algebra

1. Jaén – Perú, octubre 2021
GUÍA DE APRENDIZAJE
SEMANA N° 10
CURSO: Álgebra Lineal
DOCENTE: Lic. Mat. Roy Lander Sigüeñas Fernández

2. ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN..........................................................................................................................................2
2. OBJETIVOS EDUCACIONALES Y RESULTADOS DE LOS ESTUDIANTES........................................2
3. DESARROLLO .............................................................................................................................................2
3.1. Combinaciones Lineales.........................................................................................................................2
3.2. Independencia Lineal..............................................................................................................................4
3.3. Bases ......................................................................................................................................................9
3.4. Dimensión ............................................................................................................................................11
4. GLOSARIO..................................................................................................................................................12
5. REFERENCIAS...........................................................................................................................................12

3. SEMANA N° 10 – Álgebra Lineal
2
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
1. INTRODUCCIÓN
El tema que vamos a desarrollar en la presente Guía de Aprendizaje, tiene como finalidad desarrollar
capacidades matemáticas que te permitan interpretar y traducir situaciones cotidianas al lenguaje algebraico,
las cuales se puedan modelar a través de sistemas de ecuaciones lineales.
Por esta razón la utilidad del sistema de ecuaciones lineales en la Ingeniería Mecánica y Eléctrica, permitirá
que puedan desenvolverse adecuadamente en situaciones cotidianas de tu entorno y en aquellas que demanden
el uso de expresiones algebraicas y la relación entre ellas en distintas fuentes de información cuantitativa.
2. OBJETIVOS EDUCACIONALES Y RESULTADOS DE LOS ESTUDIANTES
OE1: Se desempeña profesionalmente de forma competente para gestionar, mediante la planificación, el
diseño, la construcción, el mantenimiento y/o el mejoramiento, sistemas energéticos y electromecánicos.
OE2: Se desempeña con profesionalismo, para Desarrollar Investigación científica y tecnológica con carácter
innovador, para el desarrollo y la solución de problemas con énfasis en las diversas áreas de la Ingeniería
Mecánica y Eléctrica.
OE3: Se desempeña profesionalmente de forma competente para formular proyectos sostenibles en el ámbito
de la Ingeniería Mecánica Eléctrica con responsabilidad social y principios éticos y humanistas.
3. DESARROLLO
3.1. Combinaciones Lineales
Esa decir que toda vez que un vector w se obtiene como resultado de operaciones de suma entre vectores y
de producto por un escalar, se dice que w es una combinación lineal.
Ejemplo 01. Se verifica que el vector ( )
3,7,5
w = se expresa como combinación lineal de los vectores:
( )
1 1,3,2
v = ; ( )
2 1,2,3
v = − ; ( )
3 4, 5, 8
v = − − .
Solución:
1 1 2 2 3 3
w k v k v k v
= + +
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
3,7,5 1,3,2 1,2,3 4, 5, 8
k k k
= + − + − − Planteando la ecuación vectorial de combinación
lineal para w .
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 ,3 ,2 1 ,2 ,3 4 , 5 , 8
k k k k k k k k k
= + − + − − Desarrollando se obtiene un sistema lineal.
( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 ,3 2 5 ,2 3 8
k k k k k k k k k
= − + + − + − Resolviendo por métodos conocidos.
Definición 01. Un vector w es una combinación lineal de los vectores 1 2
, ,..., r
v v v . Si w puede
expresarse como:
1 1 2 2 ... r r
w k v k v k v
= + + +
Donde: , son escalares.

4. SEMANA N° 10 – Álgebra Lineal
3
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
1 2 3 1 2 3 1
1 2 3 2 3 2
3
1 2 3 3
4 3 4 3 3
3 2 5 7 5 17 2 2
1
2 3 8 5 1
k k k k k k k
k k k k k k
k
k k k k
− + = − + = =
  
  
+ − =  − = −  =
  
   =
+ − = = 
 
Como existen valores de k que satisfacen la definición, se concluye que efectivamente w es una
combinación lineal de los otros vectores.
Ejemplo 02. Se verifica que un conjunto generado del espacio vectorial 3
R está constituido por
 
