Este documento define expresiones racionales y describe cómo simplificarlas, sumarlas, multiplicarlas y dividirlas. También explica cómo encontrar el conjunto de validez de una expresión racional y proporciona ejemplos de cada operación.

1. EXPRESIONES
RACIONALES
MATEMÁTICA

2. Expresiones Racionales
Matemática
▪ Definición
▪ Conjunto Validez
▪ Simplificación
▪ Operaciones. Mínimo común denominador
▪ Ecuaciones. Conjunto Solución

3. Matemática
Expresiones Racionales
Expresiones algebraicas fraccionarias, fracciones algebraicas o expresiones
racionales son todas aquellas expresiones de la forma:
donde 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son polinomios en la
variable “x” y 𝑄(𝑥) ≠ 0
( )
( )
P x
Q x
Ejemplos
3
( 2)
x x
x

4 3
3 2
1
(3 2 )
7 4 8
x x x
x
x x
   
 
3 2
5
2
3 5 2
2 1
x x x
x
x x
  
 
5 4 2
3 2
3 6 2 20
2 7
x x x x
x x x
   
 

4. Matemática
Conjunto Validez
Sea
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
una expresión algebraica racional, la cual solo existirá cuando
𝑄(𝑥) ≠ 0, lo que equivale a decir para valores de la variable “𝑥” que NO
anulen el denominador. Luego existe un conjunto para el cual la expresión
racional es válida y un conjunto para la cual la expresión no esta definida.
Conjunto validez (C.V): es el conjunto de números reales para los
cuales existe el cociente
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
, son todos los números reales menos
aquellos números que anulan el denominador (raíces), es decir que
generan división por cero.

5. Matemática
Conjunto Validez
Cómo hallar el C.V de una expresión algebraica racional?
I. Factorizar numerador y denominador de la /s fracción/es algebraica/s.
II. Determinar los ceros del denominador
III. Escribir el 𝐶. 𝑉 = {ℝ − 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠}
Hallar el C.V de la siguiente expresión.
𝑥2
− 3𝑥 − 28
𝑥3 − 7𝑥2
∙
𝑥
𝑥2 − 16
Ejemplo

6. Matemática
Conjunto Validez
Hallar el C.V de la siguiente expresión
𝑥2−3𝑥−28
𝑥3−7𝑥2 ∙
𝑥
𝑥2−16
I. Factorizar numerador y denominador
(𝑥 − 7)(𝑥 + 4)
𝑥2(𝑥 − 7)
∙
𝑥
(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)
II. Determinar los ceros del denominador
𝑥1 = 0 ; 𝑥2 = 7 ; 𝑥3 = 4 ; 𝑥4 = −4
III. 𝑪. 𝑽 = ℝ − {−𝟒; 𝟎; 𝟒; 𝟕}
Importante.
NO simplificar hasta formar el conjunto de
todos los valores que sean ceros de los
denominadores
(𝑥 − 7)(𝑥 + 4)
𝑥2(𝑥 − 7)
∙
𝑥
(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)

7. Matemática
Conjunto Validez
Hallar el C.V de la siguiente expresión
I. Factorizar numerador
y denominador
II. Determinar los ceros de los
denominadores 𝑥1 = −8 ; 𝑥2 = −5 ; 𝑥3 = 4 ; 𝑥4 = −4 ; 𝑥5 = 1
III. 𝑪. 𝑽 = ℝ − {−𝟖, −𝟓, 𝟒, −𝟒, 𝟏}
2
2
2
25
13 40
16
1
x
x x
x
x

 


( 5)( 5) ( 4)( 4)
:
( 8)( 5) ( 1)
x x x x
x x x
   
  
La expresión se puede reescribir de la forma
2 2
2
25 16
:
13 40 1
x x
x x x
 
  
Denominadores
Ejemplo
NO simplificar
En caso de ser posible, luego de
hallar el C.V, simplificar

8. Matemática
Conjunto Validez
Hallar el CV de las siguientes expresiones
4 3
2 3 2
2
5 3
3 2
2 2 4 2
3 4 6 24
) )
2 1 12 48
20 15
5 7 1
15 5 20
) )
( 1)( 1) 2 7
x x x
a b
x x x x
x x
x x x
x x x
c d
x x x x
 
  

  
 
   
Actividad 1

9. Matemática
Operaciones
Simplificación
Simplificar una fracción algebraica consiste en reducir a su mínima
expresión la expresión dada. Luego se factoriza numerador y
denominador entre factores primos y luego, suponiendo que los
factores del denominador no son cero (ya fue determinado el conjunto
validez), se simplifica factores comunes aplicando las propiedades del
conjunto de números reales.
2
2
(3 1) ( 2)
3 5 2
4
x x
x x
x
 
