Este documento presenta las soluciones a 12 preguntas de un examen de matemáticas. Cada pregunta contiene la resolución del problema propuesto mostrando los pasos matemáticos. Al final se indica la respuesta correcta de cada pregunta.

1. SOLUCIONARIO
Examen UNI 2015 – II
Matemática
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www.trilce.edu.pe 1
, 2 ,x x x0 75 1 5
2
, .
( )
Tiene un m nimo
cuando x
no tiene m ximo
2 2
0 75
í
á
# + −
=
_ _i i
1 2 3444 444
∴ x= 0,75g→ w1= 0,75g
w2= 1–0,75= 0,75g
OBS: De las alternativas la recaudación mayor se
obtiene para w1= 0,3 y w2= 1,2g; sin embargo
estamos considerando w1= w2= 0,75 g como
pesos óptimos para que ambos tengan las
mismas posibilidades de venta.
Rpta.: 0,75 y 0,75
Pregunta 02
20 escolares asisten al centro recreacional
Huampaní, los cuales llevan celular, cámara
o ambos. Se sabe que 5 escolares llevan
ambos accesorios y la proporción de escolares
con solo cámara es a los escolares con solo
celulares como 1 es a 2.
Se forman grupos de 5 estudiantes para
competir en diversos juegos. ¿De cuántas
maneras se pueden formar los grupos que
tengan un accesorio solamente del mismo
tipo?
A) 250
B) 251
C) 252
D) 253
E) 254
Pregunta 01
El precio de un diamante es directamente
proporcional al cuadrado de su peso. Así, un
diamante cuyo peso es 1,5 gramos cuesta
S/. 18 000. Si este diamante se parte en dos
pedazos, ¿cuál sería el peso (en gramos) de
cada parte para tener un precio total óptimo?
A) 0,3 y 1,2
B) 0,5 y 1
C) 0,6 y 0,9
D) 0,7 y 0,8
E) 0,75 y 0,75
Resolución 01
Magnitudes proporcionales
PRECIO DP PESO2
S/ 18 000 S/. P1 S/. P2
, g1 5 = x + , x1 5 -
, ,
8000
x
P
x
P
1 5 1 5
18 000
2
1
2
2
2
=
−
= =
_ _i i
P1=8000x2
P2=8000(1,5-x)2
Precio total:
P1+P2=8000[x2+(1,5-x)2]
Como:
, ,x x x x
2
1 5
2
1 52 2
#
+ − + −_ _i i
0,75
,x x
2
1 52
#
+ −_ i
, ,x x x0 75 2 1 522 2
# + −_ _i i

2. SOLUCIONARIO
Matemática
Examen UNI 2015 – II
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2
Resolución 02
Análisis combinatorio
Combinaciones
x2
10
S x
5
S5
0
celular cámara
(20)
Luego
2x+5+x=20
x=5
Formamos grupos de 5 estudiantes que
tienen solo un accesorio.
°
°
° 1
N de maneras
grupos
con solo
celular
grupos
con solo
c mara
N de maneras
N de maneras
N de maneras
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
253
á
°
5
10
5
5
C C
# # # #
# # # #
= +
= +
= +
=
f fp p
Rpta.: 253
Pregunta 03
En un avión, el número abc de personas que
viajan satisface 150<abc<300, de los cuales
a0c son hombres y ab son mujeres, siendo
pasajeros; además, son “c” aeromozas y “a”
pilotos. Determina la suma de los dígitos luego
de calcular cuántos hombres más que mujeres
hay en el avión en total.
A) 9
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
Resolución 03
Cuatro operaciones
Adición
Del enunciado, tenemos que:
150<abc<300
1
2
Además:
Nº hombres: a0c +
Nº mujeres: ab
Nº aeromozas: c
Nº pilotos: a
abc
Luego:
a0c+ab+c+a=abc
(100a+c)+(10a+b)+c+a=100a+10b+c
11a+b+c=10b
11a+c=9b
1 7 2
2 5 3
→ abc=127 (no cumple)
→ abc=235 (sí cumple)
Piden:
207 28 179
hom
total
bres
total
mujeres
( )205 2 23 5
− = − =
+ +
d fn p
1 2 344 44 1 2 344 44 (Scif)=1+7+9=17
Rpta.: 17