1 2 3
, ,
S v v v
= , donde ( )
1 1,0,0
v = ; ( )
2 0,1,0
v = ; ( )
3 0,0,1
v = .
Solución:
1 1 2 2 3 3
w k v k v k v
= + +
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3
, , 1,0,0 0,1,0 0,0,1
b b b k k k
= + + Si ( )
1 2 3
, ,
w b b b
= es un vector cualquiera de 3
R se
aprecia que siempre existirán valores de k , para
expresar a w como una combinación lineal de los
vectores de S .
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
, , , ,
b b b k k k
=
Ejemplo 03. Analizar si S es un conjunto generador del espacio vectorial 2
R ,  
1 2
,
S v v
= , donde ( )
1 1,3
v =
; ( )
2 2,6
v =
Solución:
1 1 2 2
w k v k v
= + Si w es un vector cualquiera de 2
R de acuerdo a la definición de lo escribe como suma de
vectores de S .
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
, 1,3 2,6
b b k k
= +
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, 2 ,3 6
b b k k k k
= + + El sistema será consistente solo si la matriz A del sistema es inversible.
1 2 1
1 2 2
1 2
2
3 6
3 6
0
A
k k b
k k b
A
  
=
+ =
   
  
 
+ =
  =

Por el determinante cero, se concluye que A no es inversible, por tanto S no es conjunto generador.
Conjunto Generador
Definición 02. Si todo vector del espacio vectorial V puede expresarse como una combinación lineal de los vectores
1 2
, ,..., r
v v v y estos vectores son parte de V, entonces un conjunto generador de V es  
1 2
, ,..., r
S v v v
= .
Donde: 1 2
, ,..., r
k k k , son escalares.
Espacio Lineal Generado
Definición 03. Dentro de un Espacio Vectorial V, el conjunto de los vectores  
1 2
, ,..., r
S v v v
= , mediante
Combinación Lineal pueden generar a todos o a parte de los vectores de V. Entonces los vectores
generados forman un subespacio llamado espacio lineal generado.

5. SEMANA N° 10 – Álgebra Lineal
4
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Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
El espacio W generado de que S genere a todos los vectores de V, entonces el espacio lineal generado será
igual a V.
El espacio W generado por un conjunto de vectores  
1 2
, ,..., r
S v v v
= también suele escribirse como ( )
lin S
3.2. Independencia Lineal
Se presenta dos casos:
1) Si la única solución es 1 2
0 ; 0 ; ... ; 0
r
k k k
= = = , entonces el conjunto de vectores S es
linealmente independiente (se abrevia como L.I.)
2) Si además de la solución 1 2
0 ; 0 ; ... ; 0
r
k k k
= = = , existe otras soluciones entonces el conjunto de
vectores S es linealmente dependiente (se abrevia como L.D.)
A un conjunto de vectores linealmente independientes se lo llamara conjunto independente a un conjunto de
vectores linealmente dependientes se lo llamara conjunto dependiente.
Ejemplo 04. Se analiza el conjunto de vectores:  
1 2
,
S v v
= donde ( )
1 1,3
v = ; ( )
2 2,7
v =
Solución:
1 1 2 2, ... 0
r r
k v k v k v
+ + + = Planteando la ecuación vectorial, adaptando al caso de dos vectores.
1 1 2 2 0
k v k v
+ =
( ) ( ) ( )
1 2
1,3 2,7 0,0
k k
+ = Efectuando operaciones.
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 ,3 2 ,7 0,0
k k k k
+ = Para que se cumpla la igualdad, los componentes correspondientes deben
ser iguales, esto determina un sistema lineal.
( ) ( )
1 2 1 2
2 ,3 7 0,0
k k k k
+ + =
1 2 1 2 1
1 2 2 2
2 0 2 0 0
3 7 0 0 0
k k k k k
k k k k
+ = + = =
  
 
  
