La historia de los números es muy antigua. Aparecieron los números desde que el ser humano necesitó palabras y símbolos para expresar cantidades, desde ese momento los números surgieron y se modificaron.

1. Historia de los números
Ivon Guerra, Karolina Luna, Milton Mañay, Dayana Palacios y Diego Pastillo.
Primer Semestre “A”.
5 de junio de 2021.
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA
EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES DE QUÍMICA Y
BIOLOGÍA.
BIOFÍSICA.

2. HISTORIA DE LOS
NÚMEROS
ORÍGENES PRIMITIVOS
- LOS NÚMEROS SON TAN ANTIGUOS COMO EL
PROPIO CONOCIMIENTO HUMANO
- A LO LARGO DE LA HISTORIA DE LA
HUMANIDAD HEMOS NECESITADO CONTAR
OBJETOS Y SERES, REPRESENTAR MEDIDAS
REALES CON SÍMBOLOS.
- LA INVENCIÓN DE LOS NÚMEROS TIENE UNA
BASE EMPÍRICAY SE DA POR
PREOCUPACIONES DE ORDEN PRÁCTICO Y
UTILITARIO.

3. UNO Y DOS LOS PRIMEROS NÚMEROS INVENTADOS
- EL SERES HUMANOS DE LAS ÉPOCAS MÁS REMOTAS DE
ESTA HISTORIA, NUESTRO LEJANO ANTEPASADO DEBÍA
DE PODER ESTABLECER UNA DIFERENCIA MUY CLARA
ENTRE LA UNIDAD, EL PAR Y LA PLURALIDAD.
- EL UNO ES, EN EFECTO, EL HOMBRE ACTIVO, ASOCIADO
A LA OBRA DE LA CREACIÓN.
- ES ÉL MISMO EN EL SENO DE UN GRUPO SOCIAL Y SU
PROPIA SOLEDAD FRENTE A LA VIDA Y A LA MUERTE.
- EL DOS, CORRESPONDE A LA EVIDENTE DUALIDAD DE LO
MASCULINO Y LO FEMENINO, A LA SIMETRÍA APARENTE
DEL CUERPO HUMANO.

4. • INCLUSO CONOCEMOS UNA ORTOGRAFÍA ATESTIGUADA EN
LAS INSCRIPCIONES PICTÓRICAS DEL EGIPTO DE LOS
FARAONES. ESTA CONSISTÍA EN REPETIR TRES VECES EL MISMO
JEROGLÍFICO (O TAMBIÉN AÑADIRLE TRES PEQUEÑOS TRAZOS
VERTICALES A LA IMAGEN CORRESPONDIENTE) NO SÓLO LO
HACÍAN PARA REPRESENTAR TRES EJEMPLARES DEL SER O DEL
OBJETO ASÍ FIGURADO SINO TAMBIÉN PARA INDICAR EL
PLURAL.

5. CONCEPTO
PRIMITIVO
DE NÚMERO
NATURAL
• EL CONCEPTO DE “NÚMERO” SE
DESARROLLÓ MUY LENTAMENTE.
• ESTABA ÍNTIMAMENTE LIGADO A LA VIDA
DIARIA EN TODOS SUS ASPECTOS.
• EL SER HUMANO PRIMITIVO, AL COMIENZO,
SOLAMENTE NECESITABA ALGUNOS
CUANTOS NÚMEROS, LOS CUALES
SIMBOLIZABAN MEDIANTE MARCAS EN
HUESOS O MADERAS.
• ANTIGUAMENTE, SE DEFINÍA LA
MATEMÁTICA COMO LA CIENCIA DEL
NÚMERO, LA MAGNITUD Y LA FORMA.

6. • ESTOS CONCEPTOS COMENZARON A DESARROLLARSE
PRIMERO A PARTIR DE DIFERENCIAS Y CONTRASTES
ENTRE ELEMENTOS DEL ENTORNO DEL HOMBRE
PRIMITIVO, Y LUEGO A PARTIR DE SEMEJANZAS.
• EL PRIMER PROCEDIMIENTO ARITMÉTICO DE LA
HISTORIA COMENZÓ CON EL ARTIFICIO QUE LLAMAMOS
CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA MIEMBRO A MIEMBRO.
• ESTE PROCEDIMIENTO PERMITÍAA CUALQUIER PERSONA
LA POSIBILIDAD DE COMPARAR DOS CONJUNTOS,
AUNQUE NO TUVIESEN LA MISMA NATURALEZA.
• SE EVITABAASÍ CONTAR DE FORMAABSTRACTA, YA QUE
NO SE SABÍA.

7. • MÁS TARDE, EL PROCESO DIALÉCTICO
ASCENDENTE DE PENSAMIENTO
CONSTATÓ QUE ENTRE CONJUNTOS
CON EL MISMO NÚMERO DE
ELEMENTOS HAY CIERTAS IGUALDADES
Y SEMEJANZAS.
• POR EJEMPLO, EL HOMBRE DIFERENCIÓ
ENTRE UN “LOBO” Y “MUCHOS LOBOS”,
PARA MÁS ADELANTE ESTABLECER
RELACIONES O EQUIVALENCIAS ENTRE
“UN LOBO”, “UN ARCO”, “UN
GUERRERO”, ETC
• MOMENTO EN EL CUAL TIENE SU
GÉNESIS EL CONCEPTO DE “UNIDAD”.

8. LENGUAJE Y ESCRITURA
NUMÉRICA PRIMITIVOS
• LA ESCRITURA NUMÉRICA APARECIÓ
INCLUSO ANTES QUE LA ESCRITURA
NORMAL, Y ANTES QUE EL LENGUAJE
HABLADO PARA CADA NÚMERO.
• SOBRE EL 40.000 A.C. SE PRODUJO EL
NACIMIENTO DE LA CULTURA DE LOS
NÚMEROS, ES DECIR, LA MENTE HUMANA
LLEGÓ A ESE PUNTO EN QUE ABSTRAJO
LA IDEA NUMÉRICA.
• EN UN PRINCIPIO, EL HOMBRE UTILIZÓ
PARA “CONTAR” OBJETOS DE LA PROPIA
NATURALEZA, MEDIANTE REITERACIÓN.

