homotecia

1. 1. Homotecia
1.1 Definición
Es una transformación geométrica que afecta a las longitudes de
una figura en función de una determinada razón k y un punto fijo O
llamado centro de homotecia.
O Permite obtener un
polígono semejante
C
A B
C´
A´ B´
El triángulo ABC se transforma
en el triángulo A’B’C’ mediante
una homotecia de centro O.

2. Dado un punto O del plano y un número real k ≠ 0, llamaremos
homotecia de centro O y razón k, a la
transformación que hace corresponder a cada punto A del
plano, distinto de O, con otro punto A’
alineado con O y con A y tal que:
𝑂𝐴′ = 𝑘 ∙ 𝑂𝐴
• La homotecia queda determinada por dos pares de puntos
homólogos A y A´.
 Se dice que dos figuras son homotéticas cuando se
corresponden punto a punto y recta a recta, de forma que las
parejas de puntos homólogos están en línea recta con un
punto fijo llamado “centro de homotecia” y que las pareja de
rectas homologas sean paralelas.

3. Observa:
• El punto 𝐴´′
𝑦 𝐴 son colineales con la recta que nace desde O.
• Los segmentos 𝐴𝐵 𝑦 𝐴′𝐵′ sn paralelos y así sucesivamente
con cada segmento del polígono ABCDE

4. POR LO TANTO:
• Una figura F’ se dice homotética de otra figura F , si F’ se
obtiene al aplicar una homotecia a cada uno de los puntos de
F.
• En la transformación que vimos anteriormente, la figura y su
homotecia mantienen la forma pero cambiaron la posición y
el tamaño.
• Todas las figuras homotéticas son semejantes y la razón de
semejanza es la razón de homotecia.

5. 1. Homotecia
1.2 Casos
Al triángulo ABC se le aplica una homotecia de centro O y razón k,
transformándose en el triángulo DEF.
Si k > 1, entonces todas las longitudes se
multiplican por k
El triangulo DEF es mas GRANDE que el
triangulo original ABC
O
F
D
E
C
A
B
Si 0 < k < 1, entonces todas las longitudes
se multiplican por k y son
menores en relación al triángulo ABC.
El triangulo DEF es mas PEQUEÑO que el
triangulo original ABC
O
C
A
B
F
D
E

6. 1. Homotecia
1.2 Casos
Si k = − 1, entonces
todas las longitudes se
mantienen, obteniendo
un triángulo DEF
congruente a ABC.
A
B
C
F
D
E
O
Si k < − 1, entonces todas
las longitudes se
multiplican por |k| y son
mayores en relación al
triángulo ABC. Triangulo
DEF es mas grande que
triangulo ABC
A
B
C
F
D
E
O
Si − 1 < k < 0, entonces
todas las longitudes se
multiplican por |k| y son
menores en relación al
triángulo ABC Triangulo
DEF es mas pequeño que
triangulo ABC
A
B
C
D
E
O
F
Si k < 0, la homotecia tiene un efecto
simétrico respecto al centro O, en razón |k|.

7. OTROS EJEMPLOS

11. Homotecia directa
 Ocurre si la constante k > 0; es decir, los puntos homotéticos
se encuentran al mismo lado con respecto al centro:
 El factor de proporcionalidad o razón de semejanza entre las
figuras homotéticas directas siempre será positivo

12. Homotecia inversa
 Ocurre si la constante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus
homotéticos se ubican en los extremos opuestos con
respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El
centro se encontrará entre las dos figuras:

13.  El factor de proporcionalidad o razón de semejanza entre las
figuras homotéticas inversas siempre será negativo.

14. Ejemplo resuelto

15. Primer Paso:
Como la razón de homotecia es positiva mayor que 1, el triangulo
homotético es de mayor tamaño.
Cada lado del triangulo 𝐴′𝐵′𝐶′ es 2,5 veces mayor que el triangulo
ABC. Por lo tanto si los lados del triangulo ABC son a b c, los lados
del triangulo 𝐴′𝐵′𝐶′ son 2,5 a, 2,5 b, 2,5c.

16. Con lo cual el perímetro del triangulo original es 14
SEGUNDO PASO

17. Si en el gráfico de la figura, el Δ DEF es el homotético del Δ ABC con centro de
homotecia el punto (4, – 1), ¿cuál es la razón de homotecia?
A) 1 : 2
B) : 1
C) 1 : 1
D) 1 :
E) No se puede determinar.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2016.
13
2
1.3 Ejemplo
ALTERNATIVA
CORRECTA
A
1. Homotecia