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1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • SEMANA 07 CLASE 02
Semestre 2022-A Departamento de Formación Básica
4. ESPACIOS VECTORIALES
4.4 Combinación lineal y cápsula
Sean (E, +, ·, K) un espacio vectorial, k ∈ N∗ y v1, v2, . . . , vk ∈ E. Se dice que
un vector v ∈ E es una combinación lineal de v1, v2, . . . , vk si
v = α1v1 + α2v2 + · · · + αkvk
para algunos α1, α2, . . . , αk ∈ K.
DEFINICIÓN 1: Combinación lineal
DEFINICIÓN 1: Combinación lineal
EJEMPLO 1. En el espacio vectorial (R2, +, ·, R) con las operaciones usuales, sean
u, v, w ∈ R2 donde u = (1, 2), v = (2, 4) y w = (0, 0), se tiene que
u =
1
2
v + 5w, (1)
esto implica que u es combinación lineal de v y de w donde se han utilizado los
escalares α1 =
1
2
y α2 = 5.
Además,
w = 2u − v, (2)
entonces w es combinación lineal de u y de v donde se han utilizado los escalares
α1 = 2 y α2 = −1.
EJERCICIO 1. En el espacio vectorial (R3, +, ·, R) con las operaciones usuales,
sean v1 = (3, 0, −2), v2 = (2, −1, −5)} y v = (1, −2, −5).
1. ¿Para qué valores de k el vector (1, −2, k), se expresa como combinación
lineal de v1 y v2?
2. ¿Se puede expresar v como combinación lineal de v1 y v2?
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2. Departamento de Formación Básica Semana 07 Clase 02
Sean (E, +, ·, K) un espacio vectorial, k ∈ N∗ y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆ E. Al
conjunto de todos los vectores en E que son combinaciones lineales de los
vectores de S se lo llama cápsula de S y se denota por span(S), es decir
span(S) = {α1v1 + α2v2 + · · · + αkvk : α1, α2, . . . , αk ∈ K}.
DEFINICIÓN 2
DEFINICIÓN 2
A este conjunto también se lo conoce como cápsula lineal y su notación viene
de su nombre en inglés, linear span. También se utiliza la notación hSi.
EJEMPLO 2. En el espacio vectorial (R2, +, ·, R) con las operaciones usuales, sean
v1, v2 ∈ R2 donde v1 = (2, 3) y v2 = (4, 6). Se define el conjunto S = {v1, v2} su
cápsula lineal está dada por:
span(S) = {(x, y) ∈ R2
: (x, y) = α1v1 + α2v2, α1, α2 ∈ R}
= {(x, y) ∈ R2
: (x, y) = α1(2, 3) + α2(4, 6), α1, α2 ∈ R}
= {(x, y) ∈ R2
: (x, y) = (2α1, 3α1) + (4α2, 6α2), α1, α2 ∈ R}
= {(x, y) ∈ R2
: (x, y) = (2α1 + 4α2, 3α1 + 6α2), α1, α2 ∈ R}
= {(x, y) ∈ R2
: 2α1 + 4α2 = x, 3α1 + 6α2 = y, α1, α2 ∈ R}
= {(x, y) ∈ R2
: 3x − 2y = 0}.
En efecto, sea (x, y) ∈ R2 se tiene que (x, y) ∈ span(S) si y solo si se verifica el
sistema de ecuaciones lineales
(
2α1 + 4α2 = x
3α1 + 6α2 = y
donde α1, α2 ∈ R. La matriz ampliada del sistema verifica la equivalencia siguien-
te:
2 4 x
3 6 y
!
∼
2 4 x
0 0 −3x + 2y
!
.
Luego, para que el sistema tenga solución se debe tener que −3x + 2y = 0, lo que
implica que:
span(S) = {(x, y) ∈ R2
: 3x − 2y = 0}.
EJERCICIO 2. En el espacio vectorial (R3, +, ·, R) encontrar la cápsula del conjun-
to
S = {(1, −1, 0), (−2, 3, −1), (2, 1, −3)}.
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3. Semana 07 Clase 02 Departamento de Formación Básica
Sean (E, +, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E. Se tiene que span(S) es un
subespacio vectorial de E.
TEOREMA 1
TEOREMA 1
4.5 Conjunto generador
Sean (E, +, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E. Al subespacio vectorial más
pequeño que contiene a S (es decir, la intersección de todos los subespacios
que contienen a S) se lo denomina espacio generado por S y se denota por
gen(S).
DEFINICIÓN 3
DEFINICIÓN 3
OBSERVACIÓN 1. Si S = ∅, definimos gen(∅) = {0E}.
PROPOSICIÓN 2. Sean (E, +, ·, K) un espacio vectorial y S ⊆ E. Se tiene que
span(S) = gen(S).