9. • TAMBIÉN SABEMOS QUE EL MÉTODO DE CALCULO DE LOS PRIMITIVOS CONSISTÍA
EN EL USO DE LOS DEDOS DE LAS MANOS PARA CONTAR Y ESO SE VE REFLEJO EN
LOS TIPOS DE SISTEMAS NUMÉRICOS CUYAS BASES SON DE CINCO Y DIEZ.
• LOS MONTONES ERAN GRUPOS DE CINCO O DIEZ PIEDRAS, LO CUAL SIGNIFICABA
QUE EMPEZABAN A UTILIZAR, SIN SABERLO, UN SISTEMA QUINARIO O DECIMAL,
COMO CONSECUENCIA DE CONTAR CON UNA O DOS MANOS
• MÁS ADELANTE, EL SER HUMANO APRENDIÓ A CONTAR DE DOS EN DOS, DE TRES EN
TRES, ETC., UTILIZANDO PIEDRAS EN OTROS MONTONES, QUE SIMBOLIZABAN
UNIDADES DE ORDEN SUPERIOR
• ERA LA PRIMERA SEMILLA DE LOS “SISTEMAS DE NUMERACIÓN”.

10. LOS SUMERIOS
• LA PRIMERA ESCRITURA CONOCIDAAPARECIÓ
POCO ANTES DE FINALES DEL IV MILENIO EN EL
PAÍS DE SUMER
• SITUADO EN LA BAJA MESOPOTAMIA, ENTRE
LAS CUENCAS INFERIORES DE LOS RÍOS TIGRIS Y
ÉUFRATES.
• LA ESCRITURA SE REALIZABA EN TABLILLAS DE
ARCILLA, QUE ERAN EL “PAPEL” DE LA ÉPOCA.
• ESAS TABLILLAS SE UTILIZABAN PARA
REALIZAR ANOTACIONES DE CANTIDADES
ASOCIADAS A DIVERSAS CLASES DE
MERCANCÍAS, SIENDO LAS PRIMERAS ACTAS
CONTABLES QUE SE CONOCEN.

11. • LOS SUMERIOS CONTABAN UTILIZANDO LA BASE 60
(SISTEMA SEXAGESIMAL) EN LUGAR DE LA BASE
QUINARIA O DECIMAL.
• ? LOS SUMERIOS ASIGNARON A CADA NUMERO DE
LA SERIE ANTERIOR (1, 10, 60, 600, 3600, 36000, 216000)
UN SÍMBOLO.
• AL PRINCIPIO, ENTRE LOS AÑOS 3.200 – 3.100 A.C. LAS
CIFRAS SE REPRESENTABAN MEDIANTE UNOS
SÍMBOLOS DISPUESTOS VERTICALMENTE.
• A PARIR DE LA PRIMERA MITAD DEL III MILENIO A.C.
CAMBIARON A UNA DISPOSICIÓN HORIZONTAL
• Y EN EL SIGLO XXVII A.C. APARECIÓ LA ESCRITURA
CUNEIFORME, DEBIDO SIMPLEMENTE A UN CAMBIO
EN EL INSTRUMENTO DE ESCRITURA.

13. Por semitas, se refiere a varios pueblos diferentes, como los acadios, los asirios, los
babilonios y otros más. Cuando estos pueblos llegaron a Sumeria, se produjo un
cambio en los sistemas de numeración. Se produjeron tres etapas fundamentales,
debido a que los semitas utilizaban un sistema decimal. La primera etapa corresponde
a una asimilación por los acadios de la cultura sumeria, adoptando el sistema
sexagesimal. En la segunda etapa, se produce la convivencia de los sistemas
sexagesimal y decimal. Y en la tercera etapa, se elimina por completo el sistema
sexagesimal.
•LOS SEMITAS

14. Casi al mismo tiempo que en Mesopotamia, los
egipcios inventaron un sistema de numeración,
hacia el 3.000 a.C. Aunque había contacto con
los sumerios, el sistema que se desarrolló no
fue tomado de ellos, sino que es autóctono de
los egipcios.
El sistema es decimal, aditivo mediante
jeroglíficos, no posicional, pudiendo
representar números superiores a 106 . De
hecho, poseían jeroglíficos para representar el 1
y las seis primeras potencias de 10.
Esta notación era una manera de representar por
escrito la forma de contar que tenían desde
épocas arcaicas.
•LOS EGIPCIOS

15. Esta notación era una manera de representar por escrito la forma de contar que tenían
desde épocas arcaicas. Consistía en escribir los números por alineación o acumulación
de objetos (piedras, conchas, guijarros, etc.) asociados cada uno de ellos al orden de la
unidad utilizada. El “palo” representaba la unidad; el “arco” la decena; el “lazo” la
centena; etc. En los jeroglíficos egipcios encontramos inscripciones que representan
fracciones unitarias, aquellas cuyo numerador es 1. Para representarlas se utilizaba un
jeroglífico con forma de “óvalo” situado encima del número que actúa como
denominador. Algunas fracciones, como ½ ó ¼, tenían símbolos especiales.

16. Los griegos fueron una de las primeras
civilizaciones que buscó el número perfecto. Los
números perfectos son aquellos en el que los
resultados de todas sus divisiones posibles,
sumarían el propio número. Es decir, los resultados
de las divisiones posibles del número 28 serían 14,
7, 4, 2 y 1. Al sumar estas cifras (los resultados de
sus posibles divisiones) nos sale el propio número,
28. Aunque parezca algo simple, pocos números los
cumplen. El primero es el 1, el segundo el 6, el
tercero el 28, el cuarto el 496, el quinto el 8.128 y
el sexto ya sería el 33.550.336. La fórmula para
hallar los números perfectos es 2n-1(2n-1) = N.
Los Griegos
(600 a.C.)

17. Si bien la civilización griega se distinguió por sus grandes pensadores y sus avances
en cuestiones políticas, sociales o filosóficas, el sistema numeral griego acusaba de
una excesiva rigidez que no lo hacía nada práctico para realizar cálculos aritméticos.
Por ello, la civilización griega no se caracteriza principalmente por sus aportes en
cuestiones matemáticas, aunque siempre hay excepciones.