3. SOLUCIONARIO
Matemática
Examen UNI 2015 – II
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3
Pregunta 04
Determina el valor de (a+b+c), si:
a1a+a2a+a3a+ .... +a9a= bcd4
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
Resolución 04
Cuatro operaciones
Adición
Escribiendo la operación de forma vertical
a1a +
a2a
a3a
a9a
bcd4
5
5 9 0
6
9a=..45
Piden:
a+b+c=20
6 5 9
∴ 20
Rpta.: 20
Pregunta 05
En la diferencia que se muestra:
91001 – 71001= ..... a, donde la cifra de las
unidades es “a”, halla a3+a2+2
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
Resolución 05
Divisibilidad
Restos potenciales
91001=10
°
+9, ya que 92=81=10
°
+1 ∧
91001=(92)500.9=(10
°
+1)500.9
71001=10
°
+7, porque 74=2401=10
°
+1 ∧
71001=(74)250.7=(10
°
+1)250.7
Entonces:
91001–71001=(10
°
+9)–(10
°
+7)=10
°
+2
91001–71001=............a, a=2
Piden: a3+a2+a=23+22+2=14
Rpta.: 14
Pregunta 06
Sea ab un número primo mayor que 40.
Determina el número de divisores que tiene el
número ababab00.
A) 121
B) 144
C) 288
D) 432
E) 576

4. SOLUCIONARIO
Matemática
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4
Resolución 06
Números primos
Cantidad de divisores
Cant. Div. = (2+1)(1+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)
= 3 . 2 . 3 . 2 . 2 . 2 . 2
= 288
ababab00=1010100.ab
= 22.3.52.7.13.37.ab
Está
descompuesto
canónicamente,
ya que ab es un
n° primo mayor
que 40.
Rpta.: 288
Pregunta 07
Sea A un número entero positivo de 10 cifras y
B= 0,abcdefg, donde g≠ 0.
Del producto AB, se afirma que
I. es un entero.
II. puede ser entero que tiene dos cifras.
III. puede ser un entero con parte entera
no nula y parte decimal no nula.
¿Cuáles de estas afirmaciones son verdaderas?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
Resolución 07
Números racionales
Decimales
I. No necesariamente. Ejemplo:
Sea: A = xyzw . 106 (w≠0)
y B = g × 10-7 (g≠0)
A . B = xyzw × g × 10-1
Resulta un número decimal exacto con parte
entera no nula y parte decimal no nula.
II. Falso
10 10
A B
A
B
10 10
10 10
<
<
<
9 10
2 10
7 0
$#
#
#−
mínimo valor 100
III. De “I” se deduce que es verdadero
Rpta.: Solo III
Pregunta 08
Dada la sucesión
, , , ...a a a a3 3 3 3 3 3 3 3 3
n radicales
1 2 3 n
= == =
1 2 3444 44
Calcula:
.
.
E
a a
a a
2
2
2004 2005
2003 2006=
A)
3
1
B)
3
3
C) 1
D) 3
E) 3

5. SOLUCIONARIO
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5
Resolución 08
Sucesiones
Regla de correspondencia
Cálculo de la regla de correspondencia:
....a
a a
3 3 3
3 1
n
n n
=
= −
entonces: a a32004 2003
= ; a a32006 2005
=
Reemplazando:
[ ]
.[ ]
(3. )
.( . )
E
a a
a a
a a
a a
3
3 3
12
2
2005
2003 2005
2003 2003
2003 2005
2005= =
Rpta.: 1
Pregunta 09
Sea {x; y}⊂R de modo que:
x y x y x y3 2
1
2 3
1
5
4
−
+
+
=
+
El valor de
x y
x y
2
2
−
+
es:
A)
9
7
B) 1
C)
7
9
D) 2
E)
7
19
Resolución 09
Operaciones con polinomios
Productos notables
Sabemos si
a b a b
a b
1 1 4
$+ =
+
=
Del problema
3x - 2y = 2x+3y
x = 5y
Piden:
x y
x y
y
y
2
2
9
7
9
7
−
+
= =
Rpta.:
9
7
Pregunta 10
Una raíz de la ecuación x4+mx2–2(m+2) es el
triple de otra raíz; entonces, uno de los valores
de “m” es:
A) –26
B) –25
C) –20
D) –15
E) –10
Resolución 10
Ecuación polinomial
Ecuación bicuadrada
De la ecuación bicuadrada
x4 + mx2 - 2(m+2) = 0
se tienen las raíces a; -a; b; -b
Del dato: b = 3a
Por propiedad:
a2 + b2 = -m ∧ a2b2 = -2(m+2)
a2 + (3a)2 = -m a2(3a)2=-2(m+2)
10a2 = -m 9a4=-2(m+2) .... (2)
100a4 = m2 .... (1)
Dividiendo (1) y (2), se tiene:
0= 9m2 + 200m + 400
0= (9m + 20)(m+20)
m= –20/9; m = -20
Rpta.: -20