 

 ( 2)
x 
(3 1)
( 2)
( 2)
x
x
x




, 0
ac a
c
bc b
 
! C.V.: se calcula sobre esta
expresión antes de simplificar
C.V=R-{-2;2}
!
Ejemplo

10. Matemática
Operaciones
Simplificación
2 2
2
2
6 9 ( 3)
3 3 ( ) 3( )
( 3) ( 3)( 3) ( 3)
( 3)( ) ( 3)( ) ( )
x x x
x ax x a x x a x a
x x x x
x x a x x a x a
  
 
     
   
  
    
! C.V.: se calcula sobre esta
expresión antes de simplificar
C.V=R-{-a;3}
!
Ejemplo
simplificación
factor común en grupos

11. Matemática
Operaciones
Multiplicación
El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción cuyo numerador
y denominador son el producto de los dados, respectivamente.
A modo de procedimiento:
 Factorizar numeradores y denominadores.
 Determinar C.V
 Simplificar
 Multiplicar numeradores entre si y denominadores entre si.
a c ac
d e de
 

12. Matemática
Operaciones
Multiplicación
2 2
2 2
13 42 2 35
.
49 5
x x x x
x x x
   

 
Ejemplo
2 2
2 2
13 42 2 35 ( 7)( 6) ( 5)( 7)
. .
49 5 ( 7)( 7) ( 5)
x x x x x x x x
x x x x x x x
       

    
! C.V.: se calcula sobre esta
expresión antes de simplificar
C.V=R-{-7;7;0;5}
factorizando numerador y denominador
simplificando
( 6)
x
x


!
( 7)
x 

( 6)
( 7)
x
x

 ( 7)
x 
( 5)
.
x  ( 7)
x 
( 5)
x x 


13. Matemática
Operaciones
División
Para realizar el cociente de dos expresiones algébricas racionales se
transforma en multiplicación: al dividendo se lo multiplica por el inverso
multiplicativo del divisor.
:
a c a e ae
d e d c dc
  
Ejemplo
2
2
( 3) ( )
con 0
2
( )
x x a
a
a
x a
 
 

Resolver y simplificar

14. Matemática
Operaciones
División
Ejemplo
2
2 2
2
2 2 2 ( )
( 3) ( )
:
2 ( 3) ( ) ( ) ( 3) ( ) 2
( )
a x a
x x a
a x x a x a x x a a
x a

 
  
    

Dos formas equivalentes de escribir el cociente entre
las dos fracciones dadas
Resolviendo: se multiplica la fracción
dividendo por el inverso multiplicativo
del divisor
2
 2
( 3) ( )
x x a
 
( )
x a


2 2
1
( 3)
a x
a


Se procede como en una multiplicación
2
2
2
1
( 3) ( )
2 ( 3)
( )
x x a
a a x
x a
 



Forma resuelta y simplificada
! C.V.: se calcula sobre la
expresión preliminar
C.V=R-{a,-3}
!

15. Matemática
Operaciones
Suma algebraica de expresiones racionales de
igual denominador
a c a c
b b b

 
2 5 2 5 5 2
(8 4) (8 4) 8 4)
( 5) ( 5) ( 5) ( 5)
x x x x x x x x x
x x x x
        
  
   
La suma de dos expresiones racionales con el mismo denominador, es
una fracción cuyo denominador es el mismo que los denominadores de los
sumandos y su numerador es la suma de los numeradores de cada
sumando.
Ejemplo
Resolver
! C.V.: se calcula sobre esta expresión
antes de simplificar
C.V=R-{-5}
!

16. Matemática
Operaciones
3 ( 8 )
3 27 3 24 3
( 8) ( 8)
x
x x
x x
 
   
  
  ( 8)
x 
3

Ejemplo
Resolver 3 27 3
( 8) ( 8) ( 8)
x
x x x
  
  
Resolver 2 2
2 2 2 2
20 25 4 39 (20 25) 4 39
( 8) ( 16 64) ( 8) ( 8)
x x x x x x
x x x x x
     
   
    
Ejemplo
conmutando y asociando factorizando
factorizando simplificando
! C.V.: se calcula sobre
esta expresión
C.V=R-{8}
! C.V.: se calcula sobre
esta expresión
C.V=R-{8}
!
factorizando
2 2 2
2 2 2
20 25 4 39 16 64 ( 8)
1
( 8) ( 8) ( 8)
x x x x x x
x x x
      
