1. Por tanto, tan sólo hay dos vectores independientes, el rango de S es 2.
1º PROBLEMA TIPO:
1º.- En el espacio vectorial (R4
,+,.R) se considera el conjunto de vectores S={(-2,0,1,-1), (1,-
1,2,0), (0,-2,5,-1),(5,-1,0,2)}. Se pide:
a) El rango de S.
b) El subespacio engendrado por S.
c) Una base del mismo, BL(S)
d) Dimensión de L(S), dimL(S)
e) Ecuaciones de L(S)
f) Ver si el vector (-8,2,-1,-3) pertenece a dicho subespacio vectorial.
Solución.
a) El rango de un conjunto de vectores es el número máximo de vectores linealmente
independientes. El método más eficaz para estudiar el rango de un conjunto de vectores es
el de hallar el rango de la matriz formada por dichos vectores. Sabemos que el rango de una
matriz nos indica el nº de filas o columnas linealmente independiente:
−
−−
=
−
−
−
−−
0211
1102
2015
1520
0211
1102
rgrg =2 los vectores 1º y 2º son indep
F
3
=F
1
+2F
2 El 3º y 4º dependen de 1º y 2
F
4
=-2F
1
+F
2
Otro método es aplicar la definición de linealmente dep. o indep., es decir, tomar una
combinación lineal de ellos igualada al vector nulo y hallamos los coeficientes de dicha
combinación:
a.(-2,0,1,-1)+b(1,-1,2,0)+c(0,-2,5,1)+d(5,-1,0,2) = (0,0,0,0)
si a=b=c=d=0 los vectores son linealmente independiente. Si alguno de ellos es
distinto de cero, serían linealmente dependiente.
Otro método es estudiar la dependencia uno a uno:
- Los dos primeros vectores son independientes, pues
0
1
2
1
1
0
1
2 −
≠≠≠
−
- Veamos si el tercero depende de los dos primeros.
(0,-2,5,-1) = 1(-2,0,1,-1)+2(1,-1,2,0) el 3º dep. del 1º y 2º
- Veamos si el cuarto depende de los dos primeros.
(5,-1,0,2) = -2(-2,0,1,-1)+1(1,-1,2,0) el 4º ep. Del 1º y 2º
2. b) Sabemos que el conjunto de vectores S es sistema generador de L(S) y hay un corolario que
nos dice que si en un sistema generador de un subespacio vectorial eliminamos los vectores
dependientes, el conjunto resultante sigue siendo sistema generador de L(S) y además base
del mismo pues está formado por vectores independientes
L(S) = {a(-2,0,1,-1)+b(1,-1,2,0) / a, b ∈ R}
c) Una base de este subespacio es el conjunto formado por los vectores independientes.
Luego una base de L(S) sería
B= {(-2,0,1,-1),(1,-1,2,0)}
d) dimL(S)=2
L(S) = {a(-2,0,1,-1)+b(1,-1,2,0) / a, b ∈ R}={ }
=−+
=++
∈=∈−+−+−
02
025
/),,,(,/),2,,2( 4
tyx
zyx
RtzyxRbaababba
e) Para hallar las ecuaciones de L(S), lo primero es averiguar el número de ecuaciones. Para
ello aplicamos el corolario que nos dice
dimV = dim L(S) + nº ecuaciones L(S)
en nuestro caso L(S) va a tener 2 ecuaciones.
Para hallarlas procedemos de la siguiente forma:
Imponemos que 2
0211
1102 =
−
−−
tzyx
rg que es la dim L(S)
Una matriz tiene rango 2 si existe un menor de orden dos distinto de cero
≠
−
−
0
11
02
y todos los menores de orden 3 son nulos:
020
011
102
0250
211
102
=+−−⇒=
−
−−
=++⇒=
−
−
tyx
tyx
zyx
zyx
Las ecuaciones de L(S) son:
=−+
=++
02
025
tyx
zyx
L(S) lo podemos representar de las siguientes formas:
3. cierto
=++−
=++−
0628
02108
(-8,2,-1,-3) )(SL∈
2º PROBLEMA TIPO:
Dado el subconjunto de R4
, }{ 0zy;0yx/R)t,z,y,x(A 4
=−=+∈= , contestar a los
siguientes apartados:
a) Demostrar si es un subespacio vectorial de R4
.
b) En caso afirmativo hallar ecuaciones, base y dimensión de dicho subespacio
vectorial.
c) Comprobar si el vector A,)0,2,2,2(u ∉∈−−=
→
a) }{ ⇒∈−= Rt,y/)t,y,y,y(A A tiene estructura de subespacio vectorial si
Rb,a
A)h,p,p,p(),t,y,y,y(
∈∀
∈−−∀
A?¿)h,p,p,p.(b)t,y,y,y.(a ∈−+−
Veamos si el vector resultante está en A
(-ay-bp,ay+bp,ay+bp,at+bt) A∈ A es subespacio vectorial.
b) Las ecuaciones del subespacio vectorial A son las condiciones de pertenencia a este
subespacio, es decir:
=−
=+
0zy
0yx
Para hallar la base del subespacio debemos saber primero el nº de vectores que debe
haber en dicha base, es decir, necesitamos dimA.