+ = = =
  
Resolviendo el sistema, la única solución es 1 2 0
k k
= = . Por tanto, el conjunto de vectores S es linealmente
independiente.
Ejemplo 05. Si ( )
1 1,2,1
v = ; ( )
2 2,5,3
v = ; ( )
3 3,9,6
v = . Verificar si S es conjunto independiente o
dependiente.  
1 2 3
, ,
S v v v
= .
Solución:
Teorema 01. Si 1 2
, ,..., r
v v v son vectores del espacio vectorial V entonces:
A) El conjunto de todos los vectores de V que se obtienen como combinación lineal de 1 2
, ,..., r
v v v
constituyen un subespacio W de V.
B) W es el subespacio más pequeño de V que contiene a 1 2
, ,..., r
v v v , en el sentido de que cualquier
otro subespacio que incluya a 1 2
, ,..., r
v v v , contendrá también a W.
Definición 04. Si a partir de un conjunto de vectores  
1 2
, ,..., r
S v v v
= , se plantea la ecuación:
1 1 2 2, ... 0
r r
k v k v k v
+ + + =

6. SEMANA N° 10 – Álgebra Lineal
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Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
1 1 2 2, ... 0
r r
k v k v k v
+ + + = Planteando la definición, adaptando al caso de tres vectores.
1 1 2 2 3 3 0
k v k v k v
+ + =
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1,2,1 2,5,3 3,9,6 0,0,0
k k k
+ + = Para que se cumpla la igualdad, se plantea un sistema lineal.
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 ,2 ,1 2 ,5 ,3 3 ,9 ,6 0,0,0
k k k k k k k k k
+ + =
( ) ( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 ,2 5 9 ,1 3 6 0,0,0
k k k k k k k k k
+ + + + + + =
1 2 3 1 2 3
1 2 3 2 3
1 2 3 2 3
2 3 0 2 3 0
2 5 9 0 3 0
3 6 0 3 0
k k k k k k
k k k k k
k k k k k
+ + = + + =
 
 
+ + =  + =
 
 
+ + = + =
 
Resolviendo el sistema, existen infinitas soluciones (Se las obtiene asignado valores arbitrarios en t )
( )
3 2 1
1 2 3
2 3
; 3 ; 3
2 3 0
3 0 3 , 3 ,
k t k t k t
k k k
k k t t t
= = − =
+ + = 
 

 
+ = −

 
Por tanto, el conjunto de vectores S es linealmente dependiente (L.D.)
Si: ( )
1 3, 3,1
t =  − ; Si: ( )
2 6, 6,2
t =  − Calculando dos de las infinitas soluciones para los k .
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1,2,1 2,5,3 3,9,6 0,0,0
k k k
+ + =
( ) ( ) ( ) ( )
6 1,2,1 ( 6) 2,5,3 1 3,9,6 0,0,0
+ − + = Reemplaza los valores de k en la ecuación vectorial.
( ) ( )
0,0,0 0,0,0
=
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1,2,1 2,5,3 3,9,6 0,0,0
k k k
+ + =
( ) ( ) ( ) ( )
3 1,2,1 ( 3) 2,5,3 1 3,9,6 0,0,0
+ − + =
( ) ( )
0,0,0 0,0,0
=
Se aprecia que se cumple la igualdad. Por tanto, se verifica que existen infinitos modos de lograr la igualdad.
En la práctica para determinar si un conjunto S de n vectores de n
R es linealmente independientes deberán
usarse los teoremas de dependencia lineal. TEO 02 que permiten el uso de matrices.
Pueden usarse también los conceptos de sistemas lineales homogéneos.
Ejemplo 06. Calcular si el conjunto S es L.I. o L.D.:  
1 2 3
, ,
S v v v
= donde los vectores son:
( )
1 1,3,4
v = ; ( )
2 5,16,22
v = ; ( )
3 2,9,15
v = .
Solución:
1 1 2 2, ... 0
r r
k v k v k v
+ + + = Planteando la ecuación vectorial y efectuando operaciones.
1 1 2 2 3 3 0
k v k v k v
+ + =
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1,3,4 5,16,22 2,9,15 0,0,0
k k k
+ + =
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 ,3 ,4 5 ,16 ,22 2 ,9 ,15 0,0,0
k k k k k k k k k
+ + =
( ) ( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
5 2 ,3 16 9 ,4 22 15 0,0,0
k k k k k k k k k
+ + + + + + =
Para que se cumpla la igualdad, se determina un sistema lineal.