6. SOLUCIONARIO
Matemática
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6
Pregunta 11
Sea “f” una función definida por:
( ) ( 2) 2; 0 2
( ) ;
f x x x
x x4 6 2 4
2
2
# #
# #
= − − +
− − +
)
Determina la función inversa de “f”.
A) ( ) ;
;
f x x x
x x
2 2 2 2
6 4 2 6
# #
# #
= − + −
− +
)
)
B) ( ) 2; 0 4
;
f x x x
x x
4
6 1 4 6
# #
# #
= − +
− +
)
)
C) 2; 0 1
;
f x x
x x
1
3 4 1 3
# #
# #
= − +
− +
)
)
D) ( )
2; 0
;
f x
x x
x x
5 1
5
1
3
5
1
3
# #
# #
=
− +
−
)
*
E) ( ) 2 ; 2 2
;
f x x x
x x
2
4 6 2 6
# #
# #
= − − −
− −
)
)
Resolución 11
Funciones
Función inversa
De la función:
; ...
6; 2 ...
f x x x f
x x f
2 2 0 2
4 4
2
1
2
2
# #
# #
− − +
− − +
^ ^
^
h h
h
*
Siendo inyectiva, se calcula f−1
• En f1:
y=−(x−2)2+2
(x−2)2=2−y
2x y2− = −
−
S
−(x−2)= y2 -
x=2− y2 -
→ f x2 21
1
= − −−
• En f2:
y=−(x−4)2+6
(x−4)2=6−y
x y4 6− = −
−
S
−(x−4)= y6 -
x=4− y6 -
→ f x4 62
1
= − −−
∴ 2 ; 2
4 ; 2 6
f x x
x x
2 2
6
1 # #
# #
= − − −
− −
−
)
Rpta.: ( ) ;
;
f x x x
x x
2 2 2 2
4 6 2 6
# #
# #
= − − −
− −
)
)
Pregunta 12
Señala la alternativa que presenta la secuencia
correcta, después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Toda recta en el plano XY representa a
una función lineal.
II. Toda función f: A→B sobreyectiva es
una función inyectiva.
III. Si f ⊂ A×B es una relación tal que para
cada par (x,y); (x,z)∈f implica y=z,
entonces “f” es una función inyectiva.
A) V V V
B) V V F
C) V F F
D) F V F
E) F F F

7. SOLUCIONARIO
Matemática
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7
Resolución 12
Funciones
Definiciones básicas
Según la teoría, tenemos:
I. Falso
• Toda recta que no sea vertical es gráfica
de una función.
II. Falso
• Una función sobreyectiva no
necesariamente es inyectiva.
III. Falso
• La regla dada corresponde al teorema
de unicidad para la existencia de
función.
Rpta.: F F F
Pregunta 13
Indica la alternativa correcta después de
determinar si dicha proposición es verdadera
(V) o falsa (F) según el orden dado.
I.
i
i
1
1
100
k
k
0
100 4
−
+
=
=
c m/
II. El módulo del número complejo
( , )
( , )( , )
w
2 1
1 2 3 4
= es 5.
III. La suma de los números complejos que
satisfacen la ecuación:
(x+1)2+2i= 4+(3+y)i es (-2;-2)
A) V V V
B) F V F
C) F F V
D) F V V
E) F F F
Resolución 13
Números complejos
Cantidades imaginarias
I.
i
i
1
1
1 101
k
k
k
k0
100 4
0
100
−
+
= =
= =
c m/ / ....... (F)
II.
.
W
5
5 5
5= = ....... (V)
III. (x+1)2 = 4 → x1 = -3 x2=1
y+3 = 2 → y = -1
Luego:
Z1 = - 3 - i
Z2 = 1 - i
Z1+Z2 = -2-2i = (-2,-2) ....... (V)
Rpta.: F V V
Pregunta 14
Dado el conjunto solución CS= ; ;a b0 , 3
de la inecuación (Lnx-2)(x-1)> 0,
determina el valor de E Ln
a
b= ` j
A) 1
B) e
C) 2
D) e2
E) 3
Resolución 14
Logaritmos
Inecuaciones logarítmicas
Si (lnx-2)(x-1) > 0
i. Aplicando la regla de signos
lnx-2 = 0 ; x-1 = 0
x = e2 ; x = 1

