Variables de Estado, Definicion y sus Caracteristicas, Metodos para resolverlas.

1. Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
Extensión Porlamar.
Ingeniería de Sistemas.
Simulación Digital.
Variables de Estado
Realizado por:
Jesús Jiménez.
Profesor:
Diógenes Rodríguez
Variables de Estado

2. Variables de Estado
Definición:
De acuerdo a Ogata, Katsuhiko (1996), "El estado de un sistema dinámico es
el conjunto más pequeño de variables (llamadas variables de estado) tales que
el conocimiento de dichas variables en t = , junto con el conocimiento de la
entrada para t ≥ , determinan por completo el comportamiento del sistema
para cualquier tiempo t ≥ . El concepto de estado de ninguna manera estápara cualquier tiempo t ≥ . El concepto de estado de ninguna manera está
limitado a sistemas físicos; también se aplica en sistemas biológicos, sistemas
económicos, sistemas sociales y otros." (p.294.)
Así mismo según Ogata, Katsuhiko (1996), podemos definir las variables de
estado como "Las variables de estado de un sistema dinámico son las que
conforman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del
sistema dinámico. Si para describir en su totalidad el comportamiento de un
sistema dinámico se requiere de por lo menos n variables (de tal
forma que una vez dada la entrada para t ≥ y el estado inicial en t = , el
estado futuro del sistema queda completamente determinado), entonces dichas
n variables se consideran un conjunto de variables de estado." (p.294.)

3. Características:
Como lo menciona Ogata, Katsuhiko (1996), "Observe que las variables de estado
no necesitan ser cantidades físicamente medibles u observables. Aquellas variables
que no representan cantidades físicas y aquellas que no se pueden medir ni observar,
se pueden seleccionar como variables de estado. Esta libertad en la selección de
variables de estado es una ventaja de los métodos en el espacio de estado. Sin
Variables de Estado
variables de estado es una ventaja de los métodos en el espacio de estado. Sin
embargo, en la práctica, lo conveniente es seleccionar cantidades fácilmente
medibles como variables de estado, si esto fuera posible, ya que las leyes de control
óptimo requerirán la retroalimentación de todas las variables de estado, con una
adecuada ponderación." (p.294.)

4. Transformar Ecuaciones Diferenciales en Ecuaciones de Estado
De acuerdo a Universidad de Antioquia (2010), "A partir de la función de transferencia,
se obtiene la ecuación diferencial, se definen las variables de estado y se busca su
dinámica. como la indica la figura 1."
Variables de Estado
Figura 1. Ejemplo de transformación de ecuaciones diferenciales a estado. Tomado de http://ingenieria.udea.edu.co. Por Universidad de
Antioquia, (2010).

5. Construir Ecuaciones de Estado con Modelos Matemáticos
Como lo establece Ogata, Katsuhiko (1996), En el análisis en el espacio de estado
se tratará con tres tipos de variables que están involucradas en el modelado de
sistemas dinámicos: las variables de entrada, las de salida y las de estado. La
representación en el espacio de estado para un sistema dado no es única, con la
excepción de que el número de variables de estado es el mismo para cualquiera de
las distintas representaciones en el espacio de estado del mismo sistema.
Variables de Estado
las distintas representaciones en el espacio de estado del mismo sistema.
Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto variantes en el tiempo, la
ecuación de estado se puede escribir como:
y la ecuación de salida como:

6. Para los sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo, la ecuación
de estado y la ecuación de salida se pueden simplificar a:
donde:
Variables de Estado
donde:

7. La presencia de la variable k en los argumentos de las matrices G(k), H(k), C(k) y
D(k) implica que estas matrices varían con el tiempo. Si la variable k no aparece en
forma explícita en estas matrices, se supone que son invariables en el tiempo, es
decir, constantes. Esto es, si el sistema es invariante en el tiempo, entonces las dos
últimas ecuaciones se pueden simplificar a:
Variables de Estado
Al igual que en el caso del tiempo discreto, los sistemas de tiempo continuo (lineal
o no lineal) se pueden representar mediante la siguiente ecuación de estado y la
siguiente ecuación de salida:

8. Para sistemas lineales de tiempo continuo variantes en el tiempo, las ecuaciones
de estado y de salida están dadas por:
Variables de Estado
Si el sistema es invariante en el tiempo, entonces las dos últimas ecuaciones se
simplifican a:

9. Variables de Estado
Figura 5-1 a) Diagrama de bloques de un sistema de control lineal en tiempo discreto invariante en el tiempo representado en el
espacio de estado; b) diagrama de bloques de un sistema de control lineal en tiempo continuo invariante en el tiempo
representado en el espacio de estado. (p.295 - 296.)

10. Representación de los Sistemas en Ecuaciones de Estado
Según lo define Ogata, Katsuhiko (1996), para representar sistemas de
ecuaciones de estado, existen las:
Formas canónicas para ecuaciones en el espacio de estado en tiempo
discreto.
Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estado
correspondientes a sistemas en tiempo discreto. Considere el sistema en tiempo
Variables de Estado
correspondientes a sistemas en tiempo discreto. Considere el sistema en tiempo
discreto descrito por
donde u(k) es la entrada e y(k) es la salida del sistema en el instante de muestreo
k. Observe que algunos de los coeficientes (i = 1 ,2 ,..., n) y ( j = 0, 1 ,2 ,..., n)
pueden ser cero. La ecuación (5-5) se puede escribir en la forma de la función de
transferencia pulso como

11. O bien
Existen muchas formas de llevar a cabo representaciones en el espacio de estado para el
sistema en tiempo discreto descrito por las ecuaciones (5-5), (5-6) o (5-7). Aquí se presentan las
siguientes:
Variables de Estado
Forma canónica controlable La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo
discreto obtenida de las ecuaciones (5-5), (5-6) o (5-7) se puede expresar en la forma dada por las
ecuaciones siguientes:

12. Las ecuaciones (5-8) y (5-9) son las ecuaciones de estado y salida,
respectivamente. La representación en el espacio de estado dada por las ecuaciones
(5-8) y (5-9) se conoce comúnmente como forma canónica controlable.
Forma canónica observable La representación en el espacio de estado del sistema
en tiempo discreto dada por las ecuaciones (5-5), (5-6) o (5-7) se puede expresar en
la forma siguiente:
Variables de Estado

13. La representación en el espacio de estado dada por las ecuaciones (5-12) y (5-13)
se conoce como canónica observable.
Forma canónica diagonal. Si los polos de la función de transferencia pulso dados
por las ecuaciones (5-5), (5-6) o (5-7) son todos distintos, entonces la representación
en el espacio de estado se puede expresar en la forma canónica diagonal como
sigue:
Variables de Estado

14. Forma canónica de Jordán Si la función de transferencia pulso dada por las
ecuaciones (5-5), (5-6) o (5-7) incluye un polo múltiple del orden m en z = y todos los
demás polos son distintos, entonces la ecuación de estado y la ecuación de salida se
pueden expresar como sigue:
Variables de Estado
La matriz de estado de n x n está en la forma canónica de Jordán. (p.297 - 300.)

15. Métodos de Solución de Ecuaciones de Estado
Como lo indica Ogata, Katsuhiko (1996), entre los métodos para resolver los sistemas
de ecuaciones de estado, se pueden definir los siguientes:
Método de solución de ecuaciones de estado lineal en tiempo discreto e invariante
en el tiempo: En general, las ecuaciones de tiempo discreto son más fáciles de resolver
que las ecuaciones diferenciales, porque las primeras pueden resolverse simplemente
mediante un procedimiento de recursividad. Éste es bastante sencillo y conveniente para
cálculos digitales.
Variables de Estado
Considere las siguientes ecuación de estado y ecuación de salida:
La solución de la ecuación (5-28) para cualquier entero positivo k se puede obtener
directamente por recursión, como sigue:

16. Mediante la repetición de este procedimiento, se obtiene:
Claramente, x(k) está formado de dos partes, una que representa la contribución
del estado inicial x(0) y otra. La contribución de la entrada u(j), donde j = 0, 1, 2, …..,
k - 1. La salida y(k) está dada por
Variables de Estado
k - 1. La salida y(k) está dada por
Matriz de transición de estado.
Observe que es posible escribir la solución de la ecuación de estado homogénea

17. En la forma
Donde es una matriz única de n x n que satisface la condición
Variables de Estado
Es claro que puede estar dada por
En la ecuación (5-33), se puede ver que la solución (5-32) es simplemente una
transformación del estado inicial. Por lo tanto, la matriz única se llama matriz de
transición de estado. También se conoce como matriz fundamental. La matriz de
transición de estado contiene toda la información sobre los movimientos libres del
sistema definidos por la ecuación (5-32). (p.302 - 303.)

18. Continuando con las definiciones de Ogata, Katsuhiko (1996), veremos a
continuación el método:
Método de la transformada z a la solución de las ecuaciones de estado en
tiempo discreto: continuación se presenta la solución de una ecuación de estado en
tiempo discreto mediante el método de la transformada z. Considere el sistema en
tiempo discreto descrito por la ecuación (5-28).
Variables de Estado
Si se toma la transformada z de ambos lados de la ecuación (5-40) se obtiene
Donde X(z) = Z[x(k)] y U(z) = Z [u(k)]. Entonces

19. Premultiplicando ambos lados de esta última ecuación por , se obtiene
Al tomar la transformada inversa z en ambos lados de la ecuación (5-41), da
Variables de Estado
Al comparar la ecuación (5-30) con la ecuación (5-42), obtenemos
Y
donde k = 1, 2, 3 ,... .

20. Observe que la solución del método de la transformada z involucra el proceso de
invertir la matriz lo que puede realizarse mediante métodos analíticos o
utilizando una rutina de computador. (p.303 - 304.)
El Método de solución de ecuaciones de estado lineales en tiempo discreto y
variantes en el tiempo. mencionado por Ogata, Katsuhiko (1996) se define como:
considere la siguiente ecuación de estado lineal en tiempo discreto y variante en el
tiempo junto con la correspondiente ecuación de salida:
Variables de Estado
tiempo junto con la correspondiente ecuación de salida:
La solución de la ecuación (5-52) se puede encontrar fácilmente mediante
recursión, como sigue:

21. La matriz de transición de estado (matriz fundamental) para el sistema definido por
la ecuación (5-52) se define como Ψ(k,h). Se trata de una matriz única, que satisface
las condiciones
donde k = h, h + 1, h + 2 , . . . Se puede ver que la matriz de transición de estado
Ψ(k,h) está dada por la ecuación
Variables de Estado
Ψ(k,h), la solución de la ecuación (5-52) se convierte en
observe que el primer término segundo miembro de la ecuación (5-55) es la
contribución del estado inicial x(h) al estado actual x(k), y que el segundo término es
la contribución de la entrada u(h), u(h + 1),..., u(k + 1).

22. Variables de Estado
Es fácil verificar la ecuación (5-55). En referencia a la ecuación (5-54), se tiene
Se sustituye la ecuación (5-56) en
Obteniéndose

23. Por tanto, se ha demostrado que la ecuación (5-55) es la solución de la ecuación
(5-52). Una vez obtenida la solución de x(k), la ecuación de salida, ecuación (5-53),
se convierte en:
Si G(k) es no singular para todos los valores de k considerados, de forma que la
Variables de Estado
Si G(k) es no singular para todos los valores de k considerados, de forma que la
inversa de Ψ(k,h) exista, entonces la inversa de Ψ(k,h), denotada como Ψ(h,k), está
dada como sigue:
(p.309 - 310.)
(5-57)