   
  

17. Matemática
Operaciones
Suma algebraica de expresiones racionales
con distinto denominador
La suma de dos expresiones racionales con el distinto denominador, es
una fracción tal que su denominador es el mínimo común denominador
(mcd) hallado entre las fracciones dadas. Para obtener el numerador, se
divide al mcd por el denominador de la primer fracción y a su resultado se
lo multiplica por su correspondiente numerador. Y así con cada fracción.
Luego se suma todos los sumados obtenidos determinando, así, el
numerador resultante.
de de
a c
a c d e
d e d e

 
Mínimo común denominador: producto de factores comunes y no comunes con
su mayor exponente

18. Matemática
Operaciones
Suma algebraica de expresiones racionales con distinto denominador
2
4 2 6
(2 7 4) (3 12)
x
x x x

 
  
Ejemplo
Resolver -Factorización de cada
denominador
2𝑥2 − 7𝑥 − 4
= 2 𝑥2 −
7
2
𝑥 − 2 =
= 2(𝑥 +
1
2
)(𝑥 − 4)
3𝑥 − 12 = 3(𝑥 − 4)
!
! C.V.: se calcula sobre esta
expresión
C.V=R-{-1/2;4}
2

(2 1)
2
x 
2
6
1
( )( 4)
2
x x

  3
1
1
2 ( )
2
( 4)
x
x


 1
( )
2
x 
2
( 4)
( 4)
x
x
 


2 2
0
( 4) ( 4)
x x
  
 

19. Matemática
Operaciones
Suma algebraica de expresiones racionales con distinto denominador
2
3 4
( 6 9) 5( 3)
x
x x x
 
  
Ejemplo
Resolver -Factorización de cada
denominador
𝑥2
− 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)2
!
! C.V.: se calcula sobre
esta expresión
C.V=R-{3}
“3” es una raíz de
multiplicidad dos o “raíz
doble”
2
2
5 ( 3)
3 4
( 3) 5( 3)
x
x
x x

 
 
2
( 3)
x 
5
3x
 
  
 
 
2
( 3)
x 
5( 3)
x 
2
4
5( 3)
x
 
 
 
 

2 2 2
15 4( 3) 15 4 12 19 12
5( 3) 5( 3) 5( 3)
x x x x x
x x x
    
 
  
mcd: producto de factores comunes y no
comunes con su mayor exponente

20. Matemática
Operaciones
2 2 3 3
2 3 2 2
2
2 2
6 2 1 2 2 9 9
) )
3 18 6 3 ( 3)( 6) 3 3 3 3
4 1 11 15
2
1 2 5
8 2
) )
3 3 5 12
6 3 4
3
1
x x x x x x x y x y
a b
x x x x x x x x y xy x
x
x x
x x x
c d
x x
x x x
      
   
        

  
 
  
 
 

Verificar las siguientes identidades
Actividad 2

21. Matemática
Ecuaciones Racionales
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas, en
este caso dos expresiones racionales o fraccionarias.
Al ser una condición se cumplirá para determinados valores de la
variable. El conjunto de valores que verifican o hacen verdadera la
igualdad (también se dice verifican la ecuación) es el conjunto solución.
Se representa como un conjunto en forma por comprensión o por
extensión.
2
4 2 6 3( 1)
(2 7 4) (3 12) ( 4)( 1/ 2)
x x
x x x x x
 
 
    
 
 
1 2
1 2
/ , .....
, ....
CS x x x x x x
CS x x
    


22. Matemática
Ecuaciones Racionales
2
NO
4( ) 2 6 3( 1)
0, reemplazando es
(2( ) 7( ) 4) (3( ) 12) ( 4)( 1/ 2)
3
a
0
2
0 0
0 0 0 0 0
verific
Si x
 
  
    

Ejemplo
Luego x=1 es un elemento que pertenece al conjunto solución
2
4 2 6 3( 1)
(2 7 4) (3 12) ( 4)( 1/ 2)
x x
x x x x x
 
 
    
2
4( ) 2 6 3( 1)
1, reemplazando es
(2( ) 7( ) 4) (3( ) 12) ( 4)( 1/ 2)
1 1
1 1 1 1 1
ve
0 0 rifica
Si x
 
  
    


23. Matemática
Ecuaciones Racionales
¿Qué es resolver una ecuación racional?
Resolver una ecuación racional es hallar el conjunto de valores que verifican
la igualdad.
Luego, si
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
= 𝟎, el conjunto solución será todos los valores que
pertenecen al C.V. y que hacen nulo al numerador es decir 𝑃 𝑥 = 0
Aquellos valores que si bien anulan el numerador pero no pertenecen al
conjunto validez , no serán solución de la ecuación.