OBSERVACIÓN 2. Si S = ∅, entonces span(∅) = gen(∅) = {0E}.
Sean (E, +, ·, K) un espacio vectorial, k ∈ N∗ y S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆ E.
Se dice que S genera el espacio vectorial E si cada vector en E es una com-
binación lineal de los elementos de S, es decir, si para todo v ∈ E, existen
α1, α2, . . . , αk ∈ K tales que
v = α1v1 + α2v2 + · · · + αkvk.
DEFINICIÓN 4
DEFINICIÓN 4
EJEMPLO 3. En el espacio vectorial (R2, +, ·, R) con las operaciones usuales, con-
sidere el conjunto S = {(1, 0), (0, 2)}. Tenemos que S genera el espacio vectorial
R2. En efecto, sean (x, y) ∈ R2 y α1, α2 ∈ R tal que (x, y) es combinación lineal de
los elementos de S, es decir:
α1(1, 0) + α2(0, 2) = (x, y)
o equivalentemente
(α1, 2α2) = (x, y).
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4. Departamento de Formación Básica Semana 07 Clase 02
Igualando ambos vectores se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
(
α1 = x
2α2 = y
este sistema tiene solución única α1 = x y α2 =
y
2
. Por lo tanto, cada vector de R2
se puede escribir como combinación lineal de los elementos de S. Por ejemplo, el
vector v = (−1, 4) ∈ R2 se puede escribir como:
(−1, 4) = (−1)(1, 0) +
4
2
(0, 2).
Finalmente, notemos que gen(S) = R2.
EJERCICIO 3. En el espacio vectorial (R1[t], +, ·, R) con las operaciones usuales,
considere el subconjunto S = {1, −t} verifique que S genera R1[t].
PROPOSICIÓN 3. Sean (E, +, ·, K) un espacio vectorial, k ∈ N∗ y
S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆ E.
Se tiene que S genera el espacio vectorial E si y solo si
E = gen(S) = span(S).
EJEMPLO 4. En el espacio vectorial (R2, +, ·, R) con las operaciones usuales, dado
el conjunto S = {u1} = {(2, 3)} se tiene que el espacio generado por S está dada
por gen(S) = span(S) = {(x, y) ∈ R2 : 3x − 2y = 0}, además, el espacio genera-
do se representa gráficamente como una recta en el plano, en la figura 1 se puede
observar a dicho espacio.
EJEMPLO 5. En el espacio vectorial (R3, +, ·, R) con las operaciones usuales, dado
el conjunto S = {v1, v2} = {(0, 2, 2), (0, 1, −2)} se tiene que el espacio generado
por S está dado por gen(S) = span(S) = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0}, además, el
espacio generado se representa gráficamente como un plano en el espacio, en la
figura 2 se puede observar a dicho espacio.
OBSERVACIÓN 3. Un espacio vectorial puede ser generado por distintos conjun-
tos. Por ejemplo, el espacio R2 está generado por los conjuntos {(1, 0), (0, 1)},
{(1, 1), (1, −1)}, {(1, 2), (2, −1), (4, 3)} y {(0, 0), (1, 2), (4, 5), (5, 7), (−3, −3)}, en-
tre otros.
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5. Semana 07 Clase 02 Departamento de Formación Básica
Figura 1: Espacio generado por S = {u1}.
Figura 2: Espacio generado por S = {v1, v2}.
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6. Departamento de Formación Básica Semana 07 Clase 02
PROPOSICIÓN 4. Sean (E, +, ·, K) un espacio vectorial, k ∈ N∗ y
S = {v1, v2, . . . , vk} ⊆ E. Si algún vj es combinación lineal de los demás
elementos de S, entonces
span(S) = span{v1, v2, . . . , vj−1, vj+1, . . . , vk}.
EJEMPLO 6. En el espacio vectorial (R2, +, ·, R) con las operaciones usuales, con-
sidere el subconjunto:
S = {(2, −2), (1, 0), (3, 2), (0, 2)}.
Notemos que se tiene la siguiente combinación lineal:
(3, 2) = 0(2, −2) + 3(1, 0) + (0, 2),
lo que junto con la proposición 4 implica que:
span(S) = span{(2, −2), (1, 0)(0, 2)}.
Además, notemos que dado que se tiene a la combinación lineal:
(2, −2) = 2(1, 0) − (0, 2),
por la proposición 4 se tiene que:
span(S) = span{(1, 0)(0, 2)}.
Considerando al ejemplo 3 y a la proposición 2 se concluye que:
span(S) = R2
.
EJERCICIO 4. En el espacio vectorial (R2[t], +, ·, R) con las operaciones usuales,
considere el subconjunto:
S = {1, t, t2
, 1 − 2t}.
Verifique que existe algún vj combinación lineal de los demás elementos de S tal
que:
span(S) = span({vk ∈ S : k 6= j}).
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