18. LA NUMERACIÓN ÁTICA
El auge de la civilización Griega en el Mediterráneo, surgida en
estrecho contacto con los pueblos del norte del África y el Asia menor,
sirvió de vehículo transmisor hacia las culturas de occidente. Los
griegos aprendieron de los egipcios y de los fenicios, tomaron el diez
como número básico, su sistema de numeración era literal usando letras
del alfabeto como símbolos para los números. El primer sistema de
numeración utilizado por los griegos se llamó Ático y fue desarrollado
hacia el año 600 a. C., era de carácter aditivo en base diez. Para
representar la unidad y los números hasta el 4, empleaban trazos
verticales repetitivos, para el 5, 10 y 1000, su representación era la letra
correspondiente a la inicial de cada cifra, 5 (pente), 10 (deka), 1000
(khiloi).

19. LA NUMERACIÓN JÓNICA O ALFABÉTICA
El sistema Jónico o Alejandrino de numeración empleaba las
27 letras minúsculas del alfabeto, lo mismo que algunos
símbolos, como se muestra en la Figura; para escribir unas
cifras numéricas los números parecían palabras y las palabras
tenían un valor numérico. Este sistema literal era muy poco
flexible, por lo que resultaba bastante complicado hacer
operaciones aritméticas en griego, razón por la cual no tuvieron
una adecuada manera de representar los números, y les impidió
hacer mayores progresos en el cálculo matemático.

20. Este sistema numérico de los griegos, conocido como jónico,
consistía en asignar una letra a cada cifra de unidad, a cada
decena otra letra y a cada centena, otra letra.
Esto implicó el requerimiento de 27 letras, de modo que se
extendió el sistema griego de 24 letras, con tres letras ya
anticuadas: las llamadas digamma para el 6 (hoy se
usa stigma), qoppa para el 90 (hoy en día se utiliza el qoppa
numérico), y sampi para el 900.
SISTEMA DE
NUMERACIÓN
GRIEGA JÓNICA

21. Para distinguir los números de las letras,
colocamos un acento agudo al final de cada
grupo.
El sistema alfabético o jonio se basa en el
principio de la suma en el que los valores
numéricos de las letras se suman para formar el
total. Por ejemplo, el 241 se representa como
σμα´ (200 + 40 + 1).
Por otro lado, para representar números del
1 000 al 999 999 se utilizan las mismas letras
de las unidades, decenas y centenas, pero a
estas se les añade un acento agudo invertido o
una coma de modo que podamos distinguirlos.
Por ejemplo, el 2004 se representa como:
βδ´ (2000 + 4).
No se utiliza ningún símbolo para representar
el 0.

22. En el griego actual o en el griego moderno podemos utilizar minúsculas o
mayúsculas, y estas variarán dependiendo del contexto. Por ejemplo, cuando se usan
como cardinales aparecen casi exclusivamente en minúsculas (p. ej. ͵αωκγ΄, «1823»),
mientras que cuando se usan como ordinales se suelen utilizar en minúscula, mientras
que se utilizarán en mayúscula en nombres dinásticos (p. ej. Φίλιππος Βʹ) y en la
numeración de los capítulos de un libro. (Ruiz, 2020)
Ruiz, G. (1 de 09 de 2020). SOBREHISTORIA. Obtenido de https://sobrehistoria.com/los-numeros-griegos/

23. NUMERACIÓN ROMANA
• SISTEMA DE NUMERACIÓN SU DESARROLLÓ FUE
LA “ANTIGUA ROMA” Y SE UTILIZÓ EN TODO EL
IMPERIO ROMANO, SE UTILIZA EN ALGUNOS
ÁMBITOS EN LA ACTUALIDAD.
• “TODO SIGNO NUMÉRICO COLOCADO A LA
IZQUIERDA DE UNA CIFRA DE VALOR SUPERIOR
SE RESTA”
• SEGÚN ESTE SISTEMA DE NÚMEROS ROMANOS NO
PODRÍA LLEGAR AL NÚMERO 4000 NO
OBSTANTES EL MAYOR NÚMERO QUE SE PODÍA
LLEGAR ES EL MMMCMXCIX=3999.
• SI AÑADIMOS UNA LÍNEA HORIZONTAL
ENCIMA DEL NÚMERO PARA INDICAR QUE
SE MULTIPLICA POR MIL LOGRANDO ASÍ
REPRESENTAR EL NÚMERO 4000 EN
NÚMEROS ROMANOS

25. NUMERACIÓN CHINA.
• EL ORIGEN DE LA NUMEROLOGÍA CHINA SE DA POR LAS DIVERSAS TRANSACCIONES MARÍTIMAS Y
ECONÓMICAS HICIERON QUE CHINA DESARROLLARA UN SISTEMA DE NÚMEROS, LOS CHINOS TENÍAN
UN SISTEMA DE NUMERACIÓN SEMEJANTE AL NUESTRO EL CUAL FUE INVENTADO EN EL AÑO 1500 A. C.
• UN SISTEMA HIBRIDO QUE COMBINABA EL PRINCIPIO ADITIVO CON LA MULTIPLICACIÓN DE BASE DIEZ
TENIENDO MUY EN CUENTA EL ORDEN DE ESCRITURA QUE ESTA PUEDE SER VERTICAL U HORIZONTAL.
• PERFECCIONARON UNA HERRAMIENTA SIENDO ESTE EL ÁBACO CONOCÍAN TAMBIÉN LAS
OPERACIONES CON FRACCIONES, DESCUBRIERON LOS NÚMEROS NEGATIVOS, NO TUVIERON
DIFICULTAD POR QUE UTILIZABAN EL SISTEMA DE BARRILLAS UNO DE COLOR ROJO PARA LOS
POSITIVO Y OTRO DE COLOR NEGRO PARA LOS NEGATIVOS .
• USAN SISTEMAS DE NUMERACIÓN PROPIOS DE CHINA EL SISTEMA CLÁSICO SE CARACTERIZA POR UNA
ESCRITURA CON CARACTERES USADAS EN ACTIVIDADES DE COMERCIALES O PARA FIRMAR UN
CHEQUE TENIENDO UNA COMPLEJIDAD QUE DIFICULTA LA FALSIFICACIÓN, EL HUAMA ES UN SISTEMA
POSICIONAL Y EL SISTEMA DE BARRILLAS.