24. Matemática
Ecuaciones Racionales
Pasos para resolver una ecuación racional
I. Determinar el CV (expresión factorizada).
II. Factorizar, simplificar y resolver (sumas, restas, etc.), agrupar a un
solo miembro de la igualdad, para determinar un único numerador.
III. Igualar a cero el numerador y resolver la ecuación.
IV. Determinar el conjunto solución (CS), teniendo presente que si los
valores están en la excepción del CV el valor no pertenece al CS.
V. Verificar cada valor del conjunto solución en la expresión original.

25. Matemática
Ecuaciones Racionales
I. Determinar el CV (expresión factorizada).
Ejemplo: resolver la siguiente ecuación
2
4 2 6 3( 1)
(2 7 4) (3 12) ( 4)( 1/ 2)
x x
x x x x x
 
 
    
4 2 6 3( 1)
2( 4)( 1/ 2) 3( 4) ( 4)( 1/ 2)
x x
x x x x x
 
 
    
! C.V. (se excluyen los valores
que invalidan la expresión)
𝐶. 𝑉 = 𝑅 − { −1/2, 4}

26. Matemática
Ecuaciones Racionales
4 2 6 3( 1)
0
2( 4)( 1/ 2) 3( 4) ( 4)( 1/ 2)
3[4 2] 6[2( 1/ 2)] 3[6( 1)]
0
6( 4)( 1/ 2)
12
x x
x x x x x
x x x
x x
x
 
  
    
    

 
6
 12x
 6
 18 18 18 18
0 0
6( 4)( 1/ 2) 6( 4)( 1/ 2)
x x
x x x x
   
 
   
II. Factorizar, simplificar y resolver (sumas, restas, etc.), agrupar a un
solo miembro de la igualdad, para determinar un único numerador.
único numerador

27. Matemática
Ecuaciones Racionales
18 18 0
18( 1) 0 se extrae factor comun "18"
1 0 se multiplica m.a.m por "1/18"
1 se suma m.a.m "-1"
1
x
x
x
x
x
  
 

 


 

III. Igualar a cero el numerador y resolver la ecuación.
Para que el cociente sea “cero”, debe
ser cero el numerador.
18 18
0
6( 4)( 1/ 2)
x
x x
 

 

28. Matemática
Ecuaciones Racionales
! C.V.
𝐶. 𝑉 = 𝑅 − { −1/2, 4}
IV. Determinar el conjunto solución (CS), teniendo presente que si los
valores están en la excepción del CV el valor no pertenece al CS.
Como “1” pertenece al C.V, es decir no forma parte
de los valores que invalidan la expresión, entonces
“1” es solución de la ecuación y como la ecuación
(expresión en el numerador) es de primer grado,
es la única.
 
1
CS 
2
4 2 6 3( 1)
(2 7 4) (3 12) ( 4)( 1/ 2)
x x
x x x x x
 
 
    

29. Matemática
Ecuaciones Racionales
V. Verificar cada valor del conjunto solución en la expresión original.
 
1
CS 
2
4 2 6 3( 1)
(2 7 4) (3 12) ( 4)( 1/ 2)
x x
x x x x x
 
 
    
2
4( ) 2 6 3( 1)
1 es
(2( ) 7( ) 4) (3( ) 12) ( 4)( 1/ 2)
1 1
1 1 1 1 1
ve
0 0 rifica
Si x
 
  
    


30. Matemática
Ecuaciones Racionales
Ejemplo: resolver la siguiente ecuación
2
2 4 3 2
8 3 6
0
5 4 4
x x
x x x x x

  
  
I. Determinar el CV (expresión factorizada).
2 2
2 2
8 (3 6)
0
( 5) ( 4 4)
8 (3 6)
0
( 5) ( 2)
x x
x x x x x
x x
x x x x

  
  

  
 
! C.V. (se excluyen los valores
que invalidan la expresión)
𝐶. 𝑉 = 𝑅 − { 0, −5, −2}

31. Matemática
Ecuaciones Racionales
2 2
2
2 2
8 3 ( 2)
0
( 5) ( 2)
8[ ( 2) ] [3 ( 2)( 5)]
0
( 2) ( 5)
( 2)
x x
x x x x
x x x x x
x x x
x

  
 
