Este documento describe la heterocedasticidad en regresión lineal múltiple. Explica que la heterocedasticidad ocurre cuando la varianza de los errores no es constante, y describe varios métodos para detectarla, como el contraste de Breusch-Pagan y gráficos del error. También cubre cómo transformar la variable dependiente para corregir la heterocedasticidad.

1. Regresión Lineal Múltiple
Supuesto de Homocedasticidad
Para cada valor de la variable independiente (o
combinación de valores de las variables
independientes), la varianza de los residuos es
constante.

2. Homocedasticidad
Si la varianza de los errores no es constante a lo largo
de las observaciones, la regresión es heterocedastica.
En este caso, VAR( i / xi )   i2 , i  1,2,...,n.
Asumiendo que los errores están incorrelacionados
dos a dos. Por tanto,
 12 0 0 ... 0
0  2 0 ... 0
2
E    2 

0 0 0 ...  n2

3. Homocedasticidad
Resultará a veces útil escribir  i2   2i
En cualquier caso, ésta es una escala arbitraria.
n
Así usaremos la normalización tr ()     n
i 1
i
Esto hace el modelo clásico de regresión con
errores homocedásticos un simple caso
especial con i  1

4. Contrastes de Heterocedasticidad
• El contraste de Goldfeld y Quand
• El contraste de Breusch y Pagan
• El contraste de Glesjer
• El contraste de Harvey
• El contraste de White
• El contraste de Spearman

5. Heterocedasticidad
• El contraste de Breusch y Pagan
Breusch y Pagan han ideado un contraste de
multiplicadores de Lagrange para la hipótesis
nula  i2   2 f (0   zi ),
Donde z i es un vector de variables
independientes. El modelo es Homocedastico
si   0
El contraste puede llevarse a cabo mediante una

6. Heterocedasticidad
una sencilla regresión:
LM=1/2 de la suma de cuadrados explicada en la
regresión de ei2 /(ee / n) en z i
Para propósitos de calculo, sea Z la matriz n   p  1
De observaciones de 1, z , y sea g el vector de
i
observaciones de gi  ei2 /(ee / n). . Entonces
LM 
1
2
 1

g Z Z Z  Z g  n .

7. Heterocedasticidad
Bajo la hipótesis nula de homocedasticidad,
LM se distribuye asintóticamente como una
chicuadrado con grados de libertad iguales al
numero de variables en z i
Este contraste es bastante sensible al supuesto
de normalidad.

8. Como se obtiene en R?
• En R Commander nos vamos a
modelos, diagnósticos numéricos y
seleccionamos Test de Breusch-Pagan para
heteroscedasticidad.
• Por ejemplo

9. Detección Grafica de la
Heterocedasticidad
> cr.plots(RegModel.2)
Gráfica del error a través de las distintas
observaciones del modelo
• Dado que las series económicas presentan casi siempre
una tendencia definida (positiva o negativa), la simple
gráfica de error puede servir para conocer
intuitivamente si el transcurso del tiempo da lugar a un
incremento o decremento del error, lo que sería
significativo de una relación entre la evolución de las
variables del modelo y los valores cada vez mayores o
cada vez menores de éste.

10. Heterocedasticidad
• Gráficos del error sintomáticos de presencia
de heterocedasticidad
10 6
4
5 2
0 0
-2
-5 -4
-10 -6
11
13
15
17
19
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
1
3
5
7
9

11. Heterocedasticidad
• En ambos, la evolución del tiempo está correlacionada
con valores cada vez mayores (izquierda) del error o
cada vez menores (derecha), con lo que el cálculo de la
varianza por subperíodos arrojaría valores
significativamente diferentes; es decir la serie del error
sería heterocedástica. Evidentemente, este tipo de
gráficos solo tiene sentido si el modelo es temporal ya
que, en el caso del modelo transversal, la ordenación
de valores del eje “X” dependerá del criterio elegido
para ordenar la muestra, un criterio que puede no
coincidir con el patrón de crecimiento o decrecimiento
de la varianza.

12. Heterocedasticidad
Gráfica del valor cuadrático del error y los valores de Y y X
• La representación de los valores del error al cuadrado y la
variable explicada o cada una de las variables explicativas
puede revelar la existencia de algún patrón sistemático en
la varianza del error (se entiende que el error al cuadrado
se asocia con la dispersión del error). Este tipo de
gráfico, no sólo permite obtener una idea preliminar de si
existe o no heterocedasticidad sino también de la o las
variables que pudieran estar conectadas con la misma.
• Eventualmente podrían también realizarse los gráficos con
valores absolutos del residuo.

13. Como corregir la heterocedasticidad?
Puede utilizarse una transformación de la
variable dependiente para resolver el
problema (tal como una transformación
logarítmica o una transformación raíz
cuadrada. No, obstante, al utilizar una
transformación de la variable dependiente, no
debe descuidarse el problema de
interpretación que añade el cambio de escala