Sabemos que dado un espacio vectorial V y un subespacio vectorial A contenido en
V se cumple que
Dim V=dimA+nº ecuaciones de A
F) Para comprobar si un vector pertenece a L(S), tenemos dos vías:
1- Comprobar si el vector (-8,2,-1,-3) se puede poner en combinación lineal de los
vectores de la base de L(S)
(-8,2,-1,-3) = a(-2,0,1,-1)+b(1,-1,2,0) 2;3
3
12
2
82
−==⇒
−=−
−=+
=−
−=+−
ba
a
ba
b
ba
(-8,2,-1,-3) )(SL∈
2- Comprobando si el vector verifica las ecuaciones de L(s)
4. En nuestro caso como dim R4
= 4 y el nº de ecuaciones del subespacio A es 2
dimA=2 en cualquier base del subespacio A hay 2 vectores independientes.
Para hallar la base, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones del subespacio
=−
=+
0zy
0yx
SCI, tenemos dos ecuaciones y 4 incógnitas sobran dos incógnitas
=
=+
zy
0yx
Soluciones (-z,z,z,t) Rt,z ∈∀ (infinitas soluciones)
Como necesitamos dos soluciones damos valores a z y t
Para z=1, t=0 (-1,1,1,0)
Para z=0, t=1 (0,0,0,1) Base de A }{ )1,0,0,0(),0,1,1,1(B −=
A = )1,0,0,0(),0,1,1,1(L − subespacio engendrado por los vectores
}{ )1,0,0,0(),0,1,1,1( −
c) Para comprobar si un vector pertenece o no a un subespacio, podemos hacerlo por
dos vias;
1- Viendo si el vector se puede poner en combinación de los vectores de la base
(2,-2,-2,0) = a(-1,1,1,0)+b(0,0,0,1)
1b,2a
1b
2a
2a
2a
=−=⇒
=
−=
−=
=−
A)0,2,2,2( ∈−−
2- Viendo si el vector (2,-2,-2,0) verifica las ecuaciones de A
=−−
=−
0)2(.2
022
cierto
5. (1,1,-2,1)=a(2,1,0,1)+b(1,2,2,1) 1a;1b
1ba
2b2
1b2a
1ba2
=−=⇒
=+
−=
=+
=+
(1,1,-2,1)=1.(2,1,0,1)-1.
(1,2,2,1)
3º PROBLEMA TIPO:
Estudiar la dependencia e independencia de los vectores (m,1,0,1), (1,m,2,1), (1,1,-2,1) según
los valores del parámetro m. En caso de dependencia, hallar la relación
Recordar que para estudiar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores,
hallamos el rango de la matriz formada por dichos vectores. El rango de dicha matriz nos dice
el nº de vectores linealmente independiente y a la vez cuál o cuales dependen y de quiénes.
−
=
1211
12m1
101m
rg
m,2rgM0
12
10
m,1rgM01
∀≥⇒≠
∀≥⇒≠
m22
121
12m
101
4m4
121
121
10m
−=
−
−=
−
se anulan para m=2 si m=2 los
tres vectores son dependientes
si m 2≠ los tres vectores son independientes
Estudiemos la dependencia para m=2. Observando el menor que nos determina el rango de
la matriz, los vectores independientes en este caso son los dos primeros y es el tercero quien
depende de los dos primeros:
CUESTIONES:
Sea V un espacio vectorial de dimensión n.
a) ¿Qué quiere decir que dimV=n?
b) ¿Qué nos indica n?
c) ¿Cuál es el número máximo de vectores independientes que podemos encontrar
en V?
d) ¿Un conjunto de n vectores puede formar un sistema generador de V? y ¿base?.
e) ¿Un conjunto de más de n vectores puede formar un sistema generador de V? y
¿base?
f) ¿Un conjunto de menos de n vectores puede formar un sistema generador de V? y
¿base?
g) ¿Qué tienen que cumplir los vectores de un conjunto para que éste forme un
sistema generador deV?
h) Si me dicen que tenemos un conjunto de n vectores dependientes, ¿qué se
cumple?
6. ¿Qué se ha de cumplir para que el subespacio engendrado por {u,v} coincida con el
subespacio engendrado por {u,v,w}?
7. ¿Qué se ha de cumplir para que el subespacio engendrado por {u,v} coincida con el
subespacio engendrado por {u,v,w}?