26. NUMERACIÓN HINDÚ.
• SISTEMA ERA EL MÁS PRÁCTICO PORQUE ACABABAN DE INTRODUCIR UN NÚMERO QUE AÚN
NO EXISTÍA ES DECIR EL CERO, EN ESTE SISTEMA HINDÚ NO EXISTÍAN LAS UNIDADES, LAS
DECENAS, LAS CENTENAS.
• TAMBIÉN TENÍA UN SÍMBOLO PARA CADA NÚMERO QUE VA DEL 1 AL 9.
• PARA CALCULAR USABAN UN TIPO DE ÁBACO DIBUJANDO EN LAARENAAHÍ UTILIZAN
BOLITAS QUE ESTABAN DENTRO DEL SURCO ALINEADAS E IBAN ANOTANDO LAS
CANTIDADES.
• LA IMPORTANCIA DE ESTE MÉTODO ESTÁ EN LA POSICIÓN DEL DIGITO O CIFRA NUMÉRICA
SIENDO ESTA SIGNIFICATIVA, ES POSIBLE ESCRIBIR CUALQUIER NÚMERO USANDO TAN SOLO
DIEZ DÍGITOS ES DECIR, ES UN SISTEMA DE BASE 10.
• APORTO CON LAS REGLAS ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES DE NÚMEROS POSITIVO Y
NEGATIVOS DONDE EL CERO YA ESTA PRESENTE EN CONCEPTO MATEMÁTICO.

28. NUMERACIÓN ÁRABE.
• QUIENES CREARON LOS NÚMEROS ARÁBIGOS FUERON LOS
HINDÚES LOGRANDO INTRODUCIRLO EN EUROPA, AL CERO
LO LLAMARON CEFÉR QUE EN EL IDIOMA ÁRABE
SIGNIFICA VACÍO.
• REEMPLAZARON A LOS NÚMEROS ROMANOS LOS CUALES
DOMINARON POR MUCHOS SIGLOS, EL PRIMER
MANUSCRITO EUROPEO DONDE SE UTILIZA LOS NUMERO
ÁRABES FUE APROXIMADAMENTE DEL AÑO 976 D.C.
• LOS MATEMÁTICOS ÁRABES LOS LLAMABAN NÚMEROS
HINDÚES.
• LAARITMÉTICA EXPLICABA EL SISTEMA DE NUMERACIÓN
ARÁBIGO DE UNA MANERA MÁS DETALLADA

30. NUMERACIÓN MAYA.
• LOS MAYAS FUERON UNA CIVILIZACIÓN DE GRAN IMPORTANCIA PARA LA HISTORIA DE AMÉRICA Y DEL
MUNDO, EN DIFERENTES ÁMBITOS, COMO LAARQUITECTURA, LAASTRONOMÍA, Y EN ESPECIAL EN LAS
MATEMÁTICAS.
• LOS MAYAS INVENTARON SU SISTEMA DE NUMERACIÓN COMO MODO DE INSTRUMENTO PARA MEDIR EL
TIEMPO Y NO PARA HACER CÁLCULOS MATEMÁTICOS.
• TENIENDO UN AVANZADO SISTEMA NUMÉRICO QUE USARON POR LOS AÑOS 300 – 400 A.C. SU SISTEMA
TIENE SEMEJANZA CON EL ROMANO, AUNQUE EN ALGUNOS ASPECTOS ES SUPERIOR.
• SISTEMA POSICIONAL ES DECIR SU VALOR VARÍA SEGÚN SU POSICIÓN EXISTÍAN TRES SÍMBOLOS PARA
REPRESENTAR LOS NUMERO CADA UNA TENIA UN DIFERENTE USO ERAN PARA LOS MONUMENTOS,
CÓDICES (FORMATO DE LIBROS) Y REPRESENTACIONES HUMANAS.
• LOS TRES SÍMBOLOS BÁSICOS ERAN:
 EL PUNTO: EQUIVALENTE A UNO.
 LA RAYA: SU VALOR ERA CINCO.
 EL CARACOL (CONCHA O SEMILLA): SU VALOR ES CERO.

31. • EN ESTE SISTEMA SE AGRUPABAN DE 20
EN 20, DANDO ASÍ A CONOCER EL
SISTEMA VIGESIMAL.
• EL PUNTO (.) NO SE PUEDE REPETIR
MAS DE 4 VECES.
• LA RAYA (-) NO SE PUEDE REPETIR MAS
DE TRES VECES.

32. NÚMEROS NATURALES
NÚMEROS
NATURALES (ℕ)
Es el conjunto de los
números: 0,1,2,3,…,
usados para contar los
elementos de un
conjunto, se llama
conjunto de los números
naturales.
Este conjunto se
puede determinar
de varias
maneras.
Se representa con la
letra ℕ o N,
mayúscula (negritas)
Diagrama de Venn -
Euler
1 2 3
…
Forma Geométrica
Extensión
Comprensión
ℕ= 0,1,2,3, …
ℕ= x/x es un número