    

 
 x
2
{ 8[( 2)] [3( 5)]}
x x
x
   
2
( 2)
x 
0
( 5)
{ 8( 2) (3 15)} 8 16 15
0 0
( 2)( 5) ( 2)( 5)
x
x x x x
x x x x x x


       
 
   
II. Factorizar, simplificar y resolver (sumas, restas, etc.), agrupar a un
solo miembro de la igualdad, para determinar un único numerador.
5 1
0
( 2)( 5)
x
x x x
 

 
único numerador

32. Matemática
Ecuaciones Racionales
5 1
0 5 1 0 5 1
( 2)( 5)
1
5
x
x x
x x
x
x
 
   
     

 
III. Igualar a cero el numerador y resolver la ecuación.
Sumar m.a.m “1” Multiplicar m.a.m “-1/5”
IV. Determinar el conjunto solución (CS), teniendo presente que si los
valores están en la excepción del CV el valor no pertenece al CS.
Como “-1/5” pertenece al C.V, es decir no forma parte de los valores que
invalidan la expresión entonces es la única solución de la ecuación
propuesta.
2
2 4 3 2
8 3 6
0
5 4 4
x x
x x x x x

  
  
1
5
CS
 
 
 
 

33. Matemática
Ecuaciones Racionales
2
2 4 3 2
3 6
8
0
5 4 4
1 1
5 5
1 1 1 1 1
5 5
0
5 5 5
ver fica
0 i
   

   
   
  
         
  
         
       
 
 



 

11
7
CS
 
 
 
 
V. Verificar cada valor del conjunto solución en la expresión original.
2
2 4 3 2
8 3 6
0
5 4 4
x x
x x x x x

  
  

34. Matemática
Ecuaciones Racionales
Ejemplo: resolver la siguiente ecuación
2
2 2
( 8 16)( 5)
0
( 5 )( 16)
x x x
x x x
  

 
I. Determinar el CV (expresión factorizada).
! C.V. (se excluyen los valores que
invalidan la expresión (anulan el
denominador)
𝐶. 𝑉 = 𝑅 − { 0, 5, −4,4}
2
( 4) ( 5)
0
( 5)( 4)( 4)
x x
x x x x
 

  

35. Matemática
Ecuaciones Racionales
2
( 4)
x  ( 5)
x 
( 5)
x x  ( 4) ( 4)
x x
 
0
( 4)
0
( 4)
x
x x




II. Factorizar, simplificar y resolver (sumas, restas, etc.), agrupar a un
solo miembro de la igualdad, para determinar un único numerador.
único numerador
III. Igualar a cero el numerador y resolver la ecuación.
( 4)
0 4 0 4
( 4)
x
x x
x x

      
 Sumar m.a.m “-4”

36. Matemática
Ecuaciones Racionales
IV. Determinar el conjunto solución (CS), teniendo presente que si los
valores están en la excepción del CV el valor no pertenece al CS.
Como “-4” NO pertenece al C.V, es decir es uno de los elementos excluidos del
conjunto solución, no existe solución para esta ecuación es decir el CS es vacío.
{}
CS 
2
2 2
( 8 16)( 5)
0
( 5 )( 16)
x x x
x x x
  

 
Observación: si se reemplaza el valor hallado en la ecuación original es
2
2 2
2
(( 4) 8( 4) 16)( 4 5)
0
(( 4) 5( 4))(( 4) 16)
(0)( 4 5)
(( 4) 5( 4))(
0
exp
0)
resion indeterminada
0
     

    
 

  

37. Matemática
Ecuaciones Racionales
2
2
8( 1) 4
) 5
( 3 2) 3
5 4
) 1
7 7
20
7
2 1 1 2
) ) 0
1
4 9 2 3 2 3 ( 4)( 2)
2
x x
a
x x x
b
x x
x
x
c d
y y y x x

 
  

 
 
 
  
    
Hallar el CS de las siguientes ecuaciones.
Actividad 3

38. Matemática
Respuestas a algunas actividades
Actividad 1
 
 
 
) 1
) 0,4
) 1,0,1
) {}
a CV
b CV
c CV
d CV
 
 
  
  
cargo del estudiante, todas verifican.
A
Actividad 2
Actividad 3
9 57 9 57
) { , }
2 2
) {2}
) {}
) {10}
a CS
b CS
c CS
d CS
 


  


39. Matemática
Bibliografía
Zill, D.; “Algebra, trigonometría y geometría analítica”, 3ra ed.
Aufmann, R.; Lockwood J.; “Algebra Intermedia”, 8a ed.