MATLAB, es un programa interactivo para computación numérica y visualización de datos. Está basado en un sofisticado software de matrices para el análisis de sistemas de ecuaciones. Permite resolver complicados problemas numéricos sin necesidad de escribir un programa.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL “HERMILIO VALDIZÁN”
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIA Y DE SISTEMAS
E.P. DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ECUACIONES LINEALES, DIFERENCIALES
CON MATLAB
DOCENTE: Ing. Jhonny Henry Piñán
García
INTEGRANTES:
o MACHADO RODRIGUEZ, ABEL.
o QUISPE ZUÑIGA, JHESLY
o NINAMANGO MORALES, JOSE LUIS
o SEVINCHE SOTO, EDDIE EDWARD
o LOYOLA MAURICIO, ONATHAMY TAYZ
HUÁNUCO – PERÚ
2020

2. MATLAB
Es un lenguaje de alto nivel, diseñado para proveer facilidades de cálculos
numéricos, visualización y programación en un entorno muy sencillo de utilizar.
MATLAB ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) muy versátil con un
lenguaje de programación propio (lenguaje M).
MATLAB es un intérprete de comandos que permite efectuar cualquier operación
lineales y no lineales, además de otros experimentos en forma numérica. con
matrices de forma sencilla y rápida. Es un sistema interactivo cuyo elemento
básico es la matriz (y como caso particular,vectores o escalares), tanto de datos
numéricos como de información no numérica.
Ventajas
- Su programación requiere menos tiempo que otros lenguajes como
FORTAN, C, PASCAL, etc.
- Utiliza un lenguaje mas cercano a la mátemática
- Permite definir fácil y rapidamente nuevas funcioes que se incorporan a
MATLAB mediante el toolboxes
- Posee grandes capacidades gráficas
¿Qué se peude realizar en MATLAB?
- Analisis de datos
- Polinomios
- Graficos 2D

3. - Grafico 3D
- Ajuste de curvas
- Interpolación
- Analisis numerico
- Resolución de educaciones diferenciales
ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas
y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que
no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como
rectas en el sistema cartesiano.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que
comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de
ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o
los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan

4. Su estructura
Este sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con N incógnitas puede
escribirse en forma matricial como:
𝐴 𝑀∗𝑁 𝑋 =B
MATRIZ DEL SISTEMA
(MATRIZ AMPLIADA O AUMENTADA)
VECTOR DE
INCÓGNITAS
TÉRMINOS
INDEPENDIENTES

5. COMANDOS Y FUNCIONES MATLAB PARA SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Los comandos empleados en matlab son:
FUNCIÓN DESCRIPCIÓN
det(A) Determinante de la matriz cuadrada A.
rank(A) Rango de la matriz A
e = eig(A) Halla los valores característicos (eigenvalores) de la matriz
cuadrada A. Es decir, calcula directamente las raíces que
definen al polinomio característico de la matriz A.
[ V, D] =
eig(A,B)
Halla la matriz diagonal D de valores característicos
generalizados de la matrices cuadradas A y B y una matriz V,
cuyas columnas son los vectores característicos
correspondientes, cumpliéndose que A*V=B*V*D.
P = poly(A) Calcula los coeficientes del polinomio característico de la
matriz cuadrada A.
Syms z y z…t Convierte las variables x y z …t en simbólicas.
Solve(‘ec1,
ec2,…ecn’, ‘x1,
x2,…xn’)
Resuelve n ecuaciones lineales simultaneas ec1, ec2,… ecn.
(Sistema de las variables x1, x2,…xn)

6. X =
linsolve(A,B)
Resuelve un sistema de ecuaciones lineales del tipo A*X=B,
para una matriz cuadrada A, siendo B la matriz del termino.
Independiente del sistema de ecuaciones.
X = A/B Resuelve el sistema triangular A*X=B, emplea eliminación de
Gauss.
X = inv(A)+B Resuelve el sistema A*X=B. Emplea la matriz inversa.
ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación que relaciona una función y su variable (o sus variables) con sus
derivadas
Grado y orden de una ecuacion diferencial
DIFERENCIAL ORDEN GRADO
2do ORDEN 1er GRADO
3er ORDEN 2do GRADO
3er ORDEN 1er GRADO
1er ORDEN 1er GRADO
Existen varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales, los cuales con
adecuaciones necesarias se usan para resolver sistemas de ecuaciones
𝑒 𝑥
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ sen x
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= x
(
𝑑3
𝑦
𝑑𝑥3
) − 2(
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
)3
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= tanx
𝑑3
𝑦
𝑑𝑥3
+ 2(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)4
+ xy = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ P(x)y = Q(x)