33. Axiomas de la Igualdad
Nombre Definición Ejemplo Simbólica
1. Dicotomía Entre dos números naturales
cualesquiera se cumple una y solo
una de las relaciones: son iguales o
son diferentes.
4 y 3 son diferentes 4 ≠ 3
2 y 2 son iguales; 2=2
U=ℕ. ∀𝑎, ∀𝑏:
𝑎 = b v 𝑎 ≠ 𝑏
2. Reflexivo Todo número natural es igual a si
mismo.
Si el número natural es el 3,
entonces 3=3
U=ℕ. ∀𝑎:
𝑎 = 𝑎
3. Simétrico Si un primer número natural
cualesquiera es igual a un segundo,
equivale a decir que el segundo es
igual al primero
22
∈ ℕ 𝑦 4 ∈ ℕ
22
= 4 ↔ 4 = 22
U=ℕ. ∀𝑎, ∀𝑏:
𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 = 𝑎
4. Transitivo Si un primer número natural es igual
a un segundo y este es igual a un
tercero, implica que el primero es
igual al tercero.
4 = 22
∧ 22
= 8/2 → 4 = 8/2 U=ℕ. ∀𝑎, ∀𝑏, ∀c:
𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑐 ⇒ 𝑎 = 𝑐
5. Aditivo Si a cada miembro de una igualdad
se suma un mismo número natural
cualquiera, la igualdad se conserva
(subsiste, permanece).
Si a la igualdad 3+5=8 se suma
el número 4, se tiene:
(3+5)+4=(8+4)
La igualdad se conserva 12=12.
U=ℕ. ∀𝑎, ∀𝑏, ∀c:
𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑐 = 𝑐 ⇒ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
6. Multiplicat
ivo
Si a cada miembro de una igualdad
multiplica por un mismo número
natural cualquiera, la igualdad se
Si a la igualdad 4+2=6 se
multiplica por el número 3, se
tiene:
U=ℕ. ∀𝑎, ∀𝑏, ∀c:
𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑐 = 𝑐 ⇒ 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐

34. Axiomas de la Adición
Clausurativ
o
La suma de dos números naturales
cualesquiera es un número natural
único.
Ejemplo:
2 y 4 ∈ ℕ ∧ 2 + 4 = 6
→ 6 ∈ ℕ
Conmutati
vo
El orden de los sumandos no altera la
suma total.
Ejemplo:
5+4 = 4+5
9 = 9
Modulativ
o
Existe uno y solo un numero natural 0,
tal que sumado con cualquier número, el
resultado es siempre ese mismo número
natural
Ejemplo:
9+0 = 0+9
3+0 = 0+3
3 = 3
Asociativo Los sumandos naturales se pueden
agrupar o asociar de cualquier modo, sin
que altere la suma total.
Ejemplo:
(2+3)+5 = 2+(3+5)
5+5 = 2+8
10 = 10

35. El producto de dos números naturales
cualesquiera es un número natural único.
El orden de los factores no altera el producto
total.
Los factores se pueden agrupar o asociar de
cualquier modo, sin que altere el producto.
Existe uno y solo un número natural, tal que
multiplicado por cualquier número natural el
resultado es siempre ese mismo número
natural.
Axiomas de la
multiplicación.
Clausurativo
Asociativo
Modulativo
Conmutativo
Ejemplo:
2 y 4 ∈ ℕ ∧ 2𝑥4 = 8
→ 8 ∈ ℕ
Ejemplo:
5x4 = 4x5
20 = 20
Ejemplo:
(3x2)x6=3x(2x6)
6x6 = 3x12
36 = 36
Ejemplo:
9x1 = 1x9 = 9
3x1=1x3=3

36. Definición de resta.
Se llama resta (diferencia) de dos números naturales a y b al número c. el número c indica el número de elementos del
conjunto formado por los a elementos del primer conjunto menos los b elementos del segundo conjunto se representa
así: a-b=c
Definición de división.
 Todo número natural dividido para la unidad es igual al mismo número. Forma simbólica ∀𝑎𝜖 ℕ: 𝑎 ÷ 1 = 𝑎
 Todo número natural diferente de cero, dividido para sí mismo es igual a 1. Forma simbólica ∀𝑎𝜖 ℕ: 𝑎 ÷ 𝑎 = 1; 𝑎 ≠
0
 Cero dividido para cero es una indeterminación.
Axiomas distributivo- recolectivo de números naturales.
Distributivo: ∪=ℕ; ∀𝑎, ∀𝑏, ∀𝑐; 𝑎(𝑏+𝑐) =𝑎. 𝑏 +𝑎. 𝑐
Recolectivo: ∪=ℕ; ∀𝑎, ∀𝑏, ∀𝑐; 𝑎. 𝑏 +𝑎. 𝑐 = 𝑎 (𝑏+𝑐)

37. Números enteros (ℤ)
ENTEROS
POSITIVOS
(ℤ+)
El conjunto de los números enteros se representa con la letra 𝚭 , mayúscula (negritas), y
está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos.
𝚭 = {… , −૝, −૜, −૛, −૚, ૙, ૚, ૛, ૜, ૝, … }
El conjunto formado por los enteros mayores que cero
se llama conjunto de los números enteros positivos, se
representa con ℤ+.
ENTEROS
NEGATVOS
(ℤ−)
El conjunto formado por los enteros menores que cero se llama conjunto de los
números enteros negativos. Se representa con ℤ−.
Representación en la recta real.
3 y -3 son números
opuestos

38. Valor absoluto.
El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en una recta numérica. El valor absoluto se denota
mediante dos barras |−4| = 4. Así, el valor absoluto de un número positivo es justo el mismo número, y el valor
absoluto de un número negativo es su opuesto. El valor absoluto de cero es cero. |0|=0

39. ADICIÓN
O SUMA
Suma de
dos
números
positivos
Suma de dos
números
negativos
Suma de un
número positivo y
otro negativo y
viceversa
Se suman sus valores
absolutos y se pone el
signo “+” al resultado
Se suman los
valores absolutos y
se pone el signo “-”
al resultado
(+7) + (4) =
11
(-6) + (-1) =
-7
(+9) + (-3) = +6
(-5) + (+2) = -3
Se halla la diferencia de
sus valores absolutos y se
antepone al resultado el
signo del número que tiene
mayor valor absoluto

40. Resta: la resta de números enteros depende del signo y cual es el de mayor o menor valor absoluto.
 La resta de un número con mayor valor absoluto con uno menor el resultado será positivo, por ejemplo:
10 – 5 = 5
 La resta de un número con menor valor absoluto con uno de mayor valor absoluto el resultado será
negativo, por ejemplo: 5 – 10 = -5
 La resta de dos números negativos el dará como resultado un número negativo, por ejemplo: (-5) – (-2)
= (-5) + 2 = -3
 La resta de dos números negativos con resultado positivo, por ejemplo: (-2) – (-3) = (-2) + 3 = 1
 Restar dos números de distinto signo y su resultado es negativo, por ejemplo: (-7) – (+6) = -13
 Restar dos números con distinto signo y su resultado positivo, por ejemplo: (2) – (-3) = 5