7. SEMANA N° 10 – Álgebra Lineal
6
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Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 5 2
5 2 0
3 16 9
3 16 9 0
4 22 15
4 22 15 0
0
k k k
A
k k k
k k k
A
  
+ + =
   
=
   
+ + = 
   
 
 
+ + =
  

obteniendo la Matriz del sistema.
Su determinante es diferente de cero, por tanto, el sistema solo posee la solución trivial.
Resolviendo se verifica lo anterior.
1
2
3
1 5 2 1 5 2 0
0 1 3 0 1 3 0
0 2 7 0 0 1 0
k
k
k
=
   
   
=  =
   
    =
   
El conjunto de vectores e L.I.
Ejemplo 07:
a) Calcular si son L.I. entre si las siguientes Matrices:
1 0
1 1
A
 
=  
 
;
1 1
0 1
B
 
=  
 
Solución:
1 1 2 2, ... 0
r r
k v k v k v
+ + + = Planteando la ecuación de definición de la independencia lineal.
1 2 0
k A k B
+ = Adecuando la definición al caso de Matrices.
1 2
1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 0 0
k k
     
+ =
     
     
1 2 2
1 1 2
0 0 0
0 0 0
k k k
k k k
     
+ =
     
 
   
Efectuando la operación de suma de matrices
1 2 2
1 1 2
0 0
0 0
k k k
k k k
+
   
=
   
+  
 
Para que se cumpla la igualdad entre matrices los elementos
correspondientes deben ser iguales ente sí.
1 2
2
1
1 2
0 1 1
0 0 1
0 1 0
1 1
0
k k
k
A
k
k k
+ =
  
  
=
  
 =

 
=

 
 + =  

Así se determina un sistema de cuatro ecuaciones con dos variables.
1
2
1 1
1 1
0
0 1 1 1
0 1
0
0 1 0 1
0 0
0 0
k
k
 
 
  =
 
 
  = = 
 
 
  =
−  
 
   
 
A partir de la matriz del sistema, se determina la solución que es única.
Por tanto, las matrices A y B son L.I.
b) Calcular si las matrices son L.I.:
1 4
3 2
A
 
=  
 
;
1 5
5 5
B
 
=  
 
;
1 6
8 11
C
 
=  
 
;
1 1
1 6
D
 
=  
 

8. SEMANA N° 10 – Álgebra Lineal
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Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Solución:
1 1 2 2, ... 0
r r
k v k v k v
+ + + = Planteando la ecuación de definición de la independencia lineal.
1 2 3 4 0
k A k C k D k D
+ + + =
1 2 3 4
1 4 1 5 1 6 1 1 0 0
3 2 5 5 8 11 1 6 0 0
k k k k
         
+ + + =
         
         
Efectuando operaciones de escalar por matriz y
suma de matrices
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
4 5 6 0 0
3 5 8 2 5 11 6 0 0
k k k k k k k k
k k k k k k k k
+ + + + + +
   
=
   
+ + + + + +  
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0 1 1 1 1
4 5 6 0 4 5 6 1
3 5 8 0 3 5 8 1
2 5 11 6
2 5 11 6 0
k k k k
k k k k
A
k k k k
k k k k
+ + + =
  
  
+ + + =
  
 =

 
+ + + =

 
 + + + =  

1
2
3
4
0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
0
0 2 5 2 0 0 1 4 0 0 1 4
0
0 3 9 4 0 0 3 13 0 0 0 1
k
k
k
k
=
     
      =
− − −
     
= = 
      =
−
     
=
     
La solución es única (solución trivial)
Entonces el conjunto de matrices es L.I.
Ejemplo 08. Si V e un espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2 sobre R determinar si
 
1 2 3
, ,
S v v v
= es L.I. o L.D. Donde los vectores son: 2
1 1 2
v t t
= + − ; 2
2 3 8 5
v t t
= + + ; 2
3 2 9 2
v t t
= + + .
Solución:
1 1 2 2, ... 0
r r
k v k v k v
+ + + = Por la definición, adaptado al caso de tres vectores.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3
1 2 3 8 5 4 9 2 0
k t t k t t k t t
+ − + + + + + + =
( ) ( ) ( ) 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 2 8 9 5 2 0
k k k k k k t k k k t
+ + + + + + − + + =
1 2 3
1 2 3 1
1 2 3 2 3 2
3
1 2 3
3
3 4 0
4 0 0
1
2 8 9 0 0 0
2
0
5 2 0
0
k k k
k k k k
k k k k k k
k
k k k
k
+ + =

+ + = =
 
 
+ + =  + =  =
 
  =
− + + =
 =


Planteando y resolviendo el sistema.
Por tanto, Son L.I.
Teoremas de dependencia lineal
Teorema 02. Si  
1 2
, ,..., r
S v v v
= es un conjunto de r vectores en n
R . Si r n
 entonces S es linealmente
dependiente.