7. diferencailes. Entre los mas usados tenemos el método de Euler, Euler Gauss o
metoso de Heun, metodo de serie Taylor, metodo de Milne, metodo de Adams –
Bashforth-Moulton, metodo de Hamming y los métodos de Runge-Kutta.
MATLAB tiene implemetado modulos básicos para resolver ecuaciones
diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales en forma directa, es decir,
sin programar el algoritmo numerico.
A continuación se describen los comando mas importantes empleados en
MATLAB para la resolución de ecuaciones diferenciales:
Comando principal
Comando “dsolve”
eq, var= es la ecuación a resolver, debe ser introducida como cadena, incluso
si contiene objetos simbólicos.
COMANDOS MÁS IMPORTANTES EMPLEADOS EN MATLAB PARA LA
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
COMANDO DESCRIPCIÓN
ode45. .(Ordinary differential
equation solver of 4th and 5th
order).
Este método arroja resultados
satisfactorios para la mayoría de los
modelos continuos y resulta ser un bueno
como primera aproximación cuando no se
conoce mucho del sistema en estudio

8. ode23. .(Ordinary differential
equation solver of 2th and 3th
order).
Este método resulta más eficiente que
ode45 cuando las tolerancias del error no
son tan estrictas y el sistema presenta un
leve grado de rigidez.
ode113.(método multipaso) Necesita conocer de varios puntos
anteriores para calcular la solución actual,
resulta más eficiente que ode45 cuando
las tolerancias del error se tornan muy
estrictas.
ode15s.(método multipaso de
orden variable (entre uno y
cinco)
Este método es recomendable si el
sistema es rígido (o un problema
diferencial algebraico) o bien si el ode45
falla o resulta ineficaz.
ode23s.(método de un solo
paso)
Más eficiente que ode15s para altas
tolerancias y en sistemas rígidos
ode23t.(método que utiliza
interpolación libre)
Usado para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias y algebraicas por
la regla trapezoidal, cuando el sistema es
semirígido.
Ode23tb(Ecuaciones
diferenciales ordinarias)
Esta utiliza en una primer paso la regla
trapezoidal y en un segundo paso las
fórmulas de diferenciación por atraso

9. orden dos. Más eficiente que ode15s para
tolerancias altas.
bvp4c.(método multipaso) Ecuaciones diferenciales ordinarias con
valores en la frontera.
GRAFICANDO ECUACIONES DIFERENCIALES
Para graficar esta solución requerimos de un intervalo sobre el cual se graficará
la solución obtenida, en este caso [−2, 3].
Ejemplo 1
Tenemos la siguiente ecuación diferencial:
>>dsolve('Dy=2*x*y','x’)
ans = C1*exp(x^2)
Sabemos que esta constante C1 se determina usando una condición inicial
para la ecuación diferencial, por ejemplo y(0) = 5. Para resolver la ecuación
diferencial con esta condición inicial necesitamos el código:
CODIGO:
>> dsolve('Dy=2*x*y','y(0)=5','x’)
ans = 5*exp(x^2)
1
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥𝑦

10. Finalmente graficamos los resultados insertando
el siguiente código.
>> x=-2:0.05:3;
>>y=eval(vectorize(ans));
>> plot(x,y)

11. Ejemplo 2
Tenemos la siguiente ecuación diferencial
>> dsolve('D2y-4*y=5','y(0)=0','Dy(0)=1’)
ans = 3*exp(-2*t))/8+(7*exp(2*t))/8-5/4
Para la solución consideramos la ecuación diferencial:
Solución
>> dsolve('Dy=0.1*y-0.02*y^2','x')
ans = -5/(exp(C1 – x/10)-1
Para resolver necesitamos el codigo:
>> dsolve('Dy=0.1*y-0.02*y^2','y(0)=0.01', 'x')
ans = -5/(exp(log(499) – x/10)+1)
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
− 4y = 5
y(0) = 0
dy
𝑑𝑥
𝑥 = 0
= 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0.1y − 0.02𝑦2

12. Graficamos sobre el intervalo
>> x= 0:1.5:120;
>>y=eval(vectorize(ans));
>> plot(x,y)
CONCLUSIONES
✓ La aplicación de los métodos de solución numérica para sistemas de
ecuaciones lineales mediante el software de aplicación MATLAB, nos
facilitará como alumnos de ingeniería la mejor comprensión de estos
sistemas y de los procesos matemáticos.
✓ MATLAB es un potente recurso matemático que acompañará siempre al
alumno en su proceso de aprendizaje, ya que con mínimos conocimientos
informáticos ofrece toda una gama de posibilidades para resolver los
problemas dandonos como resultado un mejor aprendizaje.
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