41. Clausurativ
o
4 + 6 = 10 𝑈 = ℤ. ∀𝑎, ∀𝑏 𝑆𝑐 (∃! 𝑐): 𝑎 + 𝑏 = 𝑐
Conmutativ
o
Asociativo (4 + 7)+ 9 = 4 +(7 + 9)
Modulativ
o
9 + 0 = 0 + 9 = 9
1 + 3 = 3 + 1 𝑈 = ℤ . ∀𝑎, ∀𝑏: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
𝑈 = ℤ . ∀𝑎, ∀𝑏, ∀𝑐: (𝑎 + 𝑏)+ 𝑐 = 𝑎 +(
𝑏 + 𝑐)
𝑈 = ℤ. ∀𝑎, 𝑆₀(∃! ₀ ): 0 + 𝑎 = 𝑎 +
0 = 𝑎
Axiomas de la Adición

42. Multiplicaci
ón
Para multiplicar dos números enteros (llamados factores)
se halla el producto de sus valores absolutos: Si los
dos factores tienen el mismo signo “+”se antepone al
producto el signo si los factores tienen diferentes se
antepone el “-”
AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN
Nombre Ejemplo
Clausurativo 4 · 7 = 28
Conmutativo 5 · 3 = 3 · 5
Asociativo [(4 · 5) · 2 ] = [4 · (5 · 2)]
Modulativo 9 · 1 = 1 · 9 = 9
(−5) · 1 = 1 · (−5) = −5
División
Todo número entero dividido para la unidad es igual al mismo número:
𝑎 ÷ 1 = 𝑎
Todo número entero, diferente de cero, dividido para sí mismo es igual a 1:
𝑎 ÷ 𝑎 = 1; 𝑎 ≠ 0
La división de un entero dividido para cero no está definida. ∀𝑎 ∈ Z: 𝑎
0
𝑎 ≠ 0. Cero
dividido para cero(0
0
) es una indeterminación (Ind).

43. Axiomas distributivo- recolectivo de números enteros.
El producto de un número entero cualquiera por la suma de dos números enteros cualesquiera, es igual a la
suma de los productos de ese número entero por cada uno de los sumandos.
𝑈=ℤ .∀𝑎,∀𝑏,∀𝑐; 𝑎(𝑏+𝑐)=𝑎·𝑏+ 𝑎·𝑐 𝑨𝒙𝒊𝒐𝒎𝒂 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐
𝑈=ℤ .∀𝑎,∀𝑏,∀𝑐; 𝑎𝑏+𝑎𝑐=𝑎(𝑏+𝑐) 𝑨𝒙𝒊𝒐𝒎𝒂 𝑹𝒆𝒄𝒐𝒍𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐

44. Clases de números fraccionarios.
Fracción propia: cuando el numerador es menor que el denominador. Toda fracción propia es menor que la
unidad.
Fracción impropia: cuando el numerador es mayor que el denominador. Toda fracción impropia es mayor
que la unidad.
NÚMEROS RACIONALES
Se conoce como el conjunto de números racionales o fraccionarios a todos aquellos que tienen la
expresión
𝑎
𝑏
, donde a y b son enteros y b debe ser diferente de cero. Un número racional es todo número que
puede representarse como el cociente de dos enteros. No todas las cantidades se pueden representar por medio
de los números naturales o enteros para ello se debe utilizar los números racionales. Su símbolo es Q.

45. Suma de números racionales
Valor absoluto es su valor numérico con el signo positivo, representa una distancia de un punto a otro en una recta real.
Casos de la suma de números racionales
Para sumar dos o más números racionales se debe tomar en cuenta los axiomas y casos que se pueden presentar.
Con fracciones
con igual denominador.
1.Se suman los numeradores 2. Se divide el resultado anterior para el común denominador
3.Se simplifica el resultado 4.Se hallan los enteros
Con fracción con
distinto denominador.
1.Se halla el mcm de los denominadores
2.Se divide el mcm para cada denominador y se multiplica por el numerador respectivo
3. se realiza la operación respectiva.
Con números enteros y
mixtos
1.Se transforman los números enteros a fracciones según se necesite.
2. Se resuelve siguiendo los pasos de los casos anteriores según corresponda

46. Multiplicación de números racionales
La multiplicación se indica con el signo por (×). Algunas veces se utiliza un punto para indicar la multiplicación de dos o más
números, y otras se utilizan paréntesis. Por ejemplo: el producto de 3/4 por 4/3 se puede representar de las siguientes maneras:
𝟑
𝟒
×
𝟒
𝟑
,
𝟑
𝟒
⋅
𝟒
𝟑
ó
𝟑
𝟒
𝟒
𝟑
Casos de la multiplicación
Multiplicación de fracciones: el producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo
denominador es el producto de sus denominadores. Por ejemplo:
𝑎
𝑏
×
𝑐
𝑑
=
𝑎 × 𝑐
𝑏 × 𝑑
Multiplicación de enteros con fracciones: los enteros se expresan como fracción escribiendo la unidad como denominador de estos, y se
aplica la regla anterior.
3 ×
2
5
=
3
1
×
2
5
=
3 × 2
5
=
6
5
Multiplicación de números mixtos: se reducen los números mixtos a fracciones, y se procede como el punto b.
3 ×
2
7
𝑥
6
5
=
3
1
×
2
7
×
6
5
=
36
35

47. División
Dividir un número racional por otro equivale a multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo
(recíproco) del divisor. Simbólicamente se denota de la siguiente manera:
Observación: Todo número Q dividido para la unidad es igual al mismo número (∀𝑎 𝜖 𝑸: 𝑎÷1=𝑎):
2
3
÷
1 =
2
3
Todo número Q, diferente de 0, dividido para sí mismo es igual a 1 (∀𝑎 𝜖 𝑸: 𝑎 ÷𝑎=1; 𝑎≠0):
3
2
÷
3
2
= 1
Todo número Q, diferente de 0, dividido para 0 no está definido (𝑎÷0; 𝑎≠0 no está definido):
4
7
÷ 0, no
está definido. Cero dividido para cero (0÷૙) es una indeterminación (Ind).