9. SEMANA N° 10 – Álgebra Lineal
8
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Esto significa que si en el conjunto S hay más vectores (r) que su número de componentes (n) entonces
necesariamente los vectores son L.D.
Sin embargo, si hay menor vectores (r) que su número de componentes (n), los vectores pueden ser L.I o L.D.
Teorema 03. Dos vectores son L.D, si uno de ellos es proporcional al otro.
Ejemplo 09:
a) Se determina si los vectores de 3
R son L.I. ( )
2,3,4 ; ( )
5,6,7 ; ( )
0, 1,5
− ; ( )
9,8,0
El número de vectores: 4
r = , el número de componentes es: 3
n = ; entonces se verifica que: r n
 ; por lo
tanto, los vectores son L.D. (Ver TEO 02)
b) se termina si los vectores de 3
R son L.I. ( )
1,3,2 ; ( )
3,9,6
Se aprecia claramente que el segundo vector es el triple del primero, es decir entre ambos son proporcionales
2 1
v kv
= . Por tanto, los vectores son L.D. (Ver TEO 03)
Ejemplo 10:
a) Calcular si los vectores de 3
R son L.I. ( )
1,3,2 ; ( )
2,7,5
1 1 2 2, ... 0
r r
k v k v k v
+ + + = De acuerdo a la definición, los vectores son L.I. ya que la solución del sistema es
única.
Solución:
1 1 2 2 3 3
, 0
k v k v k v
+ + =
( ) ( ) ( )
1 2
1,3,2 2,7,5 0,0,
k k
+ =
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 ,3 ,2 2 ,7 ,5 0,0,
k k k k k k
+ =
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 2 ,3 7 ,2 5 0,0,
k k k k k k
+ + + =
1 2 1
1 2
2
1 2
2 0
3 7 0
2 5 0 2
k k k t
k k t
k
k k
+ =
 =

 
+ = 
 
= −
 
+ = 

Si el número de vectores (r) es menor al número de componentes (n) no existe una conclusión anticipada. En
este caso son L.D.
Teorema 04. Si  
1 2
, ,..., r
S v v v
= con 2
r  y todos los vectores 0
i
v  , entonces
T-A) S es L.D. si y solo si al menos uno de sus vectores es L.D. de los restantes vectores.
T-B) Cualquier conjunto S que incluya al vector cero 0 es L.D.
T-C)  
1
S v
= es L.I. si y solo sí 0
i
v  .
T-D) Si v es L.D. de  
1 2
, ,..., ,...,
f r
S v v v v
= y si uno de los vectores f
v de S es L.D. de los restantes es
de decir de:  
1 2
, ,..., r
S v v v
 = , entonces v es L.D. de S .
T-E) Cada subconjunto de un conjunto L.I es L.I.
T-E) Si S es un conjunto finito de vectores y que algún subconjunto 0
S de S es L.D., entonces S es L.D.
La demostración de este teorema en todos sus casos se basa en las definiciones de L.I. y de L.D.

10. SEMANA N° 10 – Álgebra Lineal
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Es importante mencionar que con los conceptos de espacio fila y espacio columna a analizarse más luego en
esta unidad, será más rápida y directa la determinante de la independencia o dependencia lineal. Ya que en
forma inmediata se podrán emplear matrices.
Ejemplo 11. Calcular si los siguientes conjuntos de vectores son L.D. o L.I.
A) ( )
2, 7
− ; ( )
4;14
−
Se aprecia claramente que el segundo vector es el opuesto del doble del primero, es decir entre ambos
vectores son proporcionales. Por tanto, son L.D. (TEO 03).
B) ( )
1,0,0,7 ; ( )
3,0,4,0 ;( )
0,0,0,0 ;( )
0,2,1,0
Uno de los vectores es el vector cero, por tanto, son L.D.
C) 2
1 2 4
x x
+ + ; 2
3 2
x x
+ + ; 2
5 2x x
+ + ; 2
7 2x x
+ +
Los polinomios son de 2
P (Grado 2), sus correspondientes vectores serán de tres componentes, al
presentarse en este caso más de tres polinomios, estos son L.D.
D)
1 3
2 1
A
 