8. SOLUCIONARIO
Matemática
Examen UNI 2015 – II
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8
1 e2 +∞-∞
++ -
Si = <-∞;1> ∪ <e2; +∞>
ii. Condición de existencia del logaritmo:
x>0 → Sii = <0;+∞>
C.S. = Si ∩ Sii
C.S. = <0;1> ∪ <e2; +∞>
Piden: ( )Ln
a
b
Ln
e
1
2
=
= 2
Rpta.: 2
Pregunta 15
Sea A una matriz de orden 3×3 tal que A3=-I, I
matriz identidad. La adjunta de la matriz A10,
Adj(A10), es igual a:
A) A
B) –A
C) |A|A–1
D) -|A|A–1
E) -|A|A
Resolución 15
Matrices
Matriz inversa
Dato : A3=-I → A10=-A
Nos piden : Adj(A10)=Adj(-A)
Luego : Adj (-A)=|-A|.(-A-1)
También : |A|=-1
→ Adj(-A)=-A-1=(-1).A-1
Finalmente : Adj(A10)=|A|A-1
Rpta.: |A|A–1
Pregunta 16
Identifica el gráfico que mejor representa al
conjunto solución del sistema.
x + y > 0
–3x – 3y ≥–6
A)
B)
C)
D)
E)
Resolución 16
Gráficas de relaciones
Planos originados por rectas
El sistema dado se puede reescribir así:
............ ( )
2........ ( )
y x
x y
1
2
>
#
−
+
)
Graficando (1):
y
x
S1

9. SOLUCIONARIO
Matemática
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9
Graficando (2):
y
S2
x
2
2
Finalmente la intersección de S1 y S2 será la
solución del sistema.
y
x
2
2
Rpta.:
Pregunta 17
Dadas las siguientes proposiciones:
I. En un problema de programación
lineal, el valor de la función objetivo
es alcanzado en un vértice de la región
admisible.
II. Si a la región admisible de un problema
de programación lineal se le adiciona
una nueva restricción de la forma
ax+by≤c, el valor óptimo de la función
objetivo no varía.
III. Si (x*, y*) es la solución de un problema
de maximización y z* es el valor óptimo,
se tiene entonces que z*≥ax+by para
todo (x,y) en la región admisible,
(ax+by es la función objetivo).
Son correctas:
A) Solo I
B) I y II
C) I y III
D) Solo III
E) I, II y III
Resolución 17
Programación lineal
Optimización
Según la teoría, tenemos:
I. Verdadero
• Teorema fundamental de la
programación lineal.
II. Falso
• Si la restricción se ubica dentro de
la región factible, el problema puede
variar.
III. Verdadero
• Para este caso, el valor óptimo verifica
la condición dada.
Rpta.: I y III
Pregunta 18
Señala la alternativa que presenta la secuencia
correcta, después de determinar si la
proposiciones es verdadera (V) o falsa (F):
I. Sea f una función polinomial y (xn)
una sucesión convergente. Entonces,
la sucesión (yn), donde yn= f(xn), es
convergente.
II. Para todo ;x 1 1–d se cumple
X
x 1
1
K
K
0
R =
-
3
=
III. Toda sucesión alternante es
convergente.

10. SOLUCIONARIO
Matemática
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10
A) V V F
B) V F V
C) V F F
D) F F F
E) F F V
Resolución 18
Series
Valor de convergencia
Según la teoría, tenemos:
I. Verdadero
• f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an; a0,a1,a2,
... ∧ an∈R
yn=f(xn)→Lim yn=límf(xn)
Lim yn=f(lim(xn))
Lim yn=f(L)
Lim yn=C∈R
II. Falso
S x x1
1k
k 0
= = −
3
=
/ ¡Suma límite!
III. Falso
• Por ejemplo, la sucesión {(-1)n} no es
convergente
Rpta.: V F F
Pregunta 19
Considera CS el conjunto solución de la
siguiente inecuación:
log logx x<4 , con x<10
Determina el valor de M= card(CS∩Z), donde
card denota la cardinalidad de un conjunto.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Resolución 19
Logaritmos
Inecuaciones logarítmicas
Se tiene ;Log x Logx x 10< <4
(*) x>0 ∧ Log x>0
x>1
De la inecuación: Logx Logx4
1
<
x∈<1;1016>
Luego el CS:
x∈<1;10>→CS∩Z={2;3;4;5;6;7;8;9}
M=card(CS∩Z)=8
Rpta.: 8
Pregunta 20
Dado el sistema de ecuaciones lineales
x+2Ky+z= 4
x–y–z= –8
–x+y+Kz= 6
determina el o los valores de K para que el
sistema tenga solución única.
A) ;1
2
1
R -$ .
B) ;1
2
1
R -$ .
C) R {2;–1}
D) R –{–2;1}
E) ,1
2
1

