercicio PSU ***
1. En la figura siguiente, AC y BC son tangentes a la circunferencia de centro O. Si
<ACB = 70°, entonces el <ABO =
a) 20° b) 35° c) 45° d) 55° e) 70°
El ángulo ACB = 70º, además los ángulos CBO y CAO, son rectos, obteniéndose
para el ángulo AOB = 110º. Como AO = OB, por ser radios, entonces el ángulo ABO
= 35º. La alternativa B es la correcta.
2. Desde un punto distante 5 cm. del centro de una circunferencia se ha trazado a
ésta una tangente de 3 cm de longitud. Determinar la medida del diámetro de la
circunferencia.
a) 2,5 cm. b) 4 cm. c) 5 cm. d) 8 cm. e) 10 cm.
Se aplica el teorema de la tangente y la secante o el teorema de Pitágoras,
obteniéndose que el radio de la circunferencia es 4 cm. Luego el diámetro mide 8
cm. Alternativa D: correcta.
TEOREMAS DE EUCLIDES
A BD
C
BDADCD2
•=
ADABAC2
•=
BDABBC2
•=
AB
BCAC
CD
⋅
= (Muy útil, apréndela)
*** Ejercicio PSU ***
En la figura 9, si AD = 1 cm y AB = 6 cm, entonces ¿cuánto mide CD?
A) 5 cm
B) 6 cm
C) 26 cm
D) 6 cm
E) 25 cm
www.sectormatematica.cl
14. Danny Perich C.
Transformaciones Isométricas
Traslación: Los pares indican si la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha
(abscisa del par) y si la traslación es hacia arriba o hacia abajo (ordenada del par).
*** Ejercicio PSU ***
Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,1) y C(3,1), según el vector de
traslación (4,-1), el vértice homólogo de B es:
a) (3,4) b) (2,1) c) (6,0) d) (4,-1) e) (7,0)
Como el vector traslación es (4,-1) debemos trasladar los puntos dados 4 unidades
a la derecha y 1 hacia abajo. Por consiguiente el punto B quedará ubicado en (6,0).
La alternativa correcta es C.
Rotaciones de un punto (x, y)
En 90º se transforma en (-y, x)
En 180º se transforma en (-x, -y)
En 270º se transforma en (y, -x)
En 360º vuelve a ser (x, y)
www.sectormatematica.cl
15. Danny Perich C.
Figura Geométrica Perímetro y Área
Triángulo Cualquiera
p = a + b + c
2
h·c
2
altura·base
á ==
Triángulo Rectángulo
p = a + b + c
2
b·a
2
cateto·cateto
á ==
Triángulo Equilátero
p = 3a
2
3a
h =
4
3a
á
2
=
Cuadrado
p = 4a
á = a2
2
d
á
2
=
Rectángulo
p = 2a + 2b
á = lado · lado = a·b
Rombo
p = 4a
á = base · altura = b · h
2
f·e
2
diagonal·diagonal
á ==
Romboide
p = 2a + 2b
á = a · h
Trapecio
p = a + b + c + d
2
h)·ca(
2
altura)·2base1base(
á
+
=
+
=
á = Mediana · altura = M · h
www.sectormatematica.cl
16. Danny Perich C.
Circunferencia y Círculo
p = 2π·r
á = π·r2
Sector Circular
360
r2
r2ABr2p
απ
+=+=
360
·r
á
2
απ
=
Nombre Figura Área Volumen
Cubo o
Hexaedro:
Ortoedro donde
las tres
dimensiones son
iguales.
2
6aA = 3
aV =
Paralelepípedo
u ortoedro:
Prisma cuyas
bases son dos
rectángulos.
A = 2(ab+ac+bc) V = abc
Cilindro: Es el
Cuerpo
geométrico
engendrado por
la revolución de
un rectángulo
alrededor de uno
de sus lados
)(2 rHrA += π HrV ⋅= 2
π
Pirámide:
Cuerpo
geométrico cuya
base es un
polígono
cualquiera y sus
caras laterales
triángulos
lateralbase AAA += HBV ⋅=
3
1
Cono: Es el
Cuerpo
geométrico
engendrado por
la revolución de
un triángulo
rectángulo
alrededor de uno
lateralbase AAA += HrV ⋅= 2
3
1
π
Esfera: Cuerpo
geométrico
engendrado por
la revolución
completa de un
semicírculo
alrededor de su
diámetro.
2
4 RA π=
3
3
4
RV π=
www.sectormatematica.cl
17. Danny Perich C.
*** Ejercicio PSU ***
Unas pelotas se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3 pelotas cada
una. Si el diámetro de la lata es de 6,5 cm. Calcular el volumen, en cm3
, que queda
libre en el interior de una lata.
a) 162π b) 126π c) 108π d) 54π e) Ninguna de
las anteriores
El volumen del cilindro del enunciado queda determinado por y el
volumen de la esfera por
π=π 16218·3· 2
π=π 1083·
3
4 3
. Por lo tanto, el volumen libre al interior de la
lata es 162π - 108π = 54π cm3
. La alternativa D es la correcta
www.sectormatematica.cl