48. NÚMEROS REALES.
El conjunto formado por la unión de los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de los números reales. Se
representa con la letra ℝ o R, mayúscula (negrita). Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación
de índice par y radicando negativo, y la división por cero.
Operaciones de los números reales
Propiedad asociativa.
El modo en como se agrupan los números no influye en el resultado, tanto para la suma y multiplicación.
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c
Propiedad conmutativa.
El orden no varía el resultado.
a + b = b + a
a x b = b x a
Elemento neutro y elemento opuesto.
En la suma el cero es el elemento neutro, así que cualquier número que se sume para cero va a seguir siendo el mismo número. En el
caso de la multiplicación el número neutro es el 1, ya que cualquier número multiplicado por uno es el mismo número.

49. Representación de los números reales
Los números reales pueden ser
representados en la recta con tanta
aproximación como queramos, pero hay
casos en los que podemos representarlos de
forma exacta.

50. LOS NÚMEROS COMPLEJOS SALEN DE UNA NECESIDAD PURAMENTE ALGEBRAICA
PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.
SI BIEN EL DESARROLLO DE LA “TEORÍA DE NÚMEROS COMPLEJOS” Y LA “TEORÍA DE
FUNCIONES COMPLEJAS” TIENEN EN LA ACTUALIDAD NUMEROSAS APLICACIONES
EN LA FÍSICA Y LA INGENIERÍA.
Los números complejos son combinaciones de
números reales y números imaginarios.

51. EL PRIMERO EN INTRODUCIR LOS NÚMEROS COMPLEJOS ES CARDANO, QUE EN
AÑO 1545 PUBLICA SU OBRA ARS MAGNA, EN LA QUE EXPLICA COMO
RESOLVER LOS DIFERENTES CASOS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS Y CÚBICAS.
Por ejemplo, se planteó el siguiente problema: dividir
un segmento de longitud 10 en dos trozos tales que el
rectángulo cuyos lados tienen la longitud de esos
trozos tenga área 40. Si los dos trozos miden x y 10 −
x, la ecuación que plantea el problema es: x(10 −
x) = 40.

52. LA FÓRMULA GENERAL DE LA SOLUCIÓN DE
LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE TERCER
GRADO CONTIENE LAS RAÍCES CUADRADAS DE
UN NÚMERO NEGATIVO CUANDO LAS TRES
RAÍCES SON NÚMEROS REALES, UNA
SITUACIÓN QUE NO PUEDE RECTIFICARSE
FACTORIZANDO CON LA AYUDA DE TEOREMA
DE LA RAÍZ RACIONAL SI EL POLINOMIO
CÚBICO ES IRREDUCIBLE. ESTE ENIGMA LLEVÓ
AL MATEMÁTICO ITALIANO GEROLAMO
CARDANO A CONCEBIR LOS NÚMEROS
COMPLEJOS ALREDEDOR DE 1545, AUNQUE SU
COMPRENSIÓN ERA RUDIMENTARIA.

53. NUMEROSOS MATEMÁTICOS CONTRIBUYERON AL DESARROLLO DE LOS
NÚMEROS COMPLEJOS. LAS REGLAS PARA LA SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y
EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS FUERON DESARROLLADAS
POR EL MATEMÁTICO ITALIANO RAFAEL BOMBELLI, Y FUE EL MATEMÁTICO
IRLANDÉS WILLIAM ROWAN HAMILTON QUIEN DESARROLLÓ UN FORMALISMO
MÁS ABSTRACTO PARA LOS NÚMEROS COMPLEJOS, EXTENDIENDO ESTA
ABSTRACCIÓN A LA TEORÍA DE LOS CUATERNIONES.
El interés por estudiar los números complejos como un
tema en sí mismo surgió por primera vez en el siglo
XVI, cuando los matemáticos italianos descubrieron
soluciones algebraicas para las raíces de los polinomios
cúbicos y cuarticos. Pronto se dieron cuenta de que
estas fórmulas, incluso si solo se estaba interesado en
soluciones reales, a veces requerían la manipulación de
raíces cuadradas de números negativos.

54. ALGUNOS GENIOS COMO NEWTON, LEIBNITZ Y DESCARTES NUNCA LOS
COMPRENDIERON. EN 1637, DESCARTES, EN EL APÉNDICE LA GEOMETRIE DE
SU OBRA DISCOURSE DE LA METHODE, AFIRMA: “NI LAS RAÍCES VERDADERAS
NI LAS FALSAS SON SIEMPRE REALES; A VECES SON IMAGINARIAS; ES DECIR,
MIENTRAS QUE UNO PUEDE IMAGINAR TANTAS RAÍCES DE CADA ECUACIÓN
COMO GRADO HAYA ASIGNADO, NO SIEMPRE HAY UNA CANTIDAD DEFINIDA
QUE CORRESPONDA A CADA RAÍZ IMAGINADA.”
El primer gran paso hacia la
instalación definitiva de los números
complejos en la matemática se debe a
Euler (1707–1783). Este hizo una cosa
muy sencilla, y al mismo tiempo de un
enorme alcance: definió un nuevo
número, al que llamo i (imaginario):

55. CON ESTAS HERRAMIENTAS EULER EMPIEZA A MANIPULAR EXPRESIONES
COMPLEJAS CON UNA MAESTRÍA SIN PRECEDENTES, Y NOS APORTA MUCHAS
DE LAS MAYORES CONTRIBUCIONES AL ANÁLISIS. ENTRE SUS MAYORES
APORTACIONES ESTA LA DENOMINADA FORMULA DE EULER,
que define la exponencial de un numero complejo y la relaciona con
las funciones trigonométricas. La manera en que la demuestra es la
siguiente. La serie de Taylor de la exponencial

56. Ya que tenemos la fórmula de Euler, de la que, como
caso particular, Euler obtiene su famosa ecuación que
relaciona cinco de los números más importantes de la
matemática: 0, 1, e, i y π.