11. SOLUCIONARIO
Matemática
Examen UNI 2015 – II
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11
Resolución 20
Sistemas de ecuaciones
Cramer
Si el sistema presenta solución única (Ds ≠ 0)
0
k
k
1
1
1
2
1
1
1
1s !i =
−
− −
Aplicando el método de la estrella:
(-k+2k+1) - (1+2k2-1) ≠ 0
2k2-k-1 ≠ 0
(2k+1)(k-1) ≠ 0
∴ k ∈ R ;1
2
1-$ .
Rpta.: ;1
2
1
–R $ .
Pregunta 21
La base de un triángulo isósceles mide
2 m. Si las medianas relativas a los lados
congruentes se cortan perpendicularmente,
entonces determina el área del triángulo (en
m2)
A) 1
B) 1.5
C) 2
D) 2.5
E) 3
Resolución 21
Áreas
Áreas de regiones triangulares
45°
CA R
M
B
G
N
2
2
2
2
Piden: A TABC
G→ baricentro
AGC:GR=
2
2
BG=2GR= 2
∴ ATABC= .A
2
2
1 5ABC
2
3 2
&
#
=T
Rpta.: 1,5
Pregunta 22
Se tienen tres circunferencias tangentes
exteriores dos a dos, con centros A, B y C
respectivamente, donde AB= 5 cm, AC= 7 cm
y BC= 8 cm. Si M∈BC es un punto común de
tangencia entre dos circunferencias, determina
AM en cm.

12. SOLUCIONARIO
Matemática
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12
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
Resolución 22
Relaciones métricas
T. Stewart
5
7
8
3
x
5
B
C
A M
a
c
b
Piden “x”
a+b=5 a=2
b+c=8 b=3
a+c=7 c=5
T. Stewart:
52.5+72×3=x2.8+3.5.8
∴x= 19
Rpta.: 19
Pregunta 23
Sean L1 y L2 dos rectas que se cruzan.
L3 es una recta contenida en el mismo plano
de L2 tal que L3 ⊥ L2 y R= L2 ∩ L3 . El
triángulo RQP (P∈ L1 ) es recto en Q∈ L2 .
Si QRT (T∈ L3 ) es un triángulo isósceles con
QT= 6u y PR= 3RT, determina la distancia
(en u) entre L1 y L2 .
A) 3 2
B) 6 2
C) 8 2
D) 12
E) 13
Resolución 23
G. Espacio
Rectas y plano
P
Q
R3 2
9
2
3 2
6 T
L2
L3
L1
3 2
9
QRT NOTABLE
QP RT
PR 2&
3
= =
=
PQR: PQ2=(9 2 )2-(3 2 )2
∴ PQ=12
Rpta.: 12

13. SOLUCIONARIO
Matemática
Examen UNI 2015 – II
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13
Pregunta 24
En la figura, si AF//DE, AF= 11 cm, BD= 3 cm,
BE= 4 cm y AC=
7
22
7 cm, entonces
BC
AB
es:
E CA
B
D
F
A)
2 7
1
B)
7
1
C)
7
2
D)
7
3
E)
7
4
Resolución 24
Relaciones métricas
RM en el triángulo rectángulo
F
A
E C
4k 7k
11
D
3
B
4x
y
Se pide:
y
x
=?
FAC ∼ DEC
EC
AC
7
11=
ABC:
.
( ).
x k k
y k k
11 4
11 7
2
2
'
=
=
^ h
4
∴
y
x
7
2=
Rpta.:
7
2
Pregunta 25
Una recta corta perpendicularmente a dos
planos paralelos en los puntos A y B. Otra recta
corta a dichos planos en C y B. Determina el
área (u2) del triángulo ABC, si se sabe que la
distancia entre los planos es 12u y BC= 13u.
A) 24
B) 26
C) 30
D) 32
E) 36