=  
 
;
6 9
3 6
B
 
=  
 
;
4 6
2 4
C
 
=  
 
A simple vista se aprecia que la matriz C es proporcional a la matriz B, por tanto, son L.D.
3.3. Bases
Se puede interpretar a una Base como un conjunto de vectores S que están dentro de un espacio vectorial V
y que por combinación lineal determinan a todos los demás vectores de V.
Ejemplo 12. Para el espacio vectorial V de vectores en 2
R una base está dada por  
,
S i j
= donde S esta
dado por los vectores ( )
1,0
i = ; ( )
0,1
i = que son L.I.
S es L.I. como fácilmente se puede demostrar.
S genera a V, ya que todo vector de 2
R puede expresarse como:
1 2
v k i k j
= + Expresando un vector como la combinación lineal de los vectores de la Base.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1,0 0,1 ,0 0, ,
k k k k k k
= + = + =
Po tanto todo vector v es generado por los vectores de S. entonces S es una base de V.
Ejemplo 13. Una Base por los vectores de 3
R esta dada por:  
1 2 3
, ,
S v v v
= donde los vectores están dados
por: ( )
1 1,3,2
v = ; ( )
2 2,7,7
v = ; ( )
3 1,5,9
v = .
Solución:
1 1 2 2 ... 0
r r
k v k v k v
+ + + = Verificando previamente los vectores son L.I.
Definición 06. Si V es un espacio vectorial,  
1 2
, ,..., r
S v v v
= es un conjunto finito de vectores de V,
entonces S se llamará Base de V si cumple con:
i) S es linealmente independiente.
ii) S genera a V.

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( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1,3,2 2,7,7 1,5,9 0,0,0
k k k
+ + =
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 ,3 ,2 2 ,7 ,7 1 ,5 ,9 0,0,0
k k k k k k k k k
+ + =
( ) ( )
1 2 3 1 2 1 2 3
1 2 1 ,3 7 ,2 7 9 0,0,0
k k k k k k k k
+ + + + + =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 1 0 1 2 1
3 7 5 0 3 7 5 0
2 7 9
2 7 9 0
k k k
k k k A A
k k k
+ + =
  
  
+ + =  =  
  
  
+ + =  

Determinante diferente de cero, entonces el sistema tiene otra solución. El conjunto de vectores es L.I.
1
2
3
1 2 1 1 2 1 1 2 1 0
3 7 5 0 1 2 0 1 2 0
2 7 9 0 3 7 0 0 1 0
k
k
k
=
     
     
= =  =
     
      =
     
Base Estándar
Se llama Base estándar de los vectores de n
R a los vectores  
1 2 3
, , ,..., n
e e e e , donde se verifica que:
 
1 1,0,0,...,0
e = ;  
2 0,1,0,...,0
e = ;  
3 0,0,1,...,0
e = ;  
0,0,0,...,1
n
e = .
Efectivamente estos vectores constituyen una Base para n
R , porque son L.I. y generan a n
R .
Ejemplo 14. Por ejemplo, en el caso de 2
R la Base estándar es:  
1 2
,
e e ; donde  
1 1,0
e = ;  
2 0,1
e = .
Por ejemplo, en el caso de 3
R la Base estándar es: 
1 2 3
, ,
e e e ; donde  
1 1,0,0
e = ;  
2 0,1,0
e = ;
 
3 0,0,1
e = .
Para el caso especial de 2
R en aplicaciones geométricas a su Base  
1 2
,
e e se la designa también por  
,
i j
. Para el caso especial de 3
R en aplicaciones geométricas a su Base  
1 2 3
, ,
e e e se la designa también por
 