57. • LA IDEA CORRECTA DE LA REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN NÚMERO
COMPLEJO Z=A+BI EN EL PLANO CARTESIANO, FUE DESCUBIERTA POR DOS
MATEMÁTICOS EN FORMA INDEPENDIENTE: EL DANÉS C. WESSEL Y
POSTERIORMENTE EL SUIZO J. ARGAND, EN UNA OBRA PUBLICADA EN 1806.
A PARTIR DE ENTONCES DICHA REPRESENTACIÓN SE CONOCE CON EL
NOMBRE DE DIAGRAMA DE ARGAND:

58. • EL ÚLTIMO PASO EN ESTE PROCESO LO DIO GAUSS (1777– 1855), QUIENES
INTRODUJERON EL PLANO COMPLEJO, ES DECIR, UNA REPRESENTACIÓN DE
LOS NÚMEROS COMPLEJOS X + IY EN LA QUE X ES LA COORDENADA SOBRE
UN EJE CARTESIANO E Y LA COORDENADA SOBRE EL EJE PERPENDICULAR.
TODAS LAS OPERACIONES CON COMPLEJOS TIENEN SU CONTRAPARTIDA
GEOMÉTRICA EN EL PLANO.
Las operaciones suma y producto
que se pueden definir en C, lo dotan
de estructura de Cuerpo
conmutativo y R-espacio vectorial,
si bien en C no es posible definir un
orden total.

59. • DESDE ESE MOMENTO SE INICIA UN DESARROLLO SOSTENIDO DE LA TEORÍA
DE LAS FUNCIONES COMPLEJAS, DE LA MANO DE GRANDES MATEMÁTICOS
COMO HAMILTON Y CAYLEY, QUIENES CREARON LOS SISTEMAS
HIPERCOMPLEJOS, CAUCHY, QUIEN SIENTA LAS BASES DEL CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL DE LAS FUNCIONES COMPLEJAS Y FINALMENTE EL
MATEMÁTICO ALEMÁN RIEMANN, QUIEN DEMOSTRÓ TODO EL PODER QUE
ENCIERRAN LOS NÚMEROS COMPLEJOS EN EL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA Y
AMPLIO LOS HORIZONTES DE LA MATEMÁTICA, CREANDO UNA NUEVA
CIENCIA LLAMADA LA TOPOLOGÍA.

60. Referencias bibliográficas
Álvarez, J. L. (2004 ). Museo Virtual de la Ciencia . Obtenido de http://museovirtual.csic.es/profesores/numeros/num9f.htm
Bastidas P., Lozano E., Coronel M., Montenegro C (2018). Sistemas Numéricos. Quito - Ecuador
BBC. (2015 de enero de 2015). Quite interesting,BBC. Obtenido de
https://www.bbc.com/mundo/noticias/2015/01/150108_qi_numeros_finde_dv
Blanca. (27 de agosto de 2020 ). Historia Antigua . Obtenido de https://sobrehistoria.com/sistema-de-numeracion-maya-y-numeros-mayas/
Blanca. (18 de agosto de 2020). SOBREHISTORIA.COM. Obtenido de BY TENDENZIAS: https://sobrehistoria.com/numeros-romanos/
Bourbaki N. (1972) Hernández J. (1976). Alianza Editorial. Elementos de historia de la matemática. Nueva edición revisada y aumentada.
Recuperado de https://kupdf.net/download/nicolas-bourbaki-elementos-de-historia-de-las-matematicas_58def1b3dc0d60f03f8970e0_pdf
BOURBAKI, N. (1990). Elementos de historia de las Matemáticas. Alianza Universidad
Boyer, Carl M. (1987). Historia de las matemáticas. Alianza editorial. Recuperado de: https://es.scribd.com/document/433079105/Historia-
de-la-matematica-Carl-Boyer-2-pdf
Casado, S. (febrero de 2010 ). ICARITO . Obtenido de icarito.cl : http://www.icarito.cl/2010/03/103-879-9-los-numeros-y-las-
civilizaciones.shtml/#:~:text=La%20forma%20cl%C3%A1sica%20de%20escritura,valores%20y%20los%20escribieron%20verticalmente.
China, C. (2014). Cultura10. Obtenido de https://www.cultura10.org/china/numeros/

61. Conway, John B. (1986), Functions of One Complex Variable I, Springer
Galan B. (2012). La historia de las matemáticas de las matemáticas. Recuperado de:
https://repositorio.unican.es/xmlui/bitstream/handle/10902/1764/Gal%C3%A1n%20Atienza%2C%20Benjam%C3%ADn.pdf?sequence=1#:~:text=Los
%20primeros%20conocimientos%20de%20referencias,matem%C3%A1ticas%20como%20una%20pura%20aritm%C3%A9tica
Hernández, R. M. (s.f.). EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CONCEPTO DE NÚMERO . En EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CONCEPTO DE
NÚMERO . Autodidactica .
Hernandez R. Carande R. (s.f.). Revista de la educación en Extremadura. Evolución histórica del concepto de número. Recuperado de:
file:///C:/Users/diana/Downloads/historia%20de%20los%20numeros%20(1).pdf
María . (8 de mayo de 2019). Números reales. Obtenido de superprof: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/reales/los-
numeros-reales.html
Marta. (11 de octubre de 2020). Números racionales. Obtenido de Superprof:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/racionales/numeros-racionales-2.html
M. Yaglom: Números complejos y sus aplicaciones a la geometría'. Editorial URSS Moscú (2009)
Raffino, E. (12 de julio de 2020). Números enteros. Obtenido de Concepto.de: https://concepto.de/numeros-enteros/
Raffino, M. E. (31 de mayo de 2020). Números Naturales . Obtenido de Concepto.de: https://concepto.de/numeros-naturales/
Ruiz, G. (1 de 09 de 2020). SOBREHISTORIA. Obtenido de https://sobrehistoria.com/los-numeros-griegos/
Rus Arias, E. (08 de octubre de 2020). Diagrama de Venn. Obtenido de Economipedia.com.
Santos, F. (2020 de octubre de 2020). Historia de los números chinos antiguos[video]. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=mbhgs3cs4l4