14. SOLUCIONARIO
Matemática
Examen UNI 2015 – II
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14
Resolución 25
Geometría del espacio
Planos y rectas
Piden: SABC
B
A C
12 13
5
Por Pitágoras
(AC)2 = 132 - 122
AC = 5
S
x
2
5 12
ABC
=
SABC = 30
Rpta.: 30
Pregunta 26
ABCDEFGH es un octógono regular inscrito en
una circunferencia de radio R= 2 2+ . Si
AF=b y AC=a, entonces
ab
b a2 2 2 2+ −
es igual a:
A)
3
1
B)
2
1
C) 1
D) 2
E) 3
Resolución 26
Polígonos regulares
PTolomeo
Dato: R= 2 2+
a
R
R
R
a
b
O
b
A
B
C
D
E
F
G
H
8,
Pide: M=
( )
ab
R b a2 2-
PTolomeo::ACEF
ab+a 8
, =(2R)b
Obs: 8
, =R 2 2-
8
, = 2 2+ . 2 2-
8
, = 2 &Reemplazando
*ab+a( )2 =(2R)b
∴ M=
ab
ab a a2 2
1
+ −
=
Rpta.: 1
Pregunta 27
Se tiene un tronco de pirámide triangular
cuyas bases son ABC y A’B’C’, siendo ABC un
triángulo equilátero de lado 4,cm. M y N son los
puntos medios de A’C’ y B’C’ respectivamente.
Si las distancias de los puntos M, C’ y N al
plano de la base ABC son 2,cm, ,cm y
2
3
,cm,
respectivamente, halla el volumen (en cm3) del
tronco de pirámide.

15. SOLUCIONARIO
Matemática
Examen UNI 2015 – II
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15
A) 4,3 3
B) 5,3 3
C) 6,3 3
D) 7,3 3
E) 8,3 3
Resolución 27
Tronco de Prisma
Nota: En el problema debe decir tronco de prisma
3,
2,
,
2,
4,
4,4,
R
T
F
2
3,
B'
N
B
A
A'
M
Q
E
C'
C
Piden: Vtronco prisma
trapecio A’C’FE: A’E=3,
trapecio B’C’FR: B’R=2,
V 3
3 2
prisma
BASE
, , ,
T=
+ +
Tronco
_ i
=V 4
4 3
2
prisma
2,
,Tronco
_
_
i
i
8V 3
prisma
3
,=Tronco
Rpta.: 8 33
,
Pregunta 28
Se tiene un cilindro oblicuo con diámetro
de la base AB= 10 cm y generatriz CB. Se
prolonga AB hasta el punto D de tal forma
que CD= 12 cm. M es punto medio de BC,
mBBCD= α y la mBBDM= 90°−mBBCD.
Si α<mBCBD, halla el volumen del cilindro
(en cm3).
A) 200 π
B) 250 π
C) 300 π
D) 350 π
E) 400 π
Resolución 28
Geometría del espacio
Cilindro
Piden: VCIL.=?
A B
M
90-α
α
α
α
5 5
D
N
C
12
90-α
Trazamos MN BC
BMND Inscriptible
mBNDB=90°
∴ VCIL.=π(5)2(12)
VCIL.=300π
Rpta.: 300 π

16. SOLUCIONARIO
Matemática
Examen UNI 2015 – II
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16
Pregunta 29
Si una esfera de radio r cm se inscribe en un
cono recto equilátero cuyo radio de la base
mide R cm, entonces la razón entre dichos
volúmenes, respectivamente, es:
A)
9
5
B)
9
4
C)
3
1
D)
9
2
E)
9
1
Resolución 29
Cono y esfera
Piden:
V
V
cono
esf
30°
R 3
R
R
2R
V
V
cono
esf
=
( ) ( )R R
R
3
1 3 3
3
4
2
3
r
r
∴
V
V
cono
esf
=
9
4
Rpta.:
9
4
Pregunta 30
Se tiene un tetraedro regular ABCD. Si la
distancia del centro de la cara ABC a la altura
del tetraedro trazada desde el vértice B es d,
determina el volumen del tetraedro.
A)
16
2 3+^ h
d3
B)
25
4
5^ h
d3
C)
4
27
6 d3
D)
27
14
7
d3
E)
24
27
8 d3
Resolución 30
Geometría del espacio
Poliedros regulares
,
d
2
3
d3 3
A
C
M
D
H
3d
G
d
B
2,