, ,
i j k .
Sin embargo, de ninguna manera estas son las únicas bases, ya que cualquier conjunto de n vectores puede
constituirse en una Base de n
R si satisface a las condiciones de definición. (Por ejemplo, S del Ej.5-13).
Teoremas de Bases
Teorema 05. Si un conjunto S de n vectores es una Base de V, entonces todo conjunto con más de n vectores
será linealmente dependiente.
Teorema 06. Dos bases diferentes de un espacio vectorial de dimensión finita, poseen el mismo número de
vectores.
Ejemplo 15. Verificar que una Base para las matrices de 2 2
 esta dada por:  
1 2 3 4
, , ,
S A A A A
= , donde las
matrices son:
1
1 0
0 0
A
 
=  
 
; 2
0 1
0 0
A
 
=  
 
; 3
0 0
1 0
A
 
=  
 
; 4
0 0
0 1
A
 
=  
 
Solución:

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1 1 2 2, ... 0
r r
k v k v k v
+ + + = Verificando previamente que los vectores son L.I.
1 1 2 2 3 3 4 4 0
k A k A k A k A
+ + + =
1 2 3 4
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
k k k k
         
+ + + =
         
         
1 2
3 4
0 0
0 0
k k
k k
   
=
   
 
 
 1 0
k = ; 2 0
k = ; 3 0
k = ; 4 0
k = El conjunto S es L.I.
1 1 2 2 3 3 4 4
B k A k A k A k A
= + + + Para verificar que S genera a cualquier matriz de 2 2
 , se plantea la
ecuación.
1 2
11 12
3 4
21 22
k k
b b
k k
b b
 
 
=  
 
   
Por tanto, asignando valores en 1
k se obtiene cualquier matriz de 2 2
 .
3.4. Dimensión
El espacio vectorial cero, posee dimensión cero.
Ejemplo 16. Si 3
R es un espacio vectorial, entonces su dimensión es 3. Como ya se analizó antes para generar
a los vectores de 3
R , se precisan de al menos de tres vectores también de a tres componentes.
Teorema 07. S i S es un conjunto de n vectores linealmente independientes, en un espacio vectorial V de
dimensión n, entonces S es una Base de V.
Teorema 08. Si S es un conjunto de n vectores que genera un espacio vectorial V de dimensión n, entonces
S es una Base para V.
Teorema 09. Si S es un conjunto de r vectores linealmente independientes, en un espacio vectorial V de
dimensión n, si r n
 entonces se puede agregar vectores a S, hasta formar una Base para V.
Ejemplo 17. Hallar una Base para las soluciones del sistema lineal homogéneo:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
2 4 5 0
2 3 5 6 0
4 5 7 8 0
3 2 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
+ + − =
− − − + =
+ + − =
+ + =
Solución:
Resolviendo este sistema se logra una solución en términos de t,s de la forma indicada.
Escribiendo la solución como vectores columna y ordenado de acuerdo a propiedades de operaciones.
Definición 07. La Dimensión de un espacio vectorial V de dimensión finita, es el número de vectores
que constituye una Base para V.

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1 1
2 2
3
3
4
4
2 3 2 3 2 3
3 4 3 4 3 4
0 1 0
0 0 1
x t s x t s
x t s x t s
t s
x
x t t
x s
x s
= − − −
          
          
= − + − −
          
 = + = +

         
=

         
 =        
 

1 2
x tv sv
 = + ;  
1 2, 3,1,0
T
v = − ;  
2 3,4,0,1
T
v = −
Se aprecia que la Base está constituida por dos vectores, entonces su dimensión es 2.
(Recuerde que el simbolismo  
...
T
, significa la transpuesta de la matriz, logrando así escribir en línea a un
vector columna).
En el caso de sistemas lineales homogéneos, es posible indicar la dimensión simplemente observando el
número de variables libres o variables en términos de las cuales se expresa la solución del sistema.
En el ejemplo anterior la dimensión es 2, porque la solución se expresa en términos de dos variables (t,s)
4. GLOSARIO
• Cuerpos. Un cuerpo es un anillo unitario en el que todos los elementos excepto el neutro de la primera
operación tienen elemento simétrico con respecto de la segunda. Si el anillo es además abeliano, el
cuerpo también.
5. REFERENCIAS
− Espinoza Ramos, E. (2008). Vectores y Matrices. Lima: Edukperu.
− Vera Gutierrez, C. (2003). Matématica Básica. Lima: Moshera.