17. SOLUCIONARIO
Matemática
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17
Piden: Vtetraedro
*
* :
MH
d
H baricentro del ACD
HD d
CD d
V
d
V d
2
3
3
3 3
12
3 3 2
4
27
6
tetraedro
tetraedro
3
3
M
M
3
`
`
=
=
=
=
=
^ h
Rpta.: d
4
27
6 3
Pregunta 31
Determina el volumen generado por el
segmento que une los puntos (0,0) y (3,4), al
ser rotado en torno de la recta diagonal del
primer cuadrante del plano.
A) 6
7r
B)
6 2
7r
C)
6 3
7r
D)
4 2
7r
E)
2 3
7r
Resolución 31
Geometría del espacio
Cono
y
x(0;0) O
5 Q8º
45º
P(3;4)
Piden: Vsol
* QPO (Notable: 8º y 82º)
PQ 2
2
=
2
OQ 2
7
=
*Vsol 2
2
2
7 2
3
1
2
r= d n
∴Vsol
6 2
7r=
Rpta.:
6 2
7r
Pregunta 32
Se tienen dos planos, P y Q, perpendiculares
entre sí, y se cortan según una recta L. La recta
que une un punto A de P con un punto B de Q
forma con P un ángulo de 30º y con Q de 45°.
Calcula la medida de AB si la distancia mínima
entre la recta L y AB es cm4 3 1-_ i .
A) 4 cm
B) 6 cm
C) 8 cm
D) 10 cm
E) 12 cm

18. SOLUCIONARIO
Matemática
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18
Resolución 32
Geometría del espacio
Rectas y planos
Piden:
S
Q
P
a 2
a 2A
B
a
2a
a
A’
30º
45º
L
E B’
En el plano “S”
A’
B’E a
a 2
a 3
( )4 3 1-
• RMTR: . .4( 1)a a a2 3 3= −
( )a2 4 6 3 1= −
∴ 2a = 7,172
Rpta.: La respuesta es 7,172 no se
encuentra clave en el problema
Pregunta 33
Dada la parábola P: y=x2 y la recta L: x–2y= 10,
halla la distancia (distancia mínima) entre ellas.
A)
40
79 5
B) 39
80 5
C) 39
79 5
D) 39
81 5
E)
40
81 5
Resolución 33
Secciones cónicas
Parabola
0
y=x2
Graficando:
x-2y-10=0
P(x;x2)
x
y
Q
Distancia de un punto a la recta:
( )
PQ
x x
PQ
x
x
5
2 10
5
2
2
10
2
2
; ;
; ;
=
− −
=
− +
Completando cuadrados
( )
PQ
x
5
2
4
1
8
792
; ;
=
− +

19. SOLUCIONARIO
Matemática
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19
Como PQ es mínimo
PQ
5
0
8
79
; ;
=
+
PQ
40
79 5
=
Rpta.:
40
79 5
Pregunta 34
Si se cumple que:
. .cosa x b sen x a b
ab4 4+ = +
Calcula el valor de Tg2x.
A)
b
a 1+
B) a
b 1+
C) a
b
D)
b
a
E)
ab
ab 1+
Resolución 34
Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricas auxiliares
Del dato:
( ) ( )
1cos
ab
a a b
x
ab
b a b
sen x4 4+
+
+
=
( 1) (1 ) 1cos
b
a
x
a
b
sen x4 4+ + + =
1cos cos
b
a
x x sen x
a
b
sen x4 4 4 4+ + + =
0cos cos
b
a
x sen x x
a
b
sen x24 2 2 4− + =
1 2 344444444 44444444
( ) 0cos
b
a
x
a
b
sen x2 2 2− =
cos
b
a
x
a
b
sen x2 2=
tg x
b
a2 =
Rpta.:
b
a
Pregunta 35
Sea la función y= A.arc sen(Bx+C)+D
(A,B>0), con gráfica
31
y
2
r-
2
r
2
3r
x
Calcula K A B C
D4
r= + + a k
A) –2
B) –1
C) 0
D) 2
E) 4

20. SOLUCIONARIO
Matemática
Examen UNI 2015 – II
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20
Resolución 35
Funciones inversas
Graficas
y=AarcSen(Bx+C)+D
y
x
1 2 3
3 2
r
2
r
2
r-
I. Bx+C∈[-1;1]→ ;x B
C
B
C1 1
!
- - -
9 C del
gráfico x∈[1;3]
→ 1 ; 3B
C
B C B
C
B C
1
1
1
3 1" "
− −
= + =−
−
= + =
por lo tanto B=1; C=-2
II. ;arcSen Bx C 2 2!
r r+ −_ i 9 C
;y A D A D2 2!
r r− + +9 C
del gráfico ;y 2 2
3
!
r r-9 C
→ ;A D A D2 2 2 2
3r r r r− + =− + = por lo tanto:
A=2; D 2
r=
III. Piden: K A B C
D4
r= + + a k reemplazando
k=-1
Rpta.: -1
Pregunta 36
Determina el dominio de la función con regla
de correspondencia:
4secf x x tg x2 32 44= − − −_ i
A)
n
n Z4 !
r% /
B)
n
n Z4
2 1
!r
+
% /
C)
n
n Z2 !
r% /
D) {np/n∈Z}
E) {2np/n∈Z}
Resolución 36
Funciones trigonométricas
Dominio de una función
( ) 4secf x x tg x2 32 44= − − −
I. (2 1) /2cosx x n0 "! ! r+
II. 2 3 0sec x tg x2 4
"$- -
2(1 ) 3 0;tg x tg x2 4
$+ − −
2 1 0tg x tg x4 2
#− +
( 1) 0 1 0tg x tg x2 2 2
" "#− − =
1 1tg x tgx2
" !=
( )
/Df
n
n Z
4
2 1
d
r
=
+
' 1
Rpta.: /
n
n Z
4
2 1
dr
+
$ .
Pregunta 37
Si para f∈[0,2p] se tiene
senf+cosf+sen2f=[senf+cosf+A]2+B,
entonces (2A+4B) es igual a:
A) –1
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5

21. SOLUCIONARIO
Matemática
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21
Resolución 37
Identidades trigonométricas del ángulo
doble
Identidades trigonométricas
senf+cosf+2senfcosf=[senf+cosf+A]2+B
...1+ − =
...cos cos
cos cos
sen sen
sen sen
2 1 1
2
z z z z
z z z z
+ + + − =
+ +_ _i i
1 2 3444 444
Completando cuadrados:
cos cossen sen A B2
1
4
52 2
z z z z+ + − = + + +9 7C A
Piden:
A B2 4 2 2
1
4 4
5
4+ = +
−
=−a ak k
Rpta.: -4
Pregunta 38
En el círculo trigonométrico de la figura,
determina el área del triángulo sombreado.
θ
A) cosq
B) secq
C) tgq
D) senq
E) cscq
Resolución 38
Circunferencia trigonométrica
Áreas
Del gráfico: DOMN ≅ DOPQ
∴ Sus superficies son iguales
Piden A+B = Área DMPQ
( )cos
A B
2
2 i
+ =
A+B=cosq
θ
C.T.
P
M
N
Q
O
y
x
A
B
cosq
cosq
Rpta.: cosq

22. SOLUCIONARIO
Matemática
Examen UNI 2015 – II
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22
Pregunta 39
En el gráfico mostrado, M y N son los puntos
de intersección entre las gráficas de y= x2 e
y=-x+6. Calcula E= 2 tgb+3tgq.
N
b
θ
M
x
y
y= –x+6
y= x2
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Resolución 39
Reducción al IC
R. T. C. M.
Para determinar los puntos M y N resolvemos el
sistema de ecuaciones de: y=x2 e y = -x + 6
" x2 = - x + 6
x2 + x - 6 = 0
(x+3)(x-2)=0
x= -3 ∧ x=2
De lo cual
y = 9 ∧ y = 4
∴M(-3, 9) ∧ N (2,4)
En el gráfico
N(2,4)
4
2
9
3
-β
α
θ
β
x
y
M(-3,9)
Por reducción al IC
• α - θ =180º
α = 180º+θ
tga=tg(180º+q)
tgα = tgθ
tg
9
3
` i =
• ( )tg
4
2
b− =
tg
4
2
` b =−
Calculamos
E= 2tanβ + 3 tanθ
E 2
4
2
3
9
3=
−
+` `j j
E= 0
Rpta.: 0

23. SOLUCIONARIO
Matemática
Examen UNI 2015 – II
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23
Pregunta 40
De la figura, AOB y COD son sectores circulares.
Si las áreas de las regiones COD y CABD son S y
3S u2, respectivamente, y L!
AB = 4u, determina
la medida del lado OC en función de S.
O
C
A
B
D
A) S
B) 2S
C) 3S
D) 4S
E) 5S
Resolución 40
Sector circular
Superficie de un sector
Por las condiciones indicadas:
O S 3S 5S 7S
propiedad:
O
x
x
x
C
D
A
B
x
3SS 4u
Sector AOB
( )( )S x S x4
2
1
2 4 "= =
